Статистическое оценивание остаточной надежности сложных cистем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Борисов А.А., Карташов Г.Д., Тимонин В.И. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ОСТАТОЧНОЙ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Постановка задачи. В настоящей работе рассматриваются методы оценивания остаточной надежности последовательно-параллельных систем (в дальнейшем ППС). Уточним, что, в зависимости от целей исследования, элементом системы может быть единичный комплектующий элемент, а может быть и совокупность комплектующих элементов, соединенных между собой произвольным образом. В частности, элемент может представлять собой последовательную подсистему с большим числом элементов. В работе под элементами понимают именно такую конфигурацию комплектующих изделий, к которым в ТУ предъявляются требования по надежности.

Таким образом, объектом исследования является ППС система 5 , элементами которой являются последовательные подсистемы , у = 1,3 , состоящие из большого количества комплектующих элементов. В дальнейшем для краткости изложения будем называть блоками или модулями.

Рассмотрим теперь вопрос о характере исходных статистических данных, на основе которых проводится оценка остаточной надежности. Понятно, что методы оценивания напрямую зависят от полноты информации, полученной при эксплуатации системы на промежутке времени [0,£0] .

Возможны два случая. Первый из них состоит в том, что в процессе эксплуатации фиксируются моменты отказов подсистем , то есть измеряются наработки до отказа как всей системы, так и ее

составных частей. Во втором случае отсутствуют какие-либо данные по отказам системы. Уточним, что здесь речь идет не об отсутствии отказов, а об отсутствии данных по отказам.

При наличии информации об отказах системы за время эксплуатации становится возможным оценивание остаточной надежности системы без дополнительных испытаний на надежность при условии, что известен закон распределения наработок до отказа блоков системы. В этом случае статистическими методами проводят оценивание параметров закона распределения по результатам эксплуатации, а затем определяют показатели остаточной надежности согласно известным формулам (см. [1]). Основной проблемой здесь является обоснование неизменности закона распределения наработок после момента времени Ц .

Если нет данных по отказам системы, то становится необходимым проведение дополнительных испытаний. В данном случае проблема заключается в том, что длительность испытаний часто ограничивается жесткими сроками. По этой причине не удается получить достаточную информацию, чтобы оценить остаточную надежность без знания закона распределения остаточной наработки до отказа (по поводу этих методов, определяющих требуемые показатели в рамках биномиальной схемы, см. монографию Р.С.Судакова [2]). Для определения же этого закона распределения требуются испытания еще большей продолжительности, что делает решение этой задачи совершенно нереальным.

Таким образом, оценка остаточной надежности систем в качестве необходимого условия требует знания распределения остаточной наработки до отказа составных элементов системы 5 . Из приведенного выше анализа следует, что закон распределения можно обосновать лишь теоретически на основе реалистической модели поведения сложной системы. Именно по этой причине в качестве составных элементов системы 5 в работе рассматриваются последовательные модули Sj , состоящие из большого

количества и. комплектующих. Для них в [3] при незначительных ограничениях был получен результат, заключающийся в том, что наработка до отказа таких блоков имеет распределение Вейбулла с одинаковым параметром формы р =2 и параметрами масштаба Л (различными для каждого блока). Более того, и

распределение остаточной наработки до отказа на промежутке [/0,/0 + г] также можно считать приближенно распределенным по закону Вейбулла с тем же параметром формы (хотя, возможно, это утверждение справедливо для небольших значений г, что обычно выполняется при прогнозировании остаточной надежности).

Подводя итоги вышесказанному, можно сделать вывод: исходными данными для анализа остаточной

надежности системы являются, во-первых, структурная схема системы, и, во-вторых, закон распределения наработки до отказа (остаточной наработки до отказа) составляющих ее блоков. Этот закон является распределением Вейбулла с функцией надежности ,2

р. (г) = е Л , г > 0 (1)

где Л - подлежащие оценке неизвестные параметры масштаба.

Таким образом, задача оценивания остаточной надежности ППС системы состоит из двух частей:

- оценки (точечной и интервальной) параметров Л по результатам эксплуатации или дополнительных испытаний;

- оценки (точечной и интервальной) остаточной надежности всей системы на основе знания ее структурной схемы и остаточной надежности составляющих ее блоков.

Оценка остаточной надежности последовательной системы. Рассмотрим задачу определения точечных и интервальных оценок параметров масштаба Л распределений (1) модулей 5. системы 5 . Нетрудно

видеть, что оценка Л- эквивалентна оценке надежности (остаточной надежности) блоков 5. . Как было

указано выше, на основе этих оценок осуществляют оценку остаточной надежности всей системы. При решении этой задачи необходимо различать два случая:

- оценка Л производится по результатам эксплуатации на промежутке [0,/0 ];

- оценка Л производится по результатам испытаний на промежутке [г0,г0 +г] , проводимых в случае

отсутствия данных по отказам в период эксплуатации.

Причина отдельного рассмотрения этих случаев заключается в том, что если при проведении испытаний можно использовать любой из возможных планов (и,Б,г),(п,В,г),(п,Б,{), (п,В,{) и т.д., то данные

по эксплуатации соответствуют лишь одному плану - (Ы,В,г§) . Более подробно, в ходе эксплуатации

наблюдаются N блоков, каждый из которых в случае отказа заменяется на новый (или восстанавливается с временем восстановления, равным нулю). Далее пусть за время эксплуатации было

получено г наработок до отказа Е, I = 1,г . Переходя к величинам Е = Е?, Т = го2 , получим, что Е имеет экспоненциальное распределение с интенсивностью отказов Л = Л • Так как Е < £0 , то приближенно можно считать, что данные эксплуатации в этом случае соответствуют плану испытаний (Ы, В, /0 2) для случайных

____ г

величин Е, I = 1,N . При этом суммарная наработка 0 = 2 Е , г - наблюдаемое в ходе эксплуатации

1=1

случайное число отказов. Тогда, как показано в [4], нижняя и верхняя доверительные границы для

Л , а также ее точечная оценка Л^ имеют вид

л _г?/2(2г + 2)

Л 20 ’

2 (2)

^ _Х1-у/2(2г+2) ^ = Г

Х 20 ’ Л 0 ’

где у, 0 <у< 1 - уровень доверия; ^(2г + 2) - квантиль уровня а распределения хи-квадрат с

(2г + 2) степенями свободы.

В случае, когда проводятся испытания на промежутке [г0,г0 + г] , ситуация несколько меняется. Во-первых, как уже отмечалось, можно считать, что блоки системы также имеют вейбулловское

распределение остаточной наработки до отказа, хотя, возможно, и с другими значениями Лу . Другими

словами, момент г можно принять за нулевую точку отсчета и рассматривать систему как новую,

которая функционирует на промежутке [0,г].

Во-вторых, для различных блоков можно применять различные планы испытаний, в зависимости от их назначения и количества образцов, представленных на испытания. Если блоки испытывают по планам [Ы,В,г] , то для оценки Л- можно применять выражения (2). Если продолжительность испытаний

определяется наступлением г -ого по счету отказа из общего количества N образцов, то есть план испытаний является [Ы, В, г] или [Ы, Б, г]-планом, то точечная и интервальная оценка Л^ определяется из выражений

€ = г; . (3)

‘ 0 20 ' 20

В этом случае общая наработка 0 является случайной величиной, а количество отказов г -фиксированной величиной.

Подчеркнем, что как и при анализе данных по эксплуатации, под «наработкой» элемента следует

г

понимать величину Е = ЕЕ , а суммарная наработка равна 0 = 24 + (Ы - г) • £) . Здесь Е) - I-ая

I =1

порядковая статистика из времен отказов.

Оценка остаточной надежности ППС по результатам эксплуатации

Рассмотрим методы оценки остаточной надежности системы на промежутке [г0, /0 + г] в том случае,

когда имеются данные по отказам составляющих ее модулей 5 , на промежутке [0,г ] . Использование

этих методов предполагает, что распределение наработок до отказа подсистем 5 не меняется на всем

интервале [0,г0 + /] , т.е. не меняются значения Л •

Заметим, прежде всего, что вопросы оценки надежности систем по результатам эксплуатации или

испытаний ее компонент посвящено очень большое количество работ [2,5]. Предложено несколько методов определения гарантированных границ показателей надежности систем для экспоненциального

распределения наработок до отказа ее компонент: метод плоскости, модифицированный метод плоскости, метод прямоугольника, метод усеченного прямоугольника (коротко они описаны в [5]). Вопрос состоит в возможности применения этих методов для оценивания остаточной надежности систем.

Общей чертой перечисленных выше методов является то, что уровень доверия к показателям

надежности системы является произведением уровней доверия к показателям надежности подсистем, что приводит к его быстрому уменьшению при увеличении числа блоков. Лишь сравнительно недавно Павловым И.В. [5] был разработан так называемый метод подстановки оценки надежности систем, который

позволяет получить тот же уровень доверия к показателям надежности системы, что и для ее компонент. Поэтому метод подстановки положен в основу предлагаемых в статье оценок остаточной надежности систем.

Суть метода заключается в следующем. Пусть Л = К(О^,О ,...,0п) - функция, выражающая зависимость

показателя надежности ППС от параметров надежности &1,...,&п ее элементов. Обозначим

ву=в1,...,вл, ву=в1,...,вп - вектора нижних и верхних доверительных границ уровня у . Требуется построить доверительные границы для ,...,0п) . В [5] показано, что для ряда моделей систем оценка

их показателя надежности с заданным уровнем доверия у может производиться подстановкой у -доверительных оценок для параметров надежности элементов в функцию, выражающую зависимость

показателя от этих параметров. Там же получен критерий применимости метода подстановки, приведенный ниже.

Назовем функцию п переменных квазивыпуклой вверх (вниз) , если множество значений

вектора {х = (х15...,хи) | выпукло для любого А . Заметим, что из выпуклости вверх (вниз)

функции / (^,..., хп) следует ее квазивыпуклость вверх (вниз).

Пусть теперь функция я (Л) = я (4,.~Л) - выражает зависимость показателя надежности ППС от

параметров Л ее элементов. Справедлива теорема [5].

Теорема. Предположим Я(Л) монотонно убывает по каждому Л и квазивыпукла вверх (вниз). Тогда

величина я = Я(Л) дает нижнюю у -доверительную границу для я(Л). Здесь Л - вектор из верхних у -

доверительных границ для Л .

Рассмотрим теперь, как использовать эти результаты для оценивания показателей остаточной надежности ППС.

Обозначим Р (1 1 ) = 11 1 + I | | ) - остаточную вероятность безотказной работы / -ого изделия

системы, ] = 1,п; Р(/ | /0) - аналогичный показатель всей системы.

Нетрудно получить, что

0 )2 Л2)

PJ (1|1о) = ^)2) . (4)

110)

В дальнейшем для удобства обозначений примем И = И(1,10) = (1 + 10)2 —.

Случай невосстанавливаемых ППС.

Последовательные системы

Для последовательных систем функция остаточной надежности имеет простой вид

п

Р (1 I Г0 ) = П Р1 (1 I г0 ) = е~Ш,’,0) , (5)

1=1 п

где Л = .

1=1

Функция (5) монотонно убывает по каждому параметру и квазивыпукла вверх по вектору Л = (Л,...,Л) , так как множество параметров

Л: ЯЛ А = {Л1§ Л < — * АИ(1,10)}

выпукло для любого 0 < А< 1 .

Тогда точечная и нижняя у -доверительная границы для Р (1|10 ) имеют вид

,<0)

(6)

Р{г 110 ) = П е

1=1 п —

Р (1110 ЬПе-^'00,

1=1

где Л - верхние у -доверительные границы для Л , которые можно получить согласно (3). Последовательно-параллельные системы (нагруженный резерв)

Предположим, что 1 -ое изделие резервируется П —1) резервными изделиями (резерв нагруженный). Структурная схема системы представляет собой последовательное соединение т резервных групп изделий, где I-ая резервная группа составлена из щ однотипных элементов с одинаковыми параметрами

надежности Л, * = 1,т .

Функция остаточной надежности системы имеет вид

т Г / хп-

Р(11 /0) = П 1 — (1 — е-ЛИ(,’,0)) '

(7)

* = 1

где каждый сомножитель представляет из себя функцию остаточной надежности / -ой группы. Представим (7) в виде

Р ((1 *0 ) = ехР

—{£( — 1п( 1 — (1 — е^^у Л

Аналогично методу, приведенному в [5], докажем, что слагаемые в показателе экспоненты

1 тт —ЛИ(Лс\)

относительно Л выпуклы вниз. Пусть у =е 0 .

Тогда, обозначая ^(Л) = — 1п(1 — (1 — у)п , получим

фу _ п(1 -у)п1 , ... . . ,л_ 1 , л11 “у)п1

^(Л) = ^. ау = — п(1 у)— (— И(1,10) • у) = И(1,10)пу(1 у) > 0 .

фу ах 1—(1—у у у у,0п ч,071_(1_ у)п

Аналогично

g’(Л) = И(1,10) • п(1 — у — пу + у)(1 — (1 — уТ) — пу(1 — у)п • (1 — уГ2 •

0 (1 — (1 — у)п )2

• (—И(Щ)• у) = И2(^0)• пу • (1 — у)п—2 •(1.— у)” — (1~”у).

(1—(1—у)п)2

Так как (1 — у)п — (1 — пу) > 0 V 0 < у < 1 , то (Л) > 0 .

Таким образом, функция

С (Л) = £ ^—1п ^ 1 — (1 — е-ЛИ('-'0))4 ^

выпукла вниз, как сумма выпуклых вниз функций. Отсюда следует, что Р (1|10 ) выпукла вверх, так

как множество параметров

{Л: Р (1110 )> А} = {Л: О(Л) <— 1п А}

°0

является выпуклым.

Тогда нижняя у -доверительная граница остаточной вероятности безотказной работы имеет вид

Р (!К ) = е^) .

Последовательно-параллельные системы (ненагруженный резерв).

Разница с предыдущим случаем заключается в том, что резервные блоки находятся в нерабочем состоянии до момента, когда они заменяют вышедший из строя предыдущий блок.

Анализ остаточной вероятности безотказной работы в этом случае проводится сложнее, чем в случае нагруженного режима.

Рассмотрим сначала / -ую группу изделий. Очевидно, что к моменту /0 часть блоков выйдет из

строя, работающее изделие функционировало время г(г < ) , а в резерве остается г{(г < п{ — 1) изделий.

Тогда остаточная наработка /-ой группы равна П

£0 =3+Е£/, (8)

1=1

где - остаточная наработка изделия, находящегося в эксплуатации, £ - наработки (полные)

изделий резерва.

Распределение случайной величины (8) имеет очень сложный вид, так как является сверткой г слагаемых, распределенных по закону Вейбулла, и слагаемого, имеющего распределение (4). По этой причине найдем приближенное выражение для остаточной вероятности безотказной работы, которое оценивает снизу истинное значение этого параметра.

В (8) все слагаемые относятся к классу распределений с возрастающей интенсивностью отказов (ВФИ - распределениям), что проверяется простым вычислением интенсивностей отказов. В монографии [6]

доказано, что сумма ВФИ-распределений также является также ВФИ-распределением, т.е. величина £

имеет возрастающую интенсивность отказов.

В этом случае, как показано в [1] хорошее приближение для остаточной вероятности безотказной работы, являющееся к тому же его оценкой снизу, дается выражением

+ \2Г; Г ^

-ПЛ

1=1 .

Здесь Л - параметры изделий, находящихся в резерве; Л - параметр изделия, находящегося в эксплуатации.

Отметим, что в (9) рассмотрен общий случай, когда изделия резервируются разнотипными (в смысле надежности) резервными элементами, которые имеют различные параметры Л .

Согласно общему методу подстановки, гарантированная у -доверительная нижняя граница для Р(1 | 1 ) имеет вид

'2Ч- П Л — Л И

М _

Аналогично можно рассмотреть случай последовательно-параллельно-последовательных систем (нагруженный резерв) .

Оценивание остаточной надежности восстанавливаемых ППС.

Построение доверительных границ для остаточной вероятности безотказной работы систем с восстанавливаемыми элементами является более сложной задачей по сравнению с рассмотренной ранее. Будем считать, что система функционирует в установившемся режиме и что среднее время восстановления изделия известно и мало по сравнению со средним временем остаточной безотказной работы.

Последовательные системы. Рассмотрим систему, состоящую из п последовательно соединенных модулей. Распределение остаточного времени безотказной работы /-ого модуля имеет вид (4), а его среднее время восстановления равно а., I = 1,п . Основными показателями остаточной надежности сложных систем являются коэффициент готовности Кг и коэффициент оперативной готовности Ког . В силу

предположения, имеем

Р(111о) ~ ехР

(1 —10 )2

(9)

Ру(1 | 10) = ехр

(1 —10)2

Г !

Кг = 11т Р(1110), Ког (г) = Нш Р(£>г +10 | £ > 10,0 <г< 1). 11)

100 00 00

Так как подсистемы функционируют независимо друг от друга, то

п

Кг (Л) = П Ь (Л), (12)

I=1

1

1 + 2t:°хiai

Последнее выражение требует некоторых пояснений: коэффициент к. Л) представляет из себя

коэффициент готовности *-ой подсистемы. Так как Р (1110 ) = е^1^2 ^ = еЛ (1+2°0).°, (13)

то, предполагая 1 малым по сравнению с 210 , приближенно можно считать, что (12) есть экспоненциальная вероятность безотказной работы с параметром Л- =X/20о .

Тогда, как показано в [5], независимо от закона распределения времени восстановления при фиксированных а,...,ап имеем

* /л

к = / 4 . 14)

/х'+а

Отсюда следует выражение (12).

Очевидно, что (14) монотонно убывает по каждому Л . Кроме того, при фиксированных параметрах восстановления а,...,ап множество

{Л : К (Л) > А} = |х : £ 1п к,. (Л) > 1пХ |

выпукло в силу выпуклости вверх функции 1п к (Л) по параметру . Отсюда следует, что нижняя

у -доверительная граница для к (Л) может вычисляться методом подстановки

п

Кг (Л) = П кг (Л) .

*=1

Рассмотрим Ког (1) - остаточную вероятность безотказной работы системы в течение интервала длины

1 (т.е. на промежутке 0<г<1 отсутствуют отказы).

Указанная характеристика для нашего случая имеет вид

п

Ког(1) = Кг(1о 11о)ехр(—И£Л) . (5.15) *=1

Очевидно, Кг(10 | ^) = 1 .

п

Функция ехР(—ИХЛ) монотонно убывает по каждому Л и квазивыпукла вверх по вектору

1/ V

Следовательно, нижняя у -доверительная граница может быть получена методом

X’-’/ хи

подстановки.

Средняя длина интервала остаточной безотказной работы Е(Х) может быть приближенно вычислена, используя экспоненциальное приближение (5.13). Именно,

\-1

_ [ п 1

Е(Х) = 1 У-----

Обе характеристики остаточной надежности монотонно убывают по каждому Х и квазивыпуклы вверх по

Ух.........Ух

вектору ,..., 72 \ . Следовательно у -доверительные границы для них также могут получены методом

подстановки.

Аналогично можно получить приближенные нижние границы для последовательно-параллельных систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. - М.: Наука, 1965. - 524с.

2. Судаков Р.С. Испытания технических систем. - М.: Машиностроение, 1988. - 338с.

3. Карташов Г.Д. Форсированные испытания аппаратуры//Стандарты и качество. Приложение «Надежность и контроль качества», - 1985. - №1.-С. 18-24.

4. Вопросы математической теории надежности. / Е.Ю. Барзилович, Ю.К. Беляев, В.А. Каштанов и др.; Под редакцией Б.В. Гнеденко. - М.: Радио и связь, 1983. - 376с.

5. Павлов И.В. Статистические методы оценки надежности сложных систем по результатам испытаний.

- М.: Радио и связь. - 1982.- 168 с.

6. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надёжности: Пер. с англ./ Под ред. Гнеденко Б.В. -М.: Сов. радио, 1969.- 488с.