Статистичні характеристики інтервалів між «нулями» випадкових процесів Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. В. ЗУБК0, О. Л КАЛЮЖНИЙ, Р. /. ГР03Н0ВА

СТАТИСТИЧН1 ХАРАКТЕРИСТИКИ 1НТЕРВАЛ1В М1Ж «НУЛЯМИ» ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕС1В

1. Одновим1рний розпод!л тривалостей ¡нтервал1в М1ж нулями нормального шуму. Вигляд функщй розпод!лу Р (х) для нормального шуму з постшною густиною в смуз1 Д/, побудованих на основ! ек-спериментальних пстограм, зображений на рис. 1.

Анал1з одержаних даних показав, що зручною апроксимащею

для одновим!рного розподшу 1мов1рностей Е (т) =

|Р( х)йх тривало-

—со

стей штервал^в М1Ж нулями нормального шуму з прямокутним ча-

1 г'-

\

J л

25jku

У

aom о

№

/

о,от

т

320 360 Щ<(,мксек 180 220 280 f.naex

а о

нот

№ 120 . W г,мкеек

Рис. 1. Одновим1рний роз под ¡л тривалостей ¡нтервал!в М1Ж нулями нормального шуму:

а — ф!льтр а; т = 348 мксек-, \х — х\ = 23,5 мксек; б — фильтр б; х — 248 мксек; I К—т| = 33,3 мксек; в — ф^ьтр в; х — 128 мксек; |т — т| = 7,6 мксек.

стотним спектром е функщя розшщлу Стьюдента при п = 5 (рис. 2). ФункцН Стьюдента табульоваш, тому прийнята апроксимащя зручна.

Для ¡нженерно! оценки F (т) треба знати два параметри: середне

Яй

(найбшьш iMOBipHe) значения тривалоси штервал!в т та середне значения абсолютного вщхилення тривалосп интервалу вщ а най-

б1льш iMOBipHoro значения |т —т|. Цд параметры були запропоно-ваш Райсом [31 для щеального прямокутного фьпьтра. Обидва вони

«7

У

350

370

№ О?

0.7 Ц5

390%мкеек 250

hi Г*

ПО

290 %

т

0,9

0,7 Л5

■2

¡20

т

160 X

Рис» 2. 1нтегральна функщя розпсдалу:

а — ф!льтр а; б — ф!льтр б; в — фЦьтр ei 1 — вузькосмугове наближення Райса; 2 — емгпрична функц1я розпод1лу; 3 — Функц1я розпод1лу Стьюдента.

зв'язаш з функщею спектрально? густини шуму простими сшввщно-шеннями

т =

1

К

т =

М

•rl

1

2Уз

Af

Л>

/■+/»: /з (fB -н /в)а

де /в — верхня частота спектра шуму; /„ — нижня його частота; /0 — центральна частота;

Af = /.-/-

- Для реальних ф1льтр1в, як! принципово не можуть мати ¡деальну прямокутну частотну характеристику, функция Стьюдента при п = = 5 дае краще наближення до фактичного розждалу F (т), шж за-гальновщома апроксимащя Райса.'

2. Одновим1рний розподм штервал1в М1Ж нулями для cyMiuui нормального шуму т» синусоТдного сигналу. В присутносп сигналу вигляд розподглу Р (т) змшюеться(рис. 3). При зростанш сшввщно-шення сигнал/шум1 змпцуеться центр розподглу i вщбуваеться кон-центращя тривалостей ¡нтервалт навколо пГвперюду сигналу.

ВЦносна величина змщенйя центра розподму як функщя cnie-вщношення сигнал/шум може бути з достатньою точшстю апрокси-мована формулою (рис. 4)

де

Атш = Тмакс — т;

1 ГИд ствв!дношенням сигнал/шум тут i дал1 розум1€мо вщюшення ам-

иТС

пл1туди сигналу до середньоквадратичного значения шуму а = —.

"ш

Лтс = тс — т; • абсциса центра роз под ¡лу; ■швперюд сигналу;

/ 2 с-- \

Ф(*)—штеграл ¡мов1рностей I Ф (х) = 2 Ш\.

Концентращя ¡нтервал1в навколо швперюду сигналу приводить

до нормал1зацп розподыу, як це можна бачяти з рис. 3. При Атс =01 а 1 залежшсть

0,0572

(№6

Рис. 3. Одновим1рний розпод!л тривалостей ¡нтервал1в М1ж нулями сум1ии нормального шуму та синусощного сигналу (фмьтр б):

/ — а = 2; 2 — а — 1.5; 3 — а — 1; 4 — а = 4; 5 — а = 3; 6 — а = 2.5; 7 — а = 2; 8 — а = 1,5; 9 — а = 0.

Рис. 4. Змпцення центра розпо-Д»лу:

1 — фильтр а\ 2 — ф!льтр б; 3 — ф1льтр е.

максимуму розподшу в1д сшввщношення сигнал/шум може бути прийнята лшШною зпдно з емшричною формулою (рис. 5)

Рмаксс+Ш = --Рмаксш (1 + к0 .а).

Зпдно з експериментальними даними к0 = 0,01

Якщо ж частота сигналу не збпгаеться з центральною частотою спектра шуму (Дтс=/ 0), то максимум розгкдалу буде тим нижче, чим бшыые розб1г Дтс. Зменшення РШКСс+ш приблизно можна ощнити по зменшенню кута нахилу (рис. 6) за формулою

¿1 = ¿о (1 — = Ао (1 — -|тг

V макс мш / V

Де Г — 1 • Г . — 1

1макс — ' — 2/в *

3. Розпод1л числа штервал1в задано? тривалосп в ансамбл! реа-Л1зац1й довжиною Т. Розглянемо, з якою точшстю може бути визна-чений одновим1рний закон розподыу Р (т) по реал1зацп обмежено! довжини Т.

•2/в-/„),

Густина ¡мсшрностей (одновим1рний розгощл) Р (т) визначаеться вщносною шльюстю влучень кшця вим1рюваного штервалу в по-слщовно розташоваш ¡нтервали квантування довжиною Ат. При малому Ат ¡мов1ршсть виникнення в межах штервалу кореляцп вхщ-ного процесу принайми! двох «швперюд1в» тривалктю т,- -г- х1 4-

т о,от

й0357-

от-о,от

0,0143 0,00715

0,05

Ц0357

0Л2»

{Ц00715

Т

4

Рис. 5. Залежшсть максимуму розпо-Д1лу вщ сшввщношення сигнал/шум (Дтс = 0):

/ — Фгльтра, и = 1426,гц; Д/ = 340 гц;

2 — ф[льтр б, 1о = 2 кгц; д; = 950 гц;

3 — фшьтр в, /о = 3,95 кгц; Дf = 840 гц.

Рис. 6. Залежшсть максимуму розпо-д1лу вад сшвввдношення сигнал/шум (Дтс=0):

1 — ф1льтр а, Дт= 26 мксек; 2 — ф1льтр б; ДТ1 = 36 мксек; -Дт,= 49 мксек; Дт3 «= = 56 мксек.

+ Ат прямуе до нуля. У дьому випадку влучення кшця вим^рюваного штервалу в даний ¡нтервал квантування Атг можна розглядати як послщовшсть незалежних випробувань.

Вважаючи, що р1 — ¡мов1ршсть виникнення штервалу трива/ц-стю Т/ Х{ +Ат у кожному випробуванш мала, а кшьисть випро-

7-

бувань велика > 1), для визначення ¡мов1рносп того, що вна-

слщок випробувань з'явиться N ¡нтервал1в тривалктю Гг Ч- Т; + -(-Ат, треба користуватися асимптотичною формулою Пуассона

»г

де ХТ — р,Л/Т — N1 —середне число штервал1в т^-г-т* + Ат за час Т. Виходячи з цього, можна записати

1

N1 УР^Т

де (Т) —дисперая числа ¡нтервал1в задано!' тривалосп за час На рис. 7 показано обчислену залежшсть та експериментальн!

... «Ч-Ю

точки для в1Дносно1 дисперсп

=—. Звичайно, модель незалежних АГ,

випробувань буде там точшша, чим бшыц широкосмуговим е вхдаий процес 1 чим менше штервал Дт.

Експериментальш дослщження показали, що прийнята модель дае задовшьш результата при pí < 0,4, якщо широкосмуговють процесу

> 0,2 як для чистого шуму, так

1 для сум1ыи сигналу з шумом.

При зб1лыиенш рь що може ста-тися внаслщок зменшення широ-космуговосп системи, або розши-рення штервалу квантування Дт, або зб1льшення сшввщношення

та—---—ЛТГ сигнал/шум, вщносна дисперая

числа штервал1в, тривалкть яких ВЦносна дисперЫя числа визначаеться в заданих межах, ¡нтервал1в задано! тривалость ЗМеншуеться ¡ в м!ру зменшення.

прямуе до значения вщйосно1 дисперси числа «нул!в» вхщного процесу.

Рис. 7.

Л1ТЕРАТУРА

1. 3 у б к о В. В., С о к о л е н к о А. Ф., Прибор для измерения распределения вероятностей интервалов между нулями низкочастотных случайных процессов, Вестник Киевского политехнического , института, Изд-во Киевского университета, вып. 2, 1965.

2. L о п g u е t-H i g g i n s M. S., The distribution' of intervals between Zeroes of a stationary random function. Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A, V. 254, May 1962.

3. Райе С., Теория флуктуационных шумов, сб. «Теория передачи электрических сигналов при наличии помех», под ред. Н. "А.'Железнова, ИЛ, 1953.

V. V. ZUBKO, Ö. G. KALJUZHNY, R. /. GROZNOVA

STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE RANDOM PROCESSES INTERVALS BETWEEN ZEROES

Summary

In the article on the base of the numeroiis experimental data some characteristics of singledimensional distribution probabilities density of time intervals between zeroes of random processes, which are either normal noise, passed through the bandpass filters with different frequency responses, or the mixture of the sinusoidal signal ■with the same noise are investigated..

Some empirical formulas and graphs for the calculating characteristics of distribution are given.

The accuracy of determination of the distribution characteristics using the realisation of finite duration is evaluated.