CC BY
57
СТОХАСТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ГЕМОДИНАМИКЕ СОСУДА
B. А. Цибаров
C.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, tsibarov@mail.ru
В практических задачах часто применяется ньютоновская модель крови [1, 2]. Однако уже в [3] отмечается недостаток такой модели, хотя и в этой монографии при обработке экспериментальных данных по эффективной вязкости крови практически не учитывается ее неньютоновский характер. Среди моделей, учитывающих неньютоновские свойства крови, получила распространение модель Кессона [4]. Применяется и модель вязко-упругой среды [5, 6]. Проблеме агрегирования крови и скорости осаждения эритроцитов (СОЭ) с учетом экспериментальных данных посвящен ряд работ сборника [7]. Это все феноменологические детерминистские модели. Более предпочтительным представляется подход, основанный на стохастическом (кинетическом) описании концентрированных гидровзвесей, развиваемый в [8-10].
В настоящей работе предлагается стохастическая модель крови, занимающая промежуточное положение между релаксационной моделью [10] и более сложными моделями работ [8, 11, 12], которая достаточно удачно сочетает баланс простоты и строгости. Эта модель позволяет воспользоваться известными результатами теории концентрированных газовзвесей и плотных газов [11], легко модифицируя их. Кроме того, в ней учтено влияние электромагнитных сил и процессы коагуляции форменных элементов путем введения дополнительных непрерывных индивидуальных случайных переменных у функции распределения: случайного объема та и случайной массы та включения. Корреляция форменных элементов при соударении учитывается на уровне парной локально равновесной корреляционной функции х(с), зависящей от объемной доли (с) всех форменных элементов крови, и берется из [11, 13]. Многочастичные соударения включений описываются в релаксационном приближении.
С помощью предложенной стохастической модели дается формально замкнутая макроскопичская постановка задачи гемодинамики, позволяющая уточнить модель капилляра и продвинуться в решении проблемы СОЭ. Излагаемый подход приводит к расширению уравнений переноса, описывающих динамику крови, рассматриваемой как гетерогенная среда, по сравнению с обычной. При этом получаемые кинетическими методами замыкающие соотношения учитывают влияние гидродинамического поля, энергии хаотического движения форменных элементов крови и многочастичных взаимодействий на коэффициенты переноса, что отсутствует в традиционных работах.
1. Введение. Построение математической модели начинается с выявления основных свойств среды и процессов, протекающих в ней. В соответствии с [1, 3, 6] можно плазму крови считать ньютоновской жидкостью с эффективной вязкостью, зависящей от малой (0,08 ^ 0,10) объемной доли примеси, содержащей положительно и отрицательно заряженные ионы, заряд которых компенсируется отрицательным зарядом эритроцитов, делая цельную кровь электронейтральной. Влияние объемной доли примеси на вязкость плазмы крови можно вычислить по эмпирической формуле из [14]. В
© В. А. Цибаров, 2009
этом случае удельная энергия хаотического движения включений в плазме однозначно вычисляется по их объемной доле и давлению. Сдвиговая вязкость плазмы крови человека м = 1, 5 ^ 2, 2 сП, а ее табличная плотность Yf = 1,0295 ± 0,0045 г/см3.
В плазме крови взвешены форменные элементы (эритроциты, лейкоциты, кровяные пластинки). Их объемная доля с = 0,40 ^ 0,45. Эритроциты занимают наибольшую долю объема (се = 0,423 ± 0, 027). Их внутренность на 70% состоит из воды, на 20% из гемоглобина и на 5% из сахара, представляя собой жидкость, реология которой мало изучена. Описание ее реологических свойств требует учета стромы эритроцита. Часто считают, что жидкость внутри эритроцита обладает сдвиговой вязкостью ме = 7 сП, а его оболочка — модулем поверхностной упругости около 7 • 10-6 Н/м. При взаимодействии с частицами и границей оболочка может вращаться отдельно от жидкости, находящейся внутри эритроцита, что приводит к значениям безразмерного момента инерции частицы кр из области [0, 2/3]. Существует альтернативная точка зрения, в соответствии с которой внутренность эритроцита — упругая среда с модулем Юнга 7 • 103 Н/м2. В обычных условиях эритроцит имеет форму сплющенного диска с вдавливанием посередине с обеих сторон (дискоцит). Его коэффициент формы /с = 0, 8. В экстремальных условиях и при некоторых взаимодействиях эритроциты могут принимать форму сферической или иной поверхности с шипами (эхиноцит, моделируемый шероховатой сферой), односторонне вогнутого диска (стоматоцит) или сферы с односторонним углублением (сферо-стоматоцит). При всех модификациях объем эритроцита те сохраняется. Размеры эритроцитов неодинаковы: их диаметры (7,1 ^ 9, 2) • 10-4 см, а объемы те = (7 ^ 10) • 10-11 см3. Средний диаметр йе = 8 • 10-4 см. Числовая плотность эритроцитов пе = (4, 5 ^ 5, 0) • 109 см-3. Время установления стационарной формы мембраны 0,3 с. «Истинная» плотность эритроцитов человека 7е = 1,090 г/см3. Отрицательный заряд эритроцита де ^ 120445 е, где е — заряд электрона. Дыхательный пигмент гемоглобин (ИЬ), находящийся в эритроците, имеет молекулярный вес Мнь = 16200 п (п =1, 2, 3,4). У человека п = 4. Гемоглобин имеет форму цилиндра размером 11, 0 х 11, 0 х 7, 0 (в нм, 1 нм = 10-7 см). СОЭ у мужчин 3^9 мм/ч, а у женщин — 7 ^ 12 мм/ч. СОЭ одиночного эритроцита составляет 0,2 мм/ч. По наблюдениям [6] у здорового человека она равнялась 7, 40 ± 0, 25 мм/ч, а у больных раком толстой кишки 23, 50 ± 1, 574 мм/ч. Коэффициент агрегирования Ка = (0, 327 ± 0,18) • 10-6 дин/см у здоровых лиц, Ка = (0, 436 ± 0, 035) • 10-6 дин/см — у больных. Учет стесненности обтекания при осаждении эритроцита по формуле из [9, 11] приводит к уменьшению СОЭ примерно в 3 раза по сравнению с одиночным эритроцитом и более чем в 100 (350) раз — с данными из [6] (здесь и далее в скобках указаны данные по больным). Это означает, что агрегаты у больных раком образуются интенсивнее. Средняя концентрация гемоглобина в эритроцитах по [6] составляет 34, 60±0, 286 (28, 65±0, 37)%. Эритроциты млекопитающих — безъядерные образования. Другие форменные — элементы нейтральные частицы диаметром (2 ^ 12) • 10-4 см. Часто ограничиваются монодисперсной моделью крови с включениями средним объемом тр и диаметром йр = (6тр/п)1/3.
Цельная кровь здорового человека обладает эффективной вязкостью м = (4 ^ 5) сП [1, 3]. Строго говоря, вязкость крови зависит от скорости сдвига 7 [3, 5]. В [6] приведена следующая зависимость вязкости крови человека от 7: М = 10, 50 ± 0, 72 (20, 6 ± 0,47) сП при |71 = 5 с-1, м = 5, 42±0, 55 (7, 45±0,16) сП при |^у = 251 с-1, м = 3, 50 ±0,14 (3, 96 ±
0, 74) сП при |71 = 1000 с-1, м = 3, 24 ± 0, 72 (3, 41 ± 0,068) сП при |^| = 1500 с-1. Предельное напряжение сдвига то = 2, 0 ± 0,016 (2, 24 ± 0, 0367) дин/см2. Средний диаметр циркулирующих агрегатов йр = {9, 0 ± 0,16 (15, 97 ± 0, 66)} • 10-4 см, а объем тр = {86, 70±0, 54 (110, 37±1, 25)}-10-12 см3. Гематокрит 45, 0±2, 35 (42,4±0, 956)%. Он
на 2-3% процента превышает объемную долю форменных элементов. Плотность цельной крови человека д = 1, 055 ± 0, 005 г/см3. Количество крови в организме постоянно. Кровь электропроводна (диэлектрическая проницаемость е = 8, 85 • 10-12 Ф/м [3]).
Давление р крови человека (в медицинской литературе [1] оно приводится в мм рт. ст.) зависит от вида сосуда: в аорте верхнее (систолическое) давление 110-125, в крупных артериях 105-120, в малых артериях 80-100, в артериолах 30-40, на артериальном конце капилляра 25-30, на венозном конце капилляра 10-20, в крупных венах 5-9. В венах вблизи грудной клетки оно близко к атмосферному ра (ра — 2 ^ р ^ ра + 3 ^ 4), колеблясь в зависимости от фазы дыхания. Одно систолическое давление не характеризует динамики крови. Кроме него измеряют и нижнее (дистолическое) давление. Разность между ними носит название пульсового давления. У здорового человека оно составляет 35-50 мм рт. ст. В медицине вводится и понятие среднего давления. Это перепад давления, способный в отсутствии пульсового давления дать аналогичный гемоди-намический эффект при квазистационарном движении крови. Систолическое давление имеет смысл давления торможения.
Волна повышения давления в аорте в момент изгнания крови из желудочков из-за растяжения стенки сосуда носит названия пульсовой волны. Скорость распространения пульсовой волны не зависит от скорости течения крови. У людей молодого и среднего возраста при нормальных давлении крови и эластичности сосудов она равна в аорте 5,5-8 м/с, в периферических артериях — 6-9,5 м/с, а с возрастом увеличивается.
Важной характеристикой нестационарного ритмического движения крови в организме является пульс ^у. У здоровых людей = 1 ^ 4/3 с-1.
Эти качественные особенности крови лежат в основе ее математической модели.
2. Стохастическая модель крови. Стохастическое уравнение для функции распределения / (г, х £) представляет собой многомерное уравнение Фоккера—Планка с источником, описывающим излом траектории в фазовом пространстве, в котором 7 = {и, ш, т, т}, и и ш — случайные линейная и угловая скорость, т и т — случайные объем и масса, г — случайный радиус — вектор центра масс включения, £ — астрономическое время. В соответствии со сказанным выше случайный объем включения не изменяется при движении вдоль случайной фазовой траектории в промежутке между «столкновениями». Изменение его массы определено только регулярной частью тге® производной вдоль случайной фазовой траектории. Поскольку организм в силу свойства гомеостаза функционирует вблизи динамического равновесия, можно считать и т = 0. Для остальных величин -у = •уге® — -уй , где -уге® и -уй — регулярная и стохастическая части. Как и в релаксационной модели крови из [10], влияние гидродинамического поля на соударение форменных элементов учитывается делением операторов столкновений энскоговского типа на С (|йру1), где у — скорость сдвига, вычисляемая по следу произведения двух тензоров деформации е, ^ — время вязкой релаксации ньютоновской взвешенной фазы [10, 11]. Многочастичные (трех и более) «столкновения» включений описываются (по аналогии с моделью плотного газа из [11]) в релаксационном приближении. В результате получим уравнение
д/ д д 7
1 ( д д
1 = Тъ-1*\ 78* = у \у • (В7Я + ■ (сиЛ + д^'(с2
Здесь J — оператор «мгновенных» взаимодействий форменных элементов,
с0
т ____ т Ъ1п і т agr і т рої т рої _ / -/
и — и -+- и -+- и , , и , —
ге1 ’ ге1 +.
Ігеї
в котором оператор тЪ1П парных соударений при не вполне упругом ударе, не приводящем к агрегированию включений, может быть записан в виде
тЪ1П _ /У/(г, и, / (гі, «', Ц,тьтьі) х (гС) -
- / (г, и, ш, т, т, і) / (гі, иі, ші, ті, ті, і) х (гс)}«і2а (Іицдгуі.
І _«—І ^ г’р = Г + <1а(3 Є 7 Г/з = Г - <],ар е,
( хЦ3 +хТ 2,
{ 2
Ха3 + 1/3 х/3 г' с
2 7
£/з + &’ ха _ та ТР
^а/3
Св Та ^ та I I
М/3 7 ! 7 ■? -^а ■? Ца ■? ^/За Г^/3 ^а ?
Са + Св Тр тр
где <гр = п^р, тр —средняя масса включения, а <7^12 —дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол ^12. Для большинства элементов ха = хв = Са = Св = 1-Этим объясняется возможность выбора монодисперсного приближения, если можно пренебречь процессами агрегирования включений. Через /0 обозначено локально равновесное решение [11, 12, 15]. Время релаксации — эмпирический параметр. Штрихованные и не штрихованные величины связаны законом соударения [11]. Для оценки отношения JIPOl/JЬш можно воспользоваться параметром, полученным в [13] путем анализа вязкости азота и углекислого газа при давлении до 1000 атм:
ёр = Асх/(1 — с), А = 2, 5е, е = 1 — с.
Для корреляционной функции принимается выражение из [10]:
Х = (1 -сШ - 1,5с) • Ь‘ = °-160'
При отбрасывании членов порядка О (с4) оно совпадает с известным в теории газов.
В нашем случае оператор агрегирования включений из [11, 12] представйм в форме
JaSI =Х Ц\^\ (/(7а)/(7/з) - ^р|-/1/(7)^а8г(7а.7/з;7)Иа/ЗСГа/3^7а +
+ (Кр^а |/(7а) — / (7)/(7 в ^ Ра8г(7, 7 в 5 7 а ) и12а12^у} ^7 в .
Здесь Кр = «.р ехр(—Еа/к0), пр —значение равновесной (при 4 ^ то) числовой концентрации Пр(г,£) форменных элементов, Еа — энергия разрыва связей, ^а| —якобиан преобразования при переходе от 7а к безразмерным переменным путем деления их
а
на наиболее вероятные значения, к — постоянная Больцмана, 0 — псевдотемпература, характеризующая энергию хаотического движения включений. Не противореча физическим соображениям, выберем
Ра8г(7а 7в і 7) = К7в 5 7),
Ра,
ехр
-А,
тр Сав иав
2к0
^(7 - 7с)!
где Мв — безразмерная приведенная масса, £с = £а + £в — сохраняющаяся в про-
цессе соударения суммарная безразмерная масса элементов, Ка®г и Аа — безразмерные эмпирические константы, £(ж) — ^-функция Дирака.
В монографии [16] отмечается, что для включений диаметром й > 10-4 см процесс агрегирования описывается потенциалом притяжения Ц^д, обратно пропорциональным квадрату расстояния тар, а в [17] показано, что в этом случае сечение рассеяния обратно пропорционально квадрату относительной скорости пар частиц. Поэтому имеем
т таЬг иав
СІр
Гав
ав а ав
трСав иав
Обработка данных из [6] по коэффициентам агрегирования и средним диаметрам включений для здоровых и больных лиц дает значение для глубины потенциальной ямы е«в = 0, 2595 ± 0,0085 дин • см, а также оценку Ка®г/ (1 + Аа)3 ~ 1.
В операторе Фоккера—Планка 'уге® представим в виде суммы -у0 и -у', где -у0 — значение -уге® при нулевых значениях пульсаций случайных переменных; тензорные коэффициенты Си и СЗ найдем из условия удовлетворения нашего стохастического уравнения (1) равновесному (наиболее вероятному) решению. Тогда
и
ДО
й° - Н°рУ - Ьр^ (П х ад + ^пЛад хУ) + ^ V х В,
7р
0 Пе°ер
Рр
)1 ПО
ад н-V • Н—— (£ + »хВ) + І*1 в ,
7р Рр
Ор ^р ^Єр
і» = И24"<
За 2 о/о
с ^ \ ^ = 1 + 0,158 Ке2/3,
а +1 rotад
/р = -/срШрйр, С(П) = ^егх(ег.П), ад = г>(-г>р, V = u-vl
ш — шр
= 2 го^Р’
pf і рр — ад, = г> Н—-г;р .
РР
В основе этих выражений лежат результаты, полученные в [11, 14, 16]. Здесь ^ = Є7f и 7f — плотность и табличная плотность плазмы крови, ^р = Є7р и 7р — кажущаяся и «истинная» плотности взвешенной фазы, плотность крови р = pf + рр, среднемассовая скорость крови ^^ + рр^р)/р, ^ и ^р —среднемассовые скорости фаз, 6р — коэффициент (различный у разных авторов [11]), Е и В — векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции, є = 1 — с — «пористость» крови, число Рейнольдса И.е = гітойр/^, V — кинематическая вязкость плазмы крови, —характерная скорость обтекания форменных элементов крови, ар = у/2к0/тор — наиболее вероятная
2
р
и
0
скорость включений, Кс £ [1,оо)—коэффициент стесненности [11], I = 0,15л/1//с — 1
при Ие € [0, 2; 2000), а иначе I = 0, П —тензор напряжений в несущей фазе, аэродинамический коэффициент формы ^>а = 1,187/ ^ (15, 385/с) при Ие < 0, 2 и <^>а = /с-0’9 при 11е (Е [0, 2; 2000), а ~ 4,4 — отношение вязкости внутри форменных элементов к сдвиговой вязкости плазмы, д и к — ускорение сил тяжести и орт, направленный против этих сил, еI — координатные орты, п ~ 0 — тензор моментных напряжений в плазме крови, дт — объемно распределенные пары сил. Для движущейся крови = ар, т. е. Ие = Иер. При вычислении СОЭ = |ад|, Ие ^ 1 и Af = 1 с хорошей степенью точности. Сила Бассе Рв не известна, хотя и важна при отношении рf/7р, близком к единице. Для оценки можно воспользоваться модификацией формулы из [16], учитывающей, как в [14], несферичность частиц путем факторизации эффекта:
С а и Сн — эмпирические коэффициенты (см. [16]). В модели К. М. Чена коэффициенты С а и Сн равны единице. При квазистационарном течении гидровзвеси силой Бассе можно пренебречь. Кровь — концентрированная гидровзвесь, в которой гидродинамическое сопротивление велико из-за стесненности обтекания включения. Это позволяет
мися, что существенно упрощает задачу. Момент инерции любой частицы 1а = /р
Теперь остается выписать тензорные коэффициенты, входящие в оператор Фоккера—Планка. В рамках принятой постановки
где I — единичный тензор. Тензор Бш = 0, а тензор Би описывает упругие или псев-допластические свойства стромы, предельные напряжения сдвига, структуру частиц и т. п. В частности, если форменные элементы моделируются упругой средой, то тензор Би содержит член сТри/р, где Тр11 —тензор упругих напряжений в частице. Тензор Т^Г напряжений в строме добавляется с весом сНЇГє/р, где с^Г —доля объема, занятая стро-мой, а произведение с^Гє — вероятность попадания точки в объем, занятый стромой, но не занятый форменными элементами крови, с + є + енїГ = 1. При полученном решении для тензорных коэффициентов оператор Д/ преобразуется к виду
3. Уравнения гемодинамики. Они получаются из стохастического уравнения (1) умножением на аддитивные инварианты с последующим интегрированием по всем случайным переменным, кроме г, и суммированием с соответствующими уравнениями гидродинамики несущей фазы. При этом среду в целом (цельную кровь) можно считать односкоростной, пренебрегая существенно малым вкладом в напряжение за счет разности скоростей фаз, что a priori оценивается по скорости минимального псевдоожижения
tVf
надеяться на возможность пренебрежения членом Fв в и0 по сравнению с остающи-
и СОЭ, а затем проверяется по формуле для разности скоростей фаз [9—11]. Уравнения для внутренней энергии несущей (плазмы крови) и взвешенной фаз исключаются
из рассмотрения в силу постоянства температуры. Аддитивными инвариантами столкновения форменных элементов являются их массы, импульсы, объемы, полные (для нашей модели — кинетические) энергии и полные моменты количества движения. В силу интегральной леммы [12] вклад в уравнения переноса за счет оператора Jagr отсутствует. Поэтому основная система уравнений гемодинамики имеет вид
g + v.„„> = 0, ^ = v.(^»)= о, и
dv
P^ = -pVU + V-U, (3)
p^~jf=0’ Пр (rn)+С(П) = 0, (4)
д B
— + V • («В - Bv) = vm Д В, V • В = 0, (5)
где приняты следующие обозначения: U — потенциал внешних сил, vm = 1/ (4па*),
П = Ilf + Пр — ^f/3p ww , М ~ ^ dpiotv , т = /р£ ш, р 8 р
пр = j fdj, пр{ф) = J (pf d~/, ^ + v ■ V , 7Гр ~ О,
В2 I DD
Пр = п*п + п* + п^т + Ррви + Па«г - — + — ,
а* —удельная электропроводность крови. Через П[к1П, Пф, npsym и npgr обозначены кинетическая, потенциальная, антисимметричная части и часть тензора напряжений внутри взвешенной фазы за счет агрегирования. Запись (4) основана на приведенных выше оценках. Обычно электромагнитные поля слабы. В односкоростном приближении кроме интеграла M = const имеем еще и интеграл движения рр/р = const.
Известные из термодинамики [18] связи между удельными теплоемкостями ср и ер при постоянном давлении и постоянном объеме термодинамически неидеальных сред приводят к отношению дифференциалов давления рр и плотности включений вида
1|ПРр = h, h = hp fl + c-^- ln^V Ф = 1 + 4cx {-ГЦ~Г- ~ “p), К = 1 + —.
d ln рр дс J V 1 + kp J jp
Исходя из анализа, проделанного в [13] для газов большой плотности, что в нашей задаче соответствует большим значениям объемной доли включений, можем записать
гг у /МрУ1 (dp\3\
иа/3 = ИП1 еа/з< —!- - —!- >, ар = £ —=г- •
Yl^~ 1ЛГав/ J ) k0
Поскольку глубина потенциальной ямы еар — физический параметр, а не параметр аппроксимации, за еар разумно взять приведенное выше значение. Усреднение h по с £ [0, cmax] приводит к адиабате, которая соответствует минимуму интегральной квадратичной невязки (см. [11]) точного и приближенного уравнений для dpp/dpp:
p h Pcmax
-^-= const, heff = hp{l + lnV>(cmax)}------------ Ыф dc, pp = р°ф{с) ,
Ppe cmax J0
где pp = 0, 5ppap = npk0, np — числовая плотность форменных элементов, jp — число возбужденных степеней свободы у включения. Если эритроцит содержит одну молекулу гемоглобина, то jp £ [3; 6], если две, то jp £ [3; 7], если три, то jp £ [3; 10], а если четыре, то jp £ [3; 17]. Приближение термического уравнения состояния взвешенной фазы аналогом адиабаты Пуассона исключает из рассмотрения уравнение переноса энергии хаотического движения включений, что соответствует оптимизации этого уравнения в смысле [11] по сечению или объему участка сосуда. Последнее обстоятельство и изо-термичность цельной крови позволяет считать ее баротропной и даже политропной:
p/p”m = const, nm = e0hf + c0heff, hf = 1.
Здесь p — давление крови, eo и co — значение «пористости» крови и объемной доли включений в точке траектории, hf —показатель политропы плазмы.
Дифференцирование по времени уравнения (2) и применение оператора дивергенции к (3) приводит к акустическому уравнению относительно ln р:
J^lnp-V-(a2Vlnp) = -V- Qv-(n+pl)), a2 = J = (£ohf + c0h) (6)
если учесть, что p = ep + cp. Вычисления упрощаются при h ^ heg.
Систему(2)-(5) уравнений гемодинамики следует дополнить уравнениями для разности скоростей фаз [9], числовой плотности и объемной доли включений:
(7Р-7f)(3er + 3)d2 f dv\ (7P-7t)(3cr + 3)d2
w =----------------------— [ok + — =----------------------— V • П, (7)
18цRe KcAf (3a + 2) V dt J 18ц<^>aRe KcAf (3a + 2)р
^ + V • (npv - Dp) = Дпр, Дпр = -ф= apap (n°pnp - n2) , (8)
+ V .(cv-Dc)= 0, Dp = -Jvfdj, Dc = —tp J xVf dj, (9)
где Dp и Dc — векторы диффузии и «диффузии» объемной доли включений. По [6] у лиц, больных раком, np ^ 2,0 • 108 см-3, т. е. меньше нормы. СОЭ из-за медленности опускания частиц вычисляется по (7) при Re1 Af = 1 и
( R2 IBB ^ и
V . П = Рф + V {„рв- - — + — + П-}, = ^ д„р/,
Hp — коэффициент сдвиговой вязкости включений. К системе (2)—(5), (7)—(9) нужно, подобно [11], присоединить уравнение для функции распределения форменных элементов по объемам и массам, но для наших целей оно не потребуется.
В пространственно однородном случае уравнение (8) становится логистическим [19]. Его решение можно найти в [19]. Числовая плотность np ^ np при t ^ то.
4. Замыкание системы уравнений гемодинамики. В отличие от газовзве-сей [11], полное замыкание уравнений переноса в гидровзвесях невозможно из-за отсутствия кинетического описания несущей фазы. На практике эту проблему обходят введением зависимости коэффициента вязкости гидровзвеси от скорости сдвига 7. В нашей постановке все аналогичные зависимости для цельной крови устанавливаются решением стохастического уравнения (1), тем самым моделируя влияние разности скоростей фаз и энергии хаотического движения включений на движение среды в целом.
Для достаточно крупных кровеносных сосудов И,е = 100 ^ 5800 [3]. Для них
П
— = СО!^ , р
а также значения тр и тр постоянны вдоль траектории жидкой частицы.
Для артерий, артериол, вен и венол И.е = 0, 01 ^ 10 [3]. В этом случае нужно учитывать и вязкие свойства крови, а также самодиффузию [11] в векторах _Ор и _Ос. С уменьшением диаметра сосуда возникает необходимость учета тензора ррВ“. Коэффициенты сдвиговой (р) и объемной (к) вязкостей цельной крови имеют вид
где выражения для р^э и получаются из приведенных в [11] добавлением в знамена-
теле к члену (1 + £р), учитывающему влияние гидродинамического поля на коэффициенты переноса во взвешенной фазе, поправки ёр за счет многочастичных столкновений и делением сдвиговой вязкости р^, вычисленной по модели Больцмана, на множитель Ху , учитывающий эффект континуальной полидисперсности включений, где
В векторах самодиффузии производится аналогичная замена. Впервые эффект влияния распределения включений по объемам на коэффициенты переноса примеси отмечен в [20]. Следует отметить, что в монографии [11] допущена опечатка в коэффициенте кр: пропущен знаменатель (1 + ёр) под рр.
Для еще более мелких сосудов нужно в тензоре напряжений Пр учесть поправку более высокого порядка малости — поправку Барнетта. Качественно она соответствует получаемой в приближении Барнетта для плотного газа указанной выше заменой рВ
Диаметр капилляра либо меньше, либо порядка йр [3]. Поэтому можно пренебречь энергией хаотического движения примеси, т. е. в них П^1П, Пф, Пр8ут, _Ор и _Ос равны нулю.
В случае степенной жидкости £ (^р71) = |^р71”/2, где п = Ь (рр/р)°, а = 0, 970, Ь = 0,185. Радиус корреляции при регрессионном анализе г = 0, 99991.
5. Граничные условия на стенке сосуда. Общие условия скачкообразного ти-
па [11, 19] для признака ф имеют вид [вф + ап] = 0, где в — скорость движения границы по среде, ап —проекция поверхностных воздействий на поверхность с нормалью п, [... ] — символ скачка. Из них следуют условия скольжения форменных элементов и скачка их энергии хаотического движения на стенках сосуда [9, 11], а также условие п • (П — ) =0 на непроницаемой поверхности, где —тензор напряжений внутри
стенки сосуда, записанный на границе с движущейся кровью.
6. Заключение. Важным преимуществом стохастических моделей является возможность построения иерархии реологических соотношений в зависимости от диаметра сосуда путем приближенного решения стохастического уравнения (1).
57Г (1 + кр)2 к{/В,ер р^
8а/2 (6 + 13кр) с\ 7р ’
1. Бабский Е.Б., Зубков А. А., Косицкий Г. И. и др. Физиология человека. М.: Медицина, 1966. 656 с.
2. Парашин В. Б, Иткин Г. П. Биомеханика кровообращения. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005. 224 с.
3. Левтов В. А, Регирер С. А., Шадрина Н. Х. Реология крови. М.: Медицина, 1982. 272 с.
4. Лосев Е. С., Нетребко Н. В. Моделирование реологичнского поведения крови в нестационарных сдвиговых течениях // Изв. АН. МЖГ. 1995. №6. С. 25-30.
5. Гидродинамика кровообращения / Под ред С. А. Регирера. М.: Мир, 1971. 269 с.
6. Ганцев К. Ш. Гемореолгия у больных раком толстой кишки. http://im.mtometeo.ru/ Vestnik/6/article-2004-04-02. 6 с.
7. Реология крови и микроциркуляция // Современные проблемы биомеханики. Вып. 9. М.: Научный совет РАН по проблемам биомеханики, Общество биомехаников, 1994. 138 с.
8. Цибаров В. А. Кинетика и гемодинамика крови. I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 101-107.
9. Фомина О. Н., Цибаров В. А. Гемодинамика отрезка сосуда // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 179-189.
10. Нагорный С. С, Цибаров В. А., Цой С. В. Вязкость крови как неньютоновской среды // Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: «ВВМ», 2005. С. 394-398.
11. Цибаров В. А. Кинетический метод в теории газовзвесей. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. 192 с.
12. Цибаров В. А., Цибарова Е. В. Сохастическая модель сложных сред // Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. С. 90-111.
13. Долидович Н. Ю. Влияние давления на коэффициенты вязкости азота и углекислого газа // Всероссийский семинар по аэрогидродинамсике: Тезисы докладов. СПб.: Санкт-Петербургский государственный университет, 2008. С. 57.
14. Разумов И. М. Пневмо- и гидротранспорт в химической промышленности. М.: Химия, 1979. 248 с.
15. Петров Д. А., Цибаров В. А. Стохастическая модель взвеси пыли и капель во влажном воздухе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 4. С. 38-46.
16. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами. М.: Мир, 1975. 378 с. (R. G. Boothroyd. Flowing gas-solids suspensions. London, 1971.)
17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М.: ГИФМЛ, 1958. 206 с.
18. Базаров И. П. Термодинамика. М.: ГИФМЛ, 1961. 292 с.
19. Дулов В. Г., Цибаров В. А. Математическое моделирование в современном естествознании. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 244 с.
20. Петров Д. А. Течения вращающихся газовзвесей: Автореф. канд. дисс. СПб., 2008. 15 с.
Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.
