CC BY
38
ffi
ill
Гвоздев В. Е. Gvozdev V E.
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Техническая кибернетика», ФГБОУВО « Уфимский государственный авиационный технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
Костюкова А. П. Kostyukova А. Р
кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика», ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
Кириллов К. В. Кт1Ы К. V.
аспирант кафедры «Техническая кибернетика», ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
УДК 004.052
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ И УПРАВЛЕНИЯ ПО НЕПОЛНЫМ СВЕДЕНИЯМ О ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ
Настоящая работа посвящена проблеме оценивания законов распределения случайных величин применительно к анализу надежности аппаратно-программных комплексов в условиях ограниченных по объему исходных данных. Подчеркивается, что указанные условия являются весьма распространенными, поскольку зачастую на предприятиях база данных о результатах стендовых и полигонных испытаний, подконтрольной и промышленной эксплуатации не ведется вообще, либо ведется в неполной мере, либо в силу организационных или иных причин утрачивается. В этой связи для анализа показателей надежности используются сводные отчеты о результатах испытаний, а также экспертные заключения специалистов, выраженные в произвольной форме.
Целью исследования в рамках работы является создание метода оценивания статистических свойств показателей точности оценивания характеристик надежности аппаратных компонентов аппаратно-программных комплексов в случае, когда известна оценка параметра показательного закона распределения случайной величины, а также возможный диапазон объёмов выборочных данных, которому соответствует оценка параметра закона распределения.
Приведены результаты статистического эксперимента, в ходе которого оценивались статистические характеристики показателей точности и устойчивости оценки закона распределения в зависимости от величины диапазона изменения объема выборки и варианта его назначения.
Ключевые слова: распределение случайных величин, надежность, аппаратно-программный комплекс, малая выборка, интервальное оценивание, статистические характеристики.
Data processíng facílítíes and systems
STATISTICAL ESTIMATION OF RELIABILITY INDICES OF DATA PROCESSING AND MANAGEMENT SYSTEMS BASED ON INCOMPLETE INFORMATION ON SAMPLE DATA
This research is dedicated to the problem of estimation of random variable distribution laws in terms of reliability assessment of hardware and software complexes incircumstances where the size of input data is limited. It is emphasized that the specified circumstances are of quite frequent occurrence as in many cases bench and field tests results databases are not maintained at enterprises, function tests' and commercial operation databases are not maintained at all, or yet to be fully implemented, or are lost due to organizational or other reasons. Therefore, summary reports on test results, as well as experts' evaluations prepared in free form, are used for dependability indices analysis.
Thus, the purpose of the research in the framework of this work is to provide a method of estimating statistical properties of accuracy indicators of assessed value of reliability characteristics of hardware components of software and hardware complexes in the circumstances when assessed value of random variable distribution law parameter is known, as well as the possible range of sizes of sample data, to which corresponds the assessed value of the distribution law parameter.
The results of the statistical experiment, in which statistical characteristics of precision factors and stability indices of the distribution law assessed value have been estimated depending on the span of range of sample size variation and treatments of its assignment, have been provided.
Key words: random variable distribution, dependability, software and hardware complex, small sample, interval estimation, statistical characteristics.
Введение
Оценивание законов распределения случайных величин по выборочным данным относится к числу базовых задач управления надежностью программных и аппаратных компонентов систем управления и обработки данных [1]. Подходы к её решению давно и подробно описаны в литературе, в том числе для случаев обработки выборок малого объёма [2-6].
В последние десятилетия достаточно типичным явлением была утрата на предприятиях массивов исходных данных, полученных при проведении стендовых, полигонных испытаний и в результате подконтрольной эксплуатации. Вместе с тем, сохранились отчеты, содержащие сведения об агрегированных оценках характеристик надежности изделий (интенсивность отказов; коэффициент готовности; вероятность безотказной работы и т.д.). Кроме того, из общения со специалистами возможно получение экспертных оценок условий испытаний, которым соответствуют эти агрегированные оценки характеристик надежности [7].
Оживление промышленного производства актуализирует задачу сравнительного анализа
нефункциональных характеристик новых образцов технических систем с аналогичными характеристиками ранее создававшихся объектов. Основой сравнительного анализа свойств объектов на основе обработки экспериментальных данных являются показатели точности, устойчивости, а также доверительные границы упомянутых параметров, определяемые по выборочным данным [8].
В настоящей статье рассматривается частная задача оценивания статистических свойств показателей точности оценивания характеристик надежности аппаратных компонентов аппаратно-программных комплексов в случае, когда известна оценка параметра показательного закона распределения случайной величины, а также возможный диапазон объёмов выборочных данных, которому соответствует оценка параметра закона распределения. Акцентирование внимания на показательном законе распределения обусловлено тем, что тип закона распределения является доминирующим при решении задач анализа надежности компоненты электронных систем обработки данных и управления, являющихся частью сложных технических систем [9, 10].
1. Постановка задачи
Дано:
а) Оценка параметра показательного закона распределения случайной величины Я;
б) Диапазон объёмов выборочных данных [М(И), М(в)], при которых получены Л;
в) Заданное значение гамма-процентного ресурса у %.
Требуется:
оценить статистические характеристики показателей точности и устойчивости оценки закона распределения времени наработки до отказа в зависимости от величины диапазона [М(н), Мв)], а также интервальные оценки времени наработки до отказа при заданном значении гамма-процентного ресурса при разных подходах к определению объема выборочных данных.
Подход к интервальному оцениванию времени наработки до отказа при заданном значении гамма-процентного ресурса иллюстрирует графическая модель, представленная на рисунке 1, на котором ^(х) — оценка функции распределения, соответствующая Я;
Р(И)(х) — нижняя граница диапазона возможных значений функции распределения;
Р(в)(х) — верхняя граница диапазона возможных значений функции распределения;
Р(И)(х*) — нижняя граница показателя
надежности, соответствующая заданному
*
значению х ;
Р(в)(х*) — верхняя граница показателя
надежности, соответствующая заданному
*
значению х ;
хт.п — нижняя граница интервала случайной величины, соответствующего заданному значению у;
хтах — верхняя граница интервала случайной величины, соответствующего заданному значению у.
Различие в подходах к решению задачи определяется подходами к назначению объема выборочных данных. Возможны следующие варианты определения объема выборки.
Вариант 1. Объем выборки является целым случайным числом Nе [М(И), М(в)].
Вариант 2. Объем выборки является фиксированным и определяется как
2. Описание схемы вычислительного эксперимента
Р(х) 1
О X * Хтт Хтах
Рисунок 1. Графическая модель интервального оценивания значений времени наработки до отказа невосстанавливаемого объекта
Основу решения задачи при выборе первого варианта назначения объема выборки составляет статистический эксперимент.
Шаг 1. По известному значению X строится интегральная функция распределения
= (2)
Шаг 2. Посредством датчика равномерно распределенных чисел генерируется целое число №, лежащее в диапазоне Ме [М(И), М(в)]. / = 1;// — номер эксперимента, п — количество повторов эксперимента.
Шаг 3. На основании (2) методом обратных функций [11] генерируется случайная выборка х ,..., х^о, где — объем выборки, определяемый в шаге 2.
Шаг 4. По сформированной выборке строится оценка ^(х), на основании которой определяется характеристика точности оценивания, вычисляемая по выражению (3):
¿^яфЗД-^х), (3)
X
дгСО
где *б[0;8<тД «7,=^—.
7=1
Шаг 5. Повторяя заданное число п раз шаги 2-4, формируется массив dI,..., С, по элементам которого оцениваются значения показателя точности
ми =
ь.
2=1
(4)
Л
и устойчивости
—:— //-1
(5)
(1)
же, что и описанная выше, за исключением того, что отсутствовал шаг 2, а N определялось по выражению (1).
3. Результаты вычислительного эксперимента
Графическое выражение полученных в ходе эксперимента результатов изображено на рисунках 2-4.
Проведенные исследования позволяют сделать заключение о том, что при малых объемах выборочных данных результаты, полученные при случайном назначении объема выборки Nе [Мн), МБ)], более точные, чем результаты, полученные при определении объема выборки по соотношению (1).
Вместе с тем, граничные объемы выборок, при которых первый вариант назначения N
М[<1] 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 N
Рисунок 2. Зависимость математического ожидания абсолютной погрешности оценивания закона распределения, вычисляемого по выражению (4), от объёма выборки при: объёме выборки N определяемом на основании выражения (1) (1); разбросе объёма выборки
N=±аЫ, а = 0,2 (2); разбросе объёма выборки N=±аЫ, а = 0,5 (3)
аШ-1-1-1-1-I-I-I-I-I-
0,11 -ч
0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03
0,02.......................................... ........
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 N
Рисунок 3. Зависимость среднеквадратического отклонения абсолютной погрешности оценивания закона распределения, вычисляемого по выражению (5), от объемов выборки при: объёме выборки N, определяемом на основании выражения (1) (1); разбросе объёма выборки N=±аN, а = 0,2 (2); разбросе объёма выборки N=±аN, а = 0,5 (3)
оценок закона распределения Р{(х), г =1;т7, а также интервальных оценок показателей надежности изделия и гамма-процентного ресурса.
При проведении эксперимента и подготовке материалов для данной статьи п принимали раным п = 104.
Шаг 6. По совокупности оценок законов распределения Р^х) при заданном значении
аргумента х* определялись Р^ = тах{^.(я:*)},
Р^ = 1шп|/^(л;*)}, I = \\г] (см. рисунок 1).
В ходе исследований полагалось, что х е [0;8<7(тах)), где <г(тах)=тах{а,}.
В качестве конкурирующей выступала схема, соответствующая второму варианту назначения объема выборки. Схема статистического эксперимента в этом случае была той
у = 99%
/у = 95% -
//у - 90%
///:> S5% /. У = 80% •
*---------- / / -. -----Л-/ ---------------
у = 75%7/---~ у = 70% / ~ "-"-- " -Л
10 20 40 60 80 100 120 140 N
Рисунок 4. Зависимость величины интервала Д(^) = от объема выборки
является более предпочтительным, зависят от выбора критерия точности оценивания закона распределения случайной величины.
Так, при использовании в качестве доминирующего критерия «Показатель точности» первый вариант назначения объема выборки дает лучшие результаты при объемах выборки, не превышающих 15-25.
Использование в качестве доминирующего критерия характеристики устойчивости демонстрирует преимущество первого варианта назначения N при объемах выборки, не превышающих 50-55.
Заключение
Предложен метод анализа показателей точности, устойчивости, а также интервального оценивания характеристик надежности аппаратных компонентов систем обработки данных и управления, отличающийся от известных методов анализа характеристик надежности тем, что объем выборочных данных представляется в виде интервальной оценки. Определены границы применимости разных способов назначения объемов выборок в случае показательного закона распределения времени наработки до отказа.
Предложенный метод создает основу разработки формальной процедуры сравнительного анализа характеристик надежности технических устройств в случае неполных сведений о выборочных данных. Данный метод делает возможным разработку специализированного инструментального программного средства в составе систем автоматизированного проектирования аппаратно-программных комплексов.
Список литературы
1. Липаев В.В. Надежность программных средств. М.: СИНТЕГ, 1998. 232 с.
2. Гаскаров Д.В., Шаповалов В.И. Малая выборка. М.: Статистика, 1978. 248 с.
3. Ивановский Р.И. Теория вероятности и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 528 с.
4. Амосова Н.Н. Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю.Д. Максимова. СПб.: Изд-во «Иван Федоров», 2001. 592 с.
5. Статистическое исследование территориальных систем: монография / М.Б. Гузаиров, В.Е. Гвоздев, Б.Г. Ильясов, А.Е. Колоденкова. М.: Машиностроение, 2008. 187 с.
6. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов: учеб. пособие. СПб.: Питер, 2005. 479 с.
7. Субхангулова А.С., Ахметова Д.Р., Кириллов К.В. Оценка характеристик надежности сложных АПК по архивным данным
организации-разработчика // Интеллектуальные технологии обработки информации и управления (ШРМ'2015): сб. докл. III Междунар. конф. Уфа, 2015.
8. Гвоздев В.Е., Ахуньянова К.Б. Анализ влияния структурных решений и интервальных характеристик надежности комплектующих элементов на характеристики надежности радиоэлектронной аппаратуры [Электронный ресурс] // ИТиС — 2015: тр. IV Междунар. науч. конф., Банное, Россия, 25 февраля — 01 марта 2015 г. 2015.
9. Липаев В.В. Функциональная безопасность программных средств. М.: СИНТЕГ, 2004. 348 с.
10. Кириллов К.В. Оценивание показателей состояния аппаратно-программных комплексов при переменном объеме выборочных данных [Электронный ресурс] // ИТиС — 2016: тр. V Междунар. науч. конф., Банное, Россия, 24 — 28 февраля 2016 г. 2016.
11. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Изд-во «Наука», 1973. 312 с.
References
1. Lipaev V.V. Nadezhnost' programmnyh sredstv. M.: SINTEG, 1998. 232 s.
2. Gaskarov D.V., Shapovalov V.I. Malaja vyborka. M.: Statistika, 1978. 248 s.
3. Ivanovskij R.I. Teorija verojatnosti i matematicheskaja statistika. Osnovy, prikladnye aspekty s primerami i zadachami v srede Mathcad. SPb.: BHV-Peterburg, 2008. 528 s.
4. Amosova N.N. Verojatnostnye razdely matematiki / Pod red. Ju.D. Maksimova. SPb.: Izd-vo «Ivan Fedorov», 2001. 592 s.
5. Statisticheskoe issledovanie territorial'nyh sistem: monografija / M.B. Guzairov, V.E. Gvozdev, B.G. Il'jasov, A.E. Kolodenkova. M.: Mashinostroenie, 2008. 187 s.
6. Cherkesov G.N. Nadezhnost' apparatno-programmnyh kompleksov: ucheb. posobie. SPb.: Piter, 2005. 479 s.
7. Subhangulova A.S., Ahmetova D.R., Kirillov K.V. Ocenka harakteristik nadezhnosti
slozhnyh APK po arhivnym dannym organizacii-razrabotchika // Intellektual'nye tehnologii obrabotki informacii i upravlenija (ITIPM'2015): sb. dokl. III Mezhdunar. konf. Ufa, 2015.
8. Gvozdev V.E., Ahun'janova K.B. Analiz vlijanija strukturnyh reshenij i interval'nyh harakteristik nadezhnosti komplektujushhih jelementov na harakteristiki nadezhnosti radiojelektronnoj apparatury [Jelektronnyj resurs] // ITiS — 2015: tr. IV Mezhdunar. nauch. konf., Bannoe, Rossija, 25 fevralja — 01 marta 2015 g. 2015.
9. Lipaev V.V.. Funkcional'naja bezopasnost' programmnyh sredstv. M.: SINTEG, 2004. 348 s.
10. Kirillov K.V. Ocenivanie pokazatelej sostojanija apparatno-programmnyh kompleksov pri peremennom ob#eme vyborochnyh dannyh [Jelektronnyj resurs] // ITiS — 2016: tr. V Mezhdunar. nauch. konf., Bannoe, Rossija, 24-28 fevralya 2016 g. 2016.
11. Sobol' I.M. Chislennye metody Monte-Karlo. M.: Izd-vo «Nauka», 1973. 312 s.
