Стохастическое моделирование плазмохимических реакторов трубчатого типа для очистки газов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 37.523.9

С.П. Бобков, Е.С. Чумадова

СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАЗМОХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ ТРУБЧАТОГО ТИПА ДЛЯ ОЧИСТКИ ГАЗОВ

(Ивановский государственный химико-технологический университет)

E-mail: bsp@isuct.ru

Рассмотрена возможность применения элементов теории цепей Маркова с непрерывным временем для математического моделирования процессов плазмохимической очистки газов в трубчатом реакторе диэлектрического барьерного разряда. Проведено сравнение полученных результатов с классическими методами моделирования и с экспериментальными данными.

ВВЕДЕНИЕ

При моделировании процессов массопере-носа с химическими реакциями классическим является детерминированный подход, базирующийся на использовании уравнения переноса вещества (уравнение Умова) [1]. Частными случаями этого уравнения являются уравнения гидродинамики и массопереноса [2, 3]. Эти уравнения используют аппарат дифференциальных уравнений в частных производных и элементы теории поля. Базирующиеся на решении этих уравнений модели описывают исследуемый процесс в непрерывном пространстве и времени. С другой стороны, использование классических детерминированных уравнений переноса без существенных упрощений наталкивается на значительные вычислительные трудности, особенно для многомерных нестационарных задач. Эти трудности не преодолены и сегодня, в эпоху мощной компьютерной техники. В последнее время появились многочисленные попытки использования стохастических подходов для моделирования технологических процессов. В частности, получены интересные результаты применения теории дискретных цепей Маркова для описания ряда технологических процессов [4, 5].

Целью данной статьи является выяснение возможностей стохастического подхода, основанного на модели цепей Маркова с непрерывным временем с использованием уравнений Колмогорова.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Объектом моделирования являлись процессы превращения молекул СО, протекающие в коаксиальном цилиндрическом плазменном реакторе диэлектрического барьерного разряда (ДБД), описанном детально в [6] и схема которого приведена на рис.1.

Реактор имел следующие характеристики: внутренний диаметр диэлектрического корпуса

Выход газа

Вход газа

Рис. 1. Схема реактора диэлектрического барьерного разряда коаксиального типа. 1 - внутренний цилиндрический электрод, 2 - внешний цилиндрический электрод, 3 - стенка реактора (диэлектрический барьер) Fig. 1. The reactor scheme of dielectric barrier discharge of coaxial type. 1 - internal cylindrical electrode, 2 - external cylindrical electrode, 3 - reactor wall (dielectric barrier)

составлял 20 мм, длина реакционной зоны L=122 мм, диаметр внутреннего металлического электрода -15 мм, площадь кольцевого сечения реакционной зоны S= 1.37 см2. Переменное напряжение частотой 50 Гц и амплитудой 10-16 кВ прикладывалось между внутренним электродом и электродом в виде кольца, нанесенном на внешнюю поверхность реактора. Диэлектрическим барьером являлся сам цилиндрический корпус реактора из молибденового стекла толщиной 1.5 мм. В аппарат при атмосферном давлении подавалась смесь воздуха и оксида углерода (II), содержание которого составляло 1.2 объемных процента. Расход газовой смеси вменялся от 0.2 до 1.4 см3/с. Концентрация оксида углерода на выходе из зоны разряда определялась с помощью хроматографа ЛХМ-80. При неизменном напряжении определялась кинетическая зависимость концентрации оксида углерода С как функция времени контакта газа t = L ■ S / W с реакционной зоной. По производной этой зависимости при t ® 0 находили g - объемную мощность источников (скорость пре-

вращения молекул СО). Более детально процедурные вопросы описаны в работе [7].

ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ

Традиционный классический подход при моделировании процесса массопереноса, сопровождающегося объемной химической реакцией, обычно предполагает использование фундаментального уравнения, описывающего поле концентраций в движущейся реагирующей среде [2]:

8С - -

— + СйУ(у) + у^айС = ВУ2 С + у, (1) Ы

где С - концентрация вещества; V - скорость среды; В - коэффициент диффузии; у - объемная мощность источника (стока) массы вещества; ^ -время.

Для решения уравнения (1) его следует дополнить уравнениями движения среды (2) и уравнением неразрывности потока (3):

д(ру)

д

+ й\у(руу) = -й,уа ,

(2)

до -

--+ рхИу(у) + V ■ ргайр = 0, (3)

д

где р - плотность среды; а - тензор механического напряжения.

Нетрудно заметить, что задача в такой постановке весьма сложна. Поэтому при моделировании процесса обычно принимаются допущения. Поскольку у реакторов трубчатого типа длина существенно превышает диаметр, то процесс рассматривают, как одномерный, игнорируя поперечную диффузию. Кроме того, среду рассматривают как не сжимаемую. Эти допущения позволяют упростить математическую формулировку задачи и привести ее к одиночному дифференциальному уравнению с частными производными:

8С 8С ^82С — + V— = В—- + у 81 8х 8х

(4)

Такое уравнение с соответствующими начальными и граничными условиями описывает процесс нестационарного массопереноса с химической реакцией в аппарате трубчатого типа и позволяет исследовать профиль локальных концентраций в нем.

Решение уравнения (4) требует корректной постановки граничных условий. В частности, при моделировании реакторов обычно известны только концентрации и потоки веществ не на входе в реактор, а с точки зрения математики, на бесконечно большом расстоянии от него (физически, на расстояниях гораздо больших характерной диффузионной длины). Поэтому, даже в простейшем случае одного компонента корректный анализ

требует решение уже двух уравнения типа (4) -одного для зоны транспорта газа до реактора, а другого непосредственно для зоны самого реактора. Эти решения необходимо "сшивать" в точке входа газа в реактор. Причем для первого уравнения известные граничные условия задаются на бесконечности. Все эти обстоятельства существенно затрудняют процедуры численного решения.

Рассмотрим другой подход к моделированию реактора, для чего разобъем его объем на элементарные ячейки. Газ, поступающий на обработку, последовательно проходит эти ячейки. Изменение количества вещества в каждой элементарной ячейке зависит от следующих параллельно протекающих процессов:

- поступление вещества в ячейку, вследствие его диффузии и макроскопического движения среды;

- убыль вещества в ячейке в результате реакции;

- удаление не прореагировавшей части вещества из ячейки потоком среды и диффузией.

Положим, что концентрация вещества является случайной величиной, которая может принимать значения в диапазоне от входной концентрации до нуля. Или, что аналогично, реактор представляет собой систему, которая может иметь множество вероятных состояний. Ограничим число возможных состояний конечной величиной п.

Обозначим через Si состояние реактора (1 = 1, 2,....,п), а через С^Х) вероятность того, что в момент времени X он находится в состоянии S1. Нетрудно показать, что для рассматриваемого случая величина С^Х) тождественна относительной (нормированной) концентрации компонента в 1-й ячейке.

Введем параметры сил, действующих на систему. Обозначим символом 1 параметр, характеризующий интенсивность процессов, переводящих систему в состояние SJ (]>1), символом т - параметр, характеризующий интенсивность процессов, переводящих систему в состояние Sk (к<1). Будем считать, что в общем случае эти параметры зависят от S1. Очевидно, что при малом интервале времени АХ система может перейти из состояния S1 только в одно из соседних состояний S1+l или S1_^

Теперь процесс превращения газа в реакторе можно описать графом (диаграммой переходов), изображенным на рис. 2.

Найдем изменение вероятности С^Х) за малый интервал АХ, непосредственно следующий за моментом X.

АС,. (О = 1 АС- (Г) -1 АС,.(Г) - тАС 1 (Г) + тмАСм (Г)

Поделив это уравнение на Л1;, и перейдя к пределу при Л1®0 , получим:

ёС г (?)

dt

= i-C(t) - (I + m)c (t) + m+C+1(t) (5)

ii

^n-1

Si -► S2 -► S3 — : Sn

m2

тз

mn

dt

= -1Q(t) + |С2(0;

dСd(t) = 1Ск-i (t) - (l + |д)Ск (t) + |дСк+1 (t); (6) dt

dСd-(í) = 1Cn-i(t) -|Cn(t) dt

к = 2,3,...n - 1.

Безусловно, должно выполняться следующее условие

Z c (t) = 1

(7)

Рис. 2. Граф процесса превращения газа Fig. 2. The gas transformation process graph

Уравнения (5) позволяют при заданных начальных условиях и известных параметрах интенсивности li и |i определить изменение состояние системы во времени.

Применяя приведенные уравнения для моделирования состояния реактора, в котором происходит трансформация вещества, можно указать, что при постоянном потоке газа и при неизменных характеристиках химической реакции параметры l и | можно считать постоянными и не зависящими как от текущего состояния системы так и количества возможных состояний n. В этом случае l будет являться нормированной интенсивностью потока среды, | - нормированной интенсивностью убыли вещества. В данном случае нормировка предполагает отнесение указанных интенсивностей к общему количеству трансформирующегося вещества, поступившему в аппарат. Отметим, что интенсивность убыли вещества (||) характеризует протекание, по меньшей мере, двух параллельных процессов: убыль вещества в ячейке в результате реакции и уход не прореагировавшего вещества конвекцией и диффузией.

В этом случае состояния моделируемого реактора можно описать уравнениями Колмогорова для цепей Маркова с непрерывным временем [8], то есть следующей системой уравнений: 'd^(t)

k=1

Для стационарного режима система дифференциальных уравнений (6) преобразуется в систему алгебраических уравнений вида: - 1С1 + цС2 = 0; <1Ск-1 - (1 + т)Ск +ц£к+1 = 0; к = 2,3,...п -1; (8) 1СП-1 -тСп = 0

Полученные модели (6) - (8) позволяют найти вероятные состояния системы из п элементарных ячеек, моделирующей рассматриваемый реактор в стационарном (8) или переходном (6) режимах. Относительная концентрация в последней ячейке Сп характеризует количество вещества на выходе из реактора.

Работоспособность предложенных моделей проверялась сравнением расчетных данных с результатами экспериментов по разложению молекул СО, как это было описано выше. Экспериментально определенные величины у менялись в пределах от 0.065 до 0.084 мг/(дм3-с). Коэффициенты 1 и т рассчитывались исходя из конструктивных параметров опытной установки и режима проведения опыта. Коэффициент 1, зависящий от расхода смеси и нормированный на общее количество вещества, для рассмотренных условий изменялся в диапазоне (0.0037-0.0252) с-1, а коэффициент т - (0.041 -0.0258) с-1.

Сравнение опытных и расчетных данных приведено в таблицах 1 и 2. При этом использовалась система уравнений (9), дополненная условием (8). Число ячеек было взято равным 10. Выходная концентрация рассчитывалась, как вероятность состояния умноженная на входную концентрацию. В тех же таблицах приведены данные расчета, проведенного по классической модели (1) -(3). Таблицы содержат результаты опытов при разной величине напряжения, подаваемого на электроды реактора.

Анализ данных, приведенных в таблицах, не только указывает, что между экспериментальными и расчетными данными имеется корреляция. Результаты показывают, что стохастическая модель описывает процесс с меньшей погрешностью.

Предлагаемый подход позволяет также исследовать переходный режим в аппарате. В частности, изменение во времени концентрации расходуемого вещества на выходе аппарата при подаче на его вход ступенчатого импульса. Один из примеров расчета по модели (7) совместно с условием (8) приведен ниже. Параметры модели соответствовали расходу смеси, равному 0,51 см3/с и напряжению 15 кВ. Начальные условия для системы (7):

^(0) = 15, Сг (0) = 0 г = 2,3.... (9)

l

2

Таблица 1

Концентрации CO на выходе реактора при напряжении 12 кВ Table 1. The CO concentration at reactor outlet under voltage of 12 kV_

Расход газа, см3/с Концентрация CO на выходе из реактора, г/м3

Опытное значение Расчет по модели (1)-(3) Расчет по модели (8)-(9)

Значение Погрешность, % Значение Погрешность, %

0,29 9,7 9,2 5,15 9,6 1,03

0,33 10,6 10 5,66 10,1 4,72

0,51 11,7 11,6 0,85 11,6 0,85

0,65 11,8 12,4 5,08 12,2 3,39

0,91 12,52 13,1 4,63 12,9 3,04

1,00 13,4 13,3 0,75 13,1 2,24

1,21 13,4 13,6 1,49 13,4 0,00

1,40 13,5 13,8 2,22 13,6 0,74

Таблица 2

Концентрации CO на выходе реактора при напряжении 14 кВ Table 2. The CO concentration at reactor outlet under voltage of 14 kV_

Расход газа, см3/с Концентрация CO на выходе из реактора, г/м3

Опытное значение Расчет по модели (1)-(3) Расчет по модели (8)-(9)

Значение Погрешность, % Значение Погрешность, %

0,29 8,6 8,8 2,33 8,6 0,00

0,33 9,1 9,6 5,49 9,2 1,10

0,51 10,2 11,4 11,76 10,9 6,86

0,65 10,4 12,2 17,31 11,6 11,54

0,91 11,1 13 17,12 12,5 12,61

1,00 11,3 13,2 16,81 12,7 12,39

1,21 11,9 13,5 13,45 13 9,24

1,40 12,6 13,7 8,73 13,3 5,56

Модельное время рассчитывалось, исходя из расхода смеси и объема аппарата. Результаты моделирования представлены на рис. 3.

Время,с

Рис. 3. Изменение во времени концентрации СО на выходе

реактора при подаче на его вход ступенчатого импульса Fig. 3. The time change of the CO concentration at reactor outlet under step change of the CO concentration at reactor input

В заключение можно сделать вывод, что предложенный стохастический подход к моделиро-

ванию трубчатых реакторов, использующий уравнения А.Н. Колмогорова, может применяться, наряду с традиционными методами, основанными на использовании классических уравнений переноса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кутепов А.М., Полянин А. Д., Запрянов З.Д. Химическая гидродинамика. М.: Квантум. 1996. 478 с.

2. Коган В.Б. Теоретические основы типовых процессов химической технологии. Л.: Химия. 1977. 592 с.

3. Таганов И.Н. Моделирование процессов массо- и энергопереноса. Нелинейные системы. Л.: Химия. 1979. 208 с.

4. Мизонов В.Е. и др. // Химическая промышленность. 2001. №1. С.44-47.

5. Огурцов А.В. и др. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2003. Т. 46. Вып. 7. С. 64-66.

6. Чумадова Е.С., Гриневич В.И., Костров В.В. Процессы в дисперсных средах. Межвузовский сборник. Иваново. 1998. С. 207.

7. Чумадова Е.С. Окисление СО и СН4 в совмещенном плазменно-каталитическом процессе. Дисс. ... канд. хим. наук. Иваново. 1998. ИГХТУ. 139 с.

8. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. М.: Энергия. 1980. 424 с.

Кафедра информатики и вычислительной техники, кафедра промышленной экологии