CC BY
14
УДК 519.87:338.27+630.43
СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РЕЗЕРВА СРЕДСТВ
НА ТУШЕНИЕ ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ
А. Н. ПЕТРОВ
ФГБОУ ВО Ивановская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, Российская Федерация, г. Иваново E-mail: petrov_a-n@mail.ru
В работе обоснована актуальность разработки модели прогнозирования резерва средств на тушение лесных пожаров в бюджете региона на плановый год с точностью, приемлемой для практического использования. Показана целесообразность использования стохастической модели управления запасом со случайным спросом для прогнозирования оптимальной величины резерва средств на тушение лесных пожаров в регионе. Для применения модели нет необходимости в прогнозировании количества и площади лесных пожаров или погодных условий в регионе. Обоснована спецификация модели.
На примере Центрального федерального округа проведена параметризация и верификация предложенной модели. Показано, что модель позволяет с приемлемой для практического использования точностью прогнозировать на плановый год оптимальную величину регионального резерва средств на тушение лесных пожаров. С учетом страхового резерва (запаса) фактические затраты на тушение лесных пожаров с заданной вероятностью не превысят рассчитанную по модели величину регионального резервного фонда на плановый год.
Результаты работы могут использоваться при прогнозировании величины регионального резервного фонда на тушение лесных пожаров в бюджете субъекта Российской Федерации.
Ключевые слова: лесные пожары; регион; резервный фонд; экономико-математическая модель; прогнозирование.
STOCHASTIC MODEL FOR FORECASTING THE RESERVE OF FORESTS FOR EXTINGUISHING FOREST FIRES
A. N. PETROV
Federal State Educational Institution of Higher Education «Ivanovo Fire and Rescue Academy of the State Fire Service of the Ministry of the Russian Federation for Civil Defense, Emergencies and Elimination of Consequences of Natural Disasters», Russian Federation, Ivanovo
The paper substantiates the relevance of developing a model for forecasting the reserve of funds for extinguishing forest fires in the regional budget for a planning year with an accuracy acceptable for practical use. The expediency of using a stochastic model of inventory management with random demand to predict the optimal amount of reserve funds to extinguish forest fires in the region is shown. To apply the model, there is no need to predict the number and area of forest fires or weather conditions in the region. The specification of the model is justified.
On the example of the Central Federal District, the parameterization and verification of the proposed model are carried out. It is shown that the model makes it possible to predict, for a planning year, the optimal value of the regional reserve of funds for extinguishing forest fires with acceptable accuracy for practical use. Taking into account the insurance reserve (reserve), the actual costs of extinguishing forest fires with a given probability will not exceed the regional reserve fund calculated for the model for the planning year.
The results of the work can be used in predicting the value of the regional reserve fund for extinguishing forest fires in the budget of the subject of the Russian Federation.
Key words: forest fires; region; reserve fund; economic and mathematical model; forecasting.
© Петров А. Н., 2020
Введение
Лесные пожары являются значительной проблемой отечественного хозяйства. На их ликвидацию требуются существенные материальные и финансовые ресурсы. Согласно Постановлению Правительства РФ от 10.11.1996 №1340 «О порядке создания и использования резервов материальных ресурсов для ликвидации чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера» создаются резервы материальных ресурсов субъектов Российской Федерации для ликвидации чрезвычайных ситуаций (к которым относятся и лесные пожары). Финансирование расходов по созданию, хранению, использованию и восполнению региональных резервов материальных ресурсов для ликвидации чрезвычайных ситуаций осуществляется за счет средств бюджетов субъектов Российской Федерации.
В соответствии со статьей 169 Бюджетного кодекса РФ ежегодно составляется и утверждается проект бюджета субъекта Российской Федерации сроком на три года: очередной финансовый год и плановый период. Таким образом, региональным органам власти ежегодно необходимо планировать объем резервных фондов (расходов) на ликвидацию лесных пожаров в региональном бюджете на очередной год и перспективу до трех лет. Величина резервных фондов определяется, исходя из прогнозируемых видов и масштабов чрезвычайных ситуаций, а также предполагаемого объема работ по их ликвидации.
Об отсутствии в распоряжении органов власти экономико-математического инструментария способного с приемлемой для практического применения точностью прогнозировать объем как регионального, так и федерального резервного фонда на ликвидацию лесных пожаров, свидетельствует следующий факт. По данным Федерального агентства лесного хозяйства в период с 2014 по 2016 год расходы на тушение лесных пожаров ежегодно превышали плановые в 3 раза [1].
Проведенный в работе [2] статистический анализ динамики годовых затрат на тушение лесных пожаров в Ивановской области позволил сделать следующие выводы:
1. Большая вариация во времени величины годовых затрат (коэффициент осцилляции 7,2) делает невозможным надежно оценить тренд временного ряда и его циклическую компоненту.
2. Ярко проявляется нерегулярная компонента, которая формируется под действием случайных факторов различной природы и характера.
Таким образом, использование классических эконометрических моделей временных рядов для прогнозирования годовых затрат на тушение лесных пожаров в регионе не обеспечит точность прогноза, приемлемую для практического использования.
Проведенный в работе [3] анализ опубликованных математических моделей прогнозирования лесных пожаров в регионе, показал, что их нельзя использовать для прогнозирования объема регионального резервного фонда на тушение лесных пожаров на очередной финансовый год по следующим причинам:
1. Все модели используют в качестве предикторов численные значения гидрометеорологических показателей региона на конкретные даты (число, неделя, месяц). Их надежный прогноз на следующий год не представляется возможным.
2. Все модели описывают либо вероятность возникновения лесного пожара, либо количество лесных пожаров в регионе. Проведенный корреляционный анализ зависимости затрат на тушение лесных пожаров в Ивановской области от их количества и площади за тринадцатилетний период показал отсутствие корреляционной связи между количеством пожаров и затратами на их тушение (коэффициент парной корреляции 0,09) и наличие сильной корреляционной связи между затратами и общей площадью пожаров в регионе (коэффициент парной корреляции 0,91). К сожалению, математические модели, способные сделать прогноз площади лесных пожаров в регионе на следующий год, в отечественной литературе не обнаружены.
Целью работы является спецификация модели прогнозирования на плановый год оптимального объема затрат на тушение лесных пожаров в регионе, ее параметризация и верификация на примере Центрального федерального округа.
Спецификация модели
Бюджетное планирование представляет собой обоснование величины расходов по статьям бюджета региона. В условиях дефицита бюджета региона математически эта задача совпадает с задачей определения запаса ресурсов для коммерческого предприятия, которая успешно решается инструментарием теории управления запасами. Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени.
Из всего многообразия существующих моделей управления запасами для прогнози-
рования объема средств для тушения лесных пожаров в регионе на плановый год подойдет стохастическая модель одного периода [4, 5]. Она предполагает однократное выделение средств (запаса), которые будут использоваться в течение всего планового периода (года). В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее математическое ожидание.
В модели приняты два допущения [5]:
1. Неудовлетворенный в течение планового периода спрос накапливается.
2. Распределение спроса в течение планового периода является стационарным во времени.
Введем следующие обозначения: 0(5) - математическое ожидание суммарных затрат на тушение лесных пожаров в регионе за год;
5 - уровень запаса (величина резерва денежных средств);
г - величина спроса (фактическая потребность в денежных средствах);
Цг) - функция плотности вероятности величины спроса г, где г непрерывная величина; Р(г) - функция распределения величины
спроса г, где г непрерывная величина;
^
^(8) = | /(г)^г - вероятность того, что
0
спрос г не превысит уровень запаса 5, где г непрерывная величина;
с1 - удельные затраты на хранение запаса в течение года;
с2 - удельные потери от неудовлетворенного спроса на денежные средства (дополнительные расходы за дефицит запаса).
Стохастическая модель управления запасами одного периода определяет, что математическое ожидание суммарных затрат на тушение лесных пожаров в регионе за год включает два компонента, величины которых определяются соотношением показателей 5 и г [4]:
1. Математическое ожидание затрат на хранение неиспользованного в течение года запаса финансовых ресурсов в случае, когда уровень запаса превышает фактический спрос на ресурсы (5 > г):
ОД = С |(5 - г(г)4г . (1)
0
2. Математическое ожидание затрат, связанных с неудовлетворенным спросом на финансовые ресурсы. Дефицит возникает в случае превышения фактического спроса над величиной запаса (5 < г). Тогда математическое ожидание затрат за год составит:
С(= С2 \ (г - я)/(г)йг . (2)
Таким образом, в общем случае стохастическая модель управления запасом одного периода при непрерывном спросе имеет следующий вид:
C(s) = c J (s - r) f (r)dr+c2 J (r - s) f (r)dr.
(3)
Задача управления запасами состоит в определении такой величины запаса 5, при которой математическое ожидание суммарных затрат 0(5) принимает минимальное значение. Минимум функции (3) находится приравнива-
нием к нулю первой производной по 5 и определением знака второй производной в точке экстремума. Дифференцируем выражение (3) по 5 в соответствии с правилом Лейбница:
dC(s) ds
= C J f (r)dr- C2 J f (r)dr = C1F(s) - C2[l - F(s)] = F(s)(C + C2) - C2,
(4)
где F(5) = | /(т)йг - функция распределения
о
спроса. Она показывает вероятность того, что спрос г не превысит уровень 5.
Ожидаемые суммарные расходы будут иметь экстремум (максимум или минимум) при
Б0, если
ds
= 0
S=So
S
0
S
да
0
S
Из уравнения (4) имеем необходимое условие экстремума: ^ (^ХС + С2) — С2 = 0. Отсюда
С
F (so) =
Далее,
d 2C (s)
ds2
C + C2
= C,f (So) + Cf (So) = f (So)(C + C2).
(5)
(6)
S=S„
В связи с тем, что С1 и С2 больше нуля, а Цв) больше или равна нулю, выражение (6) является неотрицательной величиной. Следовательно, при 5 = функция 0(в) имеет минимум, т. е. математическое ожидание суммарных затрат на тушение лесных пожаров в регионе будет минимальным.
Рассматривая спрос г как непрерывную случайную величину, следует определить минимальное значение 0(в) при уровне запаса во из уравнений (4) и (6).
Таким образом, для определения оптимального запаса средств на тушение лесных пожаров в регионе необходимо знать закон распределения случайной величины спроса г, что фактически сводится к определению закона распределения величины затрат на тушение лесных пожаров.
Проведем спецификацию модели прогнозирования на плановый год объема затрат на тушение лесных пожаров в регионе (3), ее параметризацию и верификацию на примере Центрального федерального округа.
К сожалению, величина годовых затрат Центрального федерального округа на тушение лесных пожаров в публикациях Росстата приведена только для интервала времени с 2000 по 2012 год1. Поэтому для параметризации модели будут использоваться годовые статистические данные о количестве лесных пожаров в Центральном федеральном округе и расходов на их тушение в сопоставимых ценах за 2000-2011 годы, а оценка точности прогноза будет проводиться по 2012 году. Динамику указанных показателей иллюстрирует рис. 1.
450 -г
400 --
350 --
£ 300 --
.
X
с; 2 250 --
сг 200 --
о
X
о га 150 --
0.
100 --
50 --
0 --
16
-- 14
-- 12
s d
ф
10 £ä л
ш о а. га Н о с
о с; о S 3"
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Год
8
6
4
2
0
гут} Расходы на тушение пожаров —9— Число пожаров
Рис. 1. Динамика числа лесных пожаров в Центральном федеральном округе и расходов на их тушение в сопоставимых ценах
1 Лесные пожары. Центральный федеральный округ [Электронный ресурс] // Федеральная служба
государственной статистики. ЦФСД. Интерактивная витрина / URL: http://cbsd.gks.ru/# (дата обращения 5.08.2019).
Публикуемые Росстатом расходы на тушение лесных пожаров включают: заработную плату занятых тушением пожара рабочих организаций; стоимость услуг по эксплуатации машин, тракторов, других механизмов, использованных при тушении лесного пожара; стоимость израсходованных при тушении пожара материалов, средств тушения и другого имущества; другие расходы, связанные с мерами по тушению лесного пожара, предусмотренные действующим законодательством.
В. С. Мхитарян с сотрудниками предложил использовать стохастическую модель управления запасами со случайным спросом для прогнозирования годового запаса средств на ликвидацию последствий техногенных аварий [6]. В связи с тем, что у техногенных аварий и лесных пожаров есть большая общность - они возникают под действием случайных факторов различной природы и характера, при адаптации стохастической модели управления запасами со случайным спросом для прогноза объема регионального резервного фонда на тушение лесных пожаров на плановый год можно использовать методический подход, предложенный в работе [6].
Выборка за 12 лет не позволяет со статистически значимой надежностью определить
функцию распределения годового спроса средств на тушение лесных пожаров в регионе. Поэтому, годовые затраты У на тушение лесных пожаров в регионе представим как сумму затрат на тушение всех отдельных пожаров у,, возникших в регионе:
Y = &
(7)
i=1
где п — число лесных пожаров в году.
Численные значения у и п являются независимыми случайными величинами. В период с 2000 по 2011 год в Центральном федеральном округе было зафиксировано 46958 лесных пожаров. Такая широкая выборка позволяет определить закон распределения вероятности затрат на тушение отдельного единичного лесного пожара в сопоставимых ценах.
Для определения закона распределения затрат на тушение отдельного единичного пожара в Центральном федеральном округе строим интервальный вариационный ряд, представленный на рис. 2 в виде гистограммы и эмпирической функции распределения.
20
Ii 16
х s
3 12
ш О а п X о с
о
Ei
S
т
8 --
15 25 35 45 55 65 75 Затраты на тушение единичного пожара, тыс. руб
1,0
08 «
s х
о Ц
SL 0,6 % а с о а а
0,4 к s и
х
>
0,2 В
0,0
та Число пожаров -»—Функция распределения
Рис. 2. Гистограмма частот и эмпирическая функция распределения затрат на тушение единичного лесного пожара в Центральном федеральном округе
4
0
5
По виду гистограммы выдвигаем нулевую статистическую гипотезу: выборка случайных величин затрат на тушение единичного лесного пожара в1 в Центральном федеральном округе взята из генеральной совокупности, значения признака в которой распределены по экспоненциальному (показательному) закону с некоторым параметром А (8).
F (sxy
1 - s > 0
0, s < о '
(8)
Проверка статистической гипотезы осуществлялась с помощью универсального статистического пакета STATISTICA 6.1, который имеет модуль «Подгонка распределений». Подгонкой (английский термин fitting) называют аналитические процедуры, позволяющие подобрать распределение, которое с достаточной степенью точности описывает наблюдаемые данные. Точность подгонки в STATISTICA 6.1 оценивается с помощью критериев согласия хи-квадрат [7, С. 284] и одновыборочного критерия Колмогорова-Смирнова [7, С. 325]. STATISTICA 6.1 рассчитывает численные значения статистик критериев и определяет их уровень значимости (р) с учетом числа степеней свободы. В нашем случае для критерия согласия хи-квадрат р = 0,669, а для одновыборочного критерия Колмогорова-Смирнова р = 0,279. Полученные уровни значимости статистик критериев во много раз превышают уровни значимости (0,01-0,05), используемые в статистике. Поэтому выдвинутая нулевая гипотеза не отвергается.
Для определения резерва средств, необходимых для тушения лесных пожаров, которые могут произойти в следующем году, необходимо знать закон распределения случайной величины суммарных затрат за год Y (7). В работе [8, С. 86] показано, что сумма независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение, принадлежит генеральной совокупности с гамма-распределением. Поэтому, случайная величина Y, как сумма независимых случайных величин, имеет гамма-распределение с функцией плотности, определяемой параметрами а и в (при а = 1 гамма-распределение переходит в экспоненциальное распределение с параметром А = 1/в):
f ( У) = \
-1-ya-1e-yß, y > 0
ßar (а) , (9)
0, У < 0
где
Г (a) = J xa-1e~ xdx -
гамма-функция
Эйлера.
Численные значения параметров а и в для функции плотности вероятности (8) определялись с помощью пакета STATISTICA 6.1 на основе статистических данных по Центральному федеральному округу, приведенных на рис. 1. Получены следующие значения: а = 0,375 и в = 140134.
Параметризация и верификация модели
В итоге, оптимальный уровень запаса средств на ликвидацию лесных пожаров на плановый год определяется из уравнения:
F (У) =
1
ßar (a)
\ua-le-u/ßdu = ■
С + c2
-. (10)
В качестве удельных затрат на хранение запаса c1 целесообразно использовать годовой уровень инфляции в плановом году, а в качестве удельного штрафа за дефицит c2 -ставку по кредитам коммерческого банка. Согласно Федеральному закону от 30.11.2011 № 371-Ф3 «О Федеральном бюджете на 2012 год и на плановый период 2013 и 2014 годов» инфляция в 2012 году прогнозировалась на уровне 6%. ПАО «Сбербанк России» предоставлял кредиты организациям по годовой ставке 16-18%. Для расчетов берем среднее значение 17%.
Численное значение у в (10) можно определить с помощью функции ГАММАОБР, входящей в категорию «Статистические функции» электронной таблицы MS Excel. Синтаксис функции: ГАММАОБР (Вероятность, Альфа, Бета). При использовании указанной функции решается следующая задача: известно, что случайная величина Y имеет гамма-распределение; известны параметры а и в распределения и значение функции распределения в заданной точке у. Функция ГАММАОБР по известным параметрам определяет значение точки у, в которой функция принимает заданную величину.
Решая уравнение (10) с численными значениями c1, c2 и полученными параметрами гамма-распределения а и в относительно y, получаем величину оптимального запаса средств на тушение лесных пожаров в 2012 году. Она составила 2887 тыс. рублей. Величина оптимального запаса средств превысила на 9,5% фактические затраты на тушение лесных пожаров в Центральном федеральном
0
c
2
o
округе в 2012 году, которые по данным Росста-та составили 2636,4 тыс. рублей.
Необходимо отметить, что величина оптимального запаса средств на тушение лесных пожаров оптимальна в плане минимизации общих затрат региона. Они включают обесценивание неизрасходованных до конца года средств регионального резервного фонда на тушение лесных пожаров и дополнительные расходы в случае, если фактические затраты превысят величину регионального резервного фонда и возникнет потребность в кредите коммерческого банка.
При практическом использовании стохастической модели управления запасами со случайным спросом в общем случае рекомендуется увеличить оптимальный запас на величину страхового запаса [4, 5]. Численные значения издержек дефицита обычно бывает трудно установить на практике. Один из подходов к управлению запасами заключается в том, что в течение всего периода планирования поддерживается страховой запас уСТР. Размер страхового запаса определяется так, чтобы вероятность возникновения дефицита за плановый период не превышала заданного уровня р [4, 5].
Суммарную величину оптимального и страхового запасов можно рассчитать как верхнюю границу доверительного интервала при заданном уровне доверительной вероятности р:
F (У) =
1
РаГ (аУ
ua-1e-u'
ßdu = p. (11)
Решая уравнение (11) относительно у, получим величину резерва средств, которых хватит с доверительной вероятностью р на тушение лесных пожаров в регионе при неблагоприятных погодных условиях и антропогенной нагрузки. Оценим величину резерва средств на тушение лесных пожаров в регионе с учетом страхового запаса по формуле (11) для различных значений доверительной вероятности. Результаты расчетов для Центрального федерального округа на 2012 год приведены в таблице.
Результатов расчетов, приведенные в таблице, свидетельствуют о высокой чувствительности величины страхового запаса к величине доверительной вероятности прогноза: увеличение доверительной вероятности с 0,75 до 0,95 приводит к росту страхового запаса в 3,5 раза. В условиях дефицита бюджетов большинства регионов России, этот факт необходимо учитывать при прогнозировании
регионального резерва средств на тушение лесных пожаров в плановом году.
Таблица. Величина резерва средств на тушение лесных пожаров в Центральном федеральном округе на 2012 год с учетом страхового запаса для различной величины доверительной вероятности, тыс. руб.
Доверительная вероятность
0,75 0,80 0,85 0,90 0,95
65132 84109 110375 15008 6 223236
Заключение
На базе теории управления запасами со случайным спросом предложены экономико-математические модели (10) и (11) прогнозирования объема регионального резервного фонда на ликвидацию лесных пожаров на плановый год. Необходимо отметить, что полученная по модели (10) величина регионального резервного фонда на тушение лесных пожаров будет оптимальна в плане минимизации общих затрат региона на содержание резервного фонда.
Предложенные экономико-математические модели позволяют с приемлемой для практического использования точностью прогнозировать на плановый год оптимальную величину регионального резервного фонда на тушение лесных пожаров. С учетом страхового резерва (запаса) фактические затраты на ликвидацию лесных пожаров с заданной вероятностью не превысят прогнозируемую величину регионального резервного фонда.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-010-00842
Список литературы
1. Топалов А., Нетреба П., Калачихи-на Ю. Россия угорает. Как Россия теряет на лесных пожарах миллиарды рублей // Газетами - 17.07.2017. ЫРЬ: gazeta.ru/business/2017/07/12/10783862.shtml (дата обращения 23.05.2019).
2. Петров А. Н. Модели прогнозирования региональных резервных фондов на ликвидацию лесных пожаров // Известия высших учебных заведений. Серия «Экономика, финансы и управление производством». 2018. №3 (37). С. 53-60.
У
o
3. Петров А. Н. Анализ моделей прогнозирования лесных пожаров в регионе // Актуальные вопросы естествознания: материалы IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием, Иваново, 25 марта 2019 года. Иваново: ФГБОУ ВО Ивановская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2019. С. 345-349.
4. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций: пер. с англ. М.: Наука, 1968. 488 с.
5. Таха Х. А. Введение в исследование операций: пер. с англ. М.: Вильямс, 2007. 912 с.
6. Мхитарян В. С., Шишов В. Ф., Козлов А. Ю. Прогнозирование запаса средств для лик-видации последствий техногенных аварий // Прикладная эконометрика. 2010. № 3 (19). С. 91-100.
7. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 656 с.
8. Чернова Н. И. Теория вероятностей. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2007. 160 с.
References
1. Topalov A., Netreba P., Kalachihina Yu. Rossiya ugoraet. Kak Rossiya teryaet na lesnyh pozharah milliardy rublej. Gazeta.Ru - 17.07.2017 URL: https://www.gazeta.ru/business/2017/07/12/ 10783862.shtml (data obrashcheniya 23.05.2019).
2. Petrov A. N. Modeli prognozirovaniya regional'nyh rezervnyh fondov na likvidaciyu lesnyh pozharov [Forecasting models of regional
reserve funds for the elimination of forest fires]. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Seriya «Ekonomika, finansy i upravlenie proizvodstvom», 2018, vol. 3(37), pp. 53-60.
3. Petrov A. N. Analiz modelej prognozi-rovaniya lesnyh pozharov v regione [Analysis of forest fire forecasting models in the region]. Ak-tual'nye voprosy estestvoznaniya: materialy IV Vserossijskoj nauchno-prakticheskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem, Ivanovo, 25 marta 2019 goda. Ivanovo: FGBOU VO Ivanovskaya pozharno-spasatel'naya akademiya GPS MCHS Rossii, 2019, pp. 345-349.
4. Cherchmen U., Akof R., Arnof L. Vvedenie v issledovanie operacij [Introduction to Operations Research]. Moscow: Nauka, 1968. 488 p.
5. Taha H. A. Vvedenie v issledovanie operacij [Introduction to Operations Research]. Moscow: Vil'yams, 2007. 912 p.
6. Mhitaryan V. S., Shishov V. F., Ko-zlov A. Yu. Prognozirovanie zapasa sredstv dlya lik-vidacii posledstvij tekhnogennyh avarij [Forecasting the stock of funds for the elimination of the consequences of technological accidents]. Pri-kladnaya ekonometrika, 2010, vol. 3(19), pp. 91100.
7. Ajvazyan S. A., Mhitaryan V. S. Prikladnaya statistika. Osnovy ekonometriki. Tom 1. Teoriya veroyatnostej i prikladnaya statistika [Applied statistics. Fundamentals of Econometrics. Volume 1. Probability Theory and Applied Statistics]. Moscow: YUNITI-DANA, 2001. 656 p.
8. Chernova N. I. Teoriya veroyatnostej [Probability theory]. Novosibirsk: Novosib. gos. un-t, 2007. 160 p.
Петров Александр Николаевич
ФГБОУ ВО Ивановская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России,
Российская Федерация, г. Иваново
кандидат химических наук, доцент
E-mail: petrov_a-n@mail.ru
Petrov Aleksandr Nikolaevich
Federal State Educational Institution of Higher Education «Ivanovo Fire and Rescue Academy of the State
Fire Service of the Ministry of the Russian Federation for Civil Defense,
Emergencies and Elimination of Consequences of Natural Disasters»,
Russian Federation, Ivanovo
candidate of chemical sciences, associate professor
E-mail: petrov_a-n@mail.ru
