CC BY
23
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИИ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ май-июнь 2020 Том 20 № 3 ISSN 2226-1494 http://ntv.itmo.ru/
SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS May-June 2020 Vol. 20 No 3 ISSN 2226-1494 http://ntv.itmo.ru/en/
HHIIIDPMAPDHHhlX ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
УДК 617.3, 519.244.4, 539.3 doi: 10.17586/2226-1494-2020-20-3-446-454
СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ КОЛЕННОГО СУСТАВА
В.М. Мусалимов^ С.Ю. Перепелкина^ М. Паасукеь, Е. Гапееваь, Я. Ерелинеb
a Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация b Тартуский университет, Тарту, 50090, Эстония Адрес для переписки: musvm@ya.ru Информация о статье
Поступила в редакцию 06.04.20, принята к печати 15.05.20 Язык статьи — русский
Ссылка для цитирования: Мусалимов В.М., Перепелкина С.Ю., Паасуке М., Гапеева Е., Ерелине Я. Статистическое моделирование передаточных отношений коленного сустава // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2020. Т. 20. № 3. С. 446-454. doi: 10.17586/2226-1494-2020-20-3-446-454
Аннотация
Предмет исследования. Предложен новый подход к анализу экспериментальных данных ходьбы, заключающийся в использовании статистик передаточных отношений. В основу исследований положены экспериментальные данные сгибания-разгибания-ротации коленного сустава, полученные в лаборатории кинезиологии и биомеханики Тартуского университета Эстонии. Методы. Для каждой из фаз данных движения были рассчитаны угловые скорости. Моменты времени изменения знака угловых скоростей представлены в качестве случайного процесса. Рассмотрена роль распределения Пуассона для моделирования распределения точек перехода через нуль. Построены корреляционные функции и спектральные плотности этих процессов. Описана роль равномерного распределения в оценке передаточных отношений. Изучена роль крестообразных связок в передаче движения. Основные результаты. В результате обработки данных с использованием статистик Пуассона и Фишера рассчитаны средние значения и дисперсия передаточных отношений. Предложена модель механизма упругой передачи движения сгибания-разгибания-ротации коленного сустава с использованием передаточного отношения и особенностей спиральной анизотропии в применении к механике крестообразных связок. Практическая значимость работы определяется поиском решения задач модернизации эластичных актуаторов, используемых в конструкциях коленных ортезов. Ключевые слова
коленный сустав, сгибание/разгибание, ротация, распределения, передаточные отношения, крестообразные связки, спиральная анизотропия
doi: 10.17586/2226-1494-2020-20-3-446-454
STATISTICAL MODELING OF KNEE JOINT GEAR RATIOS V.M. Musalimova, S.Yu. Perepelkinaa, M. Paasukeb, E.N. Gapeevab, J. Erelineb
a ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation b Tartu University, Tartu, 50090, Estonia Corresponding author: musvm@ya.ru
Article info
Received 06.04.20, accepted 15.05.20 Article in Russian
For citation: Musalimov V.M., Perepelkina S.Yu., Paasuke M., Gapeeva E.N., Ereline J. Statistical modeling of knee joint gear ratios. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2020, vol. 20, no. 3, pp. 446-454 (in Russian). doi: 10.17586/2226-1494-2020-20-3-446-454
Abstract
Subject of Research. The paper presents a new approach to the analysis of experimental data on walking. It involves the application of gear ratio statistics. The research is based on the experimental data on flexion-extension-rotation movement of knee joint that has been obtained in the laboratory of kinesiology and biomechanics of Tartu University, Estonia. Methods. Angular velocities have been calculated for each of the motion data phases. Temporal values of angular velocity sign changes have been represented as a random process. The role of the Poisson distribution for modeling distribution of transition points through zero has been considered. Correlation functions and spectral densities of these
processes have been created. The role of uniform distribution in the estimation of gear ratios has been described. The contribution of cruciate ligaments in the movement transmission has been studied. Main Results. The average values and variance of gear ratios have been calculated as a result of data processing by Poisson and Fischer statistics. An elastic transmission mechanism model for flexion-extension-rotation of knee joint movement using the gear ratio and features of helical anisotropy in application to the mechanics of cruciate ligaments has been proposed. Practical Relevance. The work is aimed at the search for solutions to modernization problems of elastic actuators used in design of knee orthoses. Keywords
knee joint, flexion-extension, rotation, statistics, gear ratios, crucial ligaments, helical anisotropy
Введение
Построение математической модели опорно-двигательной системы и в настоящее время остается актуальной проблемой. Это связано с такими обстоятельствами, как обновление экспериментальных данных и развитие теоретической базы синтеза биомехатронных и роботехнических систем. Анализ походки является базой для специалистов медицинских и спортивных областей, при создании протоколов реабилитации, а также при планировании достижимых травмобезопас-ных показателей [1-3], в том числе скоростей, усилий, действий у пациентов и спортсменов. Научный подход к изучению походки предполагает установление связи между кинематическими параметрами опорно-двигательной системы и ее возможностями как динамической системы [4]. Современные протоколы анализа походки основаны на широком использовании аппа-ратно-компьютерных средств обработки информации [3-5]. Так была построена модель ходьбы в фазе отталкивания с опорой на передний отдел стопы (фаза контакта «носок-земля») и фазы переноса конечности с учетом данных, полученных при экспериментальных исследованиях ходьбы [4].
В настоящей работе авторы остановились на исследовании механики коленного сустава. Нормальная функция колена обеспечивается балансом устойчивости и подвижности сустава, что определяется взаимодействием между связками, суставными поверхностями и мышцами. Авторами рассматривается уникальная комбинация сгибания-разгибания-ротации, которая происходит во время ходьбы [6-9]. Учитывая, что ходьба является наиболее частой деятельностью в повседневной жизни, то понимание относительно движения бедра и голени во время ходьбы может повлиять на успех или неудачу различных реконструктивных процедур в коленном суставе. Например, при реабилитационных процедурах с использованием ортезов [5, 9] и при выборе формы суставной поверхности для управления медиальным поворотным движением.
Организация экспериментов
В основу исследования положен оптический маркерный способ захвата и анализа движения. При проведении экспериментов операторы закрепляют отражающие сферические маркеры в определенных точках суставов испытуемых, как это изображено на рис. 1. Оптическая система BTS Bioengineering (Italy) с помощью шести инфракрасных камер с частотой 100 Гц позволяет захватить указанные точки в процессе движения человека в регистрируемой камерами области.
На рис. 1 использованы следующие обозначения: п — правое, л — левое; ппо — позвоночно-поясничная ось крестца; участки 1, 2 определяются по индивидуальным данным испытуемых в качестве вспомогательных триангуляционных точек системы БТБ; колено 1 — ось коленного сустава бедренной кости; колено 2 — ось коленного сустава большеберцовой кости; плюсн — плюсневая кость стопы; С7 — шейный отдел, состоящий из 7 позвонков. Сам отдел имеет форму буквы С. Выбор точек крепления маркеров определяется регламентом БТБ.
В результате измерений получены пространственно-временные параметры ходьбы [4]: скорость, ритм, фазы шага в момент опоры и переноса нижней конечности, кинетические и кинематические параметры сгибания и разгибания тазобедренного, коленного и голеностопного суставов, а также моментные и силовые характеристики движения.
Для исследования использованы графики изменений углов сгиба-разгиба для каждой ноги; поворотов и движения костей таза, бедер, коленей, относительных поворотов суставов в зависимости от фаз циклов ходьбы.
Это были показатели при ходьбе в обычном темпе (свободно выбранная скорость ходьбы) по 10-метровой дорожке, включая 5-метровую платформу, расположенную в центре зоны регистрации инфракрасных- и видеокамер системы. Кинематические параметры сги-
л колено 1 л колено 2
л участок 2 л лодыжка л плюсн
Рис. 1. Точки закрепления маркеров
Таблица 1. Антропометрические данные семи обследуемых мужчин
Номер исследуемого больного Вес, кг Рост, см Длина ноги, мм Диаметр колена, мм Диаметр лодыжки, мм Возраст, лет
1 66 172 880 90 70 25
2 80 181 900 99 80 27
3 77 179 955 95 72 27
4 68 169 865 105 80 24
5 84 178 997 105 70 34
6 82 171 870 105 75 34
7 73 172 940 95 70 28
бания и разгибания в тазобедренном и коленном суставах на основе средних данных пяти тестов в обычном темпе каждого исследуемого были взяты для построения модели ходьбы [4-6].
Антропометрические параметры, измеренные в ходе исследований для семи обследуемых мужчин, представлены в табл.1.
Статистический анализ угловых и ротационных движений коленного сустава
Коленный сустав — подвижное соединение бедренной кости с большеберцовой костью голени и коленной чашкой. Коленный сустав по своей структуре является очень сложным сочленением, а также часто травмируем. Колено обеспечивает подвижность, необходимую для ходьбы человека, и помогает ориентировать и позиционировать ступню [6-8]. Согласно выводам исследователей, кости бедра и большеберцовой кости совершают угловые перемещения относительно друг друга по анатомическим осям (рис. 2): первичное сгибание/разгибание; вторичное вращение большеберцовой кости внутрь/наружу (ротация); вторичное отведение/приведение.
Необходимыми элементами движений при ходьбе являются сгибание и разгибание, тогда как вторичные движения берут на себя приложенную нагрузку, обеспечивая восстановление энергии.
Вторичное
Рис. 2. Анатомические оси коленного сустава
Однако конфигурации маркеров ограничивают точность восстановления движения. Это ограничение особенно влияет на измерение более малых вторичных движений [9].
Рассмотрим экспериментальные данные: сгибание/разгибание коленного сустава и его ротацию. Исследуем фазу контакта стопы с бароподометриче-ской платформой, что составляет 60 % от цикла шага. В задачу исследования входил анализ изменения угловых скоростей сгибания/разгибания и ротаций, а также сопоставление их отношений. Принято, что несмотря на развитое программное обеспечение по привязанному моделированию к каждому испытуемому, нецелесообразно ориентироваться только на детерминированный подход к анализу кинематики. Да и сама опорно-двигательная система, как система жизнеобеспечения, не суть - прецизионная система, поэтому был предпринят статистический анализ каждого из этапов движений, и, соответственно, имитационное их моделирование.
Линейное приближение. На рис. 3 представлены графики сгибания/разгибания и ротации большеберцовой кости. Использованы данные правой ноги исследуемого № 3 на интервале 0-60, соответствующем 60 % цикла движения ноги, т. е. фазе контакта ступни с платформой.
На графиках (рис. 3) ось абсцисс - это приведенное время т. Будем каждую из зон представлять в виде линейного отрезка
а = ао + Пт,
где ао — свободный коэффициент линейной функции, а П представляет собой, с одной стороны, тангенсы углов наклона каждой из линеаризованных ветвей A1, A2, A3 (П1) и B1, B2, B3 (П2), с другой - это угловые скорости сгибания/разгибания и ротаций. Характерной является смена знаков угловых скоростей. Далее использованы отношения П1/П2 угловых скоростей на сопряженных зонах (рис. 3). Эти отношения, которые стали предметом исследований авторов, представлены в табл. 2. Здесь a и Ь параметры равномерного распределения.
На рис. 4 представлены значения передаточных отношений для шести испытуемых. На рис. 4, а приведены значения, соответствующие первой фазе контакта (Л1, B1). На рис. 4, б дана визуализация ряда равномерно распределенных шести случайных чисел, полученных генератором случайных чисел иш&пё МА^АВ.
О 20 40 60 80 100 120 т, с
Рис. 3. Пример экспериментальных графиков зависимости углов сгибания/разгибания (а) и углов ротации (б) от приведенного времени, где А1, A2, A3 — зоны возрастания/убывания значений углов сгибания/разгибания; B1, B2, B3 —
зоны возрастания/убывания значений углов ротации
Таблица 2. Отношения угловых скоростей на сопряженных зонах
а П1, рад/с Ь П2, рад/с П1/П2 п12/П22
А1 0,0118 В1 0,0112 1,0531 1,1100
А2 -0,0950 В2 -0,0096 0,9916 0,9832
А3 0,0121 В3 0,0103 1,1748 1,3691
6 п
У 1,8
1,4
1
ь I • 4 Г" 1
•
1 • _1 -о
1
6 п
Рис. 4. Значения передаточных отношений (у) для шести испытуемых: расчетные значения первой фазы (п — число испытуемых) (а); имитационные значения (п = 6 — число столбцов матрицы генерируемых чисел при количестве случайных чисел генератора ишйпё (а, Ь), a = 0,7, Ь = 1,8) (б)
Вероятность попадания случайной величины в какой-либо подинтервал (а, Ь) зависит только от его длины (а не от положения). Здесь случайная величина имеет равномерное или прямоугольное распределение Я (а, Ь): с плотностью_Дх) = 1/(Ь - а) при а < х < Ь; математическим ожиданием М(х) = (а + Ь)/2; дисперсией Б(х) = (Ь - а)2/12:
М(х) = 1,25; Б(х) = 0,1875.
Таким образом, на уровне линейного приближения установлены средние значения передаточных отношений сгибание-разгибание-ротация.
Рассмотрим далее статистику знакопеременных значений угловых скоростей.
Здесь случайную составляющую угловой скорости можно рассматривать как случайную функцию [10-14], ограниченную по модулю отрезками приведенного времени изменения знака (рис. 5).
I
л
а
а
А\,А2,АЪ
1 2 3
Фазы угловых скоростей
б
В1,В2, ВЗ
1 2 3
Фазы угловых скоростей
Рис. 5. Ступенчатые значения знакопеременных угловых скоростей: сгибания/разгибания (П1) в соответствии с фазами А1, А2, А3 (а); ротации (П2) в соответствии с фазами Б1, Б2, Б3 (б)
Оценим вероятность перехода через нуль (распределение нулей!) Р(п,т), где п — число нулей на интервале времени т. Представленные графики отображают фрагменты, полученные при обработке экспериментальных данных. Идеализированное моделирование мгновенного изменения величин П1 и П2 позволяет воспользоваться законом распределения Пуассона [10-14]:
Р0(п,т) = (ут)пехр(-ут)/п!,
где V — средняя частота нулей, приходящаяся на единицу временного интервала.
Математическое ожидание А= vт.
Внутреннюю структуру случайных процессов в полной мере не может отразить ни величина математического ожидания, ни величина дисперсии. По этой причине вводится еще одна неслучайная характеристика: корреляционная функция (автокорреляционная функция).
Она характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции (корреляционный момент соответствующего сечения).
Сечение случайных функций П1 и П2 имеют законы распределения, представленные рядами: П1г(?)— П1;+ П1 и П2— П2;+ П2. Здесь нет основания считать какой-либо член ряда наиболее вероятным, поэтому их значения определяется вероятностями Рг 1/2;1/2.
С учетом изложенного получим корреляционные функции:
^1(т) = Ц2ехр(^т), К2(т) = П22ехр(^т).
Применение преобразования Фурье дает спектральные плотности:
^(ю) = (0^)2^(4^ + ю2) = (П12/п)^0, 52(ю) = (П22/л^/^2 + ю2) = (П22/п)50.
На рис. 6 представлен график относительной спектральной плотности 50 при значении v = 1. Здесь ю — переменная в частотной области.
Гармоническое приближение. Естественно, представить графики колебательных движений сгибания/ разгибания и ротации (рис. 3) в виде периодических функций. С помощью рядов Фурье (Ргк) эти графики были получены в виде суммы простейших периодических функций
^гк = а0 + а1со8(кт) + Ь^т^т),
где а0, а1, Ь1 — значениями коэффициентов для функций ротации и сгибания/разгибания; к — круговая частота.
В табл. 3 приведены полученные коэффициенты для функций ротации /г и сгибания/разгибания /к. Если положить, что эти выражения являются решением некоторого дифференциального уравнения движения, то такое гармоническое движение по эллиптической орбите реализуется под действием сил упругости с жесткостью с = к2. Понятно, что здесь речь идет о приведенных жесткостях. Оценим их отношение. В данном случае оно равно 1,0370. Что говорит о равенстве коэффициентов упругости (жесткости) рассматриваемых систем.
Выражения для угловых скоростей получим после дифференцирования Егк:
м>гк = с^Пкт) + с2сов(кт).
(О, 1/с
Рис. 6. Относительная спектральная плотность
Таблица 3. Коэффициенты для графиков ротации и сгибания/разгибания
Значения функции
Коэффициенты сгибания/разгибания fr, рад ротации fk, рад
a0 0,3605 0,1894
aj -0,0070 -0,0518
bx 0,0810 0,1041
к 0,1308 0,1332
В табл. 4 приведены значения коэффициентов для
— угловых скоростей ротационных движений и
— угловых скоростей процесса сгибания/разгибания.
В отличии от линейного подхода здесь:
1) описывается непрерывный переход от восходящей до нисходящих ветвей графиков;
2) имеется преимущество в использовании таких зависимостей в целях управления реабилитационными техническими устройствами.
На рис. 7 представлены периодическая и линейная регрессионная зависимости угловых скоростей.
Передаточное отношение здесь целесообразно оценивать с использованием средств линеаризации. Отметим, что линеаризация осуществляется после реализации гармонического анализа. Оценим корреляционную связь ~ wk. Получено значение коэффициента корреляции ^ = 0,9483.
Далее при имитационном моделировании произведена генерация случайной величины wr равномерным распределением в диапазоне 0-1. Значения переменной генерировались как линейная зависимость с центрированным значением гауссовской ошибки а с заданной дисперсией Б:
=А0 + А12^г + а
где ^о, ^12 — коэффициенты линейной зависимости.
Соответствующая этому представлению линейная регрессионная зависимость для объема выборки N = 200 представлена на рис. 7, б. Вычислены статистики:
^ = 36,317; р_уа1ив = 0,000; Бг = 0,6939.
Точками на рис. 7, б обозначены сгенерированные случайные числа. Результаты показывают, что полу-
Таблица 4. Значения коэффициентов для угловых скоростей ротационных движений и процесса сгибания/разгибания
Угловые скорости
Коэффициенты ротации wr, 1/c сгибания/разгибания wh l/c
с1 0,0070k 0,0518k
c2 0,0810k 0,1041k
ченная регрессионная модель является статистически значимой (p-value не превосходит gamma = 0,01). Показаны граничные значения регрессионной зависимости (штриховые линии) и соответствие, что тангенс угла наклона прямой A12 ~ 1 — это и есть передаточное отношение; De — дисперсия отклонений регрессии от среднего; Dr — остаточная дисперсия; F — статистика Фишера, определяемая отношением De/Dr; p_value — вероятность не превышения значения F.
Передача движения крестообразными связками
Авторы установили, что существует определенная зависимость между колебательными движениями сгибания/разгибания и ротацией, и что эта зависимость определяется передаточным отношением. Все построения были осуществлены по данным экспериментов, но эти факты необходимо было теоретически обосновать, т. е. предложить более-менее приемлемую модель. Авторы остановили свой выбор на теории спирально анизотропных стержней. Здесь структура крестообразных связок моделируется эквивалентным спирально-анизотропным стержнем (САС). Далее используется приведенный модуль растяжения-кручения в качестве передаточного отношения.
На рис. 8 представлены составные элементы коленного сустава. В ряде работ [2, 15-17] проводился анализ напряженного состояния в крестообразных связках коленного сустава. Связки моделировались как стержни с прямоугольным поперечным сечением. Из рисунка видно, что крестообразные связки с точки зрения теории упругих конструкций разумно моделировать естественно скрученными стержнями. А переход к континуальному представлению приводит к теории спирально-анизотропных стержней [18].
В теории спирально-анизотропных стержней передаточное отношение П1/П2 — это крутильно-растя-
-0,01 0 0,01 1/с
Рис. 7. Периодическая (а) и линейная регрессионная (б) зависимости угловых скоростей
0,2 0,4 0,6 0,8 1
1/с
Бедренная кость Суставной хрящ Задняя крестообразная связка Медиальная коллатеральная связка
Медиальный мениск Болынеберцовая кость
Надколенник
Передняя крестообразная связка
Латеральная коллатеральная связка Латеральный мениск Поперечная связка колена Малоберцовая кость
Рис. 8. Элементы структуры коленного сустава
гивающий(сжимающий) модуль. Его еще называют коэффициентом влияния.
Известна система уравнений статики САС [18]:
Р/пЯ2Е = Апе + А12у, М/пЯ3Е = А21е + А22у.
Здесь рассматривается САС, эквивалентный системе крестообразных связок. Обозначения в формулах системы будем соотносить с физико-механическими характеристиками тканей элементов коленного сустава: Е — модуль Юнга материала связок; Я — приведенный радиус тела вращения, образованного конфигурацией связок; А и — модуль растяжения-сжатия САС; А22 — модуль кручения; А12 = А21= П1/П2 — передаточное отношение; е — осевая деформация; у — угол ротации; Р — продольная сила; М — скручивающий момент.
В условиях контакта ступни с платформой для системы уравнений целесообразно рассматривать стесненное кручение, когда е = 0. Тогда имеем:
Р/пЯ2Е = А12у,
М/пЯ3Е = А22у.
Эта система позволяет оценивать нагрузки, действующие в элементах коленного сустава. Следует отметить, что первое уравнение в этой системе определяет закономерность изменения безразмерной продольной силы в зависимости от значения передаточного отношения и угла ротации.
Приведем некоторые данные по физико-механическим характеристикам [2].
1. Связка состоит из волокнистого белка коллагена — 20 % (Е =10 Па) и белка эластина — 80 % (Е = 6110 Па).
2. Площадь поперечного сечения связок (Е = 0,12 МПа
или Е = 1,64 МПа):
— передняя крестообразная 36 мм2;
— задняя крестообразная 55 мм2;
— внутренняя боковая 33 мм2;
— наружная боковая 28 мм2;
— задний отдел капсулы 40 мм2.
Теперь оценим напряжения в связках, МПа:
Р/пЯ2 = ЕА 12у
или
Р/пЯ2 = 2,05у.
Определена интегральная величина напряжений, действующих на связки при ротации. Видно, что передача движения сопровождается незначительным изменением напряженного состояния связок. В определенной степени эти напряжения определяют приращение нагрузок на связки при ходьбе.
Полученные результаты в определенной мере обосновывают современную тенденцию использования эластичных элементов при создании биомехатронных систем, когда требуется некоторая емкость для накопления энергии. Известны впечатляющие разработки в этом направлении по созданию эластичных актуаторов для коленных ортезов [19, 20].
Заключение
Продемонстрированы подходы к оценке передаточного отношения в биомеханической системе «коленный сустав».
С одной стороны, были использованы статистики равномерного распределения с учетом стартовой линеаризации восходящих-нисходящих зон углов сгибания-разгибания и ротации. В результате обработки данных шести испытуемых установлены средние значения и дисперсия передаточных отношений: М = 1,25, Б = 0,1875.
С другой стороны, угловые перемещения на старте описывались в приближении рядов Фурье, что позволило получить непрерывную зависимость сгибание-разгибание-ротация с графиком в виде эллипса. А дальнейшая линеаризация осуществлялась с использованием статистик Фишера. Здесь вычисленное пере-
даточное отношение А12 = 1,00, а остаточная дисперсия Бг = 0,6939.
Идеализированное моделирование мгновенного изменения знаков угловых скоростей использовано с учетом возможностей распределения Пуассона. Рассчитаны корреляционные функции случайной составляющей угловой скорости с соответствующими спектральными плотностями.
Между сгибанием/разгибанием и ротацией установлена регрессионная зависимость с определенным передаточным отношением. Передаточное отношение,
Литература
1. Механические свойства биологических тканей человека. Справочное пособие. М.: ГУ НПО «Спецтехника и связь» МВД России, 2001. 100 с.
2. Евсеев В.И. Биомеханика повреждений коленного сустава. М.: РУСАЙНС, 2018. 338 с.
3. Farhat N., Mata V., Rosa D., Fayos J., Peirau X. Musculo — Skeletic Model for Knee Joint Forces Estimation in Sport Activities // Proc. 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference. Lisbon, Portugal. 2009. P. 1-21.
4. Мусалимов В.М., Паасуке М., Гапеева Е., Ерелине Я., Ерофеев М.А. Моделирование динамики опорно-двигательной системы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2017. Т. 17. № 6. С. 1159-1166. doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-6-1159-1166
5. Schmidt R., Komistek R.D., Blaha I.D., Penenberg B.L., Malo-ney W.J. Fluoroscopic analyses of cruciate-retaining and medial pivot knee implants // Clinical Orthopaedics and Related Research. 2003. V. 410. P. 139-147. doi: 10.1097/01.blo.0000063565.90853.a4
6. Chen E., Ellis R.E., Bryant J.T., Rudan J.F. A computational model of postoperative knee kinematics // Medical Image Analysis. 2001. V. 5. N 4. P. 317-330. doi: 10.1016/S1361-8415(01)00049-4
7. Banks S.A., Hodge W.A. Design and activity dependrnce of kinematics in fixed and mobile-bearing knee arthroplasties // Journal of Arthroplasty. 2004. V. 19. N 7. P. 809-816. doi: 10.1016/j.arth.2004.04.011
8. Markolf K.L., Mensch J.S., Amstutz H.C. Stiffness and laxity of the knee-the contributions of the supporting structures. A quantitative in vitro study // Journal of Bone and Joint Surgery - Series A. 1976. V. 58. N 5. P. 583-594. doi: 10.2106/00004623-197658050-00001
9. Blaha J.D. The rationale for a total knee implant that confers anteroposterior stability throughout range of motion // Journal of Arthroplasty. 2004. V. 19. N 4. Suppl. 1. P. 22-26. doi: 10.1016/j.arth.2004.04.002
10. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974. 464 с.
11. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматлит, 1960. 328 с.
12. Финни Д. Введение в теорию планирования экспериментов. М.: Наука, 1971. 286 с.
13. Мещеряков В.В. Задачи по статистике и регрессионному анализу с MATLAB. М.: Диалог-МИФИ, 2009. 448 с.
14. Светлицкий В.А. Статистическая механика и теория надежности. М.: Изд-во МГТУ, 2004. 504 с.
15. Koo S.,Andriacchi T.P. The kneejoint center ofrotation is predominantly on the lateral side during normal walking // Journal of Biomechanics. 2008. V. 41. N 6. P. 1269-1273. doi: 10.1016/j.jbiomech.2008.01.013
16. Lu T.-W., O'Connor J.J. Lines of action and moment arms of the major force-bearing structures crossing the human knee joint: comparison between theory and experiment // Journal of Anatomy. 1996. V. 189. N 3. P. 575-585.
17. Dyrby C.O., Andriacchi T.P. Secondary motions of the knee during weight bearing and non-weight bearing activities // Journal of Orthopaedic Research. 2004. V. 22. N 4. P. 794-800. doi: 10.1016/j.orthres.2003.11.003
18. Мусалимов В.М., Мокряк С.Я. О некоторых задачах для спирально-изотропной среды // Механика сплошных сред. Томск: ТГУ, 1983. С. 88-96.
в свою очередь, отождествлено с функцией влияния в модели механизма упругой передачи с использованием особенностей спиральной анизотропии в применении к механике крестообразных связок. Здесь очевидна аналогия с конусными зубчатыми передачами, когда у двух колес оси вращения направлены под углом 90°. Просматривается конструктивное включение в эту систему жестких передач эластичных элементов. Это шаги к модернизации эластичных актуаторов, используемых, например, в конструкциях коленных ортезов.
References
1. Mechanical Properties of Human Biological Tissues. Handbook. Moscow, 2001, 100 p. (in Russian)
2. Evseev V.I. Biomechanics of Knee Joint Damage. Moscow, Ru-Science Publ., 2018, 338 p. (in Russian)
3. Farhat N., Mata V., Rosa D., Fayos J., Peirau X. Musculo — Skeletic Model for Knee Joint Forces Estimation in Sport Activities. Proc. 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Lisbon, Portugal, 2009, pp. 1-21.
4. Musalimov V.M., Paasuke M., Gapeyeva H., Ereline J., Erofeev M.A. Modeling of locomotor system dynamics. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2017, vol. 17, no. 6, pp. 1159-1166. (in Russian). doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-6-1159-1166
5. Schmidt R., Komistek R.D., Blaha I.D., Penenberg B.L., Maloney W.J. Fluoroscopic analyses of cruciate-retaining and medial pivot knee implants. Clinical Orthopaedics and Related Research, 2003, vol. 410, pp. 139-147. doi: 10.1097/01.blo.0000063565.90853.a4
6. Chen E., Ellis R.E., Bryant J.T., Rudan J.F. A computational model of postoperative knee kinematics. Medical Image Analysis, 2001, vol. 5, no. 4, pp. 317-330. doi: 10.1016/S1361-8415(01)00049-4
7. Banks S.A., Hodge W.A. Design and activity dependrnce of kinematics in fixed and mobile-bearing knee arthroplasties. Journal of Arthroplasty, 2004, vol. 19, no. 7, pp. 809-816. doi: 10.1016/j.arth.2004.04.011
8. Markolf K.L., Mensch J.S., Amstutz H.C. Stiffness and laxity of the knee-the contributions of the supporting structures. A quantitative in vitro study. Journal of Bone and Joint Surgery — Series A, 1976, vol. 58, no. 5, pp. 583-594. doi: 10.2106/00004623-197658050-00001
9. Blaha J.D. The rationale for a total knee implant that confers anteroposterior stability throughout range of motion. Journal of Arthroplasty, 2004, vol. 19, no. 4, suppl. 1, pp. 22-26. doi: 10.1016/j.arth.2004.04.002
10. Bendat J.S., Piersol A.G. Random Data: Analysis and Measurement Procedures. Wiley, 1971.
11. Wald A. Sequential Analysis. John Wiley and Sons, Inc., 1947.
12. Finney D.J. An Introduction to the Theory of Experimental Design. University of Chicago Press, 1960, 235 p.
13. Meshcheriakov V.V. MATLAB Application in Statistics and Regression Analysis. Moscow, Dialog-MIFI Publ., 2009, 448 p. (in Russian)
14. Svetlitckii V.A. Statistical Mechanics and Reliability Theory. Moscow, MSTU Publ., 2004, 504 p. (in Russian)
15. Koo S., Andriacchi T.P. The knee joint center of rotation is predominantly on the lateral side during normal walking. Journal of Biomechanics, 2008, vol. 41, no. 6, pp. 1269-1273. doi: 10.1016/j.jbiomech.2008.01.013
16. Lu T.-W., O'Connor J.J. Lines of action and moment arms of the major force-bearing structures crossing the human knee joint: comparison between theory and experiment. Journal of Anatomy, 1996, vol. 189, no. 3, pp. 575-585.
17. Dyrby C.O., Andriacchi T.P. Secondary motions of the knee during weight bearing and non-weight bearing activities. Journal of Orthopaedic Research, 2004, vol. 22, no. 4, pp. 794-800. doi: 10.1016/j.orthres.2003.11.003
18. Musalimov V.M., Mokriak S.Y. Some problems of spiral-isotropic medium. Continuum Mechanics, Tomsk, TSU, 1983, pp. 88-96. (in Russian)
19. Pratt J.E., Krupp B.T., Morse C.J., Collins S.H. The RoboKnee: An exoskeleton for enhancing strength and endurance during walking // Proc. of the 2004 IEEE International Conference on Robotics and Automation. New Orleans, LA. 2004. P. 2430-2435. doi: 10.1109/ROBOT.2004.1307425
20. Pratt J., Krupp B., Morse C. Series elastic actuators for high fidelity force control // Industrial Robot. 2002. V. 29. N 3. P. 234-241. doi: 10.1108/01439910210425522
19. Pratt J.E., Krupp B.T., Morse C.J., Collins S.H. The RoboKnee: An exoskeleton for enhancing strength and endurance during walking. Proc. of the 2004 IEEE International Conference on Robotics and Automation, New Orleans, LA, 2004, pp. 2430-2435. doi: 10.1109/ROBOT.2004.1307425
20. Pratt J., Krupp B., Morse C. Series elastic actuators for high fidelity force control. Industrial Robot, 2002, vol. 29, no. 3, pp. 234-241. doi: 10.1108/01439910210425522
Авторы
Мусалимов Виктор Михайлович — доктор технических наук, профессор, профессор, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, Scopus ID: 55360943700, ORCID ID: 0000-0002-6461-0364, musvm@ya.ru
Перепелкина Светлана Юрьевна — кандидат технических наук, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, Scopus ID: 56458756700, ORCID ID: 0000-0003-2455-2670, sker@itmo.ru
Паасуке Mати Аадуевич — кандидат биологических наук, профессор, Тартуский Университет, Тарту, 50090, Эстония, Scopus ID: 7004034214, ORCID ID: 0000-0001-9465-2605, mati.paasuke@ut.ee Гапеева Елена Николаевна — доктор наук, научный сотрудник, Тартуский университет, Тарту, 50090, Эстония, Scopus ID: 6603634884, ORCID ID: 0000-0001-8160-0195, helena.gapeyeva@ut.ee Эрелине Яан Яанович — доктор наук, лектор, Тартуский университет, Тарту, 50090, Эстония, Scopus ID: 6701678906, ORCID ID: 0000-0002-2252-8928, jaan.ereline@ut.ee
Authors
Victor M. Musalimov — D.Sc., Full Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, Scopus ID: 55360943700, ORCID ID: 0000-0002-6461-0364, musvm@ya.ru
Svetlana Yu. Perepelkina — PhD, Associate Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, Scopus ID: 56458756700, ORCID ID: 0000-0003-2455-2670, sker@itmo.ru
Mati Paasuke — PhD, Professor, Tartu University, Tartu, 50090, Estonia, Scopus ID: 7004034214, ORCID ID: 0000-0001-9465-2605, mati.paasuke@ut.ee
Elena N. Gapeeva — D.Sc., Researcher, Tartu University, Tartu, 50090, Estonia, Scopus ID: 6603634884, ORCID ID: 0000-0001-8160-0195, helena.gapeyeva@ut.ee
Jaan J. Ereline — D.Sc., Lector, Tartu University, Tartu, 50090, Estonia, Scopus ID: 6701678906, ORCID ID: 0000-0002-2252-8928, jaan.ereline@ut.ee
