CC BY
165
6. Приказ Министерства охраны здоровья Украины от 23.09.2009 г. № 687 "Об утверждении Инструкции по созданию и ведению Государственного кадастра природных лечебных ресурсов" [Электронный ресурс] / Законодательство Украины. -Режим доступа: http://zakon4.rada.gov.ua/laws/show/z0154-10/ - Загл. с экрана
7. Обзор кадастров, которые функционируют в Украине [Электронный ресурс] / Единая служба правовой помощи 3222. -Режим доступа : http: //3222.ua/ru/article/oglyad_kadastrv_yak_funktsonuyut_v_ ukran .htm/ - Загл. с экрана.
8. Золотова, Е. В. Основы кадастра. Территориальные информационные системы [Текст] / Е. В. Золотова. - М. : Фонд МИР, Академический проспект, 2012. - 316 с.
9. Омельянець, С. Обгрунтування методичних пiдходiв до розробки державного кадастру природних лшувальних ресурав [Текст] / С. Омельянець, I. Мельник // Украшський бальнеолопчний журнал. - 2004. - № 3,4. - С. 12-16.
10. Мещеряков, В. И. Создание кадастра природных лечебных ресурсов в системе мониторинга окружающей среды [Текст] / В. И. Мещеряков, А. В. Мокиенко, А. В. Козлов, В. В. Фоменко // Украшський гщрометеоролопчний журнал. - 2013. -№ 13. - С. 29-33.
11. Муртазов, А. К. Экологический мониторинг. Методы и средства [Текст] / А. К. Муртазов. - Рязань : Рязанский гос. университет им. С.А.Есенина, 2000. - 146 с.
12. Кузнецов, О. Л. Геоинформатика и геоинформационные системы [Текст] / О. Л. Кузнецов, А. А. Никитин, Е. Н. Черемисина. -М. : ВНИИгеосистем, 2005. - 453 с.
13. Петин, А. Н. Геоинформатика в рациональном недропользовании [Текст] / А. Н. Петин, П. В. Васильев. - Белгород : Изд-во БелГУ, 2011. - 268 с.
14. Киотский протокол к рамочной конвенции Организации Объединенных Наций об изменении климата [Электронный ресурс] / Экологический синтезирующий центр «Восток». - Режим доступа: http://www.ecovostok.ru/agreements/ conventions/climate_change.php
15. COPERT 4 - Общая информация [Электронный ресурс] / Emisia - Миссия по охране окружающей среды. - Режим доступа: http://www.emisia.com/copert/ - Загл. с экрана.
16. Замарьева, В. В. ARCMAP - руководство пользователя. Под редакцией geoFAQ [Электронный ресурс] / Справочная система geoFAQ. - Режим доступа: http://geofaq.ru/art/arcmap.htm. - Загл. с экрана.
17. Степаненко, С. Н. Анализ функции плотности распределения концентрации в гауссовых моделях рассеяния примесей в атмосфере [Текст] / С. Н. Степаненко, В. Г. Волошин // Украшський гщрометеоролопчний журнал. - 2008. - № 3. - С. 5-12.
18. Бызова, Н. Л. Экспериментальные исследования атмосферной диффузии и расчеты рассеяния примесей [Текст] / Н. Л. Бызова, Е. Г. Гаргер, В. Н. Иванов. - Л. : Гидрометеоиздат, 1991. - 273 с.
Дослиджено фрактальний метод стиснення зображень. Розглянутi математична модель та класичний алгоритм кодування-декодування зображень цим методом. Проведено стислий аналiз варiантiв оптимiзацii та тдвищення швидкоди побудови систем теруючих функцш фрактального кодуван-ня зображень, iх ефективностi та можливостi практичного застосування
Ключовi слова: стиснення зображень, фрактальний алгоритм, системи теруючих функцш, афтт перетворення
Исследован фрактальный метод сжатия изображений. Рассмотрены математическая модель и классический алгоритм кодировки-декодирования изображений этим методом. Проведен сжатый анализ вариантов оптимизации и повышения быстродействия построения систем итерирующих функций фрактального кодирования изображений, их эффективности и возможности практического применения
Ключевые слова: сжатие изображений, фрактальный алгоритм, системы итерирующих функций, аффинные преобразования
-□ □-
УДК 004.6
|DOI: 10.15587/1729-4061.2014.33445|
СТИСНЕННЯ ЗОБРАЖЕНЬ ФРАКТАЛЬНИМ МЕТОДОМ
Р. А. Зуб ко
Старший викладач Кафедра шформацтних технологш та програмування Вщкритий мiжнародний ушверситет розвитку людини «УкраТна» вул. Львiвська, 23, м. КиТв, УкраТна, 03115 E-mail: RZubko@ukr.net
1. Вступ
Зображення, як1 представлен в цифровш форм1, необхщно збер1гати на нос1ях та передавати каналами зв'язку. Для економп пам'ят1 та б1льш ефек-тивного використання ресурс1в системи створюють
спещальш алгоритми кодування. Зображення - це особливий вид даних, який мае надлишковшть в двох вимiрах, що дае додатковi можливоси для стиснення. Завдяки цьому таю алгоритми кодування зображень можуть мати дуже висок коеф^енти ушдльнення.
Одним i3 перспективних методiв кодування е стис-нення зображень з використанням фрактально! графь ки. Фрактальне кодування - це математичний процес для кодування растрiв, яю мiстять реальне зображен-ня, в сукупнiсть математичних даних, що описують фрактальнi властивосп зображення. Цей вид кодування заснований на тому, що уа природш i бiльшiсть штучних об'екпв мiстять надмiрну iнформацiю у ви-глядi однакових малюнкiв, що повторюються [1]. Вони отримали назву фракталiв.
Фрактал - це структура, яка складаеться з подiбних форм i малюнкiв, що зустрiчаються в рiзних розмiрах. Цей термiн уперше застосував Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot) для опису малюнюв, що повторю-вались, яю вiн спостерiгав в багатьох рiзних проявах. Цi малюнки виглядали майже щентичними за формою та зустрiчалися в усiх предметах. Мандельброт також виявив, що фрактали можна описувати математично i створювати за допомогою дуже простих алгоритмiв i незначно! юлькоси даних [2].
2. Аналiз лкературних даних та постановка проблеми
Початок у розробщ фрактального методу поклали дослвдження Майкла Барнслi (Michael Barnsley) у 1988 роцi. Вш ввдкрив клас теорем, що дозволили ефективно стискати зображення. Барн^ назвав метод «фракталь-ним перетворенням» (Fractal Transform). При цьому кодуеться по суп не саме зображення, а алгоритм його побудови [3, 4]. Метод базуеться на певнш особливоси реальних зображень, яка полягае в тому, що в них з невеликими варiацiями багаторазово повторюються окремi самоподiбнi фрагменти. Наприклад, листя в крош дерева, вжна в будiвлi, тшоходи на вулицi, луска на риб^ межi мiж темними i свiтлими дiлянками зображення, як це показано на рис. 1. I хоча щ фрагменти вiдрiзняються мiж собою в деталях, проте, в них багато стльного [5]. Це був практично перший алгоритм, застосований для математичного опису реального растрового зображен-ня через його фрактальш властивостг
Фрактальне кодування широко використовуеться для перетворення растрових зображень у фрактальш коди. Фрактальне декодування е зворотним процесом, в якому система фрактальних кодiв перетворюеться в растр.
На стутнь фрактального стиснення поминий вплив чинять вмкт i розподiльна здатшсть початково-го растру. Зображення з великою юльюстю фрактальних елеменпв (наприклад, портрети, пейзажi i складш текстури) характеризуються вищою мiрою стиснення, чим зображення з низьким вмктом таких елеменпв (графiки, схеми, текст i простi текстури). Зображення з високою розподiльною здатнiстю можна стискати з великим ступенем компресп, не впливаючи на 1х якiсть. Для збереження високо! якостi зображень з низькою розподiльною здатнiстю пiдсумковий стутнь стиснення мае бути набагато меншим. Вщмггимо, що зображення з б^ьшою бiтовою глибиною (наприклад, 24-бiтовi кольоровi зображення) стискаються ефек-тивнiше, шж зображення з меншою кiлькiстю бтв на пiксель (зокрема, 8-бiтовi твтонов^ [1].
Процес кодування вимагае дуже великого об'ему обчислень. Для пошуку фрактальних малюнюв в
зображеннi noTpi6rn мiльйони, навггь мiльярди гге-рацш. Залежно вiд розподiльноï здатностi i 3MicTy вхiдних растрових даних, якост зображення, часу стиснення i розмiру файлу процес стиснення одного зображення може зайняти вщ дeкiлькох секунд до деюлькох годин (i б^ьше) навiть на дуже швидкодж-чому комп'ютeрi [1].
Рис. 1. Самоподiбнi фрагменти зображення.
Декодування фрактального зображення - процес набагато проспший, осюльки уся трудомiстка робота була виконана при пошуку ycix фракталiв тд час кодування. В процес декодування треба лише штерпре-тувати фрактальш коди, перетворивши ïx в растрове зображення.
Фрактальний метод стиснення зображень вщно-ситься до групи методiв стиснення з втратами шфор-мацп. Це означав що, у разi його застосування вщнов-лене зображення буде вiдрiзнявться вiд початкового на величину шуму перетворення, хоча ця вщмшшсть може бути дуже малою. Процес порiвняння фрак-талiв не передбачав пошуку точноï ïx вщповщность Замiсть цього шукавться «найкраща» вщповщшсть на пiдставi параметрiв стиснення (часу кодування, якоси та розмiрy вихщного зображення). Процесом кодування, проте, можна керувати, доводячи його до стану, в якому зображення «Узуально не мае втрат». Тобто, користувач не повинен бачити поНршення зображення.
Фрактальне кодування вiдрiзнявться вщ iншиx методiв стиснення з втратами. Метод JPEG забезпечуе ушдльнення, вщкидаючи тi компоненти зображення, якi не важливi для сприйняття людським оком. Отри-манi в резyльтатi даш надалi обробляються за допо-могою методу стиснення без втрат. Для досягнення висо^ мiри стиснення необxiдно вiдкидати б^ьше даних, що призводить до попршення якостi зображення i появи дискретних (блокових) дшянок.
Фрактальнi зображення не будуються на базi растру, а кодування не порiвнюеться з вiзyальними характеристиками людського ока. Навпаки, растров1 данi ввдкидаються, якщо необxiдно створити найкра-щий фрактальний малюнок. Високий стyпiнь стис-
нення досягаеться шляхом виконання великого об'ему перетворень i обчислень, що може попршити якiсть зображення, проте завдяки фрактальним компонентам спотворення не таю помига.
Бшьшшть iнших методiв стиснення з втратами за своТми характеристиками симетричнi. Це означае, що вони засноваш на використаннi конкретноТ послщов-ностi операцiй, якi при розпаковуванш виконуються в зворотному порядку. На стиснення i розпаковування потрiбно приблизно однаковий час. Фрактальне стиснення - процес асиметричний. Стиснення тривае на-багато довше, шж розпаковування. Ця характеристика дае можлившть ефективно використовувати метод для зображень, яю безперервно розпаковуються, але шко-ли не стискаються. Тому фрактальний метод дощльно застосовувати в базах даних зображень. Так, випущена у 1997 рощ фiрмою Microsoft енциклопедiя Encarta вмщуе на одному компакт-диску велику юльюсть тек-стовоТ iнформацiï та ^юстрована близько сiмома ти-сячами фотографш, якi закодованi саме цим методом.
Фрактальний метод кодування зображень забез-печуе коефщенти стиснення, що становлять вщ п'ят-десяти до п'ятисот разiв залежно вiд типу зображення i допустимого рiвня шуму перетворення. Таю коефь цiенти стиснення разом з високою швидкiстю декоду-вання роблять цей метод привабливим у використанш. Сам процес, що використовуеться деякими фракталь-ними пакетами, включаючи Fractal Transform Майкла Барнсл^ вважаеться патентованим [1].
Проблемам оптимiзацiï фрактального стиснення цифрових зображень присвячена велика юльюсть до-слiджень зарубiжних учених [6-11]. Слщ вiдмiтити роботу С. В. Винокурова [10], у яюй розглянуто алгоритм фрактального стиснення зображень з використанням просторово-чутливого хешування. Проте до« мало уваги прид^яеться методам оптимiзацiï фрактального стиснення, яю б мали однаково висою характеристики ступеня стиснення i якост вiдновленого зображення. Особливо актуальним на сьогодшшнш день залишаеться питання побудови швидкоджчих алгоритмiв фрактальноТ компресп.
3. Цiль та задачi дослщження
Метою роботи е дослiдження та аналiз перспектив-них алгоритмiв фрактального кодування зображень, а також можливост покращення коефiцiентiв стиснення.
Для досягнення поставленоТ мети :
- проаналiзувати аспекти та особливостi застосу-вання фрактального методу стиснення зображень;
- ощнити преваги та недолжи алгоритму фрактального кодування;
- запропонувати варiанти оптимiзацiï та шдви-щення швидкодiï стиснення зображень з використан-ням фрактальноТ графiки.
4. Математична модель кодування-декодування зображень фрактальним методом
Серед рiзноманiтних методiв кодування фрактальний метод дозволяе отримувати найбiльшi коефщь енти стиснення. З фiзичноï точки зору фрактальне
кодування грунтуеться на твердженш, що зображення мштить афiнну надлишковкть. Математична модель, яка використовуеться при фрактальному стисненш зображень, називаеться системами гтеруючих функцiй (Iterated Function Systems - IFS) [12]. Системи ггеруючих функцш мктитять набiр стискаючих перетворень roi, яю можливо задати так:
W(S) = \ (S), (1)
i=i
де S - зображення; юi - набiр стискаючих перетворень.
Ввдповвдно до теореми Банаха [13], шнуе певний клас вiдображень, яю називаються стискаючими i для них справедливо таке твердження: якщо до якогось зображення f0 ми почнемо багаторазово застосовувати вщображення W таким чином, що:
f!=W(fO, fi=W(fi-1), (2)
то в межi при i, що прямуе до несганченносп, ми отри-маемо таке саме зображення незалежно ввд того, яке зображення ми взяли за f0:
f = limf. (3)
Зображення f називаеться нерухомою точкою пере-творення W або аттрактором.
В якост перетворень wi використовуються афiннi вiдображення:
/ \ x ai bi 0 " x "dx"
wi y = ci di 0 y + dy
,z, 0 0 Si z Oi
де ai, ьг, ci, di - афшш коефiцiенти деформацп, стиснення, обертання; dx, dy - коефвденти перемiщення; x, y - координати точки, що перетворюеться; z - ïï iнтенсивнiсть.
Параметр Si керуе контрастшстю, а ог - яскравiстю зображення. Знаючи коефвденти цих перетворень, ми можемо вщновити початкове зображення [12].
Алгоритм фрактального кодування зображень можна описати так. Процес стиснення починаеться з того, що беруться два вдентичш екземпляри зображення - А i Б, один з них розд^яеться на блоки, що не перекриваються (ранговi обласп), а на другому зада-еться м6гр домешв, яю можуть взаемно перекривати-ся, як це показано на рис. 2. Домени повинш включати характерш фрагменти, яю надалi використовуються для побудови декодованого зображення. Шсля цього починаеться кодування зображення шляхом тдбору для кожноТ ранговоТ областi найбшьш вщповщного домена, за допомогою якого розпод^ яскравостi в ранговiй област може бути апроксимований розпо-д1лом яскравостi в доменi. Для того, щоб отримати найкращу апроксимащю, домени тддаються афш-ним перетворенням, в результат яких вiдбуваеться не лише Тх геометрична деформацiя, але i змши контрасту та яскравость Якщо розпод^ом яскравостi в перетвореному домеш не вдаеться досягти задов^ьноТ апроксимацп розпод^у яскравостi в ранговш областi, рангова область дшиться на чотири частини i про-
цес повторюеться. Яюсть необхiдноi апроксимацii за-даеться у виглядi допустимого значення середнього квадрата помилки апроксимацп (середнього квадрата невщповщносп). Номери доменiв, використаних при кодуванш кожноi ранговоi области а також коефщь енти афшних перетворень стискаються шляхом кодування ентропп i записуються у файл. Файл стиснено-го зображення мктить заголовок з iнформацiею про розташування рангових областей i доменiв, а також таблицю ефективно упакованих афшних коефвденпв для кожноi ранговоi область
dF=о,—=о,
dS dO
а б
Рис. 2. Розподт на зображенж: а — рангових областей; б — доменних областей
Одна з можливих схем кодування зображень фрак-тальним методом, запропонована Арно Жакушом (Arnaud Jacquin) [14, 15], мштить таю етапи:
- Зображення роздшяеться на примикаючi одна до одноï областi розмiром N x N (ранговi областi).
- Задаеться набiр доменних областей. Доменнi об-ласт можуть перекриватись, вони не повинш обов'яз-ково закривати всю поверхню зображення. Розмiри доменних областей звичайно вибирають 2Nx2N. Для кожноï ранговоï областi пiдбиравться доменна область, яка тсля афiнниx перетворень найбшьш точно апроксимуе рангову область. На практищ застосо-вуеться вiсiм варiантiв вiдображення одного квадрата в шший з використанням афiнниx перетворень. Це повороти зображення на кути 0, 90, 180, 270 градуав вщносно його центра i перетворення симетрп ввдносно ортогональних осей, якi проходять через центр фрагменту перпендикулярно його сторонам.
- Точшсть апроксимацп F визначаеться за допомо-гою середньоквадратичного критерiю:
F = I (Sd,J + Oj-rö)2
(5)
де dij - значення, отриманi в результат усереднення по фрагментам з розмiрами 2x2 елементiв доменноi области що приводить ii розмiр до розмiру ранговоi областi; - значення елеменпв ранговоi областi; О^ -змiщення, може бути як константою так i описуватись полшомами першого, другого або третього порядюв.
Прирiвнявши до нуля частковi похщш вiд виразу (5) по S i О
знайдемо значення S i O, при яких досягаеться мшь мум виразу (5):
O = ^
I rr SI dj
s=-
21 rA-I rjl dj
_JJ_ij ij
n2^d,j2 -¿j
(7)
(8)
Домeнi блоки звичайно вибирають з кроком n/2 при n=4. У вихвдний файл записуються таю параметри:
- координати доменно'1 област з найменшим значенням Fmin;
- значення O i S, отримаш згвдно виразiв (7, 8);
- номер афшного перетворення. Алгоритм декодування полягае в тому, що бе-
руться два екземпляри одного i того ж зображення А i Б, розподш яскравосп в яких неважливий. На цих зображеннях видшяються области мeжi яких сшвпадають з межами рангових областей i домешв, а потiм, використовуючи вiдомi значення афiнних коeфiцiентiв, по доменах, видшених на зображeннi Б, знаходяться розподши яскравостi в рангових областях зображення A. Шсля цього зображення А i Б мшяються мшцями i опeрацiя повторюеться. Мож-на показати, що при багатократному повторенш цiеï операцп розподiл яскравосп в зображеннях А i Б на-ближатиметься до розподiлу яскравосп в початковому зображeннi. Звернемо увагу на те, що алгоритми стиснення i декомпресп асиметричш. Слщ також вiдмiтити, що процес стиснення вимагае набагато бшьше часу, чим процес декомпресп.
Декодування стисненого зображення носить иера-цшний характер i складаеться з таких етатв [12]:
- Створюються два зображення однакового розмiру А i Б. Розмiр цих зображень не обов'язково рiвний розмiру початкового зображення, початковий малю-нок областей А i В будь-який.
- Зображення Б розбиваеться на ранговi област так як на першш стадп процесу стиснення. Для кожноï ранговоï областi зображення Б виконуеться афшне перетворення вiдповiдноï домeнноï областi зображення А i результат помщаеться в Б.
- Виконуються опeрацiï iдeнтичнi попередньому пункту, тшьки зображення А i Б мшяються мшцями.
- Багатократно повторюються другий i третш кроки до тих тр поки зображення А i Б не стануть неро-зрiзнeними.
5. Аналiз методiв оптимiзацiï фрактального стиснення зображень
Для тдвищення швидкодп та ефективност фрактального кодування зображень використовують ряд мeтодiв оптимiзацiï. Найпростiший i найповшьшший
споиб фрактального кодування е перевiрка кожного доменного блоку i виконання обчислень згщно виразiв (5), (7), (8). Такий споаб називаеться повним пошу-ком або повним перебором. При кодуванш зображень природного походження можна тдвищити швидкодiю кодування, прийнявши S=1, оскiльки враховуючи статистику зображень завжди знайдеться доменний блок, який апроксимуе заданий ранговий блок з необхщною точшстю. Тодi з виразiв (5), (7) одержимо:
F = 1 (V г,)2
о=£
(9)
(10)
Контрастшсть декодованого зображення може бути вщновлена iншими методами. Таке спрощення дозволяе знизити кiлькiсть арифметичних операцш на 60 % i ввдповвдно пiдвищити швидкiсть стиснення.
Найбiльш вiдомi методи пiдвищення швидкодii кодування зображень фрактальним методом:
1. Пошук доменних блокiв, для яких F не перевищуе заданого значення.
2. Локальний та сублокальний пошук.
3. 1зометричне передбачення.
4. Класифжащя доменних i рангових блоюв; ранговий порiвнюеться з доменними блоками того ж самого класу.
Серед методiв необхщно вщмиити класифiкацiю, що запропонував Арно Жакуш [12, 16]. Вона грун-туеться на топологи блоюв i передбачае:
- блоки без контурiв;
- блоки, iнварiантнi до орiентацii (текстурш блоки);
- контурнi блоки (виконуеться повний перебiр).
6. Висновки
В результат аналiзу аспектiв та особливостей за-стосування фрактального методу стиснення зобра-жень, можемо зробити висновки, що вш здатний забез-печити найкраще спiввiдношення ступеня стиснення i
якостi вiдновленого зображення i мае хорошi перспек-тиви для подальшого розвитку. Стало зрозумiло, що в процеа перетворення звичайних растрових зображень у фрактальш данi вiдразу ж реалiзуються кiлька сут-тевих переваг. Наприклад, можлившть масштабувати фрактальне зображення без появи артефакив i втрати деталей, як це характерно для растрових зображень. Цей процес не залежить вщ розподiльноi здатностi по-чаткового зображення i масштаб обмежуеться тiльки об'емом вiльноi пам'ятi комп'ютера. Ще одна перевага полягае в тому, що розмiр фiзичних даних, якi вико-ристовуються для запису фрактальних кодiв, значно менший розмiру початкових растрових даних. Саме ця вщмшшсть фрактальноi технологii, що називаеться фрактальним стисненням, викликала найб^ьший ш-терес у сферi формування i вiдтворення комп'ютерних зображень.
Основним недолiком фрактального методу е низь-ка швидкiсть стиснення. Вона пов'язана з тим, що для отримання високо'Т якосп зображення, для кожного рангового блоку необхщно виконати перебiр всiх доменних блоюв. Для кожного доменного блоку необхвд-но виконати не менше восьми афшних перетворень. Ця проблема розв'язана тшьки частково. Внаслiдок вщмь чених недолтв цей метод застосовуеться на практищ порiвняно рiдко.
Процес фрактального перетворення асиметричний. Тобто ввдтворення зображення вщбуваеться набагато швидше нiж стиснення. Процес иерацшного декоду-вання не е простою швераею процедур стиснення i вимагае значно менше часу для його виконання, що дае можливiсть уже тепер використовувати цей метод для компактного збер^ання зображень на рiзних носiях шформацп.
Пропонуються варiанти оптимiзацii та тдвищен-ня швидкодii стиснення зображень з використанням фрактально'Т графiки. Оптимiзацiя дозволить змен-шити час стиснення зображень без суттевого по-пршення якостi. Нажаль, запропоноваш методи не повнiстю вирiшують проблему тдвищення швидкодп фрактального стиснення зображень. Тому перед до-слiдниками вщкриваються можливостi покращення ефективностi та пошуку iнших способiв оптимiзацii фрактального кодування.
Лiтература
1. Мюррей, Д. Энциклопедия форматов графических файлов [Текст] / Д. Мюррей, У. ван Райпер; пер. с англ. - К.: Издательская группа ВНХ 1997. - 672 с.
2. Бенуа, Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы [Текст] / Б. Бенуа. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 666 с.
3. Ватолин, Д. Методы сжатия данных [Текст] / Д. Ватолин, А. Ратушняк, М. Смирнов, В. Юкин. - М.: Диалог-МИФИ, 2002. -381 с.
4. Барнсли, М. Фрактальное сжатие зображений [Текст] / М. Барнсли, Л. Ансон // Мир ПК. - 1992. - № 10. - С. 52-58.
5. Красильников, Н. Н. Цифровая обработка 2D- и 3D-изображений [Текст]: уч. пос. / Н. Н. Красильников. - СПб.: БХВ-Пе-тербург, 2011. - 608 с.
6. Ватолин, Д. С. Использование ДКП для ускорения фрактального сжатия изображений [Текст] / Д. С. Ватолин // Программирование. - 1999. - № 3. - С. 51-57.
7. Карпов, П. М. Быстрый фрактальный алгоритм сжатия изображений [Текст] / П. М. Карпов. - Научная сессия МИФИ, 2006. - Т. 15.
8. Шабаршин, А. А. Метод фрактального сжатия изображений [Текст] / А. А. Шабаршин // Научные школы УПИ-УГТУ. -1997. - № 1. - С. 70-82.
9. Винокуров, С. В. Методы повышения временной эффективности алгоритмов фрактального сжатия изображений [Текст]: матер. конф. // Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики, сборник Информатика, 2005. - С. 53-59.
10. Винокуров, С. В. Эффективный алгоритм фрактального сжатия изображений с использованием пространственно-чувствительного хеширования [Текст] / С. В. Винокуров // Открытое образование. - 2006. - Т. 4, № 57. - С. 62-70.
11. Осокин, А. Н. Исследование возможности распараллеливания процесса фрактального сжатия изображений [Текст] : сб. трудов VIII Всеросс. научно-практ. конф. / А. Н. Осокин, М. П. Шарабайко // Молодежь и современные информационные технологии. - Томск, 2010. - Т. 1, Ч. 2. - С. 212-213.
12. Майданюк, В. П. Методи i засоби комп'ютерних шформацшних технологш. Кодування зображень [Текст]: навч. пос. / В. П. Майданюк. - Вшниця: ВДТУ, 2001. - 65 с.
13. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения: введение в теорию [Текст] / М. Л. Краснов. - М.: Наука, 1975. - 302 с.
14. Хуанг, Т. С. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений [Текст] / Т. С. Хуанг и др.; под ред. Т. С. Хуанга: пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1984. - 224 с.
15. Кунт М. Блочное кодирование графических материалов. Обзор [Текст] / М. Кунт, О. Джонсон // ТИИЭР. - 1980. - Т. 68, № 7. - С. 21-40.
16. Майданюк, В. П. та ¡н. Кодування зображень в комп'ютерних системах [Текст] / В. П. Майданюк та ¡н. - К.,1996. - 16 с.
