Стационарный метод Галеркина для полулинейного неклассического уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

УДК 517.95

СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД ГАЛЁРКИНА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО НЕКЛАССИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ Е. С. Ефимова

Аннотация. В цилиндрической области ( С К" изучается краевая задача для полулинейного неклассического уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени. Доказывается теорема об однозначной разрешимости рассматриваемой краевой задачи в весовом пространстве Соболева. При этом к решению краевой задачи применяется стационарный метод Галеркина. Также получена оценка погрешности стационарного метода Галеркина.

Ключевые слова: стационарный метод Галеркина, приближенное решение, неравенство, оценка.

Исследованию неклассических уравнений с меняющимся направлением времени посвящена обширная литература [1—7]. Нелинейные параболические уравнения с меняющимся направлением времени начали рассматриваться впервые в работах Н. Н. Яненко (см. [8]) для описания сложных течений вязкой жидкости. Стационарный метод Галеркина, будучи универсальным методом, применялся во многих работах (см. [9,10]). В [10] получены оценки погрешности метода Галеркина для нестационарных уравнений.

В данной работе с помощью стационарного метода Галеркина доказывается однозначная разрешимость краевой задачи для полулинейного неклассического уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени. Для приближенных решений установлены оценки погрешности стационарного метода Галеркина через собственные числа соответствующей спектральной задачи.

Пусть О — ограниченная область в М" с гладкой границей Б, О4 = О х {г} для 0 < г < Т, Бт = Б х (0,Т).

В цилиндрической области Ц = О х (0, Т) рассмотрим неклассическое уравнение высокого порядка

2в+1

Ьп = к*(х, г)в1 и - Аи + с(х)и + |п|рп = /(х, г), (1)

г=1

где з > 1 — целое число, / € Ь2(Ц).

© 2017 Ефимова Е. С.

Будем предполагать, что коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие в (5, и введем множества

= {(х, 0) : (-1)^+1 (х, 0) ^ 0, х е П], = {(х, Т) : (-1)вк2в+1 (х, Т) ^ 0, х е П]. Положим р = р + 2, — 1 < р < ■

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Q такое, что

и\вт = 0, (2)

= 0, з = 0, в - 1, Г>?г/,и+ = 0, 0?и\-5- = 0. (3)

I *— т IО о IО т

Пусть Сь — класс гладких функций, удовлетворяющих краевым условиям (2), (3), Ш — замыкание Сь по норме

Мь = 1|иН2,2в + 1|к2Я+1 ^28+1иУ2.

Рассмотрим случай

(-1)^23+1 (х, 0) < 0, (-1)8к2*+1(х, Т) > 0. Пусть функции {рк (х, *)] являются решением спектральной задачи

(-1)8£28рк - Дрк = Хкрк, х е П, (4)

Рк\вт = 0, (5)

з = о^т^т. (6)

При этом функции рк(х, е Ш^'28^) П Шортонормированы в и образуют в нем базис, а соответствующие собственные числа таковы, что 0 < А1 < А2 < ... и Ак ^ +то при к ^ то.

Пусть Ьр(П) (1 < р < то) — банахово пространство измеримых в П функций, суммируемых с р-й степенью, норма в ЬР(П) задается равенством

1|п||ьр(п) = (/ \и(х)\р Лх)

-'РУ

'П

Ь2(П) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(п, г>) = / пг>Лх, ||п||2 = (п,п),

П

тШ.Й /

Щ"'1^) — анизотропное пространство Соболева с нормой

|п||2 = / I V ^ап)2

]Г (Яап)2 + (^

д Н<т

Приближенные решения (х, краевой задачи (1)—(3) будем искать в виде

п*(М)=£ с*Рк(М),

N

ск к—1

в котором с* определяются системой нелинейных алгебраических уравнений

(Ьи", = 1 = 1,Ж. (7)

Лемма 1. Пусть коэффициент с(х) > 0 достаточно большой и выполнены

условия

> б > 0,

( — 1)^2*+1(х, 0) < 0, (—1)^2*+1(х, Т) > 0.

Тогда имеет место оценка

| |п"|р ¿Ц + ||п"||2,я < Сц

С > 0, Уп € Сь-

(8)

Доказательство. Умножив обе части (7) на СN и просуммировав по I от 1 до N, получим равенство

(Ьп" ) = (/,п").

(9)

Обозначим ад = п". В результате интегрирования (9) по частям с учетом условий (2), (3) получим

(Ьш,ь>) = I + 1^(-1У[2к2з-(23 + 1)к2з+и}(П!ъи)2

Я

2

Я

+ ^Г'Ш2Х1+С'Ш2 + [ к2в+^¡ии)2 с1х

i=1 ^ о

г=т

+I, (10)

¿=0

где

|11< м / 2 ¿ц

i=0

М — положительная постоянная, зависящая от коэффициентов А уравнения (1). В силу теорем вложения [12] справедливы оценки

< е

Я

+ 2

¿Ц + Се|М|2, V € ^'(Ц),

1 < й < з — 1, е> 0, Се > 0 зависит от параметра е и Ц. Тогда для I справедлива оценка

|11 < 7

Я

ЕпХ, + (ад2

¿Ц + С7||п||2, 7 > 0, С7 > 0.

Воспользовавшись неравенством Коши, полагая в соотношении (10)

б 1'

7 = Ш1п

2' 2

и считая, что с(х) — С7 > со > 0, получим оценку леммы 1.

2

г

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда система (7) однозначно определяет приближенные решения п*.

Доказательство леммы 2 проводится аналогично доказательству леммы 1 в [11].

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 1 и

(-1)3[2к2з - к2я+н] > 5> 0, 5> 1. Тогда имеет место оценка

1|п* 12,23 < С2[||/12 + ||/||2(р+1)], С2 > 0. (11)

Доказательство. Умножив обе части (7) на АгСг* и просуммировав по I от 1 до N, получим

(Ьп*, (-1)яЯ2яп* - Дп*) = (/, (-1)яЯ2яп* - Дп*).

(12)

В результате интегрирования (12) по частям с учетом условий (2), (3) имеем

/и

д 1—1

+ (-1 у I \и,\Ри>0?и,<1а + У|(-1 у(к2я-±к2я+1^(°?и>)2

и

2

(-1)8 ( к2я - ^±±к2я+и ] + 1

¿—1

+ (Дад)2 + с(х)(^ад)"2 - с(х)адДад | ^

-1У ! 1 кгО^&ии J к2я+1(0^'-шУ <Ь

ГЛ ¿— 1 /-1 ¿ — 1 о

д

(1)3^ и

+ / к2а+1^2(01уоХг)2 ¿х

т

¿—0

т

+ 71 + 72 + 73, (13)

¿—0

где

/и

72 = (-1)8/

У^ (вк2в+ш^ + . . . )

- ^ад в ^ к28+1х1^>х + ...

// п \ п

Д'ю А2«х, + ...) + Е Д'^х (^Д

л, 1_ \i=l / i=l

Используя неравенство Коши |аЬ| < 7а2 + -щЬ2, 7 > 0, оценим

|Л| < Е)2 ¿Ц + С(71^(Д'+^)2 ¿Ц, 71 > 0

< 7^ ¿(Д'^)2 ¿Ц + С(72) |

Я ^ Я

< 73 | )2 ¿Ц + С(7э) |

2 + 2

_к=0 i=1 ' — 1 п

2 + (д»

к=0 i=1

Я '=1 Я

В силу теорем вложения [12] справедливо неравенство

¿Ц, 72 > 0,

¿Ц, 73 > 0.

У (Д^аи)2 ¿Ц < е J

ЯЯ

¿Ц+С(е)|п|2, е > 0, и € Ж2'2'(Ц),

при ^ + ^ < 1. Согласно теоремам вложения имеем \¥2^(Я) С ^

1 1 п > 2. Отсюда при р < следует неравенство

.|Р,,,11 ^ С П.,,,11 Р+1

(14)

_ _ _ >п О гр п ТТЛ ТТ О ТТГЧТТ Г\ ^ РГГО ТТТШФ Ти/2>ТЛ О

2 п+1'

||КЧ|< СзНЧЦ^1, Сз > 0. (15)

Используя для дальнейшей оценки |^ | неравенства (14), (15), оценку (8) и неравенство Коши, из соотношения (13) получаем вторую априорную оценку.

Теорема 1. Пусть коэффициент с(х) > 0 достаточно большой и выполнены условия

( —1)'[2А2' — (2з + 1)А2'+1г] > б> 0, ( —1)'^' — *2'+1г] > б> 0, з> 1,

(~1ук2з+1(х,0) < о, (~1ук2з+1(х,т)>0, хеп.

Тогда существует единственное решение п(х,г) € Жь краевой задачи (1)—(3). При этом п" ^ п слабо в Ж2'2'^).

Доказательство. В силу леммы 2 система нелинейных алгебраических уравнений (7) имеет единственное решение , к = 1, М, т. е. для N = 1,2,... построены приближенные решения краевой задачи (1)—(3). Благодаря оценкам (8), (11) из последовательности п" можно извлечь подпоследовательность , слабо сходящуюся в '2'(Ц) к некоторой функции п(х, г) из '2'(Ц)ПЖ^'(Ц), такую, что |п"к|рп"к сходится к ад слабо в Ь2(Ц). Имеем

I А2'+1Д?'+1п"к Рг ¿Ц = —У Д2'п"к (А2'+1 Ргг + А2'+1^) ¿Ц

^ У Д2'п(А2'+1Ргг + &2'+1<Рг) ¿Ц, N —> то.

2

2

п

—5-

Используя теорию обобщенных функций, получим равенство

k2s+iDt2s+1u = - ^Dju - Au + c(x)u + w I + f,

где

/ 2s

f G Li(Q), kjDju - Au + c(x)u + wj G Li(Q).

Отсюда следует, что k2s+1D2s+1u G L2(Q) и u(x, t) G WL.

В лемме 1.3 из [4, гл. 1] положим g_Nfc = |uNk |puNk, g = |u|pu. В силу леммы 1.3 из [4] |uNk |puNk сходится слабо к |u|pu в L2(Q). Ввиду единственности слабого предела имеем w = |u|pu. Получаем, что уравнение (1) выполняется для почти всех (ж, t) G Q и краевые условия (2), (3) удовлетворяются в среднем.

Докажем единственность решения краевой задачи (1)—(3) из WL. Пусть u1, u2 являются решениями краевой задачи (1)—(3) из WL и Lou = Lu — |u|pu. Тогда, как в доказательстве леммы 1, получаем

0 = (Lo(u1 - u2),u1 - u2) + (|u1|pu1 - |u2|pu2,u1 - u2) > C4||u1 - ^Ц^, C4 > 0.

Отсюда u1 = u2. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и последовательность {k2s+1D2s+1uN j ограничена в L2(Q). Тогда справедлива оценка

Hu - uNН 1,s < C5(Hf Н + Hf ||p+1)An1+/12, C5 > 0, (16)

где u(x, t) — точное решение краевой задачи (1)—(3).

Доказательство. Пусть u(x, t) — точное решение краевой задачи (1)-(3). Представим Lu в виде

Lu = Lou + |u|pu. Для функций u(x, t) справедливы соотношения

(Lu,^) = (f,^), l =1,2,.... (17)

Пусть Hn — линейная оболочка элементов ..., , а Pn — проектор в L2(Q) на HN. Из (7), (17) имеем

(LuN,n) = (f,n), (Lu,n) = (f,n) Vn G Hn.

Отсюда

(Lo(u - uN) + |u|pu - |uN|puN, n) = 0.

Из последнего равенства при n = w - uN = (u - uN ) + (w - u), w G Hn , получаем

(Lo(u - uN), u - uN) + (|u|pu - |uN|puN, u - uN) = (f - LuN, u - w), (18)

(f - LuN) G L2(Q) и |uN|puN ограничена в L2(Q) на основании оценок (8), (15) и /э < Далее, как в доказательстве леммы 1, будем иметь

СбHu - uN||1s < (Lo(u - uN),u - uN), C6 > 0.

Отсюда с учетом монотонности функции |т|рт из (18) получаем С6||п — п"И?,' <||/ — Ьп"|||п — ад||,

тем самым

||п — п"||1'' < С7(||/|| + ||/ЮЦп — ад||, С7 > 0, Уад € . (19) Функция п(х, г) представима в виде ряда Фурье

п(х,г) = ск рк (х, г).

к=1

Имеем

( —1)'Д2'п — Ап = ^2 СкЛкРк.

к=1

Отсюда

]Тс2А2 = ||Д2'п + Ап||2 < С8[|/1|2 + ||/|2(р+1)], С8 > 0. (20)

к=1

Справедливо равенство

оо ^

||п — Р"п||2 = £ С2 < А"2+^ С2А2,

к="+1 к="+1

из которого получаем оценку

||п — Р"п||2 < СдА"+1(|/||2 + ||/|2(р+1)), С9 > 0. (21)

Полагая в неравенстве (19) ад = Р"п и учитывая оценки (20), (21), из (19) приходим к оценке (16) погрешности стационарного метода Галеркина.

Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда справедлива оценка

||п — п"||м < С10(||/|| + ||/|Р+1)А"1+/14, С10 > 0, где п(х, г) — точное решение краевой задачи (1)—(3).

Доказательство. В правой части равенства (18) преобразуем второе слагаемое:

— У А2'+1Д2'+1п"(п — ад) ¿Ц = I Д2'п"Дг[А2'+1(п — ад)] ¿Ц. (22)

ЯЯ Справедлива цепочка неравенств

¿Ц = Т 2'-2£ с2Ак. к=1

|пг|2 < Т

2' 2|

Д'п|

Т

2' 2

№)2+Е1

i=1

2

2

х

Отсюда при w = Pn u получаем

Hut - wt||2 < ckA;

2

'k •

(23)

k=N +1

Учитывая равенство (22) и оценки (20), (21), (23), из соотношения (18) нетрудно получить оценку погрешности теоремы 3. Теорема доказана.

Замечание 1. Не удается установить ограниченность последовательности {к2'+1 Д?'+1п"} в пространстве Ь2(Ц).

Замечание 2. Результаты теоремы 1, 2 справедливы при в =1, если коэффициент к2'+1 не зависит от х, т. е. к2'+1(х,г) = к2'+1(г).

1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

2. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

3. Beals R., Protopopescu V. Half-range completeness for the Fokker—Planck equation //J. Statist. Phys. 1983. V. 32, N 3. P. 565-584.

4. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1973.

5. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

6. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010.

7. Кислов Н. В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа и их приложения // Мат. сб. 1984. Т. 125, N 1. С. 19-37.

8. Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.

9. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

10. Виноградова П. В., Зарубин А. Г. Оценка погрешности метода Галеркина для нестационарных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 9. С. 1643-1651.

11. Ефимова Е. С., Егоров И. Е., Колесова М. С. Оценка погрешности стационарного метода Галеркина для полулинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Вестник НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2014. Т. 14, вып. 3., С. 43-49.

12. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

Статья поступила 20 ноября 2016 г. Ефимова Елена Сергеевна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, НИИ математики

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891 OslamESmail.ru

ЛИТЕРАТУРА

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

UDC 517.95

STATIONARY GALERKIN METHOD FOR

THE SEMILINEAR NONCLASSICAL EQUATION OF HIGHER ORDER WITH ALTERNATING TIME DIRECTION E. S. Efimova

Abstract. In a cylindrical domain Q C Rn, we study a boundary value problem for the semilinear parabolic equation of odd order with alternating time direction. The theorem about the unique solvability of the boundary value problem is proved in the weighted Sobolev space. The stationary Galerkin method is applied to solve the problem and the error estimation for this method is obtained.

Keywords: stationary Galerkin method, approximate solution, inequality, estimation.

REFERENCES

1. Tersenov S. A., Parabolic Equations with Varying Time Direction. Novosibirsk: Nauka, 1985.

2. Egorov I. E. and Fedorov V. E. Nonclassical Higher Order Equations of Mathematical Physics. Novosibirsk: Izdat. Vychisl. Tsentra SO RAN, 1995.

3. Beals R. and Protopopescu V. "Half-range completeness for the Fokker—Planck equation," J. Stat. Phys., 32, No. 3, 565-584 (1983).

4. Lions J.-L., Some Methods of Solving Nonlinear Boundary Value Problems [in Russian], Moscow, Mir (1973).

5. Egorov I. E., Pyatkov S. G., and Popov S. V., Nonclassical Differential-Operator Equations, Novosibirsk, Nauka (2000).

6. Oleinik O. A. and Radkevich E. V., "Second order equations with nonnegative characteristic form," Itogi Nauki, Ser. Mat. Anal., 7-252 (1971).

7. Kislov N. V. "Nonhomogeneous boundary value problems for differential-operator equations of mixed type and their applications," Mat. Sb., 125, No. 1, 19-37 (1984).

8. Larkin N. A., Novikov V. A., and Yanenko N. N., Nonlinear Equations of Variable Type, Novosibirsk, Nauka (1983).

9. Ladyzhenskaya O. A., Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Moscow, Nauka (1973).

10. Vinogradova P. V. and Zarubin A. G. "Error estimation of Galerkin method for non-stationary equations," J. Comput. Math. Math. Phys., 49, No. 9, 1643-1651 (2009).

11. Efimova E. S., Egorov I. E., and Kolesova M. S. "Error estimate for the stationary Galerkin method applied to a semilinear parabolic equation with alternating time direction," Vestn. Novosib. Gos. Univ. Ser. Mat. Mekh. Inform., 14, No. 3, 43-49 (2014).

© 2017 E. S. Efimova

12. Besov O. V., Il'in V. P., and Nikolsky S. M., Integral Representations of Functions and Imbedding Theorems, Moscow, Nauka (1975).

Submitted November 20, 2016 Elena S. Efimova

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics, 48, Kulakovsky St., Yakutsk 677891, Russia OslamESmail.ru