Стохастическая модель реконструкции инклюзивного распределения, характеризующего экономическую структуру общества Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 330.42:519.24 ББК 65в 631 Б 37

Бегларян М.Е.

Кандидат физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин Северо-Кавказского филиала Российского государственного университета правосудия, Краснодар, e-mail: rita_beg@mail.ru

Стохастическая модель реконструкции инклюзивного распределения, характеризующего экономическую структуру общества

(Рецензирована)

Аннотация. Целью настоящей работы было построение на базе алгоритма самоорганизованной модели нелинейной динамики раскрыть механизм реконструкции инклюзивного распределения и показать его прямое влияние на экономическую структуру общества. Предложенная стохастическая модель реконструкции инклюзивного распределения устанавливает условия достижения той или иной экономической структуры общества. Условие паритетности, или другими словами, принцип экономической демократии, который является ключевым местом в понимании сути и инвестиционной привлекательности финансово-экономического механизма, заключается в том, что впервые появляется возможность осуществления такой инвестиционной политики, когда льготы становятся принципиально безопасными для национального бюджета. В рамках такой экономико-математической парадигмы инвестиционной политики государства, основанной только на необходимости и достаточности выполнения условия паритетности, немедленно получает ясное семантическое содержание и четкое математическое оформление так называемое балансовое уравнение, решение которого в зависимости от значений основных параметров данного инвестиционного проекта определяет величину «безопасных» налоговых льгот, предоставляемых инвестору государством. Эти налоговые льготы действительно безопасны для государственного бюджета, потому что указанные налоговые отчисления и потери инвестора являются незапланированными государственным бюджетом дополнительными источниками доходных поступлений в национальный бюджет страны. Это паритетное правило рассматривается как базовый алгоритм, и на его основе строится экономико-математическая модель определения оптимальных размеров налоговых льгот для инвестиционных проектов, которая обеспечивает нулевые потери расчетных налоговых виртуальных поступлений в бюджет государства.

Ключевые слова: эконофизика, экономико-математическая модель, инвестиция, парадигма, балансовое уравнение, нелинейная динамика.

Beglaryan M.E.

Candidate of Physics and Mathematics, Professor, Head of Department of the Humanities, Social and Natural Studies, the North Caucasus Branch of the Russian State University of Justice, Krasnodar, e-mail: ri-ta_beg@mail.ru

Stochastic model of reconstruction of inclusive distribution, characterizing economic structure of the society

Abstract. The aim of the given work was to form a self-organized model of nonlinear dynamic on the basis of the regarded algorithm, which would allow us to discover the mechanism of reconstruction of inclusive distribution, characterizing economic structure of the society. The proposed stochastic model of reconstruction of inclusive distribution, characterizing economic structure of the society, specifies the conditions for reaching one or other economic structure of the society. The factor of equal share, or in other words the principle of economic democracy, which is central to the understanding the essence and the investment attraction offinancial economic mechanism, consists in the fact that for the first time there appears an opportunity to implement such investment policy, when benefits become principally safe for the national budget. Under such economic mathematical paradigm of the investment policy of the state, which is based only on the necessity and sufficiency of the fulfillment of equity conditions, the so-called balance equation, whose solution depending on the value of the basic parameters of the given investment project determines the value of "safe" tax concessions, made available to the investor by the state, gets immediately clear semantic content and mathematic appearance. These tax concessions are in fact safe for the national budget, because the given taxes liabilities and the investor's losses are non-planned additional sources ofprofit incomes into the national budget of the country. This rule of equity is regarded as the basis algorithm, and the economic mathematical model of the determination of the optimal amount of tax concessions for investment projects, which provides for zero losses of expected digital tax receipt into the state budget, is formed on its base.

Keywords: econophysics, economic mathematic model, investment, paradigm, balance equation, non-linear dynamics.

Введение. Эконофизика - это возможность приложения физики и математики в экономике. Нет необходимости прокладывать четкую границу между экономикой и эконофи-зикой. Эконофизика может исследовать биржевые ряды, строить математические модели макроэкономических и микроэкономических процессов. Экономика - это живой, разви-

вающийся организм, с которым хорошо согласуется теория диссипативных систем. Можно говорить о том, что экономика нормально вписывается с систему естественных наук. Законы физики так же объективны, как и законы экономики. Это важно для построения экономико-математических моделей.

Рассмотрим экономическую структуру общества (ЭСО) как распределение элементов, под которыми можно понимать семью или объединение нескольких членов общества, по принадлежащим этим элементам материальным благам, которые в экономике принято называть ликвидными накоплениями.

Основная цель работы - это построение экономико-математической модели, которая связывает реальные инвестиции с величиной предоставленных налоговых льгот при обязательном условии абсолютной безопасности для национального бюджета страны. Разработан реальный финансово-экономический механизм, основанный на полной паритетности участников инвестиционного процесса «инвестор-государство», далее полученные результаты использованы для реконструкции экономической структуры общества [1].

1. Экономико-математическая модель активизации инвестиционного процесса

В качестве критерия оценки инвестиционной привлекательности проектов используем критерий внутренней нормы прибыльности БРЯ, использующийся при разработке бизнес-планов для расчета норм дисконта и, соответственно, потоков платежей [2, 3]. Выбор именно такого критерия обусловлен тем, что, как известно из практики, применение одного из трех других известных критериев (чистая дисконтированная прибыль ЫРУ, индекс прибыльности РУ, срок окупаемости РВ) при тех же выходных данных не приводит к заметной разнице инвестиционной привлекательности проектов. В частности, фактически такой же точки зрения придерживаются авторы работы [4].

Известно, что сумма главных налогов Анал складывается из налога на добавленную стоимость НДС и налога на прибыль ПБ:

Анал = ПДВ + ПБ = кНдсВД + кПБВП, (1)

где ВД (валовой доход) и ВП (валовая прибыль) представляют собой базовые части бюджета, которые подлежат налогообложению; кНдС=1/6 и кПБ=0,3 - расчетные коэффициенты на эти налоги.

В силу паритетного правила налоговая компенсация со стороны государства должна равняться АI - объему потерь инвестора, тогда ее можно записать в виде такого математического равенства:

А / = Го ■ I + ■ С + Го • dRe-(1 - к пб )■ ВП-XI, (2)

где С - себестоимость; d152 - итоговая часть себестоимости на налоговые отчисления на себестоимость (соцстрах и др.); I - объем инвестиций; г0 - средняя депозитная ставка банка страны инвестора; dRe - ставка реинвестирования; X - коэффициент амортизационных отчислений.

Тогда очевидно, что уменьшение величины налогов Анал на величину объема потерь инвестора А1 можно выразить как через коэффициент снижения налогов к®:

Анал - АI = к®Анал , (3)

так и через обязательный для любого инвестиционного проекта льготный коэффициент кСЭЗ:

А,

кСзз = . (4)

под

Вследствие равенства (3) и (4) следует очевидное равенство

к® = 1 - кСЭЗ . (5)

Подставим формулы (1) и (2) в (4) и все вместе в (5) в предположении, что dRe=0 (что

несущественно для изложения идеи модели):

^52 • С + (г0 -г)-1

к0= 1--152-—, (6)

® кндс • ВД + кПБ • ВП У )

с учетом того, что

ВП = (1 - к НДС )• ВД,

ВД = (1 + ёВсд\I, (7)

(где ^Сд=йрщ{ - ставка дисконта, которая равна внутренней ставке дохода (ВСД) аналогичного предприятия страны инвестора, но не меньше, чем декларированный в технико-экономическом обосновании показатель ВСД инвестиционного проекта), получаем из (6) следующую формулу для льготного коэффициента:

к - ^152С + (Г - Х\ 1 (8)

квэз ~Т, у Т, у 7 ГГ • (8)

|\ндс + кпв (' кндс (l + dвсд )' 1

Здесь следует отметить, что расчеты потоков финансовых средств проводились путем определения численного критерия финансового уровня возвращения собственного капитала (ЕЯЯ). При этом предполагали, что расходы на кредит (долговые услуги, включая проценты и очередные взносы (рассрочку) и др.), являются оттоком финансовых средств (затраты).

2. Самоорганизованная модель нелинейной динамики притока инвестиций

Математическое моделирование численных значений коэффициента снижения налогов в формуле (8) и соответственно кСЭЗ (см. уравнения (4), (5) и (8)) проводилось путем варьирования коэффициента ^152е[0;1] при разных постоянных значениях себестоимости С=кС-1, нормированных на величину предоставленных инвестиций I, и наоборот - при разных условиях варьирования нормировочного коэффициента кС е[0;1] при разных постоянных значениях й?152. И, наконец, все вместе: при постоянных значениях депозитной ставки банка страны инвестора г0=0,03 и при значениях показателя внутренней ставки дохода гипотетического природоохранного инвестиционного проекта dВСд100%=FRR=ВСД=25% [5].

Наиболее важным результатом моделирования было обнаружение нелинейной динамики поведения так называемого льготного коэффициента, характеризующего данный инвестиционный проект, который можно аппроксимировать следующей зависимостью [5]:

кВэз ~ лЩ, (9)

что приводит выражение (8) к следующему виду:

С - d152С +(г0 -Х\I

Л-1-1 -1-Г152 п ; V-• (10)

V 1 ) [кндс + кпв (1 - кндс ш1 + dвсд у1 + кпбс

Запишем балансовое уравнение с учетом закона Лаффера, в соответствии с которым валовая прибыль (страны) является возрастающей функцией от величины налога только тогда, когда интегральный налог от нее не превышает 33-34% [5]:

А под < АI + 3 ВП . (11)

Последовательно подставляя выражения (1), (2) и (7) в (11), получим

^52С - I [(1 - dВСД)[кнДС + (1 - кнДС )л \- (г0 - х)\-CЛ, (12)

где

Г] =

к пб 3 Г0 d152 (l к пб~)

(13)

которое в свою очередь подставим в (10):

■ 1 + ь + dвсд ){кндс ( - кпдв h - ro }]+ (ro - х)

л-(-]3 = -C 1+l (- h( .

V 1 J [кпдв + кпв I1 - кндс )]' 0 + dвсд h + kпбkC

пдв пв ндс

Убирая второй порядок малости в (14), получим

ндс ' кпб )h'[yj "(r0 - kндс - кпб ) =

c

(14)

(15)

Возвращаясь к обозначению kC = —, перепишем выражение (15) в удобном для даль-

нейшего изложения виде:

kC + a ^kC + b = 0,

где управляющие параметры a и b имеют вид:

a = -

ro-Х

л\кНДС + кПВ],

b =

1 - к - к

3 НДС ПБ

Л\кНДС + кПБ ]

(16)

(17)

(18)

В выражении (16) легко распознать каноническую форму многообразия катастрофы сборки, которое представляет собой множество точек (кС,а,Ь) (рис. 1а), удовлетворяющих следующему уравнению [6, 7]:

УР (кс, а, Ь) = кС + акс + Ь = 0, (19)

где сама функция ¥{кС,а,Ь), зависящая от двух управляющих параметров а и Ь, описывает так называемый потенциал катастрофы сборки, который нетрудно получить интегрированием выражения (19):

^(к, а, Ь) = 4кС + 2акС + Ькс . (20)

Рис. 1. Многообразие катастрофы сборки (16).

Довольно сложное поведение «потенциальной» функции Г(кС,а,Ь) можно охватить единой геометрической картинкой, позволяющей наглядным образом представить все многообразие катастрофы (19) или, другими словами, поверхность равновесия в трехмерном пространстве с координатными осями кС-а-Ь, которая имеет вид поверхности со сборкой и показана на рисунке 1а [6, 7].

Рассмотрим окрестность некоторых характерных точек поверхности многообразия катастрофы (19) в виде локального графика некоторой функции от Б(кС,а,Ъ) (рис. 1с). Очевидный анализ выражения (18) показывает, что в случае выполнения неравенств

1 - к

3

ПДВ

* ПБ < 0

о b <0.

(21)

экономическая ситуация является «потенциально» наихудшей, так как нормированный коэффициент кС в этом случае наибольший (см. рис. 1с). Таким образом, для того, чтобы экономическая ситуация была «потенциально» наилучшей, нормированный коэффициент кС должен быть в этом случае наименьшим (см. рис. 1с).

Следует отметить, что экономико-финансовая система, описываемая уравнением (15) или, точнее говоря, потенциальной функцией катастрофы сборки, не зависит от времени, что позволяет простым экспоненциальным путем сконструировать не зависящую от времени функцию распределения

£{кс, а, b) = 4exp

2F (кс, а, b )

G2

(22)

где в качестве аргумента выступает потенциальная функция катастрофы сборки Б(кС,а,Ъ), се{а,Ъ} - набор управляющих параметров (рис. 1Ъ), О2 - константа диффузии («хаотичности»), ^о - нормировочная константа. Тогда нетрудно заметить, что выражение (22) при фиксированных управляющих параметрах является стационарным решением уравнения Фоккера-Планка [7-10]:

д£(*с) 5

dt

дкс

^кЛ )

дкс с

+-

1 d

2 дкс

G2

д

дкс

■(-№))

(23)

В связи с этим представляется важным в дальнейшем исследование нестационарного решения уравнения Фоккера-Планка (хотя бы в случае с постоянными коэффициентами) с целью определения возможной временной эволюции плотности вероятности нормированного коэффициента кС в зависимости от начальных и граничных условий, а также малых или больших возмущений в виде внешнего шума [8, 9].

3. Реконструкция инклюзивного распределения, характеризующего экономическую структуру общества

Напомним, что под экономической структурой общества понимается распределение элементов общества (то есть семей или фирм) по доходам р(у) или ликвидным накоплениям Р(Ц) [10]. Эти распределения, хотя и различны, но связаны друг с другом [10]. В дальнейшем будем под ЭСО понимать распределение по ликвидным накоплениям р(и), которыми традиционно считаются денежные накопления и ценные бумаги.

Если учесть, что разность 1-кС прямо пропорциональна ликвидным накоплениям и

1 - кс =yü.

то их распределение

p(U, а, b) =

PoexP

2F (U, а, b) G2

(24)

(25)

от переменной (24) будет стационарным решением аналогичного (23) уравнения Фоккера-Планка:

dp(U)_ d

dt

дкс

dF (U)

dU

P(U)

+ -

1d

2 dU

d

G(-p(U))

dU

(26)

которое получено впервые в рамках динамической модели Чернавского-Старкова-Щербакова, позволяющей реконструировать ЭСО по косвенным данным [10].

На рисунке 2 приведены графические представления локальной зависимости (бимодальной в общем случае) функции р(и от значений управляющих параметров (а,Ъ) в ок-

рестности некоторых характерных точек поверхности многообразия катастрофы (19).

Как это следует из анализа рисунка 2, распределения ликвидных накоплений р(Ц) в III и IV квадрантах, соответствующих условию а<0 для управляющего параметра а (то есть в случае г0>%), характерны для стран с переходной экономикой. Причем вариант Б, по-видимому, соответствует экономической структуре, характерной для России, а также бывшего СССР (а<0, Ь<0), но отличается лишь отношением максимумов «горбов» бимодального распределения р(и), например, для СССР максимумы отличались в 70 раз [11], а для России в 1999 году - в 2 раза [10].

Рис. 2. Графические представления локальной зависимости функции р(Ц) от значений управляющих параметров (а,Ь)

С другой стороны, распределения ликвидных накоплений р(Ц) в I и II квадрантах рисунка 2, соответствующих условию а>0 для управляющего параметра а (то есть в случае г0<^), характерны для стран с устоявшейся рыночной экономикой. Причем вариант А, А' (шведский вариант) и В (японский вариант), на основании данных работы [12], описывают экономическую структуру общества для стран с жесткой рыночной экономикой, характеризуемой следующим условием на значения управляющих параметров:

а > 0, Ь < 0. (27)

Вариант Н (рис. 2), по-видимому, характерен для стран с мягкой рыночной экономикой, соответствующей следующим ограничительным условиям на значения управляющих параметров:

а > 0, Ь > 0. (28)

Таким образом, предложенная стохастическая модель реконструкции инклюзивного распределения р(и), характеризующая экономическую структуру общества, устанавливает условия достижения той или иной ЭСО.

3. Выводы

Предложена математическая, а точнее экономико-математическая модель прагматичной инвестиционной политики, которая впервые дает возможность в рамках любого инвестиционного проекта связать реальные инвестиции с величиной предоставленных налоговых льгот при обязательном условии абсолютной безопасности для национального бюджета страны. В первую очередь, это обеспечивается условием паритетности или, другими словами, принципом экономической демократии, когда государство, как честный участник инвестиционного процесса, предоставляет налоговые льготы на сумму всех неучтенных бюдже-

том собственных доходов (или «живые» расходы инвестора), которые появляются в бюджете от осуществления данного инвестиционного проекта.

Анализ экономико-математической модели показал, что эффективность такой локальной экономической парадигмы предопределяется качеством глобального в рамках одного государства экономического законодательства. А именно, показано, что условие паритетности или, другими словами, принципа экономической демократии эффективно лишь в том случае, если в уравнении состояния, описывающего многообразие катастрофы сборки (16), выполняется следующее условие для управляющего параметра b:

b > 0 о кпдв + кпб < 3, (29)

что обосновывается динамикой поведения «потенциальной» функции F^ab), которая при b>0 имеет глобальный минимум, соответствующий минимальному значению нормированного коэффициента кс (см. рис. 1b). Экономический смысл последнего очевиден: чем он меньше, тем больше чистая прибыль, так как налог на валовую прибыль ограничен выражением (22), обусловленным законом Лаффера (11).

Предложена стохастическая модель реконструкции инклюзивного распределения p(U), характеризующая экономическую структуру общества (см. рис. 2), которая впервые устанавливает однозначную количественную связь между типом экономики (переходная, мягкая и жесткая рыночная экономика) и национальной системой налогообложения.

Примечания:

1. Об эконофизике и ее месте в современной теоретической экономике / Д.С. Чернавский, Н.И. Старков, С.Ю. Малков, Ю.В. Косе, А.В. Щербаков // УФН. 2011. Т. 181. С. 767-773.

2. Глазунов В.Н. Финансовый анализ и оценка риска реальных инвестиций. М.: Финстатинформ, 1997. 135 с.

3. Ковалев В.В. Финансовый анализ. Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. 2 изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2000. 512 с.

4. Ворст И., Ревентлоу П. Экономика фирмы: учебник / пер. с дат. А.Н. Чеканского, О.В. Рождественского. М.: Высш. шк., 1994. 272 с.

5. Малахов В.П., Русов В.Д., Ковальчук П.Л. Економжо-математичш основи ефективно! швестицшно! политики держави (на прикладi проекту вшьно! економiчноl зони «Аджалик»). Одеса: Резон, 2000. 342 с.

6. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980. 608 с.

7. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т. 2. М.: Мир, 1984. 285 с.

8. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. 512 с.; Т. 2. Теория. М.: ФАЗИС, 1998. 544 с.

9. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. Теория и применение в физике, химии и биологии. М.: Мир, 1987. 397 с.

10. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // УФН. 2002. Т. 172. С. 1045-1066.

11. Прикладная нелинейная динамика / Д.С. Чернавский [и др.] // Известия вузов. 1996. Т. 4 (3). С. 67.

12. Родо Токэй Еран. Обзор трудовой политики в Японии (на яп. яз.) Токио, 1988. 185 с.

References:

1. On econophysics and its place in modern theoretical economics / D.S. Chernavsky, N.I. Starkov, S.Yu. Malkov, Yu.V. Kose, A.V. Shcherbakov // UFN. 2011. Vol. 181. P. 767-773.

2. Glazunov V.N. Financial analysis and the assessment of risk of real investments. M.: Finstatinform, 1997. 135 pp.

3. Kovalev V.V. The financial analysis. Capital Management. The choice of investments. Analysis of accounting. 2nd ed., revised and enlarged. M.: Finance and Statistics, 2000. 512 pp.

4. Waarst J., Reventlow P. The economy of the firm: a textbook / transl. from Danish by A.Kh. Chekansky, O.V. Rozhdestvensky. M.: Vyssh. Shk., 1994. 272 pp.

5. Malakhov V.P., Rusov V.D., Kovalchuk P.L. Economical and mathematical basis of the effective investment policy of the state (based on the project of the "Adzhalik" free economic zone). Odessa: Rezon, 2000. 342 pp.

6. Poston T., StHuart I. Catastrophe theory and its applications. M.: Mir, 1980. 608 pp.

7. Gilmore R. Applied theory of catastrophes. Vol. 2. M.: Mir, 1984. 285 pp.

8. Shiryaev A.N. Fundamentals of stochastic financial mathematics. Vol. 1. Facts. Models. M.: FASIS, 1998. 512 pp.; Vol. 2. Theory. M.: FASIS, 1998. 544 pp.

9. Horsthemke V., Lefever R. Noise-induced transitions. Theory and application in Physics, Chemistry and Biology. M.: Mir, 1987. 397 pp.

10. Chernavsky D.S., Starkov N.I., Shcherbakov A.V. On problems of Physical Economics // UFN. 2002. Vol. 172. P. 1045-1066.

11. Applied nonlinear dynamics / D.S. Chernavsky [et al.] // News of Higher Schools. 1996. Vol. 4 (3). P. 67.

12. Rodo Tokay Eran. Review of labor policy in Japan (in Japanese). Tokyo, 1988. 185 pp.