Статистическое моделирование вариаций критической частоты слоя F2 ионосферы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 551.510.535

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВАРИАЦИЙ КРИТИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЫ СЛОЯ F2 ИОНОСФЕРЫ

© 2010 г. Н.П. Сергеенко

Институт земного магнетизма, ионосферы Pushkov Institute of Terrestrial Magnetism,

и распространения радиоволн РАН, Ionosphere and Radiowave Propagation RAS,

г. Троицк, Московская обл., 142190, Troitsk, Moscow region, 142190,

serg@izmiran.ru serg@izmiran.ru

Рассмотрена возможность построения одномерных функций плотности вероятности относительных вариаций критической частоты ионосферы. В основе методики лежит построение аналитической модели случайной величины, определенной на всей оси ординат и калибруемой первыми четырьмя статистическими инвариантами: средним, дисперсией, асимметрией и эксцессом. Обобщение на асимметричный случай достигается путем использования неголоморфных функций.

Ключевые слова: статистические распределения, статистическое моделирование, критическая частота, относительные вариации, статистический анализ, ионосферная буря, суббуря.

The opportunity of construction of one-dimensional probability density functions of relative variations of critical frequency of an ionosphere is considered. Basis of a procedure is the construction of analytical model of a random quantity, determined on all axis of ordinates and defined by four statistical invariants: medial, variance, asymmetry and kurtosis. The generalization on a unsymmetrical case is achieved by use of holomorphic functions.

Keywords: statistical distribution, statistical modeling, critical frequency, relative variations, statistical analyse, ionospheric storm, substorm.

Ионосферная плазма - статистически неоднородная среда, поэтому параметры радиосистем зависят существенным образом от характеристик канала связи со случайно изменяющимися параметрами. Существует около десятка теоретических и полуэмпирических распределений, которые в той или иной степени описывают экспериментальные данные по флуктуа-циям характеристик КВ-сигналов [1, 2].

Вместе с тем очень важно исследовать и формализовать статистические свойства флуктуаций самой среды, в которой эти сигналы распространяются. Первой статистической моделью ионосферных вариаций электронной концентрации в слое F2 служил закон нормального (гауссова) распределения Wn(x), зависящего от двух параметров - среднего значения x и дисперсии ст2, которые определяются по выборке

{x}n [3]. Однако можно утверждать, что как бы ни был нормализован реальный случайный процесс, на уровнях достаточно малых вероятностей имеются сколь угодно большие отклонения от модели нормального процесса. В случае ионосферной возмущённости - это вероятность больших ионосферных возмущений, вероятность долгопериодического фединга отраженного от ионосферы радиосигнала и вытекающие отсюда надежности работы радиотехнических систем, использующих ионосферу в качестве тракта распространении радиоволн.

В связи с этим существует необходимость в изучении возможностей статистического моделирования выборок критических частот слоя F2, оказывающих более существенное влияние на изменение условий распространения радиоволн декаметрового диапазона, чем, например, изменчивость высот и полутолщин отражающих слоев. Этой проблеме и посвящена настоящая работа.

Задача моделирования случайных вариаций дfoF2(t)

Электронная концентрация в максимуме слоя F2 характеризуется значительной изменчивостью в суточном, сезонном и солнечном циклах. Имеет место одновременно и квазидетерминированная, и случайная изменчивость свойств области Б ионосферы. Исследования свойств массивов критических частот слоя F2 {/0} показали, что на практике возможно разделение этих эффектов путем выработки образа «спокойной» ионосферы с помощью представления о скользящей медиане в массиве {/0} для каждой ионосферной станции, входящей в мировую сеть. Таким образом, из текущих значений /() с дискретностью в один час формируется множество относительных вариаций 8/0 F 2 : 8/0 F 2 = ^ скмед■ .

ск.мед.

Параметр д/0 F 2 в практике краткосрочного ионосферного прогнозирования используется как показатель степени ионосферной возмущённости.

Множество значений { 80 F2 } рассматривается как случайное и является объектом статистического моделирования в данной работе. Задачей одномерного моделирования является синтез функции плотности вероятности 'W(SfoF2), калибруемой параметрами выборок {f0F2}п, содержащих п элементов.

Первые попытки построения статистических моделей ионосферной изменчивости, максимально использующих информацию о свойствах ионосферы, были предприняты в цикле работ [4-7]. В этих работах статистически достоверно показано, что в общем случае нормальный закон распределения для каждой совокупности 880Е2 неприменим. Была предложена для описания статистических характеристик процесса модель с асимметрией А и эксцессом Е, которая в пределе при А — 0 и Е— 0 стремилась бы к нормальной. В [8] было показано, что требование учёта ионосферной возмущенности в моделировании приводит к переходу к использованию линейно-экспоненциальных функций. Основная идея синтеза статистической модели процесса ffoF2(t) может быть сформулирована следующим образом: ионосферные неоднородности

возникают независимо в произвольных точках пространства так, что в каждой данной точке измеряемая величина 880Е2(г, {) определяется как суперпозиция некоторого количества воздействия от неоднородно-стей, описываемых детерминированными функциями времени, но со случайными параметрами а :

U = £ us (t, a) .

(1)

Характеристической функцией /(А) случайного процесса хф, определенного на симметричном интервале (-<»,+<»), по определению является функция, сопряженная по Фурье с функцией плотности вероятности W(х) [9]:

}(А) = W (х) е гАх дх. (2)

Запись (2) предполагает, что вне интервала определения функции W(х) ее значение приравнивается к нулю. Приведем два вида характеристических функций, принадлежащих к классу линейно-экспоненциальных функций, полученных в работах [4, 5, 10], где в качестве основных параметров характеристической функции использовались дисперсия сС и эксцесс Е:

/i№) = [1+E (x); 6

/2(Х) = exp[-

2

2

№V2

(3)

(4)

Е( х) \ Е (х) Е (х)

Калибровка параметров /(X) в терминах дисперсии и эксцесса имеет существенное прикладное значение, поскольку позволяет по этим апостериорным величинам синтезировать функции W(x) без построения гистограмм. Это приводит к значительному уменьшению затрат на обработку экспериментального материала и дает обоснованный метод экстраполяции функций W(x) в области малых значений х. Одна из возможностей обобщения функций (3), (4) связана с обобщением на случай неравной нулю асимметрии процесса А( х) Ф 0 . Формально для этого обобщения следует использовать прием, состоящий в том, что симметричная функция плотности вероятности W(x) умножается на экспоненциальный множитель класса ехр(-вх) после чего производится ренормировка функции. Это эквивалентно введению новой характеристической функции/а(Х) вида

/сим Х + г в)

/а №) =-

(5)

/сим (гв)

Параметр в пропорционален величине асимметрии А.

Исходя из вышеизложенного на базе характеристической функции пуассонова процесса (3) была построена статистическая модель с эксцессом и асимметрией. Функция плотности вероятности такого процесса имеет вид

M-Vl] E . ад;

E

W (x) = [1 -

ßV E)E+2

л, V n v E

Wc = Л-3--x

— 3 2 E Г (—)

E

E"2 . K з iViE):

---v \ E

E 2

+

где ß - параметр, пропорциональный асимметрии; x

fo F 2.

соответствует нормированной величине

Г( ) - =

Характеристическую функцию процесса (10) можно представить в соответствии с формулой (2): /^(Х) =

гамма-функция; к 3 j () - функция Бесселя 3-го рода от

__

E 2

мнимого аргумента. Эта модель применима для 0<Е <6.

Характеристическая функция (4) приводит к функции плотности вероятности следующего вида:

W(X) = ПСТ еХр[ —+-Хг-]--1Т2--к\{—3сТ7Г }, (7)

пст а ст2Ъ (а) • Ъс а • (Ъ)1/2

^ 4 ,2 , , Am

где a= E--A ; b=1--

3 3ст

с= Л +-

3aJ

a b

Условия существования функции (7) таковы:

Е - 4 А 2>0, Ат < 1.

3 3ст

Обе формулы были успешно использованы для описания сигналов, рассеянных крупномасштабными неоднородностями ионосферы.

Однако полученные таким образом функции распределения (6) и (7) имеют существенный недостаток: они не являются голоморфными в начале координат. Производная функций терпит разрыв в начале координат. Поэтому в работе [11] предпринята попытка осуществить переход к неголоморфным функциям при эксцессивно-асимметричном моделировании распределений SfoF2. В наиболее общем виде данная задача может быть поставлена с помощью двух функций F(х) и О(х), интегрируемых на частях области изменения величины х - интервала (хт1П, хтах). Это позволяет представить моделируемую функцию вероятности W(х) в неголоморфном виде

Г F(х) х е (хт1п ,0);

W(x)=C ¡(X' (0ПШ';' (8)

°(х) х е (0,Хтах ) .

Константа калибровки С легко находится с помо-

хтах

щью условия нормировки | W (х) • Сх = 1.

хтт

В общем случае функции F и О отличаются только масштабом

x x

F(x) =F(—), G(x)=F(-). g d

(9)

При g = С получается симметричный случай. В качестве симметричной модели можно выбрать функцию W(х) вида (6) с биноминальной характеристической функцией и параметром р=0.

Моделирование сложных сигналов

Сложные сигналы могут быть представлены в виде суммы

XI = хы + хл. (10)

Индекс I выбран для суммарного процесса, индекс N - для случайного процесса, не обязательно нормального, т.е. предполагается, что первое слагаемое в правой части носит шумоподобный характер с эксцессом Е >0. Второе слагаемое носит квазидетер-минированный характер. Ниже будет предполагаться, что | ха | > И, т.е. вторая компонента сигнала в формуле (10) ограничена по амплитуде и существует в полосе ± И.

= ехР['( XN + хС

В силу независимости хдг и хс можно, воспользовавшись известным свойством показательной функции F(х+ у) = F(х) Е(у), получить

/Е(Х) = ш + ш. (11)

Один из процессов в (11) - двухуровневый, когда вариация ffоF2 принимает два различных значения с быстрым или постепенным переходами между уровнями, что на практике соответствует возникновению ионосферных бурь в слое F2 с внезапным и постепенным началом. Другой процесс имеет характер импульсного шума с симметричной частью эксцесса и соответствует появлению сравнительно изолированных неоднородностей, контрастности которых изменяются в широких пределах. Асимметрия процессов в обоих предельных случаях означает преобладание неоднородностей того или иного знака.

В практике краткосрочного ионосферного прогнозирования полная величина д[^2 во время ионосферного возмущения представляется в виде суммы регулярной и нерегулярной составляющих [12, 13]:

ffoF2=R(ffoF2)+IR(ffoF2), (12)

где R - вариация, включающая в себя наиболее характерные крупномасштабные регулярные изменения foF2 во время солнечных и магнитосферных бурь и максимальная в процентном отношении. Она зависит от сезона и солнечной активности. Вариация Ж обусловлена появлением более кратковременных возмущений и неоднородностей (суббури, сейсмогенные возмущения, антропогенные неоднородности и т.п.). Прогнозирование начала, продолжительности и типа ионосферных возмущений осуществляется по данным геомагнитного мониторинга [13]. Статистическая модель процесса (12) может быть построена по принципу (11), где характеристическая функция /^Х) описывает регулярную вариацию R(Sf0F2), а функция /С(Х) описывает нерегулярную вариацию Ш(8^2).

Рассмотрим конкретные примеры. На рис. 1 сплошной линией представлена эмпирическая запись 8[,р2(() для 9 марта 1985 г., линией, отмеченной квадратами, -регулярная вариация R(Sf0F2), точечной линией - вариации IR(Sf0F2). Ниже показана геомагнитная ситуация для этих суток.

Геомагнитный индекс показывает слабое геомагнитное возмущение с -20 пТ. Кроме того, в этот день (в ~ 14, 15 и 16 ч иТ) произошло три землетрясения в разных регионах земного шара с магниту-дой ~ 6 баллов, после которых могли возникнуть перемещающиеся ионосферные возмущения, в том числе и в ионосфере над Москвой [14]. Это могло быть причиной возникновения кратковременного возмущения, регистрируемого ионосферной станцией в Москве, в вечерние часы там наблюдался большой положительный всплеск над фоном.

На рис. 2а представлены статистические распределения для суммарного процесса (слева), R(дf0F2) (в середине) и (справа). Здесь гистограммы - экспериментально наблюдаемые распределения; сплошные линии - гауссовы распределения; пунктир - посчитанная по (11) результирующая функция распределения для этого периода.

а

2

x

Гистограмму распределения 880р2 также можно представить в виде суперпозиции двух сдвинутых распределений (рис. 2б). Результирующее распределение здесь показано пунктиром. Такие двухвершинные распределения чаще всего характерны для выборок 80F2, полученных из данных ионосферных наблюдений в высоких широтах [15]. Обоснование феноменологического приёма аппроксимации двухвершинных распределений также возможно на основе метода неголоморфной характеристической функции. Очевидно, что в этих случаях приходится иметь дело с сигналом вида (10), когда компонент хк представляет собой нормальный процесс, тогда как детерминированное слагаемое хд носит более общий характер: W (х) = р 8 (х-х1) + (1-р) 8 (х-х2). (12)

Очевидно, что характеристическая функция этого

процесса будет иметь вид /(А)

i№x1 , ¿л \ i№x2

= р e 1 + (1-р) е 2

Далее можно получить /(X) = в 2 [ре'х + (1-р)■ в'^2].

Преобразование Фурье от этой характеристической функции позволит получить формулу для общей функции распределения, если обе составляющие процесса - нормальные процессы:

W (x) = •

1

-[ pe

( x- Х1)2 2v2

+ (1 - p) • e

( x-X2)2

2V2

Рис. 1. Вариации 8^2 (р для 9 марта 1985 г. (сплошная линия); К(8/0К2) - кривая, отмеченная квадратами; !К(88ср2)- точечная линия. Ниже приведены геомагнитные Кр, АЕ и Dst индексы

г- W

9 марта 1985

а

R(SfoF2)

IR(SfoF2)

-20

20

40 -40

-20

20

г- W

0,5

3fo а*

А £

26,0 16,26 0,21 -0.2S

-40

-20

20

40

SfoF2%

Рис. 2. а - статистические распределения для суммарного процесса (слева), для составляющей К(8^2) (в середине) и Ш(8^2) (справа). Гистограммы - экспериментально наблюдаемые распределения, сплошные линии - гауссовы распределения, пунктир - кривая, посчитанная по модели (11) функция распределения; б - гистограмма распределения 8/0р2, представленная в виде суперпозиции двух сдвинутых нормальных распределений

2пс

На рис. 3 приведён ещё один пример записей 8/0Е2(1) для периода 28 - 31.03.1985 г. - возмущённого периода с бурей, длившегося 4 сут. На фоне бури наблюдалось несколько суббурь. Кроме того, 28.03 наблюдалось 3 землетрясения, которые могли быть причиной дополнительных всплесков в записях 8f0F2(t) за этот период.

Рассмотрим статистические распределения 8f0F2(t) для этого периода времени, представленные на рис. 4. Сплошной линией представлены гауссовы распределения. Гистограмма Я88ОРУ2(0 представляет случай двувершин-ного распределения. На рис. 4 для этого распределения приведены как общая гауссова кривая, так и кривые, отдельно посчитанные для правой и левой его ветвей. Результирующее модельное распределение приведено пунктиром. Для описания распределения 1Я8/0Р2ф нормальный закон не применим, поэтому в качестве модельного распределения использовалась функция (7). На рисунке она показана пунктиром. Результирующее распределение 8/0Е2 с использованием неголоморфных функций для этого периода приведено на рисунке пунктиром. Степень его согласия с эмпирической гистограммой выше, чем в случае просто нормального распределения.

40

S/ÖF2 %

Л V

б

Рис. 3. Пример записей для периода 28 - 31.03.1985 г.

(вверху). Ниже приведены геомагнитные Кр, АЕ и Бзф индексы

Выводы

Разработан теоретико-эмпирический подход для построения одномерных функций плотности вероятности относительных вариаций критической частоты ионосферы. В основе метода лежит построение аналитической модели случайной величины, определенной на всей оси ординат и калибруемой первыми четырьмя статистическими инвариантами: средним, дисперсией, асимметрией и эксцессом. Обобщение на асимметричный случай достигается путем использования неголоморфных функций. Непрерывность синтезируемой функции плотности вероятности ДОС тигается путем сшивания в начале координат половинок симметричной функции, но взятых с разными масштабами на различных полуосях оси абсцисс. Эффективность модели подтверждается на массиве относительных вариаций критической частоты, полученных на мировой сети станций вертикального зондирования.

Поступила в редакцию_

Приведённые результаты имеют прикладное и методическое значение. Вариации fF2 определяют изменение рабочих диапазонов волн, используемых в работе служб - радиосвязь, радионавигация, радиолокация и др. При этом отклонение свойств распределений W(SfoF2) от нормальных определяет предельные возможности радиослужб - вероятности ошибочных сигналов, достижения надёжности. В зависимости от конкретных схем обработки сигналов эти характеристики можно вычислить по приведённым данным о статистике fF2.

Литература

1. Siddiqul M.M., Ostrow S.M. Gram-charlierseries distribution for fF and M(3000) F2 // Radio Science (New Ser). 1968. Vol. 3, № 4. P. 383-385.

2. Nakagami M. Statistical methods in radio wavespropaga-tion. London; N.Y., 1960. 321 p.

3. Бенькова Н.П., Потапова Н.И. Изменчивость ионосферных парметров // Докл. VII науч. конф. Вып. 2. Томск, 1957. С. 82.

4. Всехсвятская И.С., Сергеенко Н.П., Юдович Л.А. О статистических закономерностях флуктуаций NmF2 на средних широтах // Геомагнетизм и аэрономия. 1970. Т. 10, № 4. С. 606-610.

5. Всехсвятская И.С., Сергеенко Н.П., Юдович Л.А. Об особенностях кривых распределения foF2 // Геомагнетизм и аэрономия. 1971. Т. 11, № 1. С. 86-91.

6. Всехсвятская НС., Сергеенко Н.П., Юдович Л.А. Статистическая модель геофизических процессов, обладающих асимметрией и эксцессом функции плотности вероятности // Геомагнетизм и аэрономия. 1971. Т. 11, № 5 С. 785-789.

7. О глобальных неоднородностях ионосферы / И.С. Всехсвятская [и др.] // Геомагнетизм и аэрономия. 1972. Т. 12, № 4. С. 622-624.

8. Всехсвятская И.С., Сергеенко Н.П, Юдович Л.А. О возможностях статистического моделирования вариаций критических частот слоя F2 // Ионосферные возмущения и методы их прогноза. М., 1977. С. 3-9.

9. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. М., 1961. 520 с.

10. Furutsu K., Ishida T. On the theory of amplitude distribution of impulsive random noise and its application to the

atmosphere noise // J. Rad. Res. Labor. 1960. Vol. 7, № 32. P. 279-318.

11. Дзвонковская А.Л., Кузнецов В.А., Сергеенко Н.П. Одномерная статистика относительных вариаций критической частоты области F2 ионосферы различных широт // Геомагнетизм и аэрономия. 2004. Т. 44, № 6. С. 813-816.

12. Sergeenko N.P., Kuleshova V.P. The forecasting storm from ground-based recording of the magnetic field // Solar-Terrestrial predictions proceeding of Workshop 16-20 October, 1989. Leura, Australia. Boulder, Colorado, 1990. Vol. 2. P. 367-370.

13. Руководство по краткосрочному прогнозированию ионосферы / Р.А. Зевакина [и др.]. Материалы МЦД Б-2. М., 1990. 71 с.

14. Сергеенко Н.П., Харитонов А.Л. Краткосрочные магнитосферно-ионосферные предвестники катастрофических землетрясений // Исследование земли из космоса. М., 2005. № 6. С. 61-68.

15. Жулина Е.М., Киселёва М.В. Об особенностях статистических распределений foF2 в высоких широтах // Исследования области F и внешней ионосферы. М., 1974. С. 275-290.

17 сентября 2009 г.

5/оР2 %

Рис. 4. Статистические распределения для суммарного процесса - слева, для составляющей R(ff0F2) - в середине и Ш(§[0Р2) - справа