CC BY
14
УДК 532.135+537.84
DOI: 10.14529/ m m p180403
СТАЦИОНАРНЫЕ МАГННТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ПОЛИМЕРНОЙ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ
A.M. Блохин1'2, Р.Е. Семенко1'2
1 Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск,
Российская Федерация
2
Российская Федерация
В работе исследуется задача о магнитогидродинамическом течении несжимаемой проводящей полимерной жидкости в плоском канале, помещенном в магнитное поле. По стенкам канала пропущен электрический ток проводимости, а на самих стенках поддерживается разная температура. За основу математической модели магнитной гидродинамики жидких полимеров, рассмотренной в работе, берется обобщенная реологическая модель Покровского - Виноградова с привлеченными к ней уравнениями Максвелла. Для полученной краевой задачи изучаются стационарные решения специального вида, являющиеся аналогами известных вязких течений Пуазейля и Куэтта. Задача для таких решений сводится к краевой задаче для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Эту задачу мы преобразуем в систему интегральных уравнений, решения которой находим методом простой итерации. Проводится анализ решений для различных параметров задачи, и изучается характер влияния этих параметров на режим течения. Результаты работы демонстрируют возможность контроля за течением жидкого полимера в плоском канале при помощи внешнего магнитного поля и неравномерного нагрева.
Ключевые слова: магнитная гидродинамика; вязкоупругоетъ; полимерная жидкость; стационарное решение.
Посвящается В.Ф. Чистякову в связи с его семидесятилетием.
Введение
Растворы и расплавы полимеров являются сложными текучими системами, состоящими из длинных перепутанных макромолекул. Такая молекулярная структура является причиной определенных трудностей в построении математических моделей жидких полимеров. Стремление отразить молекулярный характер жидкости привело к серии моделей, полученных методами статистической физики, то есть путем усреднения вероятностных законов взаимного движения молекул различной формы. Среди них стоит отметить модели рептаций [1,2], описывающие динамику макромолекулы, как возвратно-поступательное ее движение внутри трубки случайной формы, образованной соседними молекулами; модель Кертисса - Берда [3], не использующую понятие трубки, но предполагающую сохранение общей ориентации молекул по времени в усредненном смысле; модель Рот-Рот [4,5], сфокусированную на моделировании полимерных жидкостей, макоромолекулы которых имеют разветвленную форму, и
другие. По понятным причинам, такие модели математически довольно сложны, что затрудняет их применение к реальным задачам гидродинамики жидких полимеров. Помимо такого микроструктурного подхода, широко применяется феноменологический подход к построению моделей полимеров, в значительной мере игнорирующий реальную молекулярную структуру вещества и заменяющий ее определенными макроскопическими соотношениями, сформулированными на основе эмпирических данных [6,7]. Такой подход позволяет получить более простые модели, но при нем трудно отразить микрохарактеристики конкретных полимеров, а значит и правильно сформулировать задачи о течениях реальных полимерных жидкостей. Очевидно, что ни один из этих подходов нельзя считать единственно верным^ и что для конкретных задач лучше будут себя проявлять разные модели.
Попытка в определенном смысле объединить оба подхода предпринимается в ме-зоскопических моделях. Так, в данной работе будут приведены уравнения, полученные на основе обобщенной реологической модели Покровского - Виноградова [8,9]. Идея этой модели заключается в том, что динамика полимерной жидкости сводится к закону движения одной макромолекулы в некоторой анизотропной жидкости, являющейся усредненным аналогом соседних молекул полимера. Таким образом, с одной стороны используется стохастическое уравнение типа уравнения Ланжевена для динамики молекулы, подобно известной статистической модели Рауза [2], но с другой используются феноменологические приемы для моделирования анизотропного взаимодействия этой молекулы с соседними, для чего в модель вводится макроскопический тензор анизотропии. Теоретически такой подход позволяет получить более точные результаты, чем феноменологический подход, но при этом удается сохранить относительную простоту используемых математических соотношений. Однако данная модель является сравнительно новой, и пока она недостаточно изучена с математической точки зрения. Для более глубокого изучения ее свойств необходимо рассмотреть поведение модели для различных типов течений полимерных жидкостей.
Нужно отметить, что задачи о течениях жидких полимеров в каналах различной формы вызывают значительный интерес в настоящее время в связи с широким применением полимерных материалов в самых разных областях промышленности. В частности, точный контроль за потоком полимера необходим для производства полимеров и для быстро набирающей популярность технологии ЗБ печати. Такой контроль может осуществляться при помощи формы канала с неподвижными и подвижными стенками, неравномерного нагрева полимера, электромагнитных полей, воздействующих на проводящую жидкость, и многими другими. Магнитная гидродинамика полимерной жидкости также интересна, как возможная основа для маг-нитогидродинамических генераторов. Существует ряд моделей, посвященных магни-тогидродинамическому движению жидких полимеров (например, [10,11]), однако в модели Покровского - Виноградова магнитная гидродинамика пока подробно не исследовалась.
Целью н ас тоятде и работы является изучения двумерного неизотермического движения проводящей полимерной жидкости в плоском канале, ограниченном электродами с пропущенными по ним токами проводимости. Для этого приводится магнито-гидродинамическая модель жидких полимеров, формулируется краевая задача для стационарных течении. Приводятся примеры стационарных течений, найденные численно для различных значений параметров задачи.
1. Предварительные сведения. Модель магнитогидродинамики полимерной жидкости
Следуя монографиям [9,12-15] и работе [16], сформулируем математическую модель, которая описывает магнитогидродинамические течения несжимаемой полимерной жидкости. Ниже мы рассмотрим вариант вышеупомянутой математической модели, в котором в уравнении, описывающем изменение внутренней энтропии (уравнение притока тепла) несжимаемой полимерной жидкости, диссипативные слагаемые введены по аналогии с работой [17]. В обезразмеренном виде этот вариант запишется так (далее мы будем придерживаться обозначений, принятых в [16]):
= их + Уу = 0, (1)
&УИ = Ьх + Му = 0, (2)
(\и / 0 \
— + ЪР = Ду(£П) + ат(И, Ъ)Н + Оа(^ - 1) ( 1 ) , (3)
ёац
dt
da22
— 2Ai ux — 2ai2uy + Cii = 0, (4)
- 2A2Vy — 2ai2Vx + С22 = 0, (5)
— AiVx — A2Uy + K1ai2 = 0, (6)
dt y to(Z) v ;
dZ 1 Ay Am / \
~dt = Pr Ax-yZ + PrZD + pr amDm> ^
dH — (H, V)u — bmAx,yH = 0. (8)
Здесь t - время, u, v, L, (1 + M) - компоненты вектора скорости u и вектора напряженности магнитного поля H в декартовой системе координат x, у; P = p + &m(L2 + (1 + M)2)/2, p - давление, а11, a22, al2 - компоненты симметрического тензора анизотропии второго ранга; П = {aij}/Re, i, j = 1, 2;
= Кj au + /3 (al + ai2) i = 1
Lii = — / Г7\ , i = 1, 2;
t 0(Z )
Kj = W" + kI/3, к = к — в, I = all + a22 - первый инвариант тензора анизотропии, к, в (0 < в < 1) - феноменологические параметры реологической модели [9], Ai = W"1 + aii7 i = 1, 2; Z = T/T0, T - температура, T0 - комнатная температура (далее будем полагать To = 300°К), Kj = Kj + /31, To(Z) = 1/(ZJ(Z)), J(Z) = exp(E^(Z — 1)/Z), Ea = Ea/T°, Ea~ энергия активации, Re = (puHl)/n0 ~ число Рейнольдса, W = (t^uh)// - число Вайсенберга, Ga = Ra/Pr - число Грасгофа, Pr = luHpcv/к = cvn0Re/к - число Прандтля, Ra = lbgT°Pr/u2H - число Рэлея,
= au2H Pr = au2H n0 A = amuH Pr
Ar T) ГГ1 ГТ1 , Am ГТ1 ,
ReT0Cv 10К i0Cv
D = aiiux + (Vx + uy)ai2 + a22Vy, Dm = L2ux + L(1 + M)(vx + uy) + (1 + M)2Vy, p = const
к b
g
свободного падения, По, - начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации при комнатной температуре То [9,16]; I - характерная длина, пн - характерная скорость, ат = (^^оИ0)/(рп2н) - коэффициент магнитного давления, Ьт = 1/И,ет, И,ет = а^^0пн/ - магнитное число Рейнольдса, ц0 - магнитная проницаемость в вакууме, ^ - магнитная проницаемость полимерной жидкости, а - электропроводность среды, а - термический эквивалент работы [18], ат - магнетотермический эквивалент работы, - теплоемкость,
I = I + (u V) = jL + «dX + * ¿,
. q2 q2
= QX2 + dy2 """""" опеРатоР Лапласа.
0)
Переменные ¿, х, у п, V, р, ац, а22, а^, Ь, М в системе и (1) - (8) отнесены к характерным величинам 1/пн, /, пн, рпн, рп2н, W/3, Н0 соответственно, где Н0 -характерная величина напряженности магнитного поля (рис. 1).
У
L\=0 M¡= 0 КЯо) s+ c+
и, v, L, 1+M, 1/2 s h(hl)
^Varra22'Z 0 -1/2
L\= 0 м;=о s c 1 (tf0)
Рис. 1. Плоский канал
Замечание 1. Магнитогидродинамические уравнения (1) (8) выведены с привле~ чением системы уравнений Максвелла [12,14], причем вектор магнитной индукции B берется в виде
B = ßßoH =(1 + x)ßoH, (10)
где x """""" магнитная восприимчивость, при этом [19,20] x = Xo/Z,Xo магнитная восприимчивость при комнатной температуре T0 = 3000K. Далее мы будем полагать, что для полимерной жидкости ß = 1 (xo = 0).
Замечание 2. В качестве основной проблемы мы будем рассматривать задачу о нахождении решений математической модели (1) (8), описывающих магнитогидро-динамическое течение несжимаемой полимерной жидкости в плоском канале толщиной 1 (/), ограниченной горизонтальными стенками - электродами C + и Cвдоль которых пропущены электрические токи проводимости с силой тока J+ и J- соответственно (рис. 1). Канал помещен в однородное внешнее магнитное поле L = 0, M = 0, т.е. 1 + M =1 (H0) (рис. 1).
Внешние по отношению к каналу области Б+ Б- - тоже магнетики с магнитными восприимчивостями х+ Х-■ На стенках канала выполнены граничные условия:
'у = ±1/2: и = 0 (условие прилип ания),
у = 1/2 : Z = 1 т.е. Т = То в области 5+ и на электроде С +, < у = -1/2 : Z = 1 + в, в = в/То, в = Т - То, т.е. при в > 0 (11)
будет нагрев снизу (Т - термпертура в области Б- и на электроде ^ Спри в < 0 - нагрев сверху.
В силу (11) и (10):
Х+ = Хо , Х- = Х-/(1 + в).
Замечание 3. Далее мы будем полагать соотношение к = 1, 2@, как наилучшим образом соответствующие экспериментальным данным [9].
Замечание 4. Границы С + и С~ - это границы раздела двух однородных изотропных магнетиков. Следовательно, на границах С + и С выполняются следующие краевые условия [19,21]:
{ у =1/2(С+): Ь = -З+М = х+ _ [у = -1/2 (С-): Ь = -З~,М = Хо/(1 + 0).
Настоящая работа посвящена нахождению характерных режимов стационарного течения несжимаемой полимерной жидкости, близких по своим качественным свойствам к известному течению Пуазейля или Куэтта для системы уравнений Навье -Стокса [13,18].
Замечание 5. Еще раз отметим, что в отличие от, например, работы [16], уравнение (7), описывающее изменение внутренней энергии (уравнение притока тепла), содержит диссипативные слагаемые, характеризующие поток тепла, возникающий при ненулевых градиентах скорости.
Замечание 6. Е ели верхняя стенка (электрод С + движется горизонтально с безразмерной скоростью, равной единице, то при
у = 1/2 : и = 1, V = 0. (13)
Замечание 7. Отметим одну важную особенность математической модели (1) - (8). В отличие от математической модели из [16], для которой случай в = 0 соответствует изотермическому варианту Z = 1, т0^) = 1, наличие диссипативных слагаемых в (7) приводит к тому, что неизотермичность имеет место и при в = 0. Так и должно быть, поскольку приток тепла будет происходить за счет работы компонент тензора анизотропии а \ а\2, а22-
2. Магнитогидродинамические стационарные течения в плоском канале
Введем в рассмотрение вектор
и (г, х, у) = (и, V, а 1 1, а 1 2, а22, Z, Ь, М )т.
12
Будем искать у системы (1) - (8) частное решение следующего вида:
(
U (t,x,y) = U(y), p(t,x,y) = 'Р(у) + p0 — Axj
соответствующее стационарному течению несжимаемой полимерной жидкости в плоском бесконечном канале (рис. 1) под действием постоянного перепада давления у=0
U(y) = (u(y), 0, an (у), au(y),a22(y),Z(y),L(y),M(y))T,
V(y) - некоторая функция, подлежащая дальнейшему определению, P(0) = 0 p0 значение давления на оси канала при у = 0, x = 0 A = Ap/(puHh), (—Ap/(pu2Hh)) - безразмерный перепад давления а отрезке h, причем размерная величина Ap > 0 (рис. 1).
Для определения функций ua(y), Zii(y), Zi2(y), a22(у), Z(y), L(y), ilaf(y), Pa(y) из (1) - (8), (11), (12) получаем следующие соотношения:
d
— (zZZi2 + (1 + A)amReL) = (Z Zu + (1 + A)amReL)' = —D, D = Re A, (14) dy
/ Z 2 Za V
(P + ^^^ — ^f) = Ga(Z — 1), Pa(0) = 0, (15)
u = KjJ(Z)Zai2, u(1/2) = u(—1/2) = 0, a = aii + a22, (16)
AU2
KjZ22 + в (a?2 + a22 ) = 0, (17)
K an + в (a22 + a2i) — 2ai2 K = 0, (is)
A2
(19)
Z" + (Ay Zai2 + Amffm(1 + A)L)uu = 0, Zz(1/2) = 1, Z(—1/2) = 1 + e,
bmL'' + (1 + A)u' = 0, L(±1/2) = —J±, (20)
Ma'' = 0, Ma' = 0, т.е. м = A = x+ = = const (12). (21)
Из (14) следует:
i(y)Zi2(y) = R(y,C), (22)
R(y,C) = — (1 + A)Ream(L(y,C) + J+) + D(1 — у) + C = Ri(y, C) + C.
Здесь C(= Zi2(1/2)) - постоянная, подлежащая дальнейшему определению.
Da = 1
параметра uH = lAp/(hn0)-
. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming
& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2018, vol. 11, no. 4, pp. 41-54
Полагая 2Г(у, С) = д(у, С) + 1 + 0(1/2 — у), сведем задачу (19) к такой:
д" + д(у,С)Я(у,С)Т(у,С) = 0, Q(±1/2) = 0. (23)
Здесь д(у,С) = АгК(у,С) + А^ат(1 + Х)Ь(у,С), Т(у,С) = (К¡3(¿))/Л2.
Рассмотрим теперь уравнения (17), (18). Вычтем из (18) соотношение (17). В итоге получим
К¡(ап — а22 — ^) = о,
т.е. при К! = 0 имеем
ап = а22 + 2|2, / = ^а22 + . (24)
а49
12 \ А2
а22
+в) а32+w-1 ( 1+2к+в) а22 + (^т) а22+= о. (25)
Из соотношения (16) получаем:
п(у,С) = 3 (у,С) + С3о (у,С), (26)
^ У У
3о(у,С)= I Т(в,С)ав, Му,С)= I Я1(в,С)Т(в,С)&в, (27)
-1/2 -1/2
с учетом (24),
Т(у, С) = 3(¿Ш+И^ + аУ*)/3 , , = 3, 2в.
1 + Wa22
Привлекая граничное условие (16), получим следующее определяющее соотношение для нахождения С:
с = — ШС. (28)
3о(1/2,С) '
Из (20) следует:
Ь(у,С) = (у + 2) 3- — 3+)— 3- + (у + ^V(2,С)—
У
причем
^V(у, С), V(у, С) = I п(з,С)&з,
Ьт
-1/2
У У
V(y,C) = — I 31(э,С)Л8 + С I 3о(5,С)а5. -1/2 -1/2
(29)
Наконец, рассматривая задачу (23), получим
1С)( y +
Q(y, С) = (y, С) + 5(1/2, C)[y + 2) •
Здесь
5(у,С)= J (у - вШв,С)Щв,С)Г(8, С -1/2
Замечание 9. В случае граничных условий (13) вместо (28) будем иметь
С = 1 - * (У^). (30)
/„(1/2, С) 1 '
Для нахождения искомых величин будем использовать метод простой итерации. Требуемые интегрэлы вычисляются по формулам прямоугольника на равномерной сетке с N узлов. Константа С вычисляется согласно закону (28):
*1(1/2,С—)
*о(1/2, С— )
или аналогичному закону (30) в случае соответствующих граничных условий (будем называть их первым и вторым граничным условием соответственно). Здесь ] = 0,1, 2... - итерационный индекс для С. Для каждого фиксированного ] неизвестные искомые функции задачи определяются внутренними итерациями по формулам, приведенным ниже.
0>п+1(у,С3) = -8п(у,С3) + ЗД/2,С )(у + 1/2),
С = - 1 У' _J-1 , (31)
y
Sn(y,Cj)= J (y - s)qn(s,Cj)Rn(s,Cj)Fn(s,Cj)ds,
_ -1/2 _ , , _ Qn (y,Cj) = Ar Rn(y,Cj) (1 + A)L n(y, С j),
,1
- . _ J(Zn)(1 + 2fcW(«22n + Й22п/а42п)/3
Rn(y, Cj) = -(1 + A)Ream(Ln(y, Cj) + J+) + D(- - y) + Cj = Rn + Cj,
Fn (y,Cj )
Zn(y,Cj) = Qn(y,Cj) + 1 + 9(1/2 - y), A2n = &22n + W
1 + W&22n
1
ai2n(y, сj) = Rn(y, С j )/Zn(y, Сj).
L
Ln+i(y,Cj) = (y + 0 (J- - J+) - J- + (y + 0 ^Vn(2,Cj) - Vn(y,Cj),
y y
Vn(y,Cj ) = - Jin(s,Cj )ds + Cj Jon(s,Cj )ds
-1/2 -1/2 y y
Jon(y,Cj) = J Fn(s,Cj)ds, Jin(y,Cj) = J Rn(s,Cj)Fn(s,Cj)ds.
-1/2 -1/2
y
а22
(I + в) а22(п+1) + w-1 (1 +1 + в) а22(„+1)+ + ( ^ + w-2 + ва?2^ а22(п+1) + ва22„w-1 = о.
Здесь из всех решений выбираются у
кубического уравнения (при наличии таковых). Индекс п = 0,1, 2,... индекс внут-
п
тах ||^га+1 — Еп\\ < 8, \у\<1/2
где Гп = (дп, Ьп,а22п), 8 > 0 — некоторая постоянная. Вычисляя установившиеся
3о 31
для итерационного шага по ^ следуя формуле (31). Итоговые итерации по ] также прекращаем, когда |С^+1 — С^ | < 8. После завершения итерационного процесса, мы находим оставшиеся неизвестные величины П, а11; М, V по формулам (15), (21), (24), (26).
Ниже приведены примеры численных расчетов по описанному методу для различных значений параметров задачи. Проиллюстрированы графики решений для компоненты скорости П, температуры 22 и компоненты напряженности магнитного поля Ь. За базовые значения параметров выбраны А = 1, А = 1, ат =1, Яе = 1, W = 1, в = 0, 5, Аг = 1, Ат =1,0 = 1, Ьт = 1, Еа = 1, 3+ = 2, 3- = 1. Параметры численного метода: N = 500, 8 = 10-4. Если какие-либо значения параметров отличаются от перечисленных, то это указывается в описании к рисункам.
Рис. 2 показывает решения с базовыми значениями параметров для двух гранич-
п заметить, ч^то профиль скорости вытянут против
градиента давления за счет магнитного поля. На рис. 3 градиент давления увеличен, в результате профиль скорости развернулся вправо. Рис. 4 иллюстрирует случай, когда перепад давления снова невелик, но направление тока на верхнем электроде изменено на противоположное. За счет этого скорость снова стала направлена в положительную сторону. Наконец, на рис. 5 показано решение с сильным охлаждением нижней границы канала, в результате чего скорость жидкости в нижней области стала практически нулевой.
г ь
Рис. 2. Решения дл я базовых значений параметров. Верхний ряд первое граничное условие, нижний второе граничное условие
Z L
Рис. 3. Решение для А = 3. Верхний ряд - первое граничное условие, нижний второе граничное условие
и 2 Ь
3+ = —1
второе граничное условие
z ь
Рис. 5. Решение для 9 = —0, 95. Верхний ряд - первое граничное условие, нижний -второе граничное условие
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 17-01-00791А и при поддержке программы фундаментальных научны,х исследований СО РАН № 1.1.5., проект № 03Ц-2016-0013.
Литература
1. De Gerrnes, P.G. Concepts in Polymer Physics / P.G. De Gennes. - New York: Cornell University Press, 1979.
2. Doi, M. The Theory of Polymer Dynamics / M. Doi, S.F. Edwards. - Clarendon: Oxford, 1986.
3. Bird, R.B. Dynamics of Polymeric Liquids. V. 2 / R.B. Bird, C.F. Curtiss, R.C. Armstrong, O. Hassager. - New York: Wiley, 1987.
4. McLeish, T.C.B. Molecular Constitutive Equations for a Class of Branched Polymers: the Pom-Pom Polymer / T.C.B. McLeish, R.G. Larson // Journal of Rheology. - 1998. - V. 42, № 1. - P. 81-110.
5. Verbeeten, W.M.H. Differential Constitutive Equations for Polymer Melt: the Extended PomPom Model / W.M.H Verbeeten, G.WT.M Peters, F.P.T. Baaijens // Journal of Rheology. -2001. - V. 45, № 4. - P. 821-841.
6. Oldroyd, J.G. On the Formulation of Rheological Equations of State / J.G. Oldroyd // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. -1950. - V. 200, № 1063. - P. 523-541.
7. Leonov, A.I. Nonlinear Phenomena in Flows of Viscoelastic Polymer Fluids / A.I. Leonov, A.N. Prokunin. - New York: Chapman and Hall, 1994.
8. Pokrovskii, V.N. The Mesoscopic Theory of Polymer Dynamics / V.N. Pokrovskii. - New York; Dordrecht; Heidelberg, 2010.
9. Алтухов, Ю.А. Введение в мезоскопическую теорию текучих полимерных систем / Ю.А. Алтухов, A.C. Гусев, Г.В. Пышнограй. - Барнаул: АлтГПА, 2012.
10. Bala Anki Reddy, P. Numerical Study of Magnetohydrodynamics (MHD) Boundary Layer Slip Flow of a Maxwell Nanofluid over an Exponentially Stretching Surface with Convective Boundary Condition / P. Bala Anki Reddy, S. Suneetha, N. Bhaskar Reddy // Propulsion and Power Research. - 2017. - V. 6, № 4. - P. 259-268.
11. Ellahi, R. The Effects of MHD and Temperature Dependent Viscosity on the Flow of Non-Newtonian Nanofluid in a Pipe: Analytical Solutions / R. Ellahi // Applied Mathematical Modelling. - 2013. - V. 37, № 3. - P. 451-1467.
12. Седов, Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1 / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1970.
13. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. - М.: Наука, 1978.
14. Ватажин, A.B. Магнитогидродинамические течения в каналах / A.B. Ватажин, P.A. Любимов, С.А. Регирер. - М.: Наука, 1970.
15. Бай Ши-и. Введение в теорию течения сжимаемой жидкости / Бай Ши-и. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.
16. Блохин, A.M. Стационарные решения уравнений, описывающих неизотермическую электроконвекцию слабопроводящей несжимаемой полимерной жидкости / A.M. Блохин, A.C. Рудометова // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2015. - Т. 18, № 1. - С. 3-13.
17. Shibata, Y. On the R-Boundedness for the Two Phase Problem with Phase Transition: Compressible-Incompressible Model Problem / Y. Shibata // Funkcialaj Ekvacioj. - 2016. -V. 59, № 2. - P. 243-287.
18. Слезкин, H.A. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / H.A. Слезкин. - М.: Гос. изд-во технико-теор. лит., 1955.
19. Ахиезер, А.И. Электромагнетизм и электромагнитные волны / А.И. Ахиезер, И.А. Ахи-езер. - М.: Высш. шк., 1985.
20. Нордлинг, К. Справочник по физике для ученого и инженера / К. Нордлинг, Д. Остер-ман. - СПб: БХВ-Петербург, 2011.
21. Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959.
Александр Михайлович Блохин, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой, кафедра «Дифференци^ьные уравнения», Новосибирский государственный университет; заведующий лабораторией, лаборатория «Вычислительные проблемы задач математической физики», Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск, Российская Федерация), [email protected].
Роман Е вгеньевич Семенко, кандидат физико-математических наук, ассистент, кафедра «Дифференци^ьные уравнения:», Новосибирский государственный университет; научный сотрудник, лаборатория «Вычислительные проблемы задач матема-
:
бирск, Российская Федерация), [email protected].
Поступила в редакцию 13 августа 2018 г.
MSC 76A10, 76W05 DOI: 10.14529/mmp180403
STATIONARY MAGNETOHYDRODYNAMICAL FLOWS OF NON-ISOTHERMAL POLYMERIC LIQUID IN THE FLAT CHANNEL
A.M. Blokhin1'2, R.E. Semenko1'2
Novosibirsk State University, Novosibirsk, Russian Federation 2
E-mails: [email protected], [email protected]
This paper studies the problem of the magnetohydrodynamieal flow of incompressible conductive polymeric liquid inside the flat channel in the magnetic field. There is an electric current flowing on the walls of the channel. The walls themselves have different constant temperature. The magnetohydrodynamieal model we use in the paper is based on the modified rheological Pokrovskii-Vinogradov model with additional Maxwell equations. We obtain the boundary value problem for this model and look for specific steady-state solutions which are alike the well-known viscous flows of Poiseuille and Couette. The problem for such solutions is reduced to a boundary value problem for a system of nonlinear ordinary differential equations, which in turn is transformed to the system of integral equation. We solve this system by fixed-point iterations. We examine the solutions for various values of parameters and study the influence of these parameters at the flow regime. The results of the paper show that is possible to control the flow of liquid polymer in a flat channel using an external magnetic field and non-inform heating.
Keywords: magnetohydrodynamics; viscoelasticity; polymeric liquid; stationary solution.
References
1. De Gennes P.G. Concepts in Polymer Physics. Cornell, Cornell University Press, 1979.
2. Doi M., Edwards S.F. The Theory of Polymer Dynamics. Clarendon, Oxford, 1986.
3. Bird R.B, Curtiss C.F., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of Polymeric Liquids. Vol. 2. N.Y., Wiley, 1987.
4. McLeish T.C.B., Larson R.G. Molecular Constitutive Equations for a Class of Branched Polymers: the Pom-Pom Polymer. Journal of Rheology, 1998, vol. 42, no. 1, pp. 81-110. DOI: 10.1122/1.550933
5. Verbeeten WT.M.H., Peters G.WT.M., Baaijens F.P.T. Differential Constitutive Equations for Polymer Melt: the Extended Pom-Pom Model. Journal of Rheology, 2001, vol. 45, no. 4, pp. 821-841. DOI: 10.1122/1.1380426
6. Oldroyd J.G. On the Formulation of Rheological Equations of State. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 1950, vol. 200, no. 1063, pp. 523-541. DOI: 10.1098/rspa.l950.0035
7. Leonov A.I., Prokunin A.N. Nonlinear Phenomena in Flows of Viscoelastic Polymer Fluids. N.Y., Chapman and Hall, 1994. DOI: 10.1007/978-94-011-1258-1
8. Pokrovskii V.N. The Mesoscopic Theory of Polymer Dynamics. N.Y., Dordrecht, Heidelberg, 2010. DOI: 10.1007/978-90-481-2231-8
9. Altukhov Yu.A., Gusev A.S., Pyshnograi G.V. Vvedeniye v mezoskopicheskuyu teoriyu tekuchikh polimemykh sistem [Mesoscopic Theory of the Liquid Polymeric Systems]. Barnaul, Alt CPA. 2012. (in Russian)
10. Bala Anki Reddy P., Suneetha S., Bhaskar Reddy N. Numerical Study of Magnetohydrodynamics (MHD) Boundary Layer Slip Flow of a Maxwell Nanofluid Over an Exponentially Stretching Surface with Convective Boundary Condition. Propulsion and Power Research, 2017, vol. 6, no. 4, pp. 259-268. DOI: 10.1016/j.jppr.2017.11.002
11. Ellahi R. The Effects of MHD and Temperature Dependent Viscosity on the Flow of Non-Newtonian Nanofluid in a Pipe: Analytical Solutions. Applied Mathematical Modelling, 2013, vol. 37, no. 3, pp. 451-1467. DOI: 10.1016/j.apm.2012.04.004
12. Sedov L.I. Mekhanika sploshnoy sredy. T. 1 [Mechanics of Continuous Media. Vol. 1]. Moscow, Nauka, 1997. (in Russian)
13. Loitsanskii L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of Liquid and GasJ. Moscow, Nauka, 1978. (in Russian)
14. Vatazhin A.B., Lyubimov G.A., Regirer S.A. MagnitogidrodinamAcheskiye techeniya v kanalakh [Magnetohydrodynamical Flows in Channels]. Moscow, Nauka, 1970. (in Russian)
15. Bai Shiyi. Introduction to the Theory of Compressible Flow. N.Y., Van Nostrand. 1959.
16. Blokhin A.M., Rudometova A.S. [Stationary Solutions of the Equations for Nonisothermal Electroconvection of a Weakly Conducting Incompressible Polymeric Liquid]. Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2015, vol. 9, no. 2, pp. 147-156. DOI: 10.1134/S1990478915020015
17. Shibata Y. [On the R-Boundedness for the Two Phase Problem with Phase Transition: Compressible-Incompressible Model Problem]. Funkcialaj Ekvacioj, 2016, vol. 59, no. 2, pp. 243-287. DOI: 10.1619/fesi.59.243
18. Slezkin N.A. Dinamika vyazkoy neszhimaemoy zhidkosti [Dynamics of Viscous Incompressible Liquid]. Moscow, Gosudarstvennoe izdatePstvo tekhniko-teoreticheskoy literatury, 1955. (in Russian)
A.M. Ejioxhii, P.E. Comoiiko
19. Akhiezer A.I., Akhiezer I.A. Electromagnetizm i electrorriMgnitnye volny [Electromagnetism and Electromagnetic Waves]. Moscow, Vysshaya Shkola, 1985. (in Russian)
20. Nordling C., Osterman D. Spravochnik po fizike dlya uchenogo i inzhenera [Physics Handbook for Science and Engineering]. St. Petersburg, Professional Pub Service, 2004. (in Russian)
21. Landau L.D., Lifshitz E.M. Elektrodinamika sploshnykh sred [Electrodynamics of Continuous Media]. Moscow, Gosudarstvennoe izdatebstvo tekhniko-teoreticheskoy literatury, 1960. (in Russian)
Received August 13, 2018
