CC BY
20
А. Н. Поляков
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ТЕПЛОВОЙ ИСТОЧНИК В УПОРНОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПОДШИПНИКЕ С НЕПОДВИЖНЫМИ СЕГМЕНТАМИ
Представлена стохастическая тепловая модель упорного гидродинамического подшипника с неподвижными сегментами. Адекватность модели подтверждена экспериментальными исследованиями горизонтально-шлифовального станка.
Теория и практика теплового моделирования станков показывает, что структура и адекватность тепловой модели в значительной степени определяются моделью теплового источника.
В шлифовальных станках одним из распространенных типов используемых подшипников являются гидродинамические. В большей степени распространение получили радиальные подшипники. Вместе с этим в отдельных моделях станков для восприятия осевой нагрузки устанавливаются упорные подшипники (подпятники). Осевые опоры по конструктивному исполнению подразделяются на два основных типа: опоры с неподвижными наклонными (несущими) поверхностями скольжения и опоры с самоустанавливающимися поверхностями. Это различие вносит особенности в методику их расчета. В данной работе рассматриваются подшипники первого исполнения.
Целью работы являлось разработка стохастического теплового источника гидродинамического упорного подшипника для последующей реализации его в стохастической тепловой модели станка. Не углубляясь в актуальность стохастического теплового моделирования, отметим, что необходимость такого подхода в тепловом моделировании объективно обусловлена двумя причинами. Первая причина объясняется существенной параметрической неопределенностью входящих в модель параметров. Вторая причина лежит в стохастической природе термодинамических процессов в станке. Напомним, что стохастическая тепловая модель включает две свои разновидности: вероятностную и статистическую. Вероятностная модель основана на построении законов распределения для выходных функций модели в соответствии с основными положениями теории вероятностей. В этом случае закон распределения для искомой функции получаются как результат последовательных преобразований законов входящих в модель параметров. Статистическая модель основана на статистической обработке результатов многовариантных вычислений детерминированной модели. Принци-
пиальное отличие при практической реализации двух разновидностей стохастической модели выражается в количестве выполняемых операций в одном расчете модели. Как правило, вероятностная модель более сложная (сложней, чем детерминированная), но требует меньше итераций расчета (в основном только для численного интегрирования и дифференцирования), чем статистическая.
Основу стохастической модели составляет детерминированная модель. На первом этапе стохастического моделирования всегда выполняется оценка эффективности реализации вероятностного и статистического подходов. При этом может оказаться, что вероятностная модель нереализуе-ма, ввиду сложности детерминированной модели, обусловленной наличием зависимых случайных функций.
В качестве базовой детерминированной модели использована модель теплового источника, приведенная в работах Чернавского С. А., Воскресенского В. А. и Дьякова В. И. Проведенный вычислительный эксперимент, в котором сопоставлялись эти модели и приведенные модели в известных работах Решетова Д. Н. и Пуша А. В., показал: модели изложенные в работах первых трех авторов, позволили получить наименьшие расхождения с экспериментальными данными фирмы FAG. Для сопоставимого параметра быстроходности подшипника результаты моделирования оказались наиболее близкими (расхождения не превысили 10%). Результаты, полученные по моделям, изложенным в работах Решетова Д. Н. и Пуша А. В. (это основные справочные пособия для расчетов металлорежущих станков), отличались более чем на 100%. Хотя это не означает, что эти модели не верны. Это лишь означает, что в работах Решетова Д. Н. и Пуша А. В. представленные модели могут использоваться при наличии дополнительных пояснений и ограничений.
Не останавливаясь подробно на анализе возможности практической реализации вероятностного теплового источника для упорного гидродина-
мического подшипника, отметим следующее. При выводе окончательного соотношения для вероятностного теплового источника сформировались зависимые случайные функции с условными законами распределения, аналитическое представление которых получить не удалось.
Выделим основные задачи и алгоритмы, реализующие статистический подход при построении теплового источника упорного гидродинамического подшипника.
Первая задача. Определение числовых характеристик: математическое ожидание и дисперсия от мощности тепловыделения в подшипнике.
Вторая задача. Построение статистического закона распределения для мощности тепловыделения.
Назначение первой задачи очевидно. Необходимость во второй задаче обусловлена главной задачей теплового моделирования шпиндельного узла станка и подшипника в частности - определение температурного поля. Актуальность данной задачи порождается еще и нелинейностью мощности тепловыделения в подшипнике, обусловленной функциональной связью вязкости масла и температуры. Установление закона распределения для мощности тепловыделения в подшипнике позволит использовать статистическую модель теплового источника в гибридной стохастической тепловой модели, совместно реализующей вероятностный и статистический подход при построении температурного поля. В гибридной стохастической тепловой модели: статистический подход используется в тепловом источнике, а построение температурного поля осуществляется реализацией вероятностного подхода.
При построении стохастической модели необходимо выбрать семейства неслучайных и случайных параметров.
Для подпятника с неподвижными наклонными несущими поверхностями потери на трение возникают на двух участках. Первый участок является плоским без скосов или иногда его называют плоскопараллельным из-за его параллельности сопрягаемой поверхности. Этот участок отвечает за восприятие нагрузки на переходных режимах, когда скорость относительного перемещения недостаточна для образования в клиновом зазоре необходимого гидродинамического давления. Второй участок - клиновой и принимается в литературе как нагруженная зона.
Потери на клиновых участках Мк имеют вид, [Вт]:
N. = (г ЩсрЬЕ3пр )Т'5 ш1^ (1)
где г - число клиновых участков;
ш - частота вращения подшипника 1/с; Ь - длина наклонной поверхности ь = 0,5 А(р-1), м;
_ Аф3-1) „
«„„ = —^--приведенный радиус под-
р 3(Р2 -1)
шипника, м;
Л1 - внутренний диаметр подпятника, м; Л2 - наружный диаметр подпятника, м; Р = Л2 / Л1 - отношение диаметров подпятника; W - нагрузка, действующая на подшипник, Н; X - безразмерный коэффициент сопротивления вращению, определяется по диаграмме.
Выражение для потерь на плоскопараллельных участках N а имеет вид, [Вт]:
II ш2 Л4
N. = г-е. ^^(Р4 -1), (2)
64Йт;„
где еа - угловой размер плоскопараллельного участка;
Нт1п - толщина смазочного слоя на выходе из клина.
Угловой размер плоскопараллельного участка: 8W
(3)
е а =
г[ рт ]Л2(Р2 -1)'
здесь [рт ] - допустимая удельная нагрузка на подшипник, Па.
Толщина смазочного слоя на выходе из клина определяется по выражению, [м]:
'т ср шя„р Ьг£л 05
А = I
W
(4)
здесь £ - безразмерный коэффициент нагруженно-сти; I - средняя ширина несущей поверхности, [м]: I = 0,25- е к ЛДР +1) (5)
Угол наклонного участка несущей поверхности ек определяется, [м]:
е = 2Р- 4Ь* -е
ек г ^(1+ Р) е«
Для упорных подшипников оптимизируемыми параметрами являются:
1) размер плоского участка а. Известно, что размер а выбирают так, чтобы среднее давление неподвижной пяты на плоскопараллельную поверхность подпятника не превышало допускаемого;
2) соотношение диаметров или радиусов подпятника, т. е. оптимизируемыми являютсяD2 и D1;
3) соотношение ширины несущей поверхности l и длины наклонной поверхностиb;
4) число наклонных поверхностейz определяют в зависимости от характера вращения пяты. Так для постоянного направления вращения, характерного для работы шпинделя шлифовального станка:
z=iTv+a (7)
где bK - ширина радиальной канавки, разделяющей поверхность подпятника на равные участки принимают равной 2 - 4 мм.
На основании представленной детерминированной модели теплового источника (1)-(7) семейство случайных параметров образуют внутренний диаметр D1, параметр р отношений диаметров подпятника и ширина разделительной канавки bK. Все остальные параметры принимаются неслучайными.
Прежде чем перейти к изложению алгоритма формирования статистического теплового источника, остановимся на процедуре рандомизации или имитации случайных величин при заданном законе распределения и автоматизации задания параметров X Z, в соотношениях (1) и (4).
Рандомизация строится по следующему алгоритму:
1) формируется источник случайных чисел xR из класса вещественных чисел, xR е [0,1].
Для этого используется генератор случайных чисел из диапазона от 0 до некоторого значения Nmax, определяемого компилятором (например, для компилятора Watcom С/ С++ N max = 32767; для Borland С 3. 0
N max = 232):
Xr = N / Nmax . (8)
здесь Ni - текущее значение, генерируемое генератором случайных чисел.
сти случайных величин. На основании чего выполняется их рандомизация, в соответствии с выражением вида:
x = Xmin + XRD x (9)
где xmin - минимальное значение случайной величины, задаваемое заранее; D x - приращение случайной величины x:
D x = (Xmax - xmin)/m , (10)
гдеm - количество рандомизируемых чисел xR.
Таким образом, формируется следующая совокупность случайных параметров:
D1 = Dmin + xRDD i ß = ßmin + xRDß i
b = b . + х„Д,;
к к ,min R b'
2) устанавливается диапазон неопределенно-
(11)
В общем случае безразмерный коэффициент сопротивления вращению X и безразмерный коэффициент нагруженности £ выбираются по диаграммам, в зависимости от соотношения толщины смазочного слоя на входе Н2 и выходе Н1 из клина. Количественно это описывается безразмерным параметром рн = Н2 / Н1. В работах по расчету гидродинамических подшипников отмечается, что для эксплуатационных режимов работы следует принимать параметр р н из диапазона: 2 < р н < 3. Именно поэтому в литературе приводятся данные по безразмерным коэффициентам X и £ из условия,
что р к = 2 или р н = 3.
Принимая во внимание, что в реальных условиях в конструкциях условие соблюдения парамет-
рар н, заложенное в проекте, может быть нарушено по различным причинам, назначение фиксированного значения X и £ осуществляется путем рассмотрения этих параметров в виде случайных величин, с равномерным распределением. При этом нижняя и верхние грани области состояний этих параметров являются переменными, зависящими
от случайной величины хх = I / Ь.
Применение в автоматизированных расчетах для задания значений безразмерных коэффициентов X и £ в виде диаграмм неудобно. Поэтому следует использовать интерполяционные зависимости:
- для р н = 2 Х( хх ) = 0,196 + 0,0446хх + 0,0343х х2 (12)
С(хх ) = 0,158 - 0,109хх + 0,0234х^; (13)
- для
Р а = 3
Х(хх ) = 0,18 + 0,034хх + 0,0235х^ - 0,001 х^ (14)
С(хх ) = 0,146 - 0,101 хх + 0,0221хХ . (15)
Как показал проведенный вычислительный эксперимент, расхождение значений, полученных по этим выражениям и с помощью диаграмм, находится в пределах ± 1%.
Задание случайных параметровX и С осуществляется следующем образом. В соответствии с принятым равномерным законом распределения
для каждого значения х ^ следует записать выражения для плотностей распределений £хх (хх) и £ хг (хс) в виде:
£хХ (хх): 1
(рисунок 1).
£хС (хх) =
Х 2 ( хХ )-Х 3( хХ ) 1
(16)
С 2(х х )-С 3( хх)
где хх,3, хх,2 е [0,2;2].
Здесь индексы «2» и «3» используются для обозначений функциональных зависимостей при
соответствующих значениях параметраРА .
Для проведения более полного анализа диапазон изменения х^ = Ь / В здесь принят более широкий, чем обычно принимается (традиционно принимают диапазон изменения х^,3, х^,2 е [0,5;1,6]).
Случайная величина х^ рандомизируется в соответствии с выражением (9). Каждому одному значению хх соответствует не единственные значения
параметров X и С, а совокупности случайных величин с соответствующими плотностями распределений описываемых выражением (16). В этом случае коэффициенты X и С выбираются в соответствии с выражениями:
Х; =Х3,; + хX,;АХ,; и С; =С3,; + хX,;АС,;
АХ,/ = Iх 2,; -Х 3,;| и А£,; =% 2,; -С 3,; |.
здесь ;- индекс соответствующий выбранному значению хх.
Алгоритм формирования статистического теплового источника включает семь основных блоков
Рисунок 1. Блок-схема алгоритма формирования числовых характеристик и статистической функции распределения
В первом блоке осуществляется формирование областей состояния вектора случайных величин. Так, для внутреннего диаметра подшипника
будем принимать А Л = ±0,5Л1. Для коэффициен-таР = 1,5; Р ^ = 2 и Ар = 0,5. Ширина канавки принимается Ьк^ = 2 мм и Ьктаа = 4 мм.
Второй блок находится внутри цикла I = 1, т. Цикл организован на рандомизации случайных чисел. Во втором блоке помещается источник случайных чисел х х , по значениям которого, в соответствии с соотношением (11), осуществляется формирование вектора случайных величин: Л1, р, Ьк. После этого начинает выполняться второй цикл со счетчиком и. Цикл открывается третьим блоком, в котором происходит выбор безразмерных коэффициентов Xи, С и. Их выбор строится на предварительном вычислении средней ширины несущей поверх-ностиI и длины ее наклонного участкаЬ. Этот блок также включает: определение углов наклонного и плоскопараллельного участков несущей поверхно-
сти9к и9a, соответственно; минимальной толщины смазочного слоя Н^п.
Четвертый блок включает организацию вычислительного процесса для составляющих потерь
на трение Мк, Ма и суммарных потерь в подшипнике . В этом блоке формируются три совокупности случайных величин N^ , и . Индекс
« Ь » соответствует текущей реализации случайных величин, входящих в (1) и (2).
В пятом блоке вычисляются математические ожидания случайных величин, вычисленных в четвертом блоке, представляющих среднее арифметическое для отдельных совокупностей Nк¿Ма,Ь, и Nъ.
т т
М[Nk ] = X Nкь / т; М[На ] = X N0,. / т; (17)
Ь=1
Ь=1
М [ N2 ] = Х N^ / т.
Ь=1
Шестой блок по структуре подобен пятому, только здесь вычисляются дисперсии искомых случайных величин Nк ], Na ] и Б[ N2 ] в соответствии с выражением:
т
Б[Nк] = ХNК,ь /т -М2[Nк];
Ь=1 т
Na ] = ХN1, /т -М2[Na ];
Ь=1 т
] = Х N2, / т - М2[N£ ] (18)
Ь=1
В седьмом блоке выполняется построение статистической функции распределения. Для этого выбирается число интервалов р и вся область состояний для Nк, Na и N2 разбивается нар интервалов. Тогда размер каждого интервала составляет следующие величины:
Л1,^ = Л N. / Р ; А2,^ = Л N. / Р и
Л 3,=Л ^ / Р ,
где Л N. = Nk ,max — ,min ;
Л = N — N •
N а a ,max a ,min ?
Л = N — N
После этого устанавливаются относительные частоты попадания текущих случайных величин ^ к,Ь, Na ,1 и N-2,1 в виде:
Р1, у = т1,1 /т; Р2, у = т 2, ] /т; Р3, у = т 3, ] /т,
где т 1,у; т2,у; т3, ■ - частота попадания текущих
случайных величин Мк ,Ь, Иа ,Ь и в соответствующие интервалы Л1,^ Л 2,^, и Л 3 к .
Предложенный алгоритм был реализован программно. После этого был проведен вычислительный эксперимент, в ходе которого исследовались следующие положения:
1) влияние ширины диапазона неопределенности каждого из случайных параметров р и Ьк на характер функции распределения выходных
случайных функций N, Na и и их область состояний;
2) влияние количества рандомизируемых чисел т на флуктуацию соответствующих числовых характеристик и вид функций распределения выходных случайных функций Мк, Na и ;
3) выбор рационального числа интервалов Р для построения законов распределения случайных функций Nк, Ма и .
В целях сокращения объема статьи иллюстрации приведены для кривых распределения только суммарных потерь ( рисунок 2). Кривые 1 и
3 соответствует меньшему значению, а кривые 2 и
4 соответствуют большим значениям неопределенности для случайных параметров Ьк (рисунок 2. а) р, (рисунок 2. б) и ^ (рисунок 2. в). Анализ кривых распределения показывает, что наиболее сильное влияние на характер функции распределения
суммарных потерь на трение оказывают флуктуации внутреннего диаметра и коэффициента р . Кривые распределения 1 и 2 получены при ран-домизации10000 реализаций, т. е. т = 10000. Кривые распределения 3 и 4 получены при т = 500. Сопоставление кривых распределения 1 и 3, а также 2 и 4 показывает, что такое большое число реализаций случайного процесса, как 500, еще не обеспечивает хорошего качества статистического закона распределения. Для установления рационального числа интервалов разбиения Р вычислительный эксперимент включал построение законов распределения при различном количестве интервалов Р и различном числе реализаций т. При этом рациональное число интервалов Р следует принимать не выше 20. Именно это число интервалов
позволяет получать вполне устойчивый характер статистического закона распределения при числе реализаций случайных функций: т £ 32767 . Именно это количество реализаций случайного процесса для ПК обеспечивает вполне приемлемые машинные затраты. В конкретном примере расчет выполнен для упорного подшипника горизонтально-шлифовального станка высокой точности с внутренним диаметром Л1 = 58 мм. Расчет
проводился для частоты вращения п = 3000 мин-1
для масла И -12 при температуре 35° С. Этой температуры, как показали натурные эксперименты, масло достигает после 30 минут работы станка, при начальной температуре окружающей среды не
выше 20° С.
Таким образом, приведенная модель теплового источника может быть встроена в общую стохастическую тепловую модель шпиндельного узла и станка в целом. Однако вычислительные затраты на формирование статистического источника могут стать определяющими эффективность теплового моделирования станка, если в алгоритме формирования температурного поля будут жестко увязаны реализации случайного источника с реализациями случайного термодинамического процесса в шпинделе. Поэтому статистический тепловой источник представляет практический интерес только в гибридной тепловой модели, разработка которой осуществляется в настоящее время.
Рисунок 2. Кривые распределения для суммарных потерь трения в упорном гидродинамическом подшипнике
