CC BY
9
УДК 691.714:620.169.1+69.059.4
А.З. Манапов - кандидат технических наук, доцент кафедры металлических конструкций и испытаний сооружений Казанский государственный архитектурно-строительный университет
СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАГРУЗОК ОТ СОБСТВЕННОГО ВЕСА КОНСТРУКЦИЙ, ОБОРУДОВАНИЯ, ЛЮДЕЙ И СКЛАДИРУЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ
СНиП 2.01.07-85 «Нагрузки и воздействия» [1] рассматривает весовые нагрузки, действующие на здания и сооружения, как постоянные и временные. В соответствии с этим документом к постоянным нагрузкам относятся вес частей сооружений и давление грунтов; к временным - нагрузки от оборудования, людей, складируемых материалов. Временные весовые нагрузки определяются, используя паспорта на оборудование, материалы статистических исследований или через эквивалентные равномерно-распределенные временные нагрузки на перекрытия зданий [1]. Постоянная нагрузка рассматривается как случайная величина в силу невозможности её точного определения и изменчивости во времени.
Соотношение расчетной и нормативной нагрузок определяет возможные колебания нагрузки, однако [2] не дает четкого статистического толкования этих соотношений. Основными характеристиками нагрузок являются их нормативные значения. Для нагрузок от собственного веса нормативные значения нагрузок определяются по проектным значениям геометрических и конструктивных параметров и по средним значениям плотности с учетом имеющихся данных предприятий-изготовителей об ожидаемой массе конструкции. В пособии к СНиП 11-23- 81 [4] предлагаются значения коэффициентов вариации (табл. 1) из которых следует, что средние ожидаемые значения веса конструкций и оборудования равны
нормативным значениям
а стандарт
д _ Р} (Уг -1) р 2 : по нагрузке.
где У] - коэффициент надежности
При таком соотношении средних ожидаемых значений и стандартов отклонений вероятность не превышения постоянной нагрузки назначенного расчетного значения равна 0,9772.
С целью статистического анализа рассмотрим пример расчета постоянной нагрузки на плиту покрытия. Результаты расчета согласно [2] приведены в таблице 2 и методом статистического моделирования в таблице 3.
Статистическое моделирование нагрузок выполним следующим образом: для каждого из поименованных в таблице 2 нагрузок при помощи генератора случайных чисел получим по 10000 значений. Распределение для генератора случайных чисел зададим по нормальному закону с математическим
ожиданием, равным т = Р}, и стандартом
д _ Р] (У] -1) р 2
. Для каждого из этих множеств
случайных чисел находим значение, которое логически будет соответствовать обеспеченности расчетной нагрузки 0,9772. Это число при ранжировании множества от минимума к максимуму должно стоять на 9772 месте. Для моделирования итоговой нагрузки имеющиеся 10000 случайных значений для каждой нагрузки суммируются в порядке их расположения в своем множестве. Полученные 10000 суммарных значений статистически обрабатываются. Например, для определения обеспеченности расчетной итоговой нагрузки в 560 кгс/м2, определенной нормативным методом (таблица 2), нужно определить, на каком месте будет стоять это число после ранжирования множества
Таблица 1
н
Конструкции, оборудование Коэффициент вариации уґ
Стальные конструкции 0,025
Асбестоцементные листы, железобетонные плиты 0,05
Деревянные конструкции (прогоны, обрешетка) 0,05
Стяжки, засыпки, выполняемые на строительной 0,15
площадке
Стационарное оборудование 0,10
Таблица 2
№ Наименование нагрузки Нормативное значение Коэффициент надежности Расчетное значение
1 Вес сборной плиты покрытия 300 кгс/м2 1,1 330кгс/м2
2 Вес 1 м2 пароизоляции 50 кгс/м2 1,3 65 кгс/м2
3 Вес 1 м2 стяжки при толщине 35 мм и объемном весе 2200 кгс/м3 77 кгс/м2 1,3 100 кгс/м2
4 Вес 1 м2 рулонного покрытия и защиты 50 кгс/м2 1,3 65 кгс/м2
5 Итоговая нагрузка 477 кгс/м2 1,15 560 кгс/м2
Таблица 3
№ Наименование нагрузки и параметры распределения Максимальное значение из 10000 случайных реализаций нагрузки Значение 9772 числа при ранжировании множества от минимума к максимуму
1 Вес сборной плиты перекрытия математическое ожидание т = 300 кгс/м2 Стандарт А = 7,50 кгс/м 350,32 кгс/м2 329,52 кгс/м2
2 Вес 1 м пароизоляции /л = 50 кгс/м2 А = 3,75 кгс/м2 75,91 кгс/м2 64,70 кгс/м2
3 Вес 1 м стяжки при толщине 35 мм и объемном весе 2200кгс/м /I = 77кгс/м2 А = 5,75 кгс/м2 138,69 кгс/м2 100,20 кгс/м2
4 Вес 1 м рулонного покрытия и защиты /л = 50кгс/м2 А = 3,75 кгс/м2 77,51 кгс/м2 64,89 кгс/м2
5 Максимальное значение из 10000 случайных реализаций суммарной нагрузки по пунктам 1-4 551,72 кгс/м2
6 Значение суммарной нагрузки с обеспеченностью 0,9772 512,78 кгс/м2
7 Обеспеченность расчетной итоговой нагрузки, равной 560 кгс/м , по табл. 2 0,99992
от минимума к максимуму.
Сравнение результатов показывает, что обеспеченность расчетной суммарной нагрузки в 560 кгс/м2 существенно выше обеспеченности ее составляющих: 0,99992 к 0,9772. А при одинаковой обеспеченности расчетная суммарная нагрузка должна быть существенно ниже 512,78 кгс/м2 .
В других источниках [3] математическое ожидание
~ н
приравнивают нормативному значению нагрузки р,,
л pH Г -1)
а стандарт Др = ——4------------
. В этом случае
вероятность не превышения нагрузки назначенного расчетного значения равна 0,99997. Результаты статистического моделирования при таком соотношении параметров представлены в таблице 4.
Таким образом, методом статистического моделирования можно определить обеспеченность итоговой суммарной постоянной нагрузки, при этом можно использовать несколько вариантов возможных распределений.
Равномерно-распределенные временные нагрузки на плиты перекрытия и лестницы имеют другую статистическую основу. При определении продольных усилий в колоннах и стенах, воспринимающих нагрузки от двух и более перекрытий, нормативные значения равномерно-распределенных временных нагрузок на плиты перекрытия и лестницы снижают умножением на коэффициент сочетания [1].
... у А1 - 0,4
уп = 0,4 + А1 ’
Уп = 0,5 +
УА2 - 0,5
(для квартир и т. п.)
(для торговых залов и т.п.),
где уА1 и уА2 - коэффициенты сочетаний нагрузок для одного перекрытия; п - общее число перекрытий.
В таблице 5 приведены расчетные нагрузки при различном числе перекрытий, полученные по СНиП
2.01.07-85 «Нагрузки и воздействия» [ 1].
Рассмотрим равномерно-распределенные
временные нагрузки на плиты перекрытия и лестницы с позиций статистического моделирования.
Представим расчетные нагрузки для квартир жилых домов в виде нормального распределения с математическим ожиданием, равным нормативной нагрузке т = 150 кгс/м2, и стандартом распределения
А = 11,25кгс/м2. При таком распределении расчетная нагрузка обеспечивается с квантилью 4 или р; =150
кгс/м2 +4*11,25 кгс/м2 = 195 кгс/м2 .
Используя генератор случайных чисел, выполним статистическое моделирование нагрузок для определения продольных усилий в колоннах и стенах,
воспринимающих нагрузки от двух и более перекрытий. Модель расчета состоит в следующем: для каждого из 15 перекрытий моделируем по 10000 значений нагрузки с предположением, что распределение соответствует нормальному закону с математическим ожиданием, равным нормативной нагрузке т = 150 кгс/м2, и стандартом распределения
А = 11,25кгс/м2. Для каждого из этих множеств случайных чисел находим максимальное значение, которое логически будет соответствовать расчетной нагрузке при числе перекрытий п=1 с обеспеченностью
0,9999. При числе перекрытий, равном п=2, расчетная нагрузка определяется следующим образом: имеющиеся 10000 случайных значений нагрузки для каждого перекрытия попарно суммируются и определяется среднее арифметическое значение, из полученных 10000 среднеарифметических значений выделяется максимальное значение, которое логически будет соответствовать расчетной нагрузке при числе перекрытий п = 2 с обеспеченностью 0,9999. При числе перекрытий, равном, например п = 13, имеющиеся 10000 случайных значений нагрузки для каждого перекрытия по порядку суммируются и определяется среднее арифметическое значение из 13 случайных чисел, из полученных 10000 среднеарифметических значений выделяется максимальное значение, которое логически будет соответствовать расчетной нагрузке при числе перекрытий п=13 с обеспеченностью 0,9999. Результаты расчета методом статистического моделирования по описанной выше методике приведены в таблице 6. Результаты показывают существенное различие с результатами СНиП 2.01.0785 «Нагрузки и воздействия» [1], представленными в таблице 5.
В соответствии с теоремой Линдберга-Леви [5]
случайная величина Я™ = — (Я + Я2 +... + Яп)
п
имеет асимптотически нормальное распределение
А2
вероятностей с центром /тЯ дисперсией — при
п
условии, что существует общая дисперсия А2 и общий центр величин Я1, Я.....Яп . В соответствии с этой
теоремой при числе перекрытий п ® ¥ математическое ожидание расчетной нагрузки т для квартир при определении продольных усилий в колоннах и стенах должна равняться произведению расчетной нагрузки при п =1 на
У п = 0,4 +
УА1 - 0,4
п
= 0,4 или 78 кгс/м2, что
существенно ниже нормативной нагрузки 150 кгс/м2. Примем математическое ожидание равномерно-распределенной временной нагрузки на плиты
Таблица 4
№ Наименование нагрузки и параметры распределения Максимальное значение из 10000 случайных реализаций нагрузки
1 Вес сборной плиты перекрытия математическое ожидание т = 300кгс/м2. Стандарт А = 15,0 кгс/м 325,16 кгс/м2
2 Вес 1 м пароизоляции т = 50 кгс/м2 А = 7,5 кгс/м2 65,11 кгс/м2
3 Вес 1 м2 стяжки при толщине 35 мм и объемном весе 2200 кгс/м т = 77кгс/м А = 11,5 кгс/м2 107,84 кгс/м2
4 Вес 1 м рулонного покрытия и защиты т = 50 кгс/м2А = 7,5 кгс/м2 64,03 кгс/м2
5 Максимальное значение из 10000 случайных реализаций суммарной нагрузки по пунктам 1-4 518,90 кгс/м2
6 Обеспеченность расчетной итоговой нагрузки, равной 560 кгс/м2, по табл. 2 0,99999
Таблица 5
п - общее число перекрытий У п = 0,4 + У А1-<* ліп УА1=1 ^ ^ У- 0,5 У п = 0,5 + п Чп УА2=1 Расчетные нагрузки для квартир жилых зданий (кгс/м2) Расчетные нагрузки для торговых залов (кгс/м2)
1 1 1 195,00 480,00
2 0,824264 0,853553 160,73 409,70
3 0,74641 0,788675 145,55 378,56
4 0,7 0,75 136,50 360,00
5 0,668328 0,723607 130,32 347,33
6 0,644949 0,704124 125,76 337,97
7 0,626779 0,688982 122,22 330,71
8 0,612132 0,676777 119,36 324,85
9 0,6 0,666667 117,00 320,00
10 0,589737 0,658114 114,99 315,89
11 0,580907 0,650756 113,27 312,36
12 0,573205 0,644338 111,77 309,28
13 0,56641 0,638675 110,45 306,56
14 0,560357 0,633631 109,26 304,14
15 0,554919 0,629099 108,20 301,96
Таблица 6
п - общее число перекрытий Максимальное значение из 10000 случайных реализаций нагрузки мат. ожиданием т=150кгс/м2 и стандартом распределения А=11,25 кгс/м2 Максимальное значение из среднеарифметических значений при числе перекрытий 2 и больше
1 191,26 кгс/м2
2 193,21 кгс/м2 180,30 кгс/м2
3 195,10 кгс/м2 174,40 кгс/м2
4 189,23 кгс/м2 172,59 кгс/м2
5 195,10 кгс/м2 172,48 кгс/м2
6 190,62 кгс/м2 169,74 кгс/м2
7 192,09 кгс/м2 167,37 кгс/м2
8 188,55 кгс/м2 166,20 кгс/м2
9 191,26 кгс/м2 164,14 кгс/м2
10 190,62 кгс/м2 163,31 кгс/м2
11 192,09 кгс/м2 162,32 кгс/м2
12 191,26 кгс/м2 163,47 кгс/м2
13 190,62 кгс/м2 162 кгс/м2
14 190,87 кгс/м2 161,80 кгс/м2
15 191,26 кгс/м2 160,71 кгс/м2
Максимум-максимумов 195,10 кгс/м2
Таблица 7
п - общее число перекрытий Максимальное значение из 10000 случайных реализаций нагрузки мат. ожиданием т=78кгс/м2 и стандартом распределения А=29,25 кгс/м2 Максимальное значение из среднеарифметических значений при числе перекрытий 2 и больше
1 185,29кгс/м2
2 190,36кгс/м2 156,79кгс/м2
3 195,27кгс/м2 141,44кгс/м2
4 180,00кгс/м2 136,74кгс/м2
5 183,62кгс/м2 136,45кгс/м2
6 187,44кгс/м2 129,34кгс/м2
7 186,48кгс/м2 123,18кгс/м2
8 193,78кгс/м2 120,12кгс/м2
9 185,29кгс/м2 114,66кгс/м2
10 189,34кгс/м2 114,67кгс/м2
11 187,45кгс/м2 113,03кгс/м2
12 189,26кгс/м2 112,31 кгс/м2
13 183,62кгс/м2 111,56кгс/м2
14 185,29кгс/м2 108,64кгс/м2
15 178,24кгс/м2 106,57кгс/м2
Максимум-максимумов 195,27кгс/м2
Таблица 8
п - общее число перекрытий Максимальное значение из 10000 случайных реализаций нагрузки мат. ожиданием т=240 кгс/м2 и стандартом распределения А=60,0 кгс/м2 Максимальное значение из среднеарифметических значений при числе перекрытий 2 и больше
1 453,80кгс/м2
2 470,50кгс/м2 430,45кгс/м2
3 456,67кгс/м2 373,75кгс/м2
4 447,34кгс/м2 356,66кгс/м2
5 480,56кгс/м2 337,04кгс/м2
6 470,50кгс/м2 328,45кгс/м2
7 480,56кгс/м2 321,46кгс/м2
8 453,80кгс/м2 317,31кгс/м2
9 470,50кгс/м2 313,02кгс/м2
10 470,50кгс/м2 310,49кгс/м2
11 480,56кгс/м2 302,77кгс/м2
12 453,80кгс/м2 305,62кгс/м2
13 470,50кгс/м2 308,88кгс/м2
14 447,34кгс/м2 301,05кгс/м2
15 470,50кгс/м2 297,45кгс/м2
Максимум-максимумов 480,56кгс/м2
перекрытия квартир равным нагрузке т =78 кгс/м2 и
стандарт распределения А =29,25кгс/м2. При таком распределении расчетная нагрузка обеспечивается
также с квантилью 4 или р=78 кгс/м2 +4*29,25 кгс/м2 = 195 кгс/м2 .
Для принятых соотношений средняя нагрузка на перекрытие комнаты площадью 20 м2 будет составлять 78*20=1560 кгс, а максимальная (расчетная) 195*20=3900 кгс, что не противоречит практике жизни.
Используя ранее изложенную методику статистического моделирования, определим нагрузки на для квартир (таблица 7) и торговых залов (таблица 8).
Полученные результаты имеют существенно лучшую сходимость с данными, полученными по методике СНиП
2.01.07-85 «Нагрузки и воздействия» [1].
Выводы
1. Вероятностная обеспеченность расчетной
суммарной постоянной нагрузки увеличивается с возрастанием числа учитываемых нагрузок в этой сумме. Назначенное расчетное значение
обеспеченности расчетной суммарной постоянной нагрузки может быть получено методом статистического моделирования.
2. Для равномерно-распределенных временных нагрузок на плиты перекрытия и лестницы
математическое ожидание следует принимать равным произведению расчетного значения нагрузки на
коэффициенты уп = 0,5 +
=0,5 или
ш = 0 4 I УА1 0,4 0 4
У п = 0,41-------т=--=0,4, а стандарты распределения
Ып
принимать равными 0,125 или 0,15 от расчетного значения нагрузки.
Литература
1. СНиП 2.01.07-85. Нагрузки и воздействия / Госстрой СССР. - М.: ЦИТП Госстроя СССР, 2003. - 36 с.
2. ГОСТ 27751-88 (с изм. 01.1999). Надежность строительных конструкций и оснований. Основные положения по расчету. - 8 с.
3. А№1М5СЕ 7-95. Нагрузки для зданий и сооружений. - 64 с.
4. Пособие по проектированию стальных конструкций (к СНиП 11-23-81* «Стальные конструкции») // ЦНИИСК им. Кучеренко Госстроя СССР. - М: ЦИТП Госстроя СССР, 1989. -148 с.
5. Справочник по математике для научных работников и инженеров. / Г Корн и Т. Корн. - М., 1970. - С. 542.
