CC BY
40
Статистическое моделирование максимальноправдоподобного измерителя времени прихода и дисперсии узкополосного случайного импульсного сигнала
Сидорова НА., МТУСИ
Во многих задачах локации и связи возникает необходимость измерения параметров случайных импульсов, принимаемых на фоне помех. В качестве приемлемой математической модели таких сигналов часто может выступать стохастический сигнал вида
Г 1 , |х| < 1/2 ,
0 , |х| > 1/2 ,
, (t )=|(t) I
t-Xo
,1 (x )=.
(1)
rv -w л
Q
+1
rv + w~''
Q
L (A,D )=-
DM (A) tEN
ln
1 + -
D
No (D + En) No
A+t/2 "+™
M(A)= J J x(t') h (t-1') dt'
A-t/2
dt,
(2)
где Ь(#) — импульсная характеристика фильтра, передаточная функция Н(ю) которого удовлетворяет условию |я (ш)|2 = Ю (<я)/п'О0, а Ек = N¡1/2п —средняя мощность шума г() в полосе частот анализируемого процесса |^). Тогда совместные оценки максимально-
го правдоподобия (ОМП) Лт и Dm времени прихода Ло и дисперсии D0 запишутся, как [3,4]
Am = arg sup L (A, Dm )=arg sup M (A)
Ag[Ai,Á2 ] Ag[Ai,Á2 ]
Dm = arg SUP L (Am D )= Г (Am)
D>o
(3)
где ^(і) — стационарный центрированный гауссовский случайный процесс, Ло — время прихода, Т — длительность импульса. Спектральная плотность (СП) процесса ^) описывается выражением [1-3]
где v — центральная частота, О — ширина полосы частот, а Do — дисперсия процесса ^). Следуя [2, 3], длительность т сигнала (1) полагаем значительно большей времени корреляции его случайной субструктуры ^), так что выполняется условие Ц = тО/2п >> 1.
Будем считать, что импульс (1) наблюдается на фоне центрированного гауссовского белого шума г() с односторонней СП N0. По наблюдаемой реализации
х (г ) = ^ (г, Л,, д0)+п (г), г е[Т[, Т ]
необходимо измерить неизвестные параметры Ло и Do, принимающие значения из априорньх интервалов Л, е[Л1, Л2 ], д е[0, ~). При этом границы интервала наблюдения [Г!, Т2] выбираются так,
что Т1 <Л1 — т/2 <Л2 + т/2 < Т2,
т. е. информационный сигнал (1) всегда находится внутри интервала наблюдения.
Для оценки неизвестных параметров Ло и Do случайного импульса (1) воспользуемся методом максимального правдоподобия. Согласно [2-4] логарифм функционала отношения правдоподобия ¡(Л, D)может быть представлен в виде
где Г (Я) = max [0; M (А)/т-£w] , а М(Л) определяется из (2).
Рассмотрим характеристики совместных ОМП Лт и Dm. На основе результатов работ [4,5] для условных смещения b (Лт\Ло )=(Лт) -Л0 (систематической ошибки) и рассеяния
V(Лт|К)=((Лт-Ло) ) (среднего квадрата ошибки) ОМП Лт времени прихода Л0 можно записать
b (Лт| Л) )= % (Лт| Л0 )+ (1- Р0 ) [(Л2 + Л1 У2 -Л0 ]>
V (Лт| Л. )= P0V0 (Ля\ Л )+(1-P )х (4)
Х[(Л2 + Л1Л2 + AJ2УЗ- (Л2 + Л1 )Л0 + Л2].
Здесь Ро — вероятность, а bo (Лт | Ло) и V0 (Лт | Ло) — условные смещение и рассеяние надежной оценки Лт соответственно. Под надежной оценкой [6] понимается оценка, найденная в предположении |Лт - Ло | < т.
Согласно [5]
P0 ~ 2y zexp (y2z2/2 + y z2 )
Х J exp {- [m (1 + q0 )x/>/2nJ exp ( (1 + q0 )2 x2 ¡2 )}
V (1+q0)
x{exp (-y zx)Ф [x- z (y +1)]- exp [3y 2z2¡2 + y z (z- 2 x )J Ф [ x- z +1 )]
(5)
bo (Ami Ao)~ 0, Vo (Ami Ao)« 13t2 [ 1 +(1 + )2 ] ^2,
¥ = 2 (1 + qo ) j [ 1 + (1 + qo ) J, qo = doIEn ,
где
! = (a2 -Л1 )/t, z2 = Mqo2/(1+ qo )2
(6)
— отношение сигнал/шум (ОСШ), а ф(*)=| ехР(-г72) */
— интеграл вероятности [1]. Точность формул (4), (5) возрастает с увеличением Ц, 2 т.
Характеристики оценки От (3) при неизвестном времени прихода Ло найдены в работах [3, 4]. При т > 1 выражения для условных смещения сі(От | Оо) и рассеяния У(От | Оо) ОМП От с учетом влияния возможных аномальных ошибок [6] при оценивании параметра Ло запишутся, как
Ь (Бт\А, ) = (Бт) - Б,, V (Б^Бо )= ЬІ- 2Д, (Б І, + Б,2
Б) = Б |[1-Р (х)] Ь, {БІ} = 1х [1 - Р (х )] *,
2А„2
(7)
где
Р (Х ) = Р (х ) ^ [х С1 + *0 )] т
Р (х) = Ф (х- г)- 2ехр[у222 ¡2 -у 2 (х- 2)] Ф [х- 2 (у +1 )]+ + ехр [ 2у222 + 2 у 2 (г - х)] Ф [х- 2 (і у +1 )] ,
^ ( ) І ехр [-(тх/уі2к )'хр (- х2/2 )] , х >1 ,
(8)
х < 1,
а г ^, т определяются из (6).
При т < 1, когда оценка времени прихода Лт является надежной [3, 4], формулы (7) уп-рощаются и принимают вид
ь(д4°0)=в0- (' + (г)+ ^13гехр [^2“ + —) [1_Ф( (¥+1)1)~
- -ехр (2|Д2 + 2- 2)\[ -Ф ( (2- +1))] + +2п1ехР -Т V (Д,|А>)=Д2
J1_J._4._W> Г^_^1ехр 1- -4_("х 1_~]х
^ 2 2У 1 \flnz^ у г21 ^ 2 1 у 22^ у z2J
Л+т/ 2
м(Л)=1[м (Л)+ М2 (Л);], м, (Л)= | у2 (?) л..
Л-ТІ2
Л (? )= | х (О й0 ( - О ^
х (?)=£• (?) 1 [(? Ло )/Т] + пі() і = 1,2
(10)
где х() и п() — статистически независимые центрированные гауссовские случайные процессы со СП (а)= (2яД>0/О) I(а/О) и Сл(ю) = N0 соответственно, а ¡!о() — функция, спектр /"^(ю) которой удовлетворяет условию |яо (а)| = I (а/О).
В процессе моделирования на интервале [Л1>Л2],Л< =Л¡/т>'=1>2 с шагом А формировались отсчеты реализаций случайных процессов у() (10), что позволило получить ступенчатую аппроксимацию решающей статистики в виде
к
1 ^шах
М (1) = 2 £ (К + УІ ) А
(11)
^десь кт1п = 'П|{(( - 1/2)/А}, ктах= Н{(| + 1/2)/А}; 1 = Л/Т — нормированное текущее значение времени прихода; ¡гЛ(^) — целая
часть числа. При А = 0,05/ц среднеквадратическая погрешность ступенчатой аппроксимации (11) непрерывной реализации (10) не превышала 10 %. Отсчеты процессов у^ і = 1,2, формировались на основе последовательности независимых гаус-совских чисел (ГСЧ) методом скользящего суммирования [6]:
1 к+р шіп(ішах, Ъ+ р)
= /А атНЪ,т + ^ тН кт
к - р 2 р
т=шах ( тшіп, к- р)
(12)
хехр (—— +^г2| [-Ф( — + 1)) ]+ - 1 2 (2--у^хр (у222+2у -Ф (2^+1 ))
(9)
Точность выражений (7), (8) возрастает с увеличением Ц, г, т, а выражений (9) — с увеличением Ц, г [3, 4].
Аналитический расчет погрешности приведенных выше формул весьма затруднителен. Поэтому представляет интерес исследование помехоустойчивости оптимального измерителя и границы применимости приближенных выражений (4), (5) и (7), (9) для характеристик совместных ОМП Лт и Dm методами статистического моделирования на ЭВМ. Для сокращения необ-ходимого объема машинного времени при моделировании использовалось представление отклика узкополосного фильтра Ь() (2) через его низкочастотные квадратуры. Это позволило формировать решающую статистику (2) в виде суммы двух независимых случайных процессов
Зцрсь ттп='п*{(0 - ттах=И(,0 + 1/2)/А}, 0=Vх;
а т, Р)т — независимые ГСЧ с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями нк т = ЙШ [2ПЦ А (к - т )Мп(к - т )
Число слагаемых в суммах (12) соответствовало значению , что обеспечило отно-сительное отклонение дисперсии сформированного отсчета от дисперсии моделируемого процесса не более 5 %. Формирование независимых ГСЧ с параметрами осуществлялось на основе стандартного датчика равномерно распределенных в интервале независимых случайных чисел методом Корниша-Фишера [7]. По полученной на основе формул (11), (12) реализации процесса М(/) согласно (3) определялись нормированные оценки т = Лт/т, дт = Dm/EN и находились рассеяния оценок.
Некоторые результаты статистического моделирования представлены на рис. 1-5, где показаны также соответствующие теоретические зависимости. Каждое экспериментальное значение получено в результате обработки не менее 104 реализаций М(/) при
Л1 = 0, Л2 = т, 1о = 2 + Л1 У2.
При этом с вероятностью 0,9 границы доверительных интервалов отклоняют-ся от экспериментальных значений не более чем на 10...15 %. На рис. 1 для Ц = 50(сплошные линии), 100 (штриховые линии), 200 (штрих-пунктирные линии) показаны теоретические зависимости (5) нормированного рассеяния У01 = ^0(Лт1Л0)/т2 надежной оценки Лт при т = 1, на рис. 2 — теоретические зависимости (4) нормированного рассеяния V| = У(Лт|Л0)/х2 оценки Лт с учетом аномальных ошибок при т = 20. Соответствующие экспериментальные значения рассеяний V0| и V1 обозначены на рис. 1 и 2 прямоугольниками, крестиками и ромбиками для Ц = 50, 100 и 200. На рис. 3 нанесены теоретические и экспериментальные зависимости вероятности аномальной ошибки Ра = Р[| Лт - Л01 > т] = 1 - Р0 (5). Обозначения соответствуют приведенным на рис. 2.
Теоретические зависимости (9) и (7), (8) нормированных рассеяний 0т | Do)/ЕN оценки Dm при т = 1 (когда ОМП Лт явля-
ется надежной) и т = 20 (когда при оценивании времени прихода Л0 импульса (1) возможны аномальные ошибки) для рассматриваемых значений Ц изображены на рис. 4, 5. Соответствующие экспериментальные значения рассеяний Vq обозначены прямоугольниками, крестиками и ромбиками, аналогично рис. 1-3.
На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы.
Как видно из рис. 1 и 2, теоретические зависимости (5) для надежной оценки Лт удовлетворительно аппроксимируют экспериментальные данные при ОСШ г > 1,5...2, а теоретические зависимости (4) для рассеяния оценки Л с учетом аномальных ошибок — при Ц > 50 и т. > 0,5. При т. < 1,5 теоретические зависимости ^(Лт | Л0) (5) отклоняются от экспериментальных значений, поскольку формула (5) для рассеяния ^)(Лт|Л0) надежной оценки времени прихода не учитывает ограниченную протяженность априорного интервала [Л,, Л2] возможных значений параметра Л0. Вследствие этого, когда рассеяние становится соизмеримым или большим величины (Л2 - Л ] )2/12, точность формул (5) существен-
о
о/
10“
10'
10
10"
10"
-3
\ч\ \
1 8 \
\х^ * V
дЧ.ч о,
^х>
*<
0,05
0,2 0,5
Рис. 1
2 Яо
10"
10“
10
10
-3
1 и Л \
, \ ' \ \1 V
\ А \ \
\ \ \ *
0,05 0,1 0,3 0,5 1 Чо
0,05 0,2 0,5
Рис. 5
2 Чо
но ухудшается. Отклонение теоретических зависимостей У(Лт | Л0) (4), ^о(>^т | ^о) (5) от экспериментальных значений наблю-дается также и при больших ОСШ, когда до > 2...3. Это связано с тем, что формула (5) для рассеяния ^(Лт|Ло) надежной оценки времени прихода получена в [3, 5] в пренебрежении ошибками оценивания порядка времени корреляции случайного процесса ^(г). Следовательно, когда нормированное рассеяние убывает до величины порядка Ц-2, погрешность формул (4), (5) становится значительной.
При недостаточно больших ОСШ (г < 4...5) и приведенной дли-
10
10
10
10
10
10
-2
-5
Гг_- 8 .
ту у
\ \\
* 1 X °\ ' А П\
\ х>,! ч с
ч;; ■ Х!
0,05 0,2 0,5
2 Чо
0,05
2 Чо
0,2 0,5
в<с. 4
не априорного интервала т» 1 необходим учет аномальных ошибок оценки времени прихода. При этом точность ОМП Хт может существенно ухудшаться. При г > 5 и т < 10...20, когда вероятностью аномальных ошибок можно пренебречь, значения рассеяний оценки Хт, полученные по формулам (4) и (5), практически совпадают.
Согласно рис. 5, 6, формулы (7), (8) и (9) удовлетворительно аппроксимируют экспериментальные значения рассеяния оценки дисперсии при г > 3...4. При г > 5, когда вероятность аномальных ошибок при оценивании параметра Хо достаточно мала (оценка времени прихода является надежной), рассеяния оценки дисперсии У(0т 10о) (7), (8) и (9) совпадают.
Литература
1. Тихонов ВИ Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь, 1982. — 624 с.
2. Трифонов АП, Нечаев Е.П., Парфенов ВИ Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами. — Воронеж: ВГУ, 1991. — 246 с.
3. Трифонов А.П., Захаров А.В., Чернояров О.В. Оценка дисперсии случайного импульса с неизвестным временем прихода // Радиотехника и электроника. — 1996. — Т. 41. —№ 1о. — С. 12о7-121о.
4. Трифонов А.П., Захаров А.В. Прием сигнала с неизвестной временной задержкой при наличии модулирующей помехи // Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника. — 1986. — Т. 29. — № 4. — С. 36-41.
5. Куликов Е.И, Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. — М.: Сов. радио, 1978. — 296 с.
6. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. — М.: Сов. радио, 1971. - 326 с.
7. Ермаков СМ., Михайлов ГА Статистическое моделирование. — М.: Наука, 1982. — 296 с.
