Стохастические модели и методы анализа работоспособности объектов судового электрооборудования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.856: [629.5.06:621.3]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОБЪЕКТОВ СУДОВОГО ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ

Г.А. Пюкке, С.О. Федоров

Камчатский государственный технический университет, Петропавловск-Камчатский, 683003

e-mail: imfedr@gmail.com

Предложенный в работе метод основан на использовании стохастических моделей, построенных методом исключения варьируемых параметров. Рассматриваемая методика дает возможность выполнения текущего регулирования и обслуживания оборудования по реальному техническому состоянию. Предлагаемая методика включает предварительную оценку величин интервалов изменения параметров составляющих компонент на основе анализа статического и динамического режимов работы устройства. Использование операций интервальной арифметики предусматривает нахождение интервалов параметрического регулирования. Процесс деградации системы моделируется на основе марковского случайного процесса с использованием матричной формы уравнения Чепмена-Колмогорова [3]. Это дает возможность проследить процесс деградации системы и выполнить упреждающее регулирование.

Ключевые слова: диагностический признак, стохастическая модель, регулярная модель, вариация, регулируемый параметр.

Stochastic models and operability analysis of ship electrical equipment units. G.A. Pjukke, S.O. Fedorov (Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatsky, 683003)

The proposed method is based on the use of stochastic models constructed with elimination approach of variable parameters. This method allows to make current adjustment and equipment maintenance of the equipment according to the actual technical condition. The proposed method includes preliminary estimation of interval range of parameters change composing the component based on the analysis of static and dynamic modes of operation. The use of interval arithmetic operations provides for finding intervals of parametric control. The process of system’s degradation is modeled basing on Markovian process with the use of matrix form of Chapman-Kolmogorov equation. It allows to observe the process of system’s degradation and to perform an anticipatory control.

Key words: diagnostic attribute, stochastic model, regular model, variation, adjustable parameter.

Стохастические модели используются при условии зависимости численных значений параметров компонент от большого числа факторов, трудно учитываемых при анализе, и являются вынужденной мерой. При многофакторном воздействии внешней среды изменения физикохимических свойств компонент, сопровождающиеся накоплением новых физических свойств во времени, носят необратимый случайный характер. Если оценивать параметры компонент по вероятности принадлежности установленному интервалу работоспособности, то эта вероятность со временем будет убывать. В качестве основного показателя надежности можно выбрать вероятность безотказной работы P*(t)(1), определяющей зависимость изменения вероятности сохранения параметра в заданных пределах от времени:

Р *(t) = 1-(m / No), (1)

где P*(t) - статистическая вероятность безотказной работы компонент; m - количество компонент, параметры которых вышли за допустимые пределы за время t; N0 - количество компонент, работоспособных в начальный момент времени. Законы изменения P(t) могут быть различные в зависимости от характера отказа и типов составляющих компонент [1]:

P(t) = e-X - при наличии внезапных отказов;

P(t) = F[(T0 — t)/o]/(T0 /о) - при наличии постепенных отказов;

P(t) = exp[(— t2 )/2о2] - для описания процессов старения, и др., где X - интенсивность отказов или статистическая интенсивность отказов X* = Am / [(N0 — m)At], где Am - разность между количеством компонент, отказавших к моменту времени (t + At), и ко-

личеством компонент, отказавших к моменту времени t; о - среднеквадратическое отклонение; Т0 - средняя наработка до отказа. Постепенным отказам предшествуют закономерные изменения, подчиненные тем или иным статистическим законам распределения, это дает возможность прогнозировать время возникновения отказа. При внезапных отказах происходит латентное накопление внутренних противоречий, которые трудно наблюдать по внешним признакам. Из основных компонент электронных схем постепенные отказы характерны для полупроводниковых приборов (70-80%), для конденсаторов и резисторов характерны внезапные отказы (70-80% для резисторов, 90-93% - для конденсаторов), для трансформаторов, дросселей и реле постепенные отказы составляют 50-60% [11].

Теоретическая оптимизация электрооборудования на максимум работоспособности с использованием многомерного интеграла

Р j (t) = Pj (У j min ^ yj (t) ^ yj max ) = j j • • • j f (X1 > X2 > • • • > X > • • • > Xm ,t) dxi dx2 ■■■ dxm (2)

Gj

сопряжена с трудностями, связанными с проблемой аналитического представления совместной плотности вероятности через двумерные плотности вероятности по составляющим. В работе [4] показано, что для гауссовских и марковских процессов га-мерные плотности вероятности могут быть выражены через двумерные плотности вероятности, что может быть использовано при решении частных задач. Предлагаемая методика параметрической оптимизации базируется на данных о характере изменения первичных параметров объекта регулирования при его эксплуатации. Дрейф параметров составляющих компонент во времени происходит под действием совокупности случайных факторов как внутренних, так и внешних. Это дает право утверждать, что изменения параметров описываются некоторым нестационарным, случайным процессом X(t).

В начальный момент времени эксплуатации закон распределения случайной величины параметра может быть определен по данным о технологическом разбросе параметров составляющих компонент. Характеристики закона распределения являются детерминированными функциями времени. M{X(t)} = var; M{[X(t) - M{X(t)}]2}= var. Для характеристики процесса дрейфа первичных параметров при отработке методики покомпонентного регулирования достаточно выбрать в качестве характеристик процесса следующие величины: математическое ожидание

x

Mx (t) = M[X(t)] = j xf1x (x, t) dx, где X(t) - непрерывная функция; f1x (x, t) - одномерная плот-

- x

ность вероятности; Mx (t) - математическое ожидание, определяемое при каждом значении параметра t по совокупности выборок x, корреляционная функция:

Ъ (¿1 , к) = м[№) - ад)>{ вд - м^)}] =

да да

= | | [Х1 - Мх(^)] [Х2 - Мх(^)]¡2х (XI , Х2 ; ¿1 , г2) йх1 йх2 , (3)

—да —да

где /2х (х1 , х2; г1 , ¿2) - двумерная плотность вероятности, или нормированная корреляционная функция гх (¿1 , г2) = Ях (¿1 , г2) / ох (¿1) ох (¿2), где ох (¿1), ох (¿2) - среднеквадратические отклонения в сечениях г1 и г2 процесса. Дисперсия Дх(г) и ах(0 находятся по известным Мх(г) и Ях(г1, ¿2). Следует отметить, что в общем случае при регулировании по совокупности т компонент, характеризуемой системой т случайных функций (Х1(г), ..., Хт (г)) достаточно располагать вектором математических ожиданий (Мх1(0... Мхт(г)) и корреляционной матрицей:

R11(t1, ^2 ) ' R12 (t1, ^2 ) ' • • • ' R1m (t1,12 ) R21(t1,12 ) ' R22 (t1,12 ) ' • ' R2m (t1, ^2 )у

(4)

Изменение характеристик случайного процесса во времени приводит к смещению интервалов вероятности текущего состояния объекта регулирования относительно допустимых интервалов работоспособности, рассчитанных при анализе статического режима и технических параметров объекта методами решения интервальных уравнений [8]. Случайная величина первичного параметра G (при фиксированном времени t = const) связана функциональной зависимостью со случайной величиной регулировочного признака Т посредством уравнений модели:

T =9l(G15G2,..., Gm);

T2 =92(G1. G2> Gm );

При покомпонентном регулировании система (5) преобразуется в систему (6) согласно рассмотренной в работе [1] методике построения диагностико-регулировочной модели:

T = Ф] G); T2 = ф21)(G1);

T = ф12) (G2); T2 =ф22)(Gi); (6)

Ti = ф(т)(Gm); T2 =ф2m)(Gm).

Плотность вероятности регулировочного признака ^ при фиксированном времени г = ¿1, выражается через плотность вероятности первичного параметра /с системой соотношений:

/И (Т) = /с [(ф(1) (Т))—1 ] к [ф^ (Т)]—1 / ^ I;

f $ (Ti) = /g2[(ф(2) (Ti)) 1 ] |^[ф(2) (Ti)]-х/dTi\; fTPm) (Ti) = /Gm [(ф(т) (Ti ))-1 ] Id[ф(т) (Ti )]-1 / dTJ;

(7)

fT2 (T2) = /gi [(ф2i) (T2 ))-i ] |d^(2i) (T2 )]-i / dT21; fT2 (T2) = /g2 [(ф22) (Ti ))-i ] к[ф22) (T2 )]-i / dT21;

fTm] (T2 ) = Um [(ф2m) (Ti ))-i ] \dW2m) (T2 )]-i / dT2 | .

Предлагаемая методика включает предварительную оценку величин интервалов изменения параметров составляющих компонент на основе анализа статического и динамического режимов работы устройства. Допустимые границы изменения параметров отдельных компонент обычно неизвестны, их определяют на основе статистических характеристик по паспортным данным за-вода-изготовителя. Однако этих данных недостаточно для выполнения процедуры параметрической оптимизации, так как такой подход характеризует каждую компоненту в отдельности и не учитывает топологию всей схемы, то есть характера соединения элементов цепи. Это снижает точность и адекватность регулировочной модели и метода оптимизации, а также достоверность диагноза при оценке работоспособности и решении других задач технической диагностики.

Анализ статического режима выполняется при подаче рабочего питания на объект регулирования. Определяются допустимые границы изменения параметров компонент при условии допустимых напряжений, токов и мощностей рассеивания каждой компоненты в режиме покоя. Следует отметить, что задание границ регулирования двухполюсных компонент эквивалентной схемы объекта регулирования, исходя из точности параметров электрической цепи, заданных разработчиками, не обеспечивает адекватности реальному объекту. Это объясняется теми же причинами: определенные статистическими методами допустимые погрешности отдельных компонент не учитывают топологические особенности схемы и влияния особенностей соединения компонент на основные характеристики схемы, которые задают область регулирования величин отдельных компонент.

Для определения границ регулирования используется следующая методика: на основе предварительно построенных топологических матриц объекта регулирования и основного уравнения для потенциалов записывается соотношение:

Gузл = AGA ; G = drng(gl5g2, ..., gm); GузЛU0 = /0> (8)

где G^ - матрица узловых проводимостей; A - матрица инциденций; G - диагональная матрица проводимостей двухполюсных компонент; I0 - матрица - столбец суммы токов источников тока

и источников тока, преобразованных из источников ЭДС; U0 - матрица - столбец узловых напряжений.

В качестве первоначального приближения для системы интервальных значений параметров [g ¡mm, gi max], i = 1, га, входящих в коэффициенты уравнений системы (3) будем брать оценки границ производственного разброса параметров компонент, полученных вероятностными методами. Используя правила интервальной арифметики, вводим интервальные числа и записываем интервальную диагональную матрицу проводимостей структурных единиц:

GG = drng(ggi, gg2, ..., ggmX (9)

где gi принадлежит интервалу [gi mm, g, max].

Соотношения можно записать в форме интервальных уравнений:

GG^ UU0 = 110 ; AA GG AA*= GG^, (10)

где АА - интервальная матрица инциденций; GGузл - интервальная матрица узловых проводимостей; UU0 - интервальный вектор узловых напряжений; II0 - интервальный вектор источников тока. Справедливость перехода к числам и переменным в интервальной форме доказывается в рамках интервальной арифметики. Матрица GG^ вычисляется по правилам интервальной арифметики. Матрицы инциденций состоят из 0 и 1 и не требуют интервального описания, так как отражают только характер соединения двухполюсных компонент (с целью единообразия описания матрица инциденций называется интервальной и имеет интервальное обозначение).

Необходимо отметить особенности операций интервальной арифметики, которая предусматривает как обобщенные преобразования, так и обычные. Обобщенные преобразования (вычитание и деление) выполняются над интервалами, содержащими нуль. В силу того, что все интервальные числа и переменные не содержат нули (g > 0), можно использовать операции

обычной интервальной арифметики. Общепринятыми методами и на основе правил интервальной арифметики рассчитываются напряжения, токи и мощности рассеивания каждой двухполюсной компоненты цепи и проверяются условия включения полученных интервалов в допустимые пределы:

I IС Пд0п; UU С ШдоШ PP С РРдоп. (11)

При выполнении условий (11) интервалы параметров компонент могут быть увеличены в пределах допустимых значений при выполнении оптимизации, в противном случае их необходимо сужать.

Основная теорема интервальной арифметики показывает, что система линейных интервальных уравнений может быть решена методом исключения неизвестных (методом Гаусса). При этом решение возможно, если матрица коэффициентов системы является М-матрицей. Для электрических цепей это условие выполняется (матрица узловых проводимостей является М-матрицей, так как имеет неположительные внедиагональные элементы и ей соответствует положительная обратная матрица - матрица узловых сопротивлений). Более того, если цепь является линейной, а значит взаимной, то М-матрица является матрицей Стильтьеса.

Решая систему GG^UU = II0 итерационным методом Ньютона - Зейделя относительно уз-

n

ловых потенциалов, получают следующую систему уравнений: uuf+1 = ii0i+ ^ (yyij/yyii)uujk.

j-1,j *i

Компоненты вектора UU0 задаются константами АА = ((Е/2), Е), где Е - величина ЭДС источника питания цепи.

При проектировании и эксплуатации современных сложных систем электрооборудования актуальными становятся задача расчета надежности и проблема управления с учетом стоимости разработки, создания и эксплуатации устройств высокой работоспособности. Для повышения надежности обычно применяют дорогостоящие элементы и узлы или применяют резервирование, требующее дополнительных финансовых вложений. Поэтому чрезвычайно актуальными являются задача исследования надежности систем и умение управлять ею на всех этапах жизненного цикла системы [2, 6].

При эксплуатации устройств большое значение имеют задачи оптимальной стратегии обслуживания при проведении профилактических и ремонтных работ [5]. Традиционно при рас-

смотрении таких вопросов используют аппарат теории массового обслуживания, позволяющий проследить динамику работоспособности систем. При рассмотрении моделей надежности с «обслуживанием» используется возможность увеличения надежности эксплуатируемой системы за счет повышения интенсивности устранения дефектов. При таком подходе модель надежности полностью совпадает с моделью массового обслуживания, так как каждая обслуживающая единица может рассматриваться как прибор, обрабатывающий поток неисправностей в соответствии с очередью, имеющей свою дисциплину.

В инженерной практике часто надежность сложных систем определяют по безотказной работе в течение определенного отрезка времени. При нормальном законе распределения времени безотказной работы с дисперсией Д = о2 за время безотказной работы ¿тах обычно принимают величину tmax= (* + 3 оь где (* - среднее время наработки на отказ. При построении моделей надежности обычно сначала определяют статистические характеристики исходных данных, например гистограммы времен отказов и обслуживания [7].

Экспериментальные гистограммы обрабатывают на ЭВМ и аппроксимируют аналитическими соотношениями с применением критериев согласия. Чаще всего имеет место экспоненциальный закон обслуживания. Так, например, при появлении в системе одиночных, двойных, тройных и т. д. дефектов (чем выше кратность дефектов, тем реже они появляются и тем дольше их устранять) закон распределения времени обслуживания будет иметь плотность распределения близкую к показательной. Если каждая из попыток устранения дефекта выполняется с вероятностью Р, то вероятность того, что обслуживание закончится до момента времени t, равна:

^{Т’обсл < 0 = 1 - ехр(-цт), (12)

где ц - плотность потока успешных попыток.

Теоретической основой для описания процесса управления надежностью систем автоматизации может служить система уравнений Колмогорова

П П

ёрк^)М = Е 1гкрг (0 - (Е Хь)рк(0; к = 1, п; teT, (13)

I =1 I =1

i фк I фк

описывающая случайный процесс изменения состояний системы. Такой подход предполагает

градацию системы по (к = 1, п) возможным состояниям и определение для каждой пары со-

стояний («, «к) плотностей вероятности переходов Ху и Хцг.

Система уравнений вместе с начальными условиями определяет вероятности рк (0 как функции времени. При вычислениях для каждого фиксированного момента времени становится известным вектор вероятностей системы Р^) = (Р\^) Р2(0 ... Рп(0/.

При этом совокупность случайных событий в любой фиксированный момент времени t

п

должна образовывать полную группу, то есть Е рк« = ••

к=1

Вероятность перехода Рц из состояния « в состояние Бц за время Л запишется в виде:

Рц<) = 1 - ехр(-Хг<) = 1 - (1 - Ху</1! + (Ху<)2/2! - ... ) ~Хг< (14)

Вероятность остаться в том же состоянии:

П

Ргг <) = 1 - Е РЦ <)• (15)

3 =1 3

При построении модели надежности судового электрооборудования наиболее близким аналогом может служить модель одноканальной системы массового обслуживания (СМО) с простейшим потоком на входе и экспоненциальным временем обслуживания.

Как и ранее, для упрощения рассуждений полагаем, что поток отказов подчиняется пуассо-новскому закону распределения: ^(0 = 1 - ехр(-Хт); Х(0 = Х; Д0= Хехр(-Х); ^(0= ехр(-Х). При исследовании обслуживаемых систем в рассмотрение вводятся обратные переходы из нерабочего состояния в рабочее за счет ремонта с интенсивностью ц. Задается матрица вероятностей пе-

реходов:

J =

'к« 43 1 t dt 0 0

цdt 1 - (X + ^)dt t dt X 0

0 цdt 1 - (X + ^)dt Xdt

0 0 ^t 1 - - (X + ^)dt

(16)

Уравнения состояний могут быть получены из матрицы J в виде:

P(t + dt) = P(t)* J [P0 (t + dt)Px (t + dt).Pn (t + dt)] = [P0 (t)P (t).Pn (t)] * J

P0 (t + dt) = (1 - Xdt) P0 (t) + (t)

P (t + dt) = Xdt P (t) + (1 - (X + yC)dt) p (t) + ydt P (t) P (t + dt) = Xdt p (t) + (1 - (X + ^)dt) p (t) + ^dt p (t)

Pn (t + dt) = Xdt Pn-1 (t) + (1 - (X + ^)dt) Pn (t) + pdt Pn-1 (t)

После преобразований выделяется матрица интенсивностей переходов:

Г—X х о о ..

ц — (X + ц) х о

0 ц — (X + ц) X

о о ц — (X + ц) ..

d/dt(P0 P1P2...........) = (Po P P2.......)

(17)

(18)

При различных интенсивностях отказов и восстановления компонент, система уравнений состояний (19) формируется на основе графа состояний (рис. 1):

V

У

V

У

1 - hndt 1 - (Х12 + Цю)Ж 1 - (^23 + ^2i)di 1 - (^34 + ^32)di

1 Ця, n-1dt

^1odi Ц21 dt Цз2&

Рис. 1. Размеченный граф состояний системы

Ця, n-1dt

P (t + dt) = (1 - X0 jdt) P (t) + ц 0dt P (t)

P (t + dt) = X0jdtP0 (t) + (1 - (X12 + ц10)dt) P (t) + ц2dtP (t)

< P (t + dt) = X2jdtPj (t) + (1 - (X23 + ц21)dt) P (t) + ц32dtP3 (t). (19)

^Pn (t + dt) = X n—1, n dt Pn-1 (t) + (1 — ц n, n—1 dt) Pn (t)

После преобразований выделяется матрица интенсивностей переходов:

Г- А А

А01 А01

Ц10 — (А12 + Ц10)

ащр0 Р1р2.) = (р РР2...)*

А,

0

0

0

0

Ц 21 (А 23 + Ц 21)

0 ... 0

0 ... 0

А23 . • .0 . (20)

Ц

А п—1, п

п, п—1 Ц п, п—1

1 2

1

Рис. 2. Модель одноканальной системы массового обслуживания

Следует отметить, что для успешного решения комплексной диагностико-регулировочной задачи необходимо «увязать» в единую модель и выполнять по единой методике все манипуляции периода восстановления.

Для формирования модели надежности используем модель одноканальной СМО с ожиданием (рис. 2), состоящей из накопителя (1) и одного исполнителя (2) с потоком возникающих отказов (интенсивностью А) и потоком устраненных неисправностей (с интенсивностью ц). Исходные данные включают совокупность потенциально возможных

состояний системы N (Ы= 2т= Ст0 + + Стг + Ст2 + ...+ Стт, где т - количество структурных

единиц в объекте), граф состояний системы, построенный на основе правила отбора разрешенных переходов, операторы переходов А и ц.

Полный граф всех возможных состояний (рис. 3) включает совокупность подсостояний системы, каждое из которых объединяет отказы определенной кратности, соединенные операцией ИЛИ. В результате расщепления каждого из состояний = 1, т на подсостояния образуется система подграфов.

0

У

0

1, 2, т

1, 2

3, 4, ", т

1, 2, ", (т - 1) т

Рис. 3. Граф состояний системы с разрешенными переходами

2, 3.............т

Это дает возможность построить совокупность выборок, каждая из которых будет сочетать определенную последовательность состояний, в которые будет переходить система с течением времени. То есть имеет место конечное множество сценариев развития процесса изменения состояния системы. Для описания каждого из сценариев можно использовать типовой граф состояний в виде схемы «гибели - размножения». Тогда матрица вероятностей переходов системы может быть представлена совокупностью подматриц сценариев развития процесса во времени.

^ ::: :^(^:>й==^С^і^)

Ц10 Ц21 Ц32 Цп, п - 1

Рис. 4. Схема гибели - размножения

После выбора в графе пути регулирования можно построить граф состояний процесса гибели-размножения (рис. 4) и записать одну из подматриц развития процесса регулирования (21):

А =

0

— А А

А01 А01

Ц10 — (А12 + Ц10) А12

0

0

0

0

Ц 21 (А 23 + Ц 21)

0.

0

А23 .

0

0

0

А

Цп

Цп

(21)

которым соответствует однородная система линейных алгебраических уравнений относительно вектора предельных вероятностей состояний:

— А 01Р0(і) + Ц10Р1 (і) = 0,

А01Р0 (і) — (А12 ^ Ц10)Р1 (і) ^ Ц21Р2 (і) = 0,

А12Р1 (і) — (А23 ^ Ц21 )Р2 (і) ^ Ц32Р3 (і) = 0,

(22)

А

п— 2, п—1 Рп—2 (і) (А п—1,п + Ц п—1, п— 2 )Рп—1 (і) + Цп, п—1 Рп (і) _ 0

Ап—1,пРп—1 (і) — Цп,п—1 Рп (і) = 0.

Из полученной системы находятся компоненты вектора предельных вероятностей:

Р1 = [А 01 / Ц10 ]Р0 ;

Р2 = [А01А12 / Ц10Ц21 ]Р0 ;

Р3 = [А01А12 А23 / Ц10Ц21Ц32 ]Р0 (23)

и т.д.

Р0 = [1 + А01 / Ц10 + А01А12 ! Ц10Ц21 + А01А12А23 / Ц10Ц21Ц32..........] .

Если определен вектор вероятностей начальных состояний Ра системы в момент ґ = а и определена матрица 'к(ґ), то согласно матричному уравнению Колмогорова Р (ґ) = А(ґ) * Р(ґ), где Р(ґ) - вектор вероятностей состояния системы в момент времени ґ, приходим к задаче Коши для матричного уравнения Колмогорова:

Р (ґ) = А(ґ) * Р(ґ), Р(а) = Ра, ґ >а.

(24)

Если при этом матрицы А(0 и | А(т)аТ коммутируют при каждом фиксированном ¿, то реа

шение задачи Коши с использованием матричной экспоненты можно записать в явном виде:

і

Р(ґ) = ехр (| А(т)ёт) Р(а).

(25)

Тогда для марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем можно определить вектор вероятностей состояний Р(0 после любого количества этапов. В этом случае вектор вероятностей состояний:

ч

У

а

Р(') = (Рі(') Р2(і)... Рп('))'

(26)

определяет вероятности состояний системы в момент времени ?. А так как в любой фиксированный момент времени ? совокупность случайных событий образуют полную группу, то получим уравнение

і * р(о=£ Рк(о=і,

(27)

к=1

где I = (1..1) е М1п(К) - множеству матриц размера 1 х т с действительными коэффициентами.

Под плотностью вероятности перехода системы из состояния в состояние в момент времени ? будем понимать число

X„ (і) = Нш(Р7 (і; М)! Мі),

(28)

где Ру(?;А?) - вероятность того, что система, находившаяся в момент времени ? в состоянии £г-, за время А? перейдет в состояние 5/. Тогда с точностью до б. м. имеет место равенство:

Р^'.+ДЪ' ] = Л..Л',

1 і ^ у ’

(29)

утверждающее обладание свойствами условных вероятностей плотности вероятности перехода системы из состояния в состояние. В матрице ЦО диагональные элементы определены согласно тождеству:

Акк(0

£ М'), где 1к°(') = (Хкі(')...Хк,к-1 (') 0 Хк,к+і(Ґ)...'кк,п(Ґ))',

(30)

¡=1

іФк

то есть определены как суммарная плотность вероятности перехода системы из к-го состояния. При этом I * = 0. При машинной обработке информации используется матрица вероятностей

прямых и обратных переходов Р. Определение вектора вероятностей состояний в установившемся предельном режиме (эргодические цепи), в ходе которого система может переходить из состояния в состояние без изменений численных значений компонент вектора вероятностей состояний, выполняется при составлении и решении системы:

Рг (к)=£ Р} (—Р(і = 1, 2, ..., п),

(31)

3=1

при к ^ да, причем Е Р = 1. Здесь переход системы из одного состояния в другое осуществляется в некоторые моменты времени ¿1, ?2, • ••, 4, где к = 1, 2, ... - количество шагов воздействия матрицы переходных вероятностей РД4) = Рр(к) на текущий вектор вероятностей состояний системы.

Например, для трехкомпонентной системы, имеющей восемь возможных состояний, в каждом из которых система может находиться с определенной вероятностью (рис. 5), и имеющей квазидиагональную матрицу вероятностей переходов Р, можно записать шесть подматриц, соответствующих шести сценариям развития процесса: (5051 5457);

(ад ад); (ад ад); (ад ад);

(ад ад); (ад ад).

Весь период эксплуатации можно представить как совокупность повторяющихся интервалов (рис. 6), где ?1 -среднее время постановки диагноза; ?2 - среднее время регулирования и восстановления; ?3 -среднее время работоспособного состояния; Гвост - период восстановления.

Рис. 5. Граф состояний трехкомпонентной системы

Рис. 6. Этапы контрольно-восстановительных работ и эксплуатации объекта

Необходимо отметить, что приведенная модель и примеры ее реализации отражают общие тенденции развития процесса деградации систем. Характер этих процессов полностью определяется величинами коэффициентов стохастической матрицы РР. Для использования модели в качестве основы для разработки методики диагностирования необходимо наличие конкретной информации об объекте диагностирования. Поэтому полученную марковскую модель необходимо скорректировать. Корректировка выполняется на основе модели, полученной методом исключения варьируемого параметра, которая описана в работе [1].

Литература

1. Пюкке Г.А., Портнягин Н.Н., Кузнецов С.Е. Диагностирование электрических цепей методом изовар // Изв. вузов. Электромеханика. - 1998. - № 1. - С. 35-40.

2. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975. - 648 с.

3. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1988. - 335 с.

4. Синтез линейных электрических и электронных цепей / П.А. Ионкин, Н.Г. Максимович,

B.Г. Миронов, Ю.С. Перфильев, П.Г. Стахив. - Львов: Высшая школа. Изд-во при Львовском университете, 1982. - 312 с.

5. Блинов Э.К., Розенберг Г.Ш. Техническое обслуживание и ремонт судов по состоянию: Справочник. - СПб.: Судостроение, 1992. - 189 с.

6. Лурье О.Б. Интегральные микросхемы в усилительных устройствах. Анализ и расчет. -М.: Радио и связь, 1988. - 176 с.

7. Айзинов С.Д., Белавинский А.Ю., Солодовниченко М.Б. Комплексная оценка надежности судовых радиоэлектронных средств // Эксплуатация морского транспорта. - СПб.: Наука, 2003. -

C. 242-247.

8. Выбор информативных параметров при контроле качества изделий электронной техники / Д.В. Гаскаров, В.И. Попеначенко, С.А. Попов, В.И. Шаповалов. - Л.: Общество Знание, 1979. -32 с.