Стационарное распределение слабо взаимодействующих марковских систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И 4^.

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.21

СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛАБО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МАРКОВСКИХ СИСТЕМ

АГАПОВА И. С, БЕСКОРОВАЙНАЯИ.В., МУРАВЬЕВА И. С. * i

Рассматриваются многокомпонентные системы марковского типа. Для многих реальных систем предполагается, что взаимодействия между компонентами значительно отличаются от взаимосвязей внутри каждой компоненты. Изучается вопрос о наличии стационарного распределения у подобных систем и предлагаются эффективные алгоритмы их нахождения.

1. Математическая модель взаимодействующих систем

Пусть на измеримом пространстве (X,B) задан стационарный марковский процесс ^(t) с конечным числом состояний и матрицей переходных вероятностей P(t) . Если выполнены условия регулярности [1], то процесс |(t) может быть описан прямой системой уравнений Колмогорова для вероятностей состояний pi(t):

Pj(t) = ZpiXij , (і)

i

где A = j=i — матрица интенсивностей пере-

ходов (инфинитезимальная матрица). Это означает, что

Z Ц = = Xt,i = 1,n,

j *i

или, что то же самое, при j ^ i.

Xj о

j-i

причем A,jj > 0

Допустим, что структура матрицы A такова:

А(є) = C + eD . (2)

Здесь матрица C имеет вид:

C = diag(Aii)

'An 0 0''

0 А22 0

V

0 0 Агт ,

а d — квадратная матрица (размерности n х n); є — малый вещественный параметр. В случае, когда D = 0, процесс |(t) является разложимым и распадается на r не связанных компонент, каждая из которых есть марковский процесс с числом состо-

яний, меньших чем n . Если же D ф 0 , то она характеризует “связи” между взаимодействующими фрагментами. Параметр є подчеркивает, что эти связи малы.

Запишем систему (1) в матричном виде:

p’(t) = pT(t)A(є) . (3)

T

Здесь т — символ транспонирования; p (t) — вектор-строка с компонентами pi(t),...pn(t) . Допустим, что матрица А(є) известна. Рассмотрим, как будут отличаться стационарные решения системы (1) в случае, когда связи малы и когда они отсутствуют. Для этого выясним, как связаны собственные числа и собственные векторы невозмущенной матрицы C = diag(Аи ) , i = 1,2,...r и возмущенной А(є).

Заметим, что каждая из матриц Аи, i = 1, r определяет некоторый марковский процесс, который как бы является фрагментом общего процесса §(t), в то же времяматрищ C уже процесс не определяет, апредстав-ляет ихтеоретико-множественное объединение.

Охарактеризуем спектр матрицы C . Очевидно, что нуль есть кратное собственное число, кратности не меньше чем r, остальные собственные числа лежат в левой полуплоскости. Это следует из теоремы Гершгорина [З]. Выясним, каким дополнительным условиям должен удовлетворять спектр матрицы А(є), чтобы процесс |(t) обладал стационарным распределением (был эргодическим).

Эти условия состоят в следующем: для эргодичности марковского процесса %(t) необходимо и достаточно, чтобы матрица (2) системы (3) имела простое собственное число 0, а все остальные собственные числа dj , j = 2,...,n имели бы отрицательные действительные части Re dj < 0.

Проверим эти утверждения. Пусть процесс |(t) эргодичен, т.е. существует предел

lim pj (t) = p* > 0, Z p* = 1. (4)

Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений (3):

e v nr

p(t) = ЁXie it + £Xl(1 + t + ... + tki)edit, (5)

i=1 i=e+1

где первая сумма отвечает группе простых собственных чисел, а вторая — кратным с кратностью

r

ki; x i — собственные векторы матрицы системы

(3). Так как все решения, входящие в (5), линейнонезависимы, то независимость p(t) от переменной t на бесконечности возможна только в том случае, когда Re dj < 0, причем одно из собственных чисел должно равняться нулю, а его кратность равна

r

единице. Собственный вектор xi , отвечающий

нулевому собственному значению, представляет собой стационарное распределение, удовлетворяющее условию (4). Утверждения верны.

32

РИ, 2001, № 3

2. Процедура нахождения поправок для собственных чисел и собственных векторов матрицы A(e)

Рассмотрим случай, когда спектр матрицы А( є) прост. Выясним, чему равны собственные числа dk(є), к = и собственные векторы xk(є), к = 1,...,п . Представим их в виде рядов по степеням малого параметра є:

ТО . ... dk(e) = S e‘dkl), (6)

i=0

да ■ ґ-\ xk(e) = S Bixki). i=0 (7)

Заметим, что dk(0) = dk , Хк(0) = Хк, где dk,Xk — собственные числа и собственные векторы матрицы C . Будем искать поправки d^ ,x(ti) в разложениях (6), (7).

По определению имеем

(C + eD)xk(e) = dk(e)xk(s), (8)

(C + sD)(Xk + sxk1) +...) = (dk + edk1) + ...)(xk +

+ exk1) +...). (9)

Раскроем скобки в (9) и приравняем выражение при одинаковых степенях малого параметра є. Тогда

е0 Cxk = dkxb (10)

е1 Cxk1) + Dxk = dkxk1) + dk1)xk^ (11)

е2 Cxk2) + Dxk1) = dkxk2) + dk1)xk1) + dk2)xk. (12)

Равенство (10) удовлетворяется тождественно. Преобразуем (11) следующим образом:

(C - dkI)xk1) =-(C - dk1)I)xk . (13)

Поскольку матрица А( є) — вещественная, то сопряженная к ней матрица А*(є) получается в результате транспонирования матрицы А(є) . При этом спектр матрицы А(є) совпадает со спектром матрицы А*(є) (собственные векторы, конечно, отличаются). Система собственных векторов Х1 ,Х2,...,xn матрицыА(є) биортогональна собственным векторам x*,x2,...x*n матрицы А*(є) , т.е.

(xk,xj)

U = j ,

0,i Ф j .

Умножим скалярно соотношение (11) на x*, получим

(Cxk1) , xk ) + (Dxk, xk ) = dk(xk1),xk) + dk1) (xk,xk).

Пользуясь определением сопряженной матрицы и свойством биортогональности, имеем

(xk1), C*xk) + (Dxk,xk) = (xk1),dkxk) + d'

й1)

dk1) = (Dxk,xk),k = 1,2,..., n.

(i)

(14)

Для нахождения поправки xk домножим ска лярно равенство (11) на x(ji), j Ф k . Получим

(Cxk1),xj) + (Dxk,xj) = dk(xk1),xj) +

+ dk1)(xk,xj).

(15)

Производя аналогичные преобразования, приходим к выражению

(xk4) =

1

dk - d

(Dx^x*), j Ф k,k = 1,2,..., n.

Относительно неизвестных компонент вектора xk1) выражения (15) есть система линейных алгебраических уравнений, причем число неизвестных на единицу больше числа уравнений. Для того чтобы превратить (15) в разрешимую систему, используем условие нормировки:

(xk(e),xk(e)) = 1.

Подставим сюда разложение (7), тогда получаем

(xk,xk)=1, (xk1),xk)+(xk,xk1))=0,

что возможно лишь при выполнении условия :

(xk1),xk) = 0 . (16)

Совокупность равенств (15), (16) образует уже определенную систему порядка п х п . Решение

этой системы дает “главную” поправку x^ •

Получим это решение в координатной форме. В качестве базиса линейного пространства выберем нормированную систему собственных векторов

xkx2,...,xn . B этом базисе координаты вектора x^ имеют вид

xk1) = Z^(k)xi .

i=1

При подстановке данного выражения в (15) и (16) получим

s(k) _ (x(1) x) _ (Dxk,xi) 5i “<xt,x,)“ dt -di

^ = OU) = 0.

k ф i

Отсюда координатное представление вектора xk1) имеет вид

x

(1) _ k -

Z (Dxk,x‘)ei

i*k dk di

(17)

Найдем поправки d(2* ,x(k2*. Для этого домножим

равенство (12) скалярно на xk • Тогда аналогично предыдущим преобразованиям получаем

РИ, 2001, № 3

33

42)

2 (Dxk,x*)(Dxi,xk)

i^k dk _ di

(18)

Для нахождения xk2) необходимо домножить (11) скалярно на x *, что приводит нас к выражению

(x<2),x-) = -±-[(Dxk»,x-) -

dk - d*

k * (19)

-dk1)(xk1),x*)] ,

которое совместно с условием (xk2), xk) = 0 определяет однозначным образом векторы xk2). Точно так же находят остальные поправки d(2\...,x(k3\....

Обратимся к случаю, когда среди собственных чисел матрицы С могут быть кратные. Пусть d -собственное число кратности t, a f\,f2,—,ft — соответствующие этому собственному значению t попарно-ортогональных собственных векторов матрицы А(є) . При возмущении матрицы C собственное число d перестает быть кратным, т.е. вместо d получается t различных собственных значений di(є),d2(єdt(є) . Соответствующие им нормированные собственные векторы обозначим через xi(є),x2(єxt(є) . Аналогично формулам (6), (7) имеют место разложения:

d*(e) = d* +ed(1) +

x*(e) = x* +ex(1) + ...,i = 1,2,..., t.

Отсюда следует, что xt — собственный вектор матрицы C , отвечающий кратному собственному числу d . Таким образом, xt есть линейная комбинация векторов f,f2,...,ft:

x* = Z djfj j=1

(20)

Имеет место следующее соотношение (по аналогии

с (12)):

Dx* + Cx|1) = dix(1) + d(1)xi,i = 1,2,..., t.

(21)

Сопряженная к C матрица с* имеет собственным числом d с той же кратностью t и систему собственных векторов f*,f*,...,f*, отвечающих d, биортогональную системе fy,f2,...,f.

Умножая (21) скалярно на f j и используя представление (20), получаем

Z am(Dfm,f*) = d(1)aj,j = 1,2,...,t. (22)

m=1

Из системы (22) видно, что числа d(1) являются

собственными числами матрицы (Dfm,fj) m,j = 1,2,...,t, а вектор xt определяется из системы

(21), уже полностью определенной. Поправка x(1) может быть найдена по формуле

34

(1) = " (Dxi,xj:>,

* j=1 di - dj ' j*i

x

(23)

абсолютно аналогично случаю, описанному выше.

Полученные результаты позволяют находить возмущения вероятностей состояний по известным возмущениям основных характеристик системы. Тем самым найдены формулы, позволяющие внести коррекцию в вероятности состояний и переходные вероятности процесса, описывающего марковскую систему с возмущенными параметрами.

Рассмотрим теперь, как возмущается решение системы (3) по отношению к соответствующим решениям системы (2). Для этого оценим по модулю разность решений систем (2) и (3):

P(t) = P(0)eAt,Q(t) = Q(0)e(C+sD)t.

Учтем, что начальные условия Р(0) и Q(0) совпадают, т.е.

||Q(t) - P(t)|| = P(0)

e(C+sD)t _ eAt

= eP(0)|Dt||O(s2) .

(24)

Заметим, что оценка (24) не зависит от спектра матрицы А и выбора матричной формы. Следовательно, она может быть использована как для простого, так и для кратного спектра [2].

Полученные расчетные формулы позволяют находить стационарные распределения для таких марковских систем, взаимодействия между которыми имеют порядки малости большие, нежели соответствующие величины, характеризующие внутренние связи каждой системы.

Литература: 1.Коваленко И.Н. Исследование по надежности сложных систем. К.: Наук. думка, 1975. 210с. 2. Дикарев В.А. Асимптотические разложения решений обобщенной системы телеграфных уравнений //Радиотехника и электроника. АН СССР. 1974. №11.С.47-51. 3. Анисимов В.В. Асимптотические укрупнения неоднородных марковских и полумарковских систем с произвольным пространством состояний // ДНАН УССР. 1981. №12.С. 3-6.

Поступила в редколлегию 26.04.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Дикарев В.А.

Агапова Ирина Степановна, аспирантка ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятности, стохастический анализ и его приложения. Адрес: Украина, 61093, Харьков, пер. Кульбицкий, 22, кв. 2, тел. (9572) 40-3913.

Бескоровайная Инна Владимировна, студентка группы ПМСАУ-96-1 факультета прикладной математики и менеджмента ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятности и стохастический анализ. Адрес: Украина, 61146, Харьков, ул. Академика Павлова, 140Г, кв.47, тел. (0572) 67-26-46.

Муравьёва Ирина Сергеевна, студентка группы ПМСАУ-96-1 факультета прикладной математики и менеджмента ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятности и стохастический анализ. Адрес: Украина, 61177, Харьков, ул. Полтавский Шлях, 156, кв.135, тел. (0572) 28-53-08.

РИ, 2001, № 3