CC BY
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Научная статья УДК 532.5, 556
doi: 10.18522/1026-2237-2023-4-18-33
СТАЦИОНАРНАЯ ВРАЩАТЕЛЬНО-СИММЕТРИЧНАЯ КОНВЕКЦИЯ ПРИ ИЗОТАХОФОРЕЗЕ В КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ С НЕДЕФОРМИРУЕМОЙ СВОБОДНОЙ НЕПРОНИЦАЕМОЙ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Михаил Юрьевич Жуков1, Ольга Александровна Цывенкова2^
'2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
'myzhukov@sfedu.ru
2oacyvenkova@sfedu. ruB
Аннотация. Представлены результаты исследования конвективной устойчивости процесса изотахо-фореза - метода разделения многокомпонентной смеси на индивидуальные компоненты при помощи внешнего электрического поля. Предполагается, что процесс изотахофореза проводится в бесконечном вертикальном круговом цилиндре со свободными боковыми границами. Задача о возникновении стационарной (монотонной, нейтральной) концентрационной гравитационной конвекции сводится к исследованию устойчивости решения задачи, линеаризованной на решении исходной задачи, соответствующем механическому равновесию - финальной стадии процесса изотахофореза, в которой зоны индвидуальных компонент смеси движутся с одинаковой постоянной скоростью в неподвижной жидкости. Показано, что основной вклад в устойчивость/неустойчивость равновесия вносят градиенты концентраций в окрестности границ между зонами индивидуальных компонент. Ввиду сложности построения точного решения, отвечающего механическому равновесию, оно заменено асимптотическим - кусочно-постоянным распределением концентраций, которое является точным решением асимптотического варианта уравнений переноса компонент под действием электрического поля (бездиффузионная модель). Выбор кусочно-постоянного механического равновесия приводит к градиентам концентрации в виде дельта-функций и линейной краевой задаче с дельтаоб-разными коэффициентами для определения критических параметров возникновения неустойчивости. Построено точное решение задачи (система обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями) и точное дисперсионное соотношение для определения критических параметров (в случае исчезающе-малой диффузии) с использованием метода одномерных возмущений.
Ключевые слова: конвекция, устойчивость, изотахофорез, одномерные возмущения, задача с дель-таобразными коэффициентами
Для цитирования: Жуков М.Ю., Цывенкова О.А. Стационарная вращательно-симметричная конвекция при изотахофорезе в круговой цилиндрической области с недеформируемой свободной непроницаемой боковой поверхностью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 4. С. 18-33.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Original article
STATIONARY ROTATIONALLY SYMMETRIC CONVECTION DURING
ISOTACHOPHORESIS IN A CIRCULAR CYLINDRICAL REGION WITH A NON-DEFORMABLE FREE IMPERMEABLE SIDE SURFACE
Mikhail Yu. Zhukov1, Olga A. Tsyvenkova2
12 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia 1myzhukov@sfedu.ru 2oacyvenkova@sfedu. ruB
© Жуков М.Ю., Цывенкова О.А., 2023
Abstract. The results of a study of the isotachophoresis process convective stability are presented. Isotachophoresis is the method ofseparation of a multicomponent mixture to individual components by an external electric field. It is assumed that the process of isotachophoresis occur in an infinite vertical circular cylinder with free side boundaries. The problem of the stationary (monotonic, neutral) concentration gravitational convection occurrence is transform to the study of the solution stability for the problem linearized on the solution of the original problem corresponding to the mechanical equilibrium of the final stage of the isotachophoresis process, in which the zones of the individual components of the mixture move with the identical constant velocity in a stationary flow. It is indicated that the main contribution to the stability/instability of the equilibrium is made by concentration gradients in the vicinity of the boundaries between the zones of individual components. Due to the complexity of constructing an exact solution corresponding to mechanical equilibrium, the exact solution replaced by an asymptotic solution (piecewise constant concentration distribution), which, in turn, is an exact solution of the asymptotic version of the transport under action of an electric field component equations (diffusion-free model). The choice of piecewise constant mechanical equilibrium leads to concentration gradients in the form of delta functions and a linear boundary value problem with delta-like coefficients to determine the critical parameters of instability. An exact solution of the problem (a system of ordinary differential equations with boundary conditions) and, using the method of one-dimensional perturbations, an exact dispersion relation for determining critical parameters (in the case of vanishingly small diffusion) is constructed.
Keywords: convection, stability, isotachophoresis, one-dimensional perturbations, a problem with delta-shaped coefficients
For citation: Zhukov M.Yu., Tsyvenkova O.A. Stationary Rotationally Symmetric Convection During Isotachophoresis in a Circular Cylindrical Region with a Non-Deformable Free Impermeable Side Surface. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(4):18-33. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Введение
Изотахофорез - один из методов разделения многокомпонентной смеси на индивидуальные компоненты при помощи электрического поля. В финальной стадии процесса смесь, помещенная между двумя эталонными электролитами (терминатор и лидер), двигаясь под действием электрического поля, разделяется на отдельные области (зоны), каждая из которых содержит только одну компоненту. При этом все границы между зонами перемещаются с одной и той же постоянной скоростью, а ширина границ крайне мала по сравнению с шириной зон. Именно малость ширины границ обусловливает высокую разрешающую способность метода -уверенную идентификацию индивидуальных компонент смеси. Теория изотахофореза, а также практика его применения подробно изложены в [1-14]. Известно, что малость ширины границ может играть и отрицательную роль. Дело в том, что в окрестности границ между зонами возникает большой градиент концентраций соседних зон. Очевидно, что с уменьшением ширины границы градиент концентраций возрастает. Проведение процесса в вертикальных сосудах, например в цилиндрической электрофоретической камере, может приводить к возникновению конвективного перемешивания жидкости и тем самым к разрушению границ (или даже к их полному уничтожению) и ухудшению разрешающей способности метода разделения.
В работе [15] была предложена и изучена асимптотическая модель для описания конвективной неустойчивости при изотахофорезе непосредственно для окрестности одной границы между зонами. Считалось, что ширина соседних зон настолько велика, что влияние границ между другими зонами на конвекцию в окрестности выбранной границы пренебрежимо мало. Идея построения простой математической модели конвективной неустойчивости границы заключалась в замене достаточно сложного (описываемого трансцендентной функцией Лерха) точного решения, отвечающего механическому равновесию, на асимптотическое решение, имеющее линейный профиль. Для этого необходимо заменить и уравнение переноса компонент на некоторое асимптотическое уравнение, решение которого соответствует линейному профилю. Подчеркнем, что замена точного решения исходной задачи (механическое равновесие) асимптотическим и одновременная модификация исходных уравнений асимптотическими крайне важны. Дело в том, что линеаризация исходной задачи на решении, которое не является решением исходной задачи, с последующим исследованием устойчивости линейной задачи
может привести к непредсказуемым последствиям в случае, когда для исследования устойчивости используются обычные методы - поиск точного решения, линеаризация, определение критических параметров устойчивости/неустойчивости.
В представленной работе решена более реалистичная по сравнению с [15] задача. Рассматривается задача о стационарной конвекции в круговом цилиндре (реальная модель электрофоретической камеры), тогда как в [15] исследована конвекция в плоском горизонтальном слое. Учтено влияние всех (а не только одной) границ между зонами на возникновение конвекции. В качестве асимптотического решения, отвечающего механическому равновесию, выбрана кусочно-постоянная функция, а не кусочно-линейная.
Ограничение рассмотрения стационарной конвекции связано с тем, что в случае конвекции в вертикальных цилиндрах наиболее опасной с точки зрения неустойчивости является именно стационарная конвекция (монотонная, нейтральная) [16, гл. III]. Выбор в качестве решения, соответствующего механическому равновесию, кусочно-постоянного решения обусловлен не только тем, что такая ситуация наблюдается на практике. В случае кусочно-постоянного профиля концентраций, фактически линейной комбинации функций Хевисайда градиент концентраций (производная в направлении оси цилиндра) является линейной комбинацией дельта-функций и линейная спектральная задача для определения критических чисел неустойчивости представляет интересную с математической точки зрения задачу о многомерном возмущении для оператора L0 (Lw(z) = 0, Lw(z) = L0w(z) + £k akw(zk)S(z — zk)). Здесь ak - постоянные коэффициенты; S(z — zk) - дельта-функции Дирака; zk - набор точек (в данном случае - координаты границ между зонами).
Некоторым отклонением от реальности можно считать задание на боковых границах цилиндра краевых условий, соответствующих непроницаемым недеформируемым свободным границам (обычно электрофоретическая камера имеет твердые стенки). Однако такие условия можно трактовать как некоторые условия типа Навье или считать, что на границе учтен эффект электроосмоса [17]. Упрощения сделаны лишь для того, чтобы иметь возможность построить точное решение задачи. Практически вся схема построения решения останется прежней, если заменить свободные границы твёрдыми. Но тогда вместо точных формул придется проводить численные расчёты.
В представленной статье на основе идей работы [15] о выборе асимптотического решения, отвечающего механическому равновесию, и одновременной модификации соответствующего уравнения исходной задачи описаны различные варианты механических равновесий, среди которых выбран вариант с кусочно-постоянным профилем. Построено точное решение линейной задачи гидродинамической неустойчивости и получено соотношение для определения параметров неустойчивости. В случае, когда безразмерный параметр, характеризующий диффузию, стремится к нулю, показано, что опасной является граница между лидером и смесью. Это соответствует замене задачи для многомерных возмущений L0w(z) + £к akw(zk)5(z — zk) = 0 задачей для одномерного возмущения L0w(z) + Aw(z1)S(z — zn-1) = 0, где А - некоторый параметр, описывающий влияние всех остальных границ zx,... zn-2, что позволило получить точную формулу (а не некоторое уравнение, требующее численного решения) для дисперсионного соотношения, определяющего параметры неустойчивости.
Постановка задачи
Для описания процесса конвективного перемешивания при изотахофорезе в бесконечном цилиндрическом вертикальном канале для п-компонентной смеси применяем систему уравнений в цилиндрических координатах (г, в, х3), записанную в безразмерных переменных с использованием приближения Обербека - Буссинеска [2, 8, 9, 15] (подробно переход к
безразмерным переменным указан в [8, с. 57-59]):
divv = 0, (1)
ôtv + v-Vv = —Vp + vAv — YHk=i ГстК3, (2)
dtck + v-Vck + div ik = 0, k = 1,...,n, (3)
ik = —£^kVck +цкскЕ, k = 1,...,n, (4)
i=SE, S = YZn=i cm, (5)
divj = 0, E = —V<p, (6)
v = ukr + fkg + wkX3, (7)
V=krôr + 1ô0k0+kX3ôX3, d0kr = k0, d0k0 = -kr. (8)
В (1)-(8) v= (u, v, w) - скорость; u, v, w - радиальная, азимутальная и вертикальная компоненты скорости; р - давление (конвективное); cfe - «эффективная» концентрация компоненты; - плотность локального потока концентрации; п - количество компонент смеси; ^ - кинематическая вязкость смеси; - коэффициент концентрационного сжатия; > 0 -подвижность компоненты в электрическом поле (скорость переноса); spLk - коэффициент диффузии; Е - напряженность электрического поля; ^ - потенциал электрического поля; j -плотность электрического тока; S - проводимость смеси; kr, kg, k^3 - орты цилиндрической системы координат (г, 0, Х3) (орты kr, kg зависят только от 0, орт кХз является постоянным и направлен против действия силы тяжести); ôt, ôr, ôg, - операторы частных производных по соответствующим переменным.
Неизвестными являются скорость v(r, 0, Х3, t), давление р(г, 0, Х3, t), концентрации cfc(r, 0,х3, t), к = 1, ...п, и потенциал ^(г, 0, х3, t). Все параметры £, , к = 1, ...п, предполагаются постоянными и известными. Уравнения (1)-(6) записаны именно для цилиндрических координат. На это указывают представление скорости (аналогично для других векторов) в виде разложения по ортам (7), вид оператора V и соотношения для дифференцирования ортов (8). Следует помнить, что оператор Д = V • V= V2 по-разному действует на скалярные и векторные величины. Например, Ду = — rot(rot v) + VdiW. При необходимости можно использовать традиционную покомпонентную запись [18, с. 76].
Замечание. При записи уравнений (1)-(7), как и в большинстве математических работ по теории изотахофореза [1, 9-13, 15, 16, 19] использованы «эффективные» концентрации с' и
с*
коэффициенты концентрационного сжатия , которые связаны соотношениями с1 = ' 1+
р1 =
Здесь с1, /?1 - обычные «физические» величины; с1 - молярная концентрация, моль/л; /?0 -подвижность и коэффициент концентрационного сжатия противоиона с0, концентрация которого определяется уравнением электронейтральности с° = Ег с1. Числа переноса
= + М°)), принятые в литературе по электрохимии [5], в работе не используются. По
физическому смыслу «эффективные» концентрации с' - это молярные проводимости соответствующих индивидуальных компонент.
Считаем, что область О, в которой происходит течение жидкости и проводится процесс изотахофореза, представляет собой круговой цилиндр, бесконечный в направлении х3 и радиуса К. Почти все результаты, приводимые ниже, справедливы для цилиндра с произвольным сечением, и цилиндр выбран круговым лишь для упрощения громоздких соотношений.
Предполагаем, что боковая поверхность цилиндра является непроводящей электрический ток (электроизолированная) и непроницаемой для концентрации (и жидкости) границей. В этом случае краевые условия для уравнений (1)-(6) имеют вид
(уП)|г=л = 0, (п-адг=л = 0, (п-1*)|г=л = 0, (9)
где п - нормаль к боковой поверхности; Я - радиус цилиндра.
На оси цилиндра должны быть выполнены условия:
и|г=0 = 0, ^|г=0 = 0, Зги|г=0 = 0, Згу|г=0 = 0, Згш|г=0 = 0, (10)
Зг^|г=0 = 0, Згсй|г=0 = 0, к = 1,... п.
Боковую поверхность цилиндра считаем недеформируемой и свободной - при г = К касательные напряжения на границе отсутствуют (о причинах выбора вместо условий прилипания, т.е. у|г=д = 0, условий отсутствия касательных напряжений подробно сказано во введении):
^Г*31Г=Й ^Кд^ + д^и)^ = 0, стг0|г=д = + = 0. (11)
В (11) сГХз, - касательные напряжения на боковой поверхности кругового цилиндра [18, с. 76].
Считаем, что на бесконечности течение жидкости вдоль оси Х3 отсутствует, напряженность электрического поля и плотность электрического тока имеют лишь постоянные осевые компоненты:
W
+œ = 0, ^ (0,0,E+œ), HX3^+œ ^ (0,0,j°), (12)
где Е+<х,- заданные константы.
В случае п-компонентной смеси для концентраций ск, к = 1,... п, полагаем
С С 0, к 2, ...,П, (13)
£ ^п, С 0, к 1, ... ,П 1.
Здесь - заданные величины концентраций.
Для компонент с концентрациями с2, с3,...сп_1 задаем массы (точнее, количество вещества):
¡0* гаг ¡02п ае ск(г, в,х3, ь)ахъ = пя2мк, к = 2.....п-1, (14)
где Мк - заданные (средние) массы.
В бесконечном цилиндре массы компонент с1 и сп считаются бесконечными. Распределение концентраций (13) является типичным для изотахофореза. Смесь, состоящая из концентраций с2, с3,...сп_1, расположена между двумя концентрациями - терминатором с1 и лидером сп. Подробнее о процессе изотахофореза - в [1-14] (в [13, 14] изотахофорез называют методом подвижной границы).
Величины подвижностей компонент удовлетворяют неравенствам
0<1Л1 <1Л2 <■■■ < ^п_1 < ¡лп. (15)
Терминатор имеет наименьшую подвижность, лидер - наибольшую. Значения остальных подвижностей должны заключаться между и (важно несовпадение подвижностей , а упорядоченность значения достигается перенумерацией компонент).
Цель работы - исследование возможности возникновения гравитационного конвективного перемешивания основного режима течения и переноса веществ, соответствующего финальной стадии изотахофореза [1-14].
Механическое равновесие
Задача (1)—(15) допускает решение, соответствующее механическому равновесию, при котором жидкость неподвижна, а компоненты смеси движутся под действием электрического поля с постоянной скоростью - финальная стадия процесса изотахофореза
у(г,в,х3,1) = (0,0,0), Е(г,в,х3,1) = (0,0,Е0(г)), \(г,в,х3,Ь) = (0,0,)0), (16)
ск(г,в,х3,1) = ск(г), к = 1.....п, 5(г,9,Хз,1)=50(2) = Ът=1с1£(2), (17)
г = х3-У1, Е0(2)=1^). (18)
Здесь }0 - заданная плотность тока в осевом направлении; V - скорость переноса компонент смеси; Е0(г), Са(г) - известные функции (см. ниже); г - автомодельная переменная (в движущейся системе координат (г, в, г) компоненты смеси неподвижны).
Функции Си (г) определены решением следующей задачи:
1 со Б0
с0>(-™) = 51, С$(+™) = 5п, Ск(+Ю) = 5к, к = 2.....П-1, (20)
где - некоторые константы. В бездиффузионном приближении, т.е. при £ = 0, решение задачи (19), (20) кусочно-постоянно и записывается в форме
с1(г) = Я1к(г1 - г), с%(г) = 5пк(г - гп_1), (21)
с%(г) = зк(к(г - гк_1) - к(г - гк)), к = 2,...,п- 1, где Н(г) - функция Хевисайда; значения эк и гк определены с учетом (14) соотношениями
]0ц.к
Бк=—, к = 1,...,п, (22)
Ьк = гк- гк_1=^±, к = 2,.,п-1. (23)
Устойчивость в данном случае в смысле «неразрушаемости» кусочно-постоянного решения (21) обеспечивается выполнением неравенств (15) [2, 8].
В теории изотахофореза области Жк = [г: гк_1 < г < гк}, содержащие только одну компоненту с концентрацией ск = зк, называются зонами; гк - граница между зонами Жк и Жк+1; Ьк - размер (длина или ширина) зоны Жк; (22) - соотношения Кольрауша. Для существования решения (21) значения 51 и в силу (22) не могут задаваться произвольно. Как правило, задается
-Vdzck + dJ-£vkdzck+j0^) = 0, к = 1.....п, (19)
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
концентрация лидера 5П, а величина концентрации терминатора 51подбирается в соответствии с (22). Кроме этого, соотношение (23) не позволяет определить все - одно из значений, чаще всего г1, задается и фактически определяет начало отсчёта на бесконечной оси г. Подробно теория изотахофореза в бездиффузионном приближении изложена в [1-11].
При £ ^ 0 можно построить и точное решение задачи (19), (20) [2, с. 135-142]. Фрагмент такого решения показан на рис. 1 - окрестность границы между зонами и При
наличии диффузии (г ^ 0) такое решение (окрестность границы ) имеет вид [2, с. 135-142; 8, с. 31-34; 15]
„fc + 1
(у) =
5(у) =
У = yfcexp^fe(z-
(1 + у)у-^ J
ys(y)
1+У ' у T^fc-1
.^fc)^ 's-" Jo 1+т - yfe5yy(yfc) + Sy(yfc) = 0,
(24)
(25)
(26)
Л = n£fc+Vfc)>0
,,fc+i
Qfc =
> 1.
В [2, с. 135-142; 8, с. 31-34] показано, что корень уравнения (26) для определения у^ зависит лишь от , удовлетворяет оценке — 1)-1 < У& < и для вычисления у^ можно
использовать метод Ньютона, выбирая в качестве начального приближения = — 1)-1.
Решение задачи (19), (20) в виде (24)-(26) описывает структуру ударной волны, в которую это решение «вырождается» при £ ^ +0 (отсутствие диффузии). Функция 5(у) представляет собой один из вариантов записи трансцендентной функции Лерха при помощи интегралов [8, с. 64-65; 20, с. 43-46]. Полное решение задачи (19), (20), справедливое на всей оси —от < г < +от, не приведено ввиду крайней громоздкости соотношений. При £ ^ +0 это решение стремится к кусочно-постоянному (21).
Известно [16], что решающую роль при возникновении концентрационной гравитационной конвекции играют градиенты концентраций. Ввиду сложностей, возникающих при вычислении функции Лерха (или интеграла в соотношении (25)), в [15] была предложена и исследована асимптотическая модель, при построении которой в случае £ ^ 0 уравнения (4), (5) заменялись уравнениями
^ + div(-£^fcVcfc + cfcFk) = 0,
(27) k = (0,0,1),
с прежними условиями (13), (14), уравнения (19) -уравнениями
(28)
—— + Ус* = 0
также с прежними условиями (20).
В этом случае в окрестности г 6 (а^, Ь^) границы решение, отвечающее механическому
равновесию, имеет вид линейных функций
_ „ _ „ "
,k„k
к
w) = Sfc-
~fc+1 co
О) = Sfc+1
bfc-afc'
(29)
% < г < ^,
со (г) = ^, Ьй-1 < г < а*, с^+1(г) = (30)
ай+1 > ^ > ,
«сшитых» с константами в некоторой
области вне окрестности г 6 (а^, Ь^). Величины а^, задают «ширину» границы и находятся из соотношений
— + = (31)
— г*) + 5(гл) = 5Л+1, = 0.
0/, + i i>fc+l
Рис. 1. Окрестность границы между двумя зонами; ck(z), ck+1(z) - концентрации компонент; S(z) -проводимость смеси; S(z) - касательная к функции S(z) в точке z = zk; z £ (ak, ftk) - окрестность границы zk, z = х3 — 7t; x3 - вертикальная координата; V - скорость движения границы между зонами / Fig. 1. The vicinities of the boundary between two zones, ck(z), ck+1(z) are the concentrations of components, S(z) is the conductivity of the mixture, S(z) is the tangent to the function S(z) at the point z = zk, z £ (ak, ftk) is the vicinity of the boundary zk, z = x3 — 7t, x3 is the vertical coordinate, (S°(z) = E ci(z)), (S°(z) = E ci(z)), 7 is the velocity of the boundary movement between zones
Иными словами, строится касательная S = Sz(zk)(z — zk) + S(zk) к функции S(z) в точке перегиба z = zk. Координаты точек пересечения касательной c линиями S = sk, S = sk+1 определяют ak, bk (рис. 1 и подробнее в [15]).
Заметим, что замена уравнений (4), (5) на (27) и (19) на (28) должна осуществляться с сохранением вида функций Cq(z) (либо (29), (30), либо (21)) для того, чтобы сохранялась связь с решением вида (24)-(26), соответствующего механическому равновесию исходной задачи. Дело в том, что уравнения (28) допускают произвольное кусочно-постоянное решение (при £ = 0), никак не связанное с исходной задачей.
Линеаризованная задача
Для исследования устойчивости [16] рассматривается задача (1)-(15), линеаризованная на решении, соответствующем механическому равновесию (16)-(30). Перед проведением процедуры линеаризации следует указать, какое именно решение с$(г) выбрано в качестве механического равновесия. В случае, когда cQ(z) имеет вид типа (24)-(26), линеаризуется полная исходная система уравнений, т.е. (1)-(6). Если cQ(z) задано в виде (21) или (29), (30), то линеаризуются уравнения (1), (2), а (3)-(6) заменяются уравнениями (27). Заметим, что в случае выбора Cq(z) в форме (21) или (29), (30) фактически игнорируются возмущения напряженности электрического поля Е и плотности электрического тока j.
Для определенности ограничимся случаем, когда Cq(z) задано соотношениями (21), и решение исходной задачи разыскиваем в виде
v(r, в, х3, t) = yv(r, в, z) = у(й, v, w), р(г, в, х3, t) = p0(z) + ур(г, в, z), (32)
c\r, в, x3, t) = (z) + yck(r, в, z), z = x3 — Vt, где v, p, ck - амплитуды возмущений; y - параметр, характеризующий малость возмущений.
Соотношения (32) соответствуют рассмотрению стационарной в движущейся системе координат z = Х3 — Vt конвекции. Отсутствие явной зависимости от времени t у возмущений отвечает также исследованию устойчивости со сдвигом [19], т.е. устойчивости бегущих волн.
Линеаризованные уравнения имеют вид
divv = 0, (33)
—V dzv = —Vp + vAv — JZ=1 pmcmkz, (34)
wdzCçi — £цкАск = 0, k = 1,...n, (35)
и дополнены линеаризованными краевыми условиями:
ЩГ=К = 0, drcklr=R = 0, drcklr=0 = 0, (36)
TJL I ^=о = 0, i^I^—Q = 0, = 0, drvlr=Q = 0, = 0,
(drw + dzu)r=R = 0, (^ддй + drv— ^v) =0, (37)
\r r jr=R
j* rdr f02" de ck(r, e,z) dz = 0, к = 1,...n, (38)
а также соотношениями для dzcQ(z), полученными при помощи (21):
dzCo(z) = —S1Ô(z — Z1), dzcQ}(z) = snS(z — zn-1), (39)
dzc^(z) = sk(5(z — zk-1) — S (z — zk)), к = 2,. n — 1. Здесь S(z) - дельта-функция Дирака.
Линеаризованная задача (33)-(38) практически совпадает с линеаризованной задачей для концентрационной гравитационной конвекции [16, гл. VII]. Существенное отличие заключается в том, что градиенты концентраций dzcQ(z) отличны от нуля не во всей области, а лишь на некоторых определенных конечных участках и движутся со скоростью V.
Вращательно-симметричные возмущения
Наиболее интересным с точки зрения авторов является случай вращательно-симметричных возмущений, когда возмущения азимутальной скорости отсутствуют (ÎL = 0), а все остальные (й, w, p, Cq ) не зависят от в (т.е. в задаче (33)-(39) считается, что дд = 0). Дело в том, что задача исследования стационарной конвекции практически в указанном случае полностью аналогична (при V = 0) классической задаче Рэлея - Бенара о конвекции в горизонтальном слое с
недеформируемыми свободными границами [5, 16] - роль такой свободной границы ввиду условия (11) играет недеформируемая боковая поверхность кругового цилиндра. Как и для задачи Рэлея - Бенара, удается построить точное решение задачи (33)-(39), свести к минимуму объём вычислений для определения критических чисел возможного возникновения конвекции, а также наглядно продемонстрировать особенности решения задачи с дельтаобразными функциями в уравнениях (35).
Действуя [16, с. 33] оператором rotrot на уравнение (34) и проектируя результат на орт kz, получим уравнение только лишь для вертикальной компоненты скорости w (даже в общем случае, когда г? ^ 0 и имеется зависимость возмущений от угла 0)
-УД dzw = - 2m=1 (40)
Здесь Дг = Д — - плоский лапласиан.
С учетом (35) после действия оператором Д на скалярное уравнение (40) получаем уравнение для w
от д
—УД2 dzw = M3w — Е£=1 ^^rW, (41)
которое дополняем условиями:
ôrcfc|r=R = 0, drcfc|r=0 = 0, drw|r=0 = 0, ôrw|r=R = 0. (42)
Заметим, что ôrw|r=R = 0 следует из условий (ôrw + ôzù)r=R = 0 и продифференцированного по z условия ù|r=R = 0.
Решение задачи (41), (42) разыскиваем в виде
w(r,z) = W(z)70(ar), (43)
где /о - функция Бесселя; - какой-либо ненулевой корень уравнения
ôr/o(ar)|r=R = — аЛ(аЯ) = 0, (44)
что соответствует автоматическому удовлетворению краевых условии (42) для w.
Краевые условия (11), отвечающие свободной боковой границе, выбраны для того, чтобы иметь возможность упростить вид функции w(r,z). Параметр а является некоторым аналогом волнового числа в классической задаче Рэлея - Бенара.
В случае (43) возмущения скорости й и концентрации cfc имеют вид
cfc(r,z) = Cfc(z)/0(ar), û(r,z) = ^ôzW(z) Д(аг). (45)
Это означает, что краевые условия (42) для cfc и условия (36) для й выполнены, как и для w из (43), автоматически.
Спектральная задача
Подстановка решения (43) в уравнение (41) с учетом соотношений (39) для ôzCq(z) и соотношений Кольрауша (22) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для W(z):
—y(D2 — а2)2ОЖ(г) = ju(D2 — a2)3W(z) + ^rF(z)W(z), Я = (46)
где
om d гт ¡0
Z£=1 ^^ = fc^), F(z) = Z2=î — £fc)5(z — zfc). (47)
Функции F(z)W(z) и F(z) являются линейной комбинацией дельта-функций с постоянными коэффициентами
F(z)W(z) = Ш (^fc+î — £fc)w(zfc)5(z — zfc). (48)
Способ решения уравнений с дельта-коэффициентами указан в [21, с. 115]. Пусть Gfe(z) -решение однородного уравнения
—У(Ъ2 — a2)2DGfc(z) = jU(D2 — a2)3Gfc(z) (49)
с условиями
Gfc(Zfc) = DGfc(Zfc) = D2Gfc(Zfc) = D3Gfc(Zfc) = D4Gfc(Zfc) = 0, D5Gfc(Zfc) = 1. (50)
Тогда решение уравнения (46) записывается в форме
W(z) = W0(z) + а,2Ш (^fc+î — ^fc)^(Zfc)Gfc(z)h(z — Zfc), а,2 = (51)
—y(D2 — a2)2DW0(z) = ^(D2 — a2)3W0(z), (52)
где h - функция Хевисайда; W0(z) - общее решение однородного уравнения; - параметр, введенный для удобства и уменьшения громоздкости формул.
Подчеркнем, что Wq(z) и Gk(z) являются различными функциями, хотя и удовлетворяют одному и тому же уравнению ((49) и (52)). Функции Gk(z) - это решение неоднородной задачи (49), (50), тогда как W0(z) - общее решение однородного уравнения (52) и определено с точностью до шести (в данном случае) произвольных констант.
Рассматривая соотношение (51) в точках z = Z{ и принимая во внимание, что Gk(zk) = 0 (см. (50)), получим систему линейных уравнений с треугольной матрицей для определения W(zi)
W(zi) = Wo(zi) + a^Zi"=11bikW(zk), i = 1.....п — 1, (53)
bik = (Рк+1 — Pk)Gk(Zi), k<i — 1, i = 1,...n—1. (54)
Нетрудно показать, что в конечном итоге W(zi) представляются в виде линейной комбинации Wo(zm), m = 1, ...i:
W(z{) = Тт=1 aimWo(zm), i = 1,...n — 1, (55)
где коэффициенты щт определены соотношениями а,ц = а.22 = &33 = а44 = ~1, а21 = a■*b21, а32 = a*bз2, а.43 = a2b4з, (56)
аз1 = a2b31 + a*b32b21, 0,42 = a2b42 + a4b43b32, U41 = а* О41 + at(b42b21 + b43b31) + a*6(b43b32b21).
Ввиду громоздкости общих формул здесь приведены лишь некоторые коэффициенты щт. Соотношения (56) дают полное представление об образовании структуры коэффициентов и при необходимости могут быть без труда продолжены. Соотношение (51) с учетом (55) принимает вид
W(z) = Wq(z) + а2 Х%=1 (Рк+1 — рк) Y,m=1 akmWo(zm)Gk(z)h(z — zk). (57)
Чтобы определить критические числа, при которых возможно возникновение конвекции, необходимо сформулировать спектральную задачу, дополнив систему уравнений (46) краевыми условиями. До сих пор считалось, что область D в направлении z бесконечна, т.е. —ю < z < +ю. Решение, описывающее механическое равновесие, т.е. рассматриваемый основной режим течения (см. (16)-(18), (21)), соответствует ситуации, когда при z < z1 и z > zn-1 течение жидкости отсутствует, cQ(z) = 0, к = 2, ...п — 1; при z < z1 cQ(z) = s1 = const; при z > zn-1 cQ)(z) = sn = const. Иными словами, области z < z1 и z > zn-1 являются «неопасными» для возникновения конвекции ввиду отсутствия течения и градиентов концентраций. Представляется разумным заменить бесконечную область на некоторую конечную z Е [0, L], такую, что
Zq = 0 < Z1 < Z2 < ■■■ ,zn-1 < L = zn, (58)
где L - длина конечной области (выбор за начало области z = z0 = 0 означает выбор начала отсчёта координаты z на бесконечной оси); Zq = 0, zn = L или [zo,zn] = [0,L]. В частности, обозначения позволяют считать, что в соотношениях (23) индекс изменяется в пределах к = 1,... ,п и L0, Ln - длина зоны терминатора и лидера (рис. 2).
Заметим, что на практике область, в которой происходит процесс изотахофореза, естественно, конечная. С физической точки зрения выбор конечной области означает наличие некоторых (неподвижных в системе координат z) фиктивных границ Zq, zn, через которые протекает жидкость со скоростью V. Такая интерпретация справедлива до тех пор, пока zn-1 не достигнет неподвижной границы, т.е. зона %п-1 не должна исчезать. Ширина зон ГЕ1, Ъп не является постоянной (сокращается со скоростью V), ширина всех остальных зон %2, ••• ^п-1 остаётся неизменной в течение финальной стадии процесса изотахофореза.
В качестве краевых условий для системы уравнений (46) выберем обычные условия сшивания решений на границах области, которые с учетом отсутствия течения вне конечной области имеют вид
W(0) = DW(0) = D2W(0) = 0, W(L) = DW(L) = D2W(L) = 0. (59)
В принципе, можно выбирать и иные условия, например, соответствующие свободным границам, задавая нулевыми функцию и её производные чётного порядка [15; 16, с. 33].
Заметим, что решение уравнений (46) уже построено (см. (57)) и достаточно подставить (59) в (57).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Si
S^ 53 г
54
Sn-1
Sn-2
Ф)
z = — Vt
го z\ z2
z-л
z4
Zn-3
Zn-2
Zn-1
¡Z 1 Z 2 Z3 Z4 Z„-2 zj
ß\ ßl Ä ßi ßn—2 ßn-1 ßn
!т s L 1
II
0
Рис. 2. Схема изотахофореза: ck(z) - кусочно-постоянное распределение концентраций; f>k - коэффициенты концентрационной сжимаемости («плотности») компонент; S0(z) - проводимость смеси (S0(z) = Е Co(z)); z0 = 0, zn = L - фиктивные границы конечной области. Распределение концентраций в окрестности границ зон показано на рис. 1 / Fig. 2. Scheme of isotachophoresis: cq(z) - piecewise constant distribution of concentrations; pk - coefficients of concentration compressibility ("density") of the components; S0(z) - mixture conductivity (S0(z) = Е Co(z)). The distribution of concentrations in the vicinity of the zone boundaries is shown in Fig. 1
Вычисляя производные с учетом (58), т.е. принимая во внимание, что для функций Хевисайда справедливы соотношения h(L — zk) = 1, h(0 — zk) = 0, к = 1, ...n — 1, получим W(0) = W0(0) = 0, DW(0) = DW0(0) = 0, D2W(0) = D2W0(0) = 0.
W(L) = W0(L) + a2 Tl-l (ßk+1 - ßk) Yl=i akmW0(zm)Gk(L) = 0,
(60) (61)
ОШ(Ь) = + а2 ЪГА (Рк+1 - Рк) 1т=г актШ0ЫОСк(1) = 0,
В2Ш(Ь) = 02Шо(Ь) + а2^! (рк+1 - актШо(гт)02Ск(1) = 0.
М0[Ж0] = Ш(Ь), М1[Ж0] = ОШ(Ь), М2[Ж0] = И2Ш(Ь).
Здесь для удобства дальнейшего изложения введены обозначения для линейных функционалов М^И^], М^И^], М^И^], действующих на функции Ш0.
Задача (46), (59) для определения Ш(г) преобразуется к более простой задаче для уравнения (52) с краевыми условиями (60), (61). В общем случае решение однородной задачи (52), (60), (61) зависит от шести постоянных, но при специальном выборе фундаментальных решений однородных уравнений, удовлетворяющих автоматически условиям (60), количество постоянных можно сократить до трёх, записывая решение в форме
= (62) где Ак - произвольные константы, функции Фк(г) определены соотношениями
Ф0(г) = 2smh(az) — 2azcosh(az), (63)
Ф1(г) = ехр(а1г) + k11(z)cosh(az) + к12(г^тЬ(аг),
Ф2(г) = ехР(а22) + k21(z)cosh(az) + к22(г^тЬ(аг),
ог = -2ц1, °i=Jï;(У2 + 4a2ß2)1/2, o1 = or- oit a2 = ar + at,
(64)
kii(z) = -1
az
°lZ' k12(z) = 1+^z,
k2i(z) = -1
az
O2Z' k22(Z) = 1 + V-^Z.
Естественно, ст1, 02, +а - шесть корней (с учетом кратности) характеристического уравнения ^(Л2 — а.2)3 + V (Л2 — а2)2Л = 0. Легко убедиться, что функции Фк(г), а следовательно, и Wo(z) удовлетворяют условиям (60).
Приведем также явный вид функций Ск(г) (решение задачи (49), (50)), необходимых для оставшихся уравнений (61)
&(у) = earУ(k1sinh(aiy) — k2cosh(aiy)) + k2(k0(y)smh(ay) + cosh(ay)),
(2^-Уу)а к = (У2+2а2у2) ^ = V 1 2а4а1У2 ' 2 Уа4
ко(у) =
2V
(65)
Gk(z) = G(z-zk).
(66)
Окончательно спектральная задача для определения критических параметров возможного возникновения стационарной конвекции принимает вид (см. (62) и определение функционалов в (61))
/Шо[Фо] Мо[Ф1] Шо[Ф2]\ det(H) = 0, И = |М1[Ф0] ML^] М1[Ф2]) = 0. (67)
\Ш2[Фо] М2[Ф1] Ш2Ф])
Здесь И - матрица 3x3, зависимость элементов которой от параметров задачи будет указана далее.
Анализ решения и асимптотика
Напомним, что процесс изотахофореза состоит из двух стадий. Смесь веществ § = {с2, ...сп-1} помещается между терминатором Т = {с1} и лидером L = [сп], как показано на рис. 2, II. На первом этапе после достаточно малого интервала времени, в течение которого происходит формирование зон, устанавливается финальный режим, который рассматривается в представленной работе. Смесь разделяется на отдельные зоны Жк = {ск}, содержащие только одно вещество (рис. 2, I). Границы между зонами движутся с одинаковой скоростью V, которая определяется концентрацией sn и подвижностью лидера. Все остальные концентрации, включая концентрацию терминатора, определены величинами sn, подвижностью и их подвижностями /лк (соотношение Кольрауша (22)):
V = ^, sk=^sn, к = 1,...п—1. (68)
sn r-n
Положение границ zk между зонами (в движущейся системе координат) определяется соотношениями (23), которые с учетом (22) записываются в форме
= - + Z1= ^=2 * + Zi, к = 2,... п—1. (69)
Л SnL 2 fa 1 J° 1 2 fai 1
Как уже говорилось (см. (58) и следующий за формулой текст), можно считать, что 0 < zt ~ 0 и L > zn-1 « L, т.е. определять длину области соотношением
= (70)
Sn 1 2 fai J° 1 2 fai
Таким образом, если известны подвижности и массы Мк, к = 1, ...п, то требуемые в задаче величины zk и V определяются при помощи (68)-(70) величиной концентрации лидера sn. В практике изотахофореза одним из основных параметров как раз и является величина sn. Однако с учетом (68) гораздо удобнее считать основным параметром скорость V и определять величину sn. Подробнее о процессе изотахофореза - в [1-14].
Обратим внимание на то, что параметр а (аналог волнового числа в классической задаче конвекции) в данном случае не является непрерывным. Дискретные значения параметра определяются уравнением (44). Фактически aR - это корни функции Бесселя J1(aR). В частности, a1R « 3,832, a2R « 7,016, a3R « 10,173. Корни функции ]1 с относительной точностью не менее 10-5 можно вычислять по формуле (более точная - в [22, с. 133])
akR«l-'3l, Л = кп + ^, к = 1,2,. (71)
Значения akR определяют вид зависимости возмущений w(r,z), ck(r,z), ù(r,z) от радиальной координаты г. На рис. 3 показаны некоторые возможные варианты возмущений (вторичные режимы конвекции). Дискретность параметра а означает, что обычная нейтральная кривая - зависимость какого-либо параметра от волнового числа - будет также дискретной.
Наиболее важным набором параметров с точки зрения конвективной неустойчивости является множество коэффициентов концентрационной сжимаемости к = 1,...п,
характеризующих стратификацию смеси по плотности. Формально можно считать параметры «плотностями» компонент. В данном случае именно разности плотностей зон (fik+1 — fik) в архимедовой силе (плавучесть, buoyancy), определяемой функцией F(z) (см. (47)), приводят к возможной конвективной неустойчивости в окрестности границ zk между зонами. Во избежание недоразумений напомним, что для конвективного перемешивания важны не сами различия между концентрациями, а градиенты концентраций. Однако в данном асимптотическом случае «ширина» границ не определена и градиенты концентраций д2с$(г) в окрестности границ zk пропорциональны дельта-функциям S(z — z{) (см. (39)). Иными словами, уместно именно разности (Рк+1 — рк) считать «градиентами» концентраций.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Рис. 3. Возможные варианты профилей возмущений w(r,z), ck(r,z) (зависимость от радиальной координаты г при фиксированном значений z) для различных значений дискретного параметра а: I - a1fi ^ 3,832; II - a2fi ^ 7,О16; III - a3fi ^ 1О.173, fi = 1 I Fig. 3. Possible variants of the perturbation profiles w(r, z), ck (r, z) (dependence on the radial coordinate r at a fixed value of z) for different values of the discrete parameter a. I - a1fi ^ 3.832; II - a2fi ^ 7.О16; III - a3fi ^ 1О.173, fi = 1
С физической точки зрения по-разному можно трактовать и механизм возникновения неустойчивости. С одной стороны, наличие градиентов концентраций в окрестности границ позволяет считать, что имеет место концентрационная гравитационная конвекция. Именно таким образом в [15] исследована задача о конвективной неустойчивости в окрестности одной границы между зонами, когда в качестве механического равновесия выбраны соотношения (29), (30), а не (39). С другой стороны, наличие чёткой границы zk между жидкостями с различными «плотностями» ßk, ßk+1 позволяет считать, что механизм неустойчивости связан с неустойчивостью Рэлея - Тейлора. В последнем случае должно происходить искажение границы между зонами, но в рассматриваемом варианте задачи границы предполагаются плоскими и неискажаемыми. Другими словами, разумно предполагать именно конвективный механизм возникновения неустойчивости.
Если все значения ßk одинаковы (ß1 = ß2 = ■■■ = ßn), то конвективного перемешивания нет. Функция F(z) = О, bik = О, aim = О, за исключением а.ц = 1 (см. (47)), (54), (56)), W(z) = W0(z) (см. (53)). Задача для уравнений (52) с условиями (60), (61), определяющая W0(z), имеет лишь тривиальное нулевое решение W0(z) = О, и, что эквивалентно, функция H Ф О (см. (67)). Для того чтобы в этом убедиться, достаточно умножить уравнение (52) на W0(z) и проинтегрировать с использованием интегрирования по частям и краевых условий (60), (61). Заметим, что такой вывод о W0(z) = О может быть получен, если справедливы условия (60), (61). Если вместо (60), (61) выбрать равенство нулю только чётных производных (как для свободной границы), то результат будет неверен. Это косвенно подтверждает правильность требования условий сшивания (60), (61) взамен условий на свободной границе.
Учитывая, что для описания механического равновесия использованы асимптотические (при £ ^ О) соотношения (21), имеет смысл и далее применять асимптотику, выделяя главный член
коэффициентов aim по степеням параметра s-1. Анализ соотношений (56) показывает, что таким главным членом является коэффициент ап-11, точнее, его часть, имеющая порядок 0(е-(п-2^)):
ап-1,1~а = а2(п-2)Ьп-1,п-2Ьп-2,п-з - ^3,2^2,1 = а2(п-2) Uk=2 bk+i,k = 0(s-(n-2)), (72) которая, в свою очередь, с учетом (54), (66) записывается в форме
а = а?(п-2) Щ=2 (Pk+1 - Pk)G(zk+1 - zk). (73)
Тогда соотношение (57) (и аналогичные соотношения, в частности (61)) принимает вид
W(z) = W0(z) + а2(Рп - pn-1)an-X1W0(z1)G(z - zn-1)h(z - zn-1). (74)
Особенно отметим, что соотношение (74) справедливо только в ситуации общего положения (!), когда все разности (0к+1 - рк) Ф 0 и z1 Ф 0, zn-1 > L. Более того, W(z) г W0(z) только при z > zn-1. В частности, соотношение (74) нельзя использовать для описания зависимости отклонений W(z) от W0(z) при z < zn-1 - для этого требуются оценки всех коэффициентов aim, а не только ап-11.
Тем не менее, ввиду того что в (61) требуются значения функций W(L), DW(L), D2W(L) (т.е. при z > zn-1), именно формула (74) при 0 < z1 и zn-1 < L позволяет вычислять критические значения параметров, при которых возможно возникновение конвекции.
С учетом (53), (66), (72), (73) приведем соотношения (фактически для W(L), DW(L), D2W(L)), необходимые при вычислении функционалов Mm[W0], m = 0, 1, 2, в (61) и (67):
№m[W0] = DmW0(L) + KW0(z1)DmG(L - zn-D, (75)
* = (if)71-1 Ш=1 (Pk+1 - pk) m-2 G(zk+1 - Zk). (76)
Здесь * - аналог числа Рэлея в классической задаче конвекции [16].
Задачу (67) удобно записать в форме спектральной задачи для определения спектрального параметра *
НоХ + *(Х, U )W = 0, (77)
где Но - матрица; X, W - векторы; U - ковектор (сопряжённый вектор, вектор-строка, функционал); (X, U ) - скалярное произведение (действие функционала U на вектор X, которые определены соотношениями (см., в частности, (62)).
/Фо(Ь) Ф1(Ь) Ф2(Ь) \ Но = (ЯФо(Ь) ОФ1(Ь) ОФ2(Ь)\ (78)
\D 2Ф0(Ь) И2Ф1(Ь) D 2Ф(Ъ) )
i G(L-zn-1) \ /А А
и = (ФоО?1), Ф^), Ф2(г1)), W = (DG(L-zn-1) ), Хг^У
\D2G(L-zn-1)J W
Задача (77) является спектральной для пучка матриц Но и M
НоХ + ШХ = 0, В(Х, U)W = 0. (79)
Матрица В необратима, и (79) нельзя свести к обычной спектральной задаче для одной матрицы. Однако задача (77) сходна со спектральной для одномерно возмущенной матрицы Но с параметром £о
НоХ + £о(Х, U)W = АХ. (80)
Её решение имеет вид
1 = ï3=1(W'*S)if'V\ Ноф3 = А^, Н*оГ = ЪГ , (81)
Е0 Л-Л5
где As, q>s - собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы Но; - собственные векторы матрицы Но; = Ssk.
Метод одномерных возмущений достаточно хорошо известен и часто называется методом окаймления [23, с. 115; 24, с. 214], для двухмерных возмущений - [2, с. 106-109; 25], многомерных - [26].
Полагая в (81) А = 0 и £о = *, получим точное (!) соотношение для определения *
1 = „з (w,r)(<PsV) (82) *=-„=1-£-. (82)
Можно вычислить определитель матрицы НоХ + £о(Х, U)W, что достаточно просто для матрицы 3x3. Тем не менее с точки зрения всевозможных обобщений на случай многомерных возмущений предпочтительно использование именно (82).
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURALSCIENCE. 2023. No. 4
Матрица H0 зависит от значений функций Ф0, Фъ Ф2 в точках z0 = 0, zn = L. В свою очередь, функции Фо, Ф1, Ф2 полностью определены дискретными значениями а и отношением V(см. (63)-(66)). Для определения U дополнительно требуются значения функции Фо, Ф1, Ф2 в точке z = z1. Кроме этого, W зависит от значений функции G в точке L — zn-1 и параметров а, V/pi. Для вычисления величины необходима почти минимальная информация о детальном составе смеси. Требуется длина области L, скорость движения зон V/y., ширина зоны терминатора z1, ширина зоны лидера L — zn-1 и дискретное значение параметра а, как правило, наименьший корень уравнения (44). Такой набор параметров соответствует выбору режима проведения процесса изотахофореза. Напротив, вся важная информация о составе смеси и параметрах компонент фактически включена в параметр R. - коэффициенты концентрационного сжатия величины zk, зависящие от подвижностей и количества веществ Мк.
Значения zk задаются формулой (69), которую удобно, вводя обозначения, записать как
где дк - некоторые новые параметры.
Величина Ь — гп-1, условно внесенная в первую группу параметров, как это следует из (83), зависит от состава смеси, т.е. от д0. Однако такая зависимость имеет «интегральный» характер, и можно считать, что Ь — гп-1 является независимым параметром, и, соответственно, подбирать значения индивидуальных параметров дк.
Ввиду построения точной асимптотической формулы (82) для определения критических параметров, а также наличия большого количества параметров задачи, значения которых зачастую неизвестны, достаточно бессмысленно, по крайней мере в этой работе, приводить результаты расчётов для какой-либо конкретной смеси. Укажем только, что для использования (82) в работе представлены все требуемые функции и соотношения (см. (78), (63)-(65), (76), (83)).
Предложены и реализованы сравнительно новые подходы к исследованию задачи о стационарной конвекции при изотахофорезе. Во-первых, это замена уравнений переноса (3), (4) или (19) их асимптотическими аналогами (27), (28). Подчеркнем, что это крайне важная замена. Нельзя, например, заменить точное решение задачи для определения механического равновесия на некоторое асимптотическое решение, а затем использовать линеаризацию точных уравнений на асимптотическом решении. Это неизбежно приведет к неправильному результату при решении соответствующей спектральной задачи для определения критических параметров, соответствующих неустойчивости механического равновесия. Заметим, что такой поход -замена уравнений его асимптотическим аналогом - применялся авторами в [15]. Во-вторых, для упрощения задачи о конвекции в цилиндрической области боковая поверхность цилиндра считалась недеформированной свободной (см. краевые условия (11)), что позволило построить аналитическое (по радиальной координате г) решение для задачи об отыскании возмущений основного режима (см. (43)-(45)). В-третьих, использование в качестве решения, отвечающего механическому равновесию, кусочно-постоянных функций и дельта-функций для производных решения (см. (21), (39)) привело к уравнению с дельта-коэффициентами для определения возмущений ((см. (46), (47))), что позволило построить фактически точное решение спектральной задачи (точно определить матрицу И, см. (67)). В-четвертых, произведено дальнейшее асимптотическое разложение. В полной спектральной задаче (67) выделены главные члены при исчезающей диффузии (г ^ 0) и получена новая асимптотическая спектральная задача (см. (72)-(78)). Заметим, что число ^ (см. соотношение (76)) фактически описывает некоторый кумулятивный эффект - накопление неустойчивостей границ между зонами от терминатора до лидера.
1. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза: применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: Наукова думка, 1983. 241 с.
2. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 2005. 216 с.
(83)
Заключение
Список источников
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
3. Moore G.T. Theory of isotachophoresis. Development of concentration boundaries // J. Chromatogr. 1975. Vol. 106, № 1. P. 1-16.
4. Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая модель изотахофореза // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267, № 2. С. 334-338.
5. Жуков М.Ю. Методика расчета движения зон и времени полного разделения смеси при изотахофорезе // Молекул. биология. 1984. Вып. 36. С. 28-34.
6. Жуков М.Ю. Нестационарная модель изотахофореза // ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24, № 4. С. 549-565.
7. Жуков М.Ю. Уравнения переноса масс для сильно концентрированных многокомпонентных смесей при наличии электрического поля. Модель изотахофореза // Мат. моделирование. 1995. Т. 7, № 4. С. 1928.
8. Жуков М.Ю., Цывенкова О.А., Ширяева Е.В. Гидродинамика и поведение границ зон при изотахофорезе. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2015. 94 с.
9. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В., Полякова Н.М. Математическое моделирование процессов электрофореза. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2019. 160 с.
10. ЖуковМ.Ю., Ширяева Е.В. Микрогидродинамика, жидкие плёнки и электрофорез. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2015. 240 с.
11.Mosher R.A., Saville D.A., Thorman W. The Dynamics of Electrophoresis. New York: VCH Publishers,
1992. 236 p.
12. Константинов Б.П., Ошуркова О.В. Быстрый микроанализ химических элементов методом подвижной границы // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148, № 5. С. 1110-1113.
13. СтепановА.В., КорчемнаяЕ.К. Электромиграционный метод в неорганическом анализе. М.: Химия, 1979. 328 с.
14. Longsworth L.G. Moving Boundary Electrophoresis // Theory, Electrophoresis: theory, methods, and applications. Bier M., ed. New York: Academic Press, 1959. P. 91-136.
15.Жуков М.Ю., Цывенкова О.А. Моделирование гравитационной концентрационной конвекции при изотахофорезе // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2019. № 4. С. 27-35. Doi: 10.23683/03213005-2019-4-27-35.
16. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
17. ТихомоловаК.П. Электроосмос. Л.: Химия, 1989. 248 с.
18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
19. Кузнецов Ю.А. Существование и устойчивость бегущих волн в системах реакция - диффузия с одной пространственной переменной. Пущино: Науч. центр биол. исследований АН СССР, 1982. 40 с.
20. БейтманГ., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966. Т. 3. 296 с.
21. ВладимировВ.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.
22. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971. 288 с.
23.Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969. 476 с.
24. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.
25. Гуда С.А., Юдович В.И. Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 3. С. 446-462.
26. Коняев Ю.А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений // Матем. сб.
1993. Т. 184, № 12. С. 133-144.
References
1. Babskii V. G., Zhukov M.Yu., Yudovich V.I. Mathematical theory of electrophoresis. Application to bi-opolymerfractionation methods. Kiev: Naukova dumka Publ.; 1983. 241 p. (In Russ.).
2. Zhukov M.Yu. Mass transport by an electric field. Rostov-on-Don: Rostov University Press; 2005. 216 p. (In Russ.).
3. Moore G. T. Theory of isotachophoresis. Development of concentration boundaries. J. Chromatogr. 1975;106(1):1-16.
4. Zhukov M.Yu., Yudovich V.I. Mathematical model of isotachophoresis. Dokl. ANSSSR = Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. 1982;267(2):334-338. (In Russ.).
5. Zhukov M.Yu. The method of calculating the zones movement and the complete separation time of the mixture during isotachophoresis. Molekul. biologiya = Molecular Biology. 1984;(36):28-34. (In Russ.).
6. Zhukov M.Yu. Unsteady isotachophoresis model. ZhVM i MF = Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1984;24(4):549-565. (In Russ.).
7. Zhukov M.Yu. Mass transport equations for highly concentrated multicomponent mixtures in the presence of an electric field. Model of isotachophoresis. Mat. modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations. 1995;7(4):19-28. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
8. Zhukov M.Yu., Tsyvenkova O. A., Shiryaeva E.V. Hydrodynamics and behavior of the zone boundaries in isotachophoresis. Rostov-on-Don: Southern Federal University Press; 2015. 94 p. (In Russ.).
9. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V., Polyakova N. M. Mathematical modeling of electrophoresis processes. Rostov-on-Don: Southern Federal University Press; 2019. 160 p. (In Russ.).
10. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Microhydrodynamics, liquid films and electrophoresis. Rostov-on-Don: Southern Federal University Press; 2015. 240 p. (In Russ.).
11. Mosher R. A., Saville D. A., Thorman W. The Dynamics of Electrophoresis. New York: VCH Publishers; 1992. 236 p.
12. Konstantinov B. P., Oshurkova O. V. Rapid microanalysis of chemical elements by the moving boundary method. Dokl. AN SSSR = Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. 1963;148(5):1110-1113. (In Russ.).
13. Stepanov A.V., Korchemnaya E. K. Electromigration method in inorganic analysis. Moscow: Khimiya Publ.; 1979. 328 p. (In Russ.).
14. Longsworth L. G. Moving Boundary Electrophoresis. Theory, Electrophoresis: theory, methods, and applications. Ed. M. Bier. New York: Academic Press; 1959:91-136.
15. Zhukov M.Yu., Tsyvenkova O. A. Simulation of gravitational concentration convection in isotachophoresis. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. 2019;(4):27-35. Doi: 10.23683/0321-3005-2019-4-27-35. (In Russ.).
16. Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E.M. Convective stability of an incompressible fluid. Moscow: Nauka Publ.; 1972. 392 p. (In Russ.).
17. Tikhomolova K. P. Electroosmosis. Leningrad: Khimiya Publ.; 1989. 248 p. (In Russ.).
18. Landau L. D., Lifshitz E. M. Hydrodynamics. Moscow: Nauka Publ.; 1986. 736 p. (In Russ.).
19. Kuznetsov Yu. A. Existence and stability of the traveling waves in reaction-diffusion systems with one spatial variable. Pushchino: Scientific Center for Biological Research of the USSR Academy of Sciences Press; 1982. 40 p. (In Russ.).
20. Bateman G., Erdelyi А. Higher transcendental function. Moscow: Nauka Publ.; 1966. Vol. 3. 296 p. (In Russ.).
21. Vladimirov V. S. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka Publ.; 1981. 512 p. (In Russ.).
22. Korenev B. G. Introduction to the theory of Besselfunctions. Moscow: Nauka Publ.; 1971. 288 p. (In Russ.).
23. Glazman I. M., Lubitsch Yu.I. Finite-dimensional linear analysis. Moscow: Nauka Publ.; 1969. 476 p. (In Russ.).
24. Voevodin V.V., Kuznetsov Yu. A. Matrices and calculations. Moscow: Nauka Publ.; 1984. 210 p. (In Russ.).
25. Guda S. A., Yudovich V. I. The coupled problem of a solid oscillating in a viscous fluid under the action of an elastic force. Sib. mat. zhurn. = Siberian Mathematical Journal. 2007;48(3):446-462. (In Russ.).
26. Konyaev Yu. A. On one method for studying some problems of perturbation theory. Matem. sb. = Sbornik: Mathematics. 1993;184(12):133-144. (In Russ.).
Информация об авторах
М.Ю. Жуков - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики и математической физики.
О.А. Цывенкова - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра вычислительной математики и математической физики.
Information about the authors
M.Yu. Zhukov - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics.
O.A. Tsyvenkova - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics.
Статья поступила в редакцию 02.08.2023; одобрена после рецензирования 18.08.2023; принята к публикации 30.10.2023. The article was submitted 02.08.2023; approved after reviewing 18.08.2023; accepted for publication 30.10.2023.
