CC BY
15
УДК 517.9 Семенов Эдуард Иванович,
к. ф.-м. н., с. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск,
e-mail: edwseiz@gmail.com Косов Александр Аркадьевич, к. ф.-м. н., в. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск,
e-mail: aakosov@yandex.ru Тирских Владимир Викторович, к. ф.-м. н., доцент кафедры «Информационные системы и защита информации», Иркутский государственный университет путей сообщения,
e-mail: tirskikh_vv@irgups.ru Голышева Светлана Павловна, к. пед. н., доцент кафедры «Математика», Иркутский государственный аграрный университет имени А. А. Ежевского,
e-mail: golyshevasp@rambler.ru
СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ, ПРИМЕНЯЕМОЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СОВРЕМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
E. I. Semenov, A A Kosov, V. V. Tirskikh, S. P. Golysheva
ON EXACT SOLUTIONS FOR ONE CLASS OF THE NONLINEAR ELLIPTIC SYSTEMS
Аннотация. В статье изучается задача построения точных решений для нелинейной системы двух уравнений эллиптического типа. Система содержит одну нелинейность, зависящую от отношения двух искомых функций. Нелинейные системы уравнений эллиптического типа применяются в качестве математических моделей в теории тепло- и массопереноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии. Нахождение точных решений для нелинейных эллиптических систем играет важную роль как для развития теории и установления свойств всего множества решений, так и для приложений. Точные решения можно использовать для тестирования и верификации численных методов решения краевых задач. В статье доказано, что если нелинейность выражается через квадрат градиента гармонической функции, то система имеет точные решения, представимые комбинацией пары гармонических функций. Вторая гармоническая функция при этом выбирается так, чтобы ее градиент был ортогонален градиенту первой. В двумерном случае условие ортогональности градиентов автоматически выполняется для пары сопряженных гармонических функций. В статье приведено пять примеров систем с нелинейностями из класса элементарных функций, для которых найдены точные решения, также представимые элементарными функциями.
Ключевые слова: эллиптические уравнения, нелинейные системы, точные решения, гармонические функции.
Abstract. In the paper the problem of construction of exact solutions for nonlinear system of two equations of elliptic type is studied. The system contains one nonlinearity depending on the relation of two required functions. Nonlinear systems of equations of elliptic type are applied as mathematical models in theories of warm and mass transfer of the reacting systems, in the theory of chemical reactors, the theory of burning and mathematical biology. Finding exact solutions for nonlinear elliptic systems plays an important role both for development of the theory and establishment of properties of all set of decisions and for applications. Exact solutions can be used for testing and verification of numerical methods of solution of boundary value problems. In the paper it is proved that if nonlinear-ity is expressed through a square of a gradient of harmonious function, then the system has exact solutions, representable by a combination ofpair of harmonious functions. The second harmonious function thus is chosen so that its gradient was orthogonal to a gradient of the first one. In a two-dimensional case the condition of orthogonality of gradients is automatically satisfied for a pair of conjugate harmonious functions. The paper contains five examples of systems with nonlinearities from a class of elementary functions for which exact solutions are found also representable by elementary functions.
Keywords: elliptic equations, nonlinear systems, exact solutions, harmonious functions.
гирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии
[4].
Ранее в работах [1, 5] была рассмотрена система нелинейных эллиптических уравнений
[Л—= — F(х, у2 - a2) \Ла = aF(х,у2 - a2), (2)
которая включает в себя обобщенную модель магнитной изоляции [2, 3] и обладает тем свойством, что её решениями могут быть только решения линейного однородного уравнения Гельмгольца Ли = Х(х)и с функцией х(х) = F(х, ^2 - a2).
Введение
В работе строятся точные решения системы нелинейных эллиптических уравнений
Лу = у F| х, —
Лa = aF| х,— a
(1)
где
«-мерный оператор Лапласа. Такого рода системы встречаются в теории тепло- и массопереноса реа-
Информатика, вычислительная техника и управление
Постановка задачи
Аналогично [1, 5], точные решения системы (1) будем отыскивать в виде
|У(х) = / сЬ(ш),
\а{х) = / ъЦ®),
где / = f(x~), ш = - пока произвольные
дважды дифференцируемые по переменным
(х^..., хп ) функции.
После подстановки анзатца (3) в уравнения (1) соответственно получим
Г А сЬ(ш) + В бВД = 0, |А Б^ш) + В сЬ(ш) = 0, где приняты обозначения
(4)
Б ё: fAu> + 2V/ ■ Уш.
(
Здесь и далее V =
а а
' дх2
' дх,„
Л
гра-
V---1 ---2 ---п
диент, символ означает скалярное произведение. Относительно переменных А и В система алгебраических уравнений (4) является линейной и однородной, её определитель равен единице, поэтому она имеет только тривиальное решение А — 0. В — 0. Следовательно, с учетом введенных обозначений, соотношения (4) сводятся к следующей нелинейной системе двух уравнений в частных производных:
А/ + /V®!2 = / ^(х, сШ(ш)), (5) / Аш + IV/ • V© = 0. (6)
Формулы (5), (6) будем называть разрешающими уравнениями для системы (2) в виде ан-затца (3).
Отметим, что вместо анзатца (3) также можно использовать подстановку
| а(х) = / Бт(ш(х)).
В этом случае мы придем к системе разрешающих уравнений вида:
А/ -/Vш|2 = /Ях,с!в(ш)), (8) / Аш + IV/ • V© = 0. (9)
С общих позиций полученные системы разрешающих уравнений нисколько не проще исходной системы (1), однако, как показано ниже, такая форма представления задачи может быть полезна для последующих редукций [6 - 8] и отыскания точных решений.
Исследование разрешающей системы
и точные решения
Обратим внимание на следующий очевидный факт: если в разрешающем соотношении (5) функция f является гармонической, то оно упрощается и сводится к уравнению только от искомой функции ю:
2 = ^ (х,сШ(ш)). (10)
В случае, когда f является тождественной константой, приходим к очевидности следующего утверждения.
Утверждение 1. Система нелинейных эллиптических уравнений (1) имеет следующее точное решение
у(х) = С сЬ(ш (х)), а(х) = С (х)),
где С Ф 0 произвольная постоянная, а ю(х)-произвольная гармоническая функция, отличная от постоянной, удовлетворяющая уравнению (10).
Замечание 1. Задача нахождения гармонической функции ш (х) , удовлетворяющей при заданной нелинейности ^ (х,сШ(ш)) уравнению (10), является весьма непростой. Однако представляет интерес и «обратная» задача: выделить такие виды нелинейностей ^(х, у/а), которые обращают уравнение (10) в тождество для некоторых гармонических функций ш(х).
Пример 1. В случае размерности п — 3 возьмем фундаментальное решение уравнения
Лапласа ш (х) = 1 1 - . Легко убедить-
1
х 2 + у 2 + г 2
ся, что эта функция удовлетворяет следующему нелинейному уравнению в частных производных
первого порядка: 2 = ю4. Сравнивая правую
часть этого равенства с правой частью уравнения (10),
имеем ^ (х,сШ(ш)) = ш . Таким образом, полагая
¥
= Агст
а
¥
а
можно убедиться, что система нелинейных эллиптических уравнений
а а
ахуг ¥ = ¥ АгсШ4
Аху,а = а АгсШ
имеет следующее точное решение:
(
у(х, у, г) = С сЬ
1
Л
Г 2 , 2 , 2
^^ Vх + у +г )
a(x, y, z) = C sh
1
x2 + y2 + z2
где С ф 0 - произвольная постоянная.
Пример 2. Для случая п = 2 возьмем фундаментальное решение уравнения Лапласа
ю (x, у) = ln
1
Л
2 2 x2 + у2
. Нетрудно показать, что
F [¥| = 4
¥
+1
= 4
-1
V
¥ + a
¥ - a
А xy ¥ = 4 ¥
¥ + a
[у-a'
А a = 4 a
xy
у + a ¥-a
имеет следующее точное решение:
, л C 1 + (x2 + у2 )2
¥( x, У) = -■-*-—
2 x2 + у2
a( x у) = -у
C (x2 + у2 +
1)(x2 + У2
1)
2 2 x + у
dx
+
ду
свою очередь, разрешающее равенство (6) выполняется тождественно, поскольку функции /(:!, у) и ы(х,у) являются сопряженно-гармоническими, для которых скалярное произведение их градиентов тождественно равно нулю. Теорема доказана.
Пример 3. Система нелинейных эллиптических уравнений
А XV ¥ =
x2 + у2 - 1
(x2 + у2 )2 ■ -2 ■ -2
эта функция удовлетворяет следующему уравнению в частных производных первого порядка:
|Уш|2 = 4еш . Сравнивая правую часть этого равенства с правой частью уравнения (10), имеем Р(х,сЛ(ш)) = 4в'й . Таким образом, полагая
А xya =
x + у ) + x + у x2 + у2 - 1
(x2 + у2 )2 -
обладает точным решением
a
можно убедиться, что система нелинейных эллиптических уравнений
тогда система нелинейных эллиптических уравнений (1) имеет точное решение (3).
Доказательство. После подстановки функций (2) в систему (1) и несложных преобразований мы придем к разрешающей системе уравнений (5), (6). Так как функция у) является гармонической, то уравнение (5) сводится к равенству (11). В
¥( x, у) =1 arctg
f у 1 x2 + у2 +1 V x J yjx2 + у2
a(x, у) = - arctg
1 . f у ^ x2 + у2
у V x J
1
i
x2 + у2
Пример 4. Система нелинейных эллиптических уравнений
„x2 + у2 J a ) А^у¥ = 4 2 , ¥ Arth - ,
x -у v¥j
,x2 + у2 J a ^ А^a = 4 2 % a Arth
x - у
v
¥ j
имеет точное решение
¥(x, у) = 2^у ch (x2 - у2), a(x, у) = 2xy sh (x2 - у2)
В общем случае п > 2 справедлив резуль-
где С ^ 0 - произвольная постоянная.
Теперь вернемся к общему случаю, когда функция / является гармонической, отличной от тождественной постоянной. Сперва покажем, что в случае п = 2 имеет место теорема.
Теорема 1. Пусть /(:£,у) и м(х,у) - пара сопряженных гармонических функций и, кроме того, ы(х,у) удовлетворяет нелинейному уравнению в частных производных первого порядка
( Эш V ( Эш ^2
= Р (X, у,еШ(ш)), (11)
тат.
Теорема 2. Пусть /(х) и Л1(л ) - гармонические функции с ортогональными градиентами и, кроме того, ш(х) удовлетворяет нелинейному уравнению в частных производных первого порядка (10), тогда система нелинейных эллиптических уравнений (1) имеет точное решение (3).
Доказательство этой теоремы опустим, поскольку оно полностью повторяет схему доказательства теоремы 1.
В заключение сформулируем основные результаты для разрешающей системы (8), (9), исследование которой аналогично анализу системы разрешающих уравнений (5), (6).
Утверждение 2. Система нелинейных эллиптических уравнений (1) имеет следующее точное решение:
у(х) = С со8ш(х), а(х) = С со8ш(х), (12)
2
2
a
a
V
Информатика, вычислительная техника и управление
где С ф 0 - произвольная постоянная, а со (х) -произвольная гармоническая функция, отличная от постоянной, удовлетворяющая уравнению
|Аш 2 + ^(х,^(ш)) = 0. (13)
В справедливости этого утверждения можно убедиться непосредственной подстановкой функций (12) в систему (1), и после несложных преобразований мы придем к уравнению (13).
Пример 5. В случае размерности п = 3 возьмем фундаментальное решение уравнения
Лапласа ш (х) = 1 1 . Легко убедиться,
V
2 2 2 X + y + z
что эта функция удовлетворяет следующему нелинейному уравнению в частных производных
первого порядка: 2 =ш4. Сравнивая правую
часть этого равенства с правой частью уравнения (13), имеем ^(x,ctg(ш)) + ш4 = 0. Таким образом, полагая
F
VI + 4
— I = -arcctg
v a )
V
можно убедиться, что система нелинейных эллиптических уравнений
аxyz v + v arcctg4 (v i = 0,
аy,za + a arctg41 v 1 = 0
имеет следующее точное решение:
(
V(x, y, z) = C cos
a(x, y, z) = C sin
1
l
2 2 2 X + y2 + z
V
2 2 2 X + y2 + z
где С ^ 0 - произвольная постоянная.
Теорема 3. Пусть у) и 0)(X, у) - пара сопряженных гармонических функций и кроме того, 0У\_Х,у) удовлетворяет нелинейному уравнению в частных производных первого порядка
дшУ ____, .
+ ^ (х, У, ctg(ш)) = 0, (14)
vdx )
+
vdy )
тогда система нелинейных эллиптических уравнений (1) имеет точное решение (7).
Доказательство. После подстановки функций (7) в систему (1) и несложных преобразований мы придем к разрешающей системе уравнений (8), (9). Так как функция /( X, у) является гармониче-
ской, то уравнение (8) сводится к равенству (14). В свою очередь, разрешающее равенство (9) выполняется тождественно, поскольку функции fix,у) и üj(jefy) являются сопряженно-гармоническими, для которых скалярное произведение их градиентов тождественно равно нулю. Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть /(х) и (х ) - гармонические функции с ортогональными градиентами и, кроме того, ш(х) удовлетворяет нелинейному уравнению в частных производных первого порядка (12), тогда система нелинейных эллиптических уравнений (1) имеет точное решение (7).
Доказательство теоремы 4 опустим, поскольку оно полностью повторяет схему доказательства теоремы 3.
Заключение
В статье исследована задача построения точных решений для системы двух уравнений эллиптического типа с нелинейностями, зависящими от отношения искомых функций. Такого рода нелинейные системы уравнений эллиптического типа применяются в качестве математических моделей в теории тепло- и массопереноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии.
Доказано, что если нелинейность выражается через квадрат градиента гармонической функции, то система имеет точные решения, предста-вимые комбинацией пары гармонических функций. Вторая гармоническая функция при этом выбирается так, чтобы ее градиент был ортогонален градиенту первой. В двумерном случае условие ортогональности градиентов автоматически выполняется для пары сопряженных гармонических функций. Приведены иллюстративные примеры систем с нелинейностями из класса элементарных функций, для которых найдены точные решения, также представимые элементарными функциями.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ (проекты: № 1301-00376, № 15-08-06680) и Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-5007.2014.9).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Косов А.А., Семенов Э.И. Многомерные точные решения одного класса нелинейных эллиптических систем // Известия ИГУ. Сер.: Математика. 2014. Т. 9, № 3. С. 49-60.
2. Семенов Э.И., Синицын А.В. Математическая модель магнитной изоляции вакуумного диода
a
1
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
и ее точные решения // Известия ИГУ. Сер.: Математика. 2010. № 1. C. 78-91.
3. Косов А.А., Семенов Э.И., Синицын А.В. Интегрируемость модели магнитной изоляции и ее точные радиально-симметричные решения // Известия ИГУ. Сер.: Математика. 2013. Т. 6. № 1. С. 45-56.
4. Нелинейные системы двух уравнений эллиптического типа [Электронный ресурс] // Мир математических уравнений : сайт / ред А.Д. Полянин. URL: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/ solutions/syspde/spde-toc3.htm). (Дата обращения 15.11.2016).
5. Семенов Э.И., Косов А.А. О многомерных точных решениях одной нелинейной системы
двух уравнений эллиптического типа // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 2. С. 229-239.
6. Васильев С.Н. Метод редукции и качественный анализ динамических систем. I // Известия РАН. Сер.: Теория и системы управления. 2006. № 1. С. 21-29.
7. Васильев С.Н. Метод редукции и качественный анализ динамических систем. II // Известия РАН. Сер.: Теория и системы управления. 2006. № 2. С. 5-17.
8. Капцов О.В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М. : Физматлит, 2009. 184 с.
УДК 004.94 Аршинский Вадим Леонидович,
к. т. н., доцент, кафедра автоматизированных систем, Иркутский национальный исследовательский технический университет,
тел. 89149371595, e-mail: arshinskyv@mail.ru Проскуряков Дмитрий Павлович, аспирант,
Иркутский национальный исследовательский технический университет, тел. 89149150998, e-mail: dpprosk@gmail.com
ПРИМЕНЕНИЕ ОНТОЛОГИЙ И РАССУЖДЕНИЯ ПО ПРЕЦЕДЕНТАМ ДЛЯ ОБРАБОТКИ КОНТЕКСТА В СОБЫТИЙНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
V. L. Arshinsky, D. P. Proskuriakov
APPLICATION OF ONTOLOGIES AND CASE-BASED REASONING TO PROCESSING CONTEXT IN EVENT MODELING IN ENERGY SECURITY RESEARCH
Аннотация. Статья посвящена рассмотрению вопросов развития событийного моделирования в исследованиях энергетической безопасности, а именно - исследованию проблемы извлечения экспертных знаний в ходе построения событийных моделей и их дальнейшего использования. При построении событийной модели важно учитывать существенные в предметной области обстоятельства, в которых использование описываемых экспертных знаний будет корректно и актуально. Эти обстоятельства составляют контекст применения экспертных знаний. Рассматривается классификация контекста и его роль на этапах методики событийного моделирования. Выполнен аналитический обзор распространенных моделей представления контекста. Авторами предложен подход к использованию контекста в событийном моделировании, основанный на применении онтологического моделирования и рассуждения по прецедентам. Подход направлен на упрощение отслеживания контекстной информации при анализе событийной модели.
Ключевые слова: событийное моделирование, энергетическая безопасность, онтологии, рассуждения по прецедентам, динамическая память, конструкционная адаптация.
Abstract. The paper focuses on the issues of development of event modeling in energy security research, namely on the study of the problem of extracting expert knowledge during the event model construction and its further utilization. While creating an event model it is important to consider circumstances in a problem domain which make application of expert knowledge accurate and topical. These circumstances constitute the context of applying expert knowledge. Classification of context and its role in the stages of event modeling methodology are considered. Analytical survey of common context representation models is performed. Authors propose the approach to utilization of context in event modeling that is based on application of ontological modeling and case-based reasoning. The approach is aimed at simplifying keeping track of context information during analysis of an event model.
Keywords: event modeling, energy security, ontologies, case-based reasoning, dynamic memory, constructive adaptation.
Введение
В рамках исследований, проводимых на базе лаборатории информационных технологий в энергетике ИСЭМ СО РАН, разрабатываются различные методические и программно-инструментальные средства для построения семантических моделей, используемых для описания знаний в
области исследований проблем энергетической безопасности, а также управления этими моделями и их интеграции между собой [1]. Исследования проблемы энергетической безопасности (ЭБ) включают в себя решение задач оценивания воздействий реализации чрезвычайных ситуаций (ЧС) на топливно-энергетический баланс (ТЭБ) страны
