CC BY
51
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Вестник Челябинского государственного университета. 2015. № 22 (377).
Физика. Вып. 21. С. 89-97.
УДК 536.7, 536.42
СТАТИСТИЧЕСКОЕ И ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАВЛЕНИЯ И ВОСПЛАМЕНЕНИЯ НАНОЧАСТИЦ НЕКОТОРЫХ МЕТАЛЛОВ
А. В. Фёдоров, А. В. Шульгин
Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича Сибирского отделения РАН, Новосибирск, Россия
Выполнено молекулярно-динамическое моделирование плавления наночастиц алюминия с использованием пакета DL_POLY и потенциала внедрённого атома для определения коэффициента теплопроводности. Даны аналитические аппроксимации найденным зависимостям коэффициентов теплопроводности и теплоёмкости от температуры и размера частиц. На основе полученных теплофизических параметров решена задача о плавлении наночастицы в рамках феноменологического подхода.
Ключевые слова: молекулярная динамика, наночастицы, плавление, теплоёмкость, теплопроводность.
Введение
Проблема физико-математического моделирования различных процессов, протекающих в наноразмерных объектах при их нагреве, представляет значительный интерес в силу определённых уникальных свойств, которые они проявляют. Существуют несколько подходов для моделирования поведения таких объектов под различного вида нагружениями (тепловое, силовое и др.). Ниже мы остановимся только на двух из них: метод молекулярной динамики (ММД) и феноменологический метод механики гетерогенных сред.
В работе [1] в рамках феноменологического подхода нами была предложена точечная математическая модель горения наночастиц алюминия в отражённой ударной волне, которая позволила удовлетворительно описать время горения в диапазоне начальных давлений р0 е (8, 32) атм и температур Тс е(1200, 2200) К при изменении содержания кислорода в смеси от 10 до 50 %. При проведении численных расчётов использовались экспериментальные данные работы [2], в которой приведены зависимости времени горения ^ алюминиевых наночастиц размером гр0 = 80 нм в атмосфере, содержащей кислород и азот в концентрациях п0 = пм = 0,5, от температуры окружающей атмосферы Тс. Для иллюстрации на рис. 1 приведена зависимость времени горения частицы
с размером 80 нм от температуры окружающей среды при различных давлениях. Как видно из рис. 1, данные расчётов близки к экспериментальным. Отметим, что время горения монотонно уменьшается при возрастании температуры окружающей среды для данных давлений.
Представляется интересным получить с помощью ММД необходимые для феноменологических моделей характерные термодинамические параметры наносистем, которые отражают их зависимости от параметров состояния и размера, чтобы в последующем использовать их в менее вычислительно затратных феноменологических моделях. В работе [3] была предложена физико-математическая модель для описания плавления наноразмерных частиц металла в рамках феноменологического подхода однофазной задачи Стефана с учётом экспериментально установленного факта уменьшения температуры плавления с уменьшением радиуса частиц. Показано удовлетворительное соответствие динамики температурных полей при плавлении наночастиц алюминия и золота в однофазном и двухфазном подходах. Определены зависимости времени плавления наночастиц алюминия и золота от радиуса и температуры окружающей среды. В последующем для описания процесса плавления наночастицы алюминия в [4] предложена и верифицирована полуэмпирическая модель
Рис. 1. Зависимость времени горения частицы с размером 80 нм от температуры окружающей среды: 1 — 8 атм.; 2 — 15 атм.; 3 — 20 атм.; 4 — 32 атм. х и о — экспериментальные данные [2]
для 8 и 32 атм соответственно
молекулярной динамики с использованием склеивающего потенциала, позволившая удовлетворительно описать тепловую историю частиц с размерами в интервале 2-8 нм. На её основе также определены зависимости теплоёмкости частицы и теплоты фазового перехода от размера частицы и температуры. Установлено, что при увеличении размера частицы данная зависимость стремится к предельной функции, описывающей теплоёмкость частицы в объёмной фазе. Сопоставление расчётных характеристик плавления наночастицы алюминия, полученных по ММД и феноменологической модели, показало их удовлетворительное соответствие по времени плавления. В [5] представлен расчёт процесса плавления нанокристалла алюминия с размерами ребра 2-7 нм в рамках метода молекулярной динамики, с использованием потенциала внедрённого атома пакета DL_POLY Classic [6] и в параметризации H. Sheng [7]. Здесь, помимо прочего, была обоснована предложенная нами ранее полуэмпирическая модель молекулярной динамики [4] для описания зависимости температуры плавления кристалла от его размера. Найденные теплоёмкости качественно верно передают их зависимость от температуры и размера ребра кристалла.
Целью настоящей работы является выявление влияния зависимости теплофизических параметров (коэффициентов теплопроводности и тепло-ёмкостей) наноразмерных объектов от их температуры и размера, характерных для данных масштабов, на картину плавления в одномерном случае.
Физико-математическая постановка задачи Математическая модель. Рассмотрим нанокри-сталл алюминия в некотором тепловом поле. Кристалл помещается в термостат с целью получения средней температуры системы, близкой к требуемой. В этом случае классические уравнения движения молекулярной динамики модифицируются, система уже не является микроканоническим ансамблем. Получаемые в результате решения таких модифицированных уравнений движения характеристики будут близки к каноническим средним ансамбля, или будут отличаться на величину порядка 0(\/Щ, где N — число атомов в системе [8]. В настоящей работе использовался термостат Эванса, в котором уравнения движения записываются в виде [9]
Сг. (!) сЫ. (!) Г (0
са а т1 (1)
i = 1,
N,
где
£ vi (t) • f. (t)
x(t)
£ m v
Здесь mi — масса i-го атома;
r = (rix, riy, riz) — его радиус-вектор; \i — скорость движения i-го атома;
N
f = £ ftj — сила, действующая на этот i
j=l,j *i
Сила взаимодействия двух атомов fj, находящихся на расстоянии rj, определяется соотношением
■ атом.
dU (r.) f (r..) =---H—
dr. '
где U(rj) — потенциал взаимодействия;
(2)
1 1 2 , 2 , 2
г.. = r. ■ - r. = Л r.. + r.. + r.. ;
j \ у x yy yz'
r.. = r. - r. , r.. = r. - r. , r..
Jx ' yy y .y' yz
В качестве потенциала взаимодействия использовался полуэмпирический потенциал внедрённого атома [9], который состоит из двух слагаемых (энергии парного взаимодействия атомов и энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами) и в общем виде записывается как
1 N N N
U =1 YT/(rj) + ). (3)
2 .=1 i=1
Здесь V(r.) — парный потенциал; F(pi) — функция «погружения» i-го атома, описывающая вклад в энергию произвольно расположенных ядер от взаимодействия с электронами; р. — суммарная электронная плотность для i-го атома, создаваемая сферически симметричными функциями одно-электронной плотности р j(rj) других атомов:
N
р. = X р. (rj >
j = 1,j *i
Явного математического выражения для потенциала (3) не существует, он задаётся таблично во входном файле TABEAM пакета DL_POLY Classic, с использованием которого осуществлялось молекулярно-динамическое моделирование. Детали организации расчётов, методика определения температуры плавления и теплоёмкости нано-частиц алюминия изложены в [5].
Аппроксимация коэффициента теплоёмкости. Как было сказано выше, для проведения рас-
чётов наноразмерных объектов необходимо иметь зависимости теплоёмкости таких частиц от их размера и температуры. Аппроксимируем полученные ранее в [5] данные двумя зависимостями с = с(Т, Ь) и с = с(Т, х), 0 < х < Ь вида
с = а 2 +р 2 • ехр (-у 2(Г - Т, )2), (4)
с = а2 + Мх) • ехр (-у2 (х)(Т - Т, (х))2), (5) где Ь — переменный, вообще говоря, начальный размер частицы; а2 = 930 Дж/(Ккг) для всех размеров частиц, значения остальных параметров аппроксимации (4) приведены в табл. 1. В формуле (4) значение параметра х заморожено.
Таблица 1
Зависимость параметров коэффициента теплоемкости от размера частицы
L, нм P2, Дж/(Ккг) У2, 1/K2 T„ K
3 2760,27 2,9210-4 652,62
4 2195,17 1,1310-4 748,38
5 1592,41 8,78 10-5 813,19
6 1318,39 8,56 10-5 835,54
7 1173,25 8,42 10-5 851,39
Расчётные данные по аппроксимационной формуле (5) для теплоёмкости изображены на рис. 2. Цифры рядом со сплошными кривыми обозначают размер наночастицы в нанометрах, штриховая линия показывает теплоёмкость объёмного материала. Видно, что с увеличением размера частиц пик в теплоёмкости, который соответствует температуре плавления, уменьшается, значение теплоёмкости стремится к значению, соответствующему объёмному образцу.
Рис. 2. Аппроксимация (5) зависимости темплоемкости от температуры и размера частицы
Рис. 3. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры
Определение и аппроксимация коэффициента теплопроводности. Для определения коэффициента теплопроводности X в настоящей работе использовался равновесный метод, основанный на формализме Грина — Кубо [10; 11], по которому
этот коэффициент вычисляется по формуле
1=(6)
где V — объём; Т — температура системы; кв — постоянная Больцмана; 8 — вектор текущего теплового потока.
8 = 1 Е у, +1 . у,), (7)
, 2 м
где у, — скорость ,-й частицы, Fу — воздействие на атом , от его соседа у. Е, — полная энергия атома ,, которая, согласно [12], определяется выражением
Е, =1 ту^ + 2 ТР (Гу) -< Е.
2 2 ■
Бесконечный интеграл в (6) заменяется на конечный, но поскольку формула Грина — Кубо справедлива только при больших временах, для каждого значения текущей температуры необходимо сделать достаточно большое число шагов по времени. В наших расчётах это число равнялось 10 при шаге по времени 1 фс.
На рис. 3 представлены результаты расчёта зависимости коэффициента теплопроводности от температуры для алюминиевых наночастиц размером 3 и 7 нм (кривые 1, 2), а также объёмного образца (кружки). Объёмный образец моделировался частицей с периодическими граничными условиями. С ростом температуры значение коэффициента теплопроводности имеет тенденцию к снижению, что объясняется рассеянием фононов
в металлах [13]. С другой стороны, с увеличением размера наночастиц значение коэффициента теплопроводности приближается снизу к своему объёмному значению. Моделирование коэффициента теплопроводности объёмного вещества хорошо согласуется с экспериментальными данными (кривая 3), кружки — это наши расчёты для периодических граничных условий, моделирующих объёмную фазу.
Штриховыми линиями на рис. 3 показаны результаты работы [14] для алюминиевых кластеров из 500 (кривая 4), 256 частиц (кривая 5) частиц и объёмного образца (кривая 6). Различие наших результатов и [14] может быть объяснено тем, что в [14] использовался потенциал Саттон — Чена, который, как показано в [15], неудовлетворительно описывает зависимость температуры плавления от размера частиц.
Таблица 2
Зависимость параметров коэффициента теплопроводности от размера частицы.
Ь, нм Х0, Вт/(мК) Р1 уь 1/К
3 51,1729639 8,074829 0,00565738551
4 63,520202 6,848598 0,00601769214
5 78,9706435 6,378751 0,00709453907
6 90,1648888 5,689071 0,00707262273
7 102,96422 5,061537 0,0071846628
Аппроксимация коэффициента теплопроводности. Полученные численные значения коэффициента теплопроводности были также аппроксимированы аналитическими формулами в двух вариантах X = Х(Т) и X = Х(Т, х), 0 < х < Ь:
Х = Х0 [1 + р, • ехр(-у,Т)]; (8)
X = X 0 (х) [1 + р, (х) • ехр(-у, (х)Т)]. (9)
Значения величин Х0, Р1 и 71 для (8) приведены в табл. 2. По этим значениям была построена аппроксимация (9), а именно Хо(х) приближённо описывалась прямой линией, а Р^х), у1(х) — формулами типа Ленгмюра аЬх/(1 + ах).
Задача о плавлении наночастицы в феноменологической постановке. В [3] для описания процесса плавления наночастицы была предложена неклассическая однофазная задача Стефана, основанная на использовании объёмных параметров частицы; там же была приведена библиография на эту тему. В рамках данного подхода были сделаны определённые заключения об особенностях изучаемого явления. Ниже мы остановимся на этой задаче в рамках модели, использующей параметры частицы, соответствующие её наносостоянию, и выясним, каково влияние данных зависимостей на динамику фазовых превращений. Отметим, что теплота фазового перехода неявно учитывается зависимостью теплоёмкости от температуры и размера частицы, которые получены дифференцированием полной энергии частицы по температуре. Итак, перейдём к изложению постановки задачи о нагреве нано-частицы (пластины), которая испытывает фазовый переход.
Запишем уравнение теплопроводности наноча-стицы
с —
дt дх I дх
(10)
где плотность р считается постоянной, а коэффициенты теплоёмкости с и теплопроводности X задаются в соответствии с формулами (4), (8) или (5), (9); Т — температура частицы; х — пространственная переменная. Граничные и начальные условия зададим следующим образом:
дТ (0, t)
дх
- 0, Т(Ь, t) - Т1,
(11)
Т(х,0) -Т0, 0< х <Ь, Т(Ь,0) -Т >Т0. (12) Задача (10)—(12) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений методом прямых, которая далее решается методом обратного дифференцирования [16].
На рис. 4 и 5 представлен процесс разогрева частицы размером 6 нм для двух видов аппроксимации коэффициентов теплоёмкости и теплопроводности. Линии показывают распределение температуры в частице с шагом по времени 1,85 10-13 с. Штриховая линия изображает ранее полученную
нами зависимость температуры плавления частиц от размера [5].
Будем считать, что границей фазового перехода является точка в пространстве (х, Т), 0 < х < Ь, 100 < Т < 1000, в которой имеет место пересечение кривой плавления Т = Тт(х) и термограммы Т = Т(х, t1) в некоторый момент времени ^. Тогда, как следует из рис. 4-5, объём частицы разбивается на три области. В первой из них, в области Ь1 (правее точки т{), прилегающей к правой границе частицы, где температура высока и больше температуры плавления, возникает расплавленный слой алюминия. Если температура некоторого объёма частицы ниже, чем температура кривой плавления, которая описывается уравнением Т = Тт(х), то этот объём частицы находится в твёрдом состоянии и занимает вторую область 5".
Дальнейшее продвижение по пространству по термограмме 1 приводит к точке второго её пересечения т\ с кривой плавления. За этой точкой (слева от неё) расположена область Ь2, занятая жидким алюминием. Причинами возникновения подобного «слоёного пирога» являются бесконечная скорость распространения тепловых возмущений в параболической модели теплопроводности, когда за конечное время частица вблизи от оси симметрии прогревается до температуры выше температуры плавления, а также вид кривой плавления, которая является выпуклой функцией своего аргумента. Заметим, что свойства её вблизи от оси симметрии с точки зрения физики нам слабо известны. Здесь мы экстраполировали кривую плавления в область малых размеров. При этом точность данной экстраполяции пока выходит за пределы наших познаний о предмете исследования. Кроме того, мы проводим расчёты с температурами нагружения, значительно выше нуля.
С последующим ростом времени нагрева в процессе продвижения фронта плавления найдётся термограмма, которая ограничит сверху кривую плавления и возможно коснётся её, или пересечёт в бесконечно близких точках по пространственной переменной. До этого по частице распространялись два фронта плавления. Один из них шёл слева направо, от оси симметрии к правой границе частицы, второй в противоположном направлении. После смыкания фронтов твёрдая часть 5 частицы перейдёт в жидкое состояние, частица расплавится полностью. Таким образом, наличие выпуклой кривой плавления, зависящей от пространственной переменной, приводит к двухфронтовому механизму плавления, который назовём «слоёный пирог».
Т, К 1000900800700600500400300200-
Х(ТЛ), с(Т,Ь)
Ш] /Я2 '"-! 4
шА т3 т2
—I-1-1-1-1-'-1-1-1-1-1—
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
3 0 ¿/2, НМ
Рис. 4. Распределение температуры в частице при аппроксимациях (4), (8)
Т, к.
1000900800700600500 400-1 300 200
т5 т4 Шт, т2 т
—I— 0.0
—I—
0.5
1.0
—I-1-1—
1.5 2.0
~~1-'-1—Г/т
2.5 3.0 £ / 2, НМ
Рис. 5. Распределение температуры в частице при аппроксимациях (5), (9)
% ■
1.000.950.900.850.800.750.700.650.60-
0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 /
Рис. 6. Зависимость положения первого фронта плавления
—\— 0.6
Wo
2,5-
2,0-
1,5-
1,0-
0,5-
0,0
1-.-1-.-1-р-1---1-1-1---1-1
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 r/rQ
Рис. 7. Зависимость времени плавления от размера частицы
Выявим, какое влияние оказывает масштабный фактор, то есть зависимость теплоёмкости и теплопроводности частицы от пространственной переменной в дополнение к зависимости от температуры. Для этого сравним картины тепловой истории частиц с данными параметрами, зависящими только от температуры и от температуры и размера частицы (см. рис. 4 и 5). Видно, что учёт зависимости коэффициентов теплоёмкости и теплопроводности от размера приводит к более медленному разогреву частицы.
Представляет интерес сравнить движение фронта плавления Е, полученного нами ранее в рамках решения задачи Стефана [3] с аналогичным параметром по модели (10)-(12). Это показано на рис. 5 в безразмерных величинах для частиц размером 6 (кривые 2, 4, 6) и 7 (кривые 1, 3, 5) нм. Линии 1, 2 соответствуют данным [3], 3, 4 — данные настоящей работы при аппроксимации (5), (9), 5, 6 — при аппроксимации (4), (8). Как видим, во всех постановках задачи фронт плавления для частицы меньшего размера продвигается быстрее.
Рассмотрим зависимость времени плавления от размера частицы (т = tm(r). Эти зависимости приведены на рис. 7. Верхняя кривая соответствует данным расчётов по математической модели с переменными теплофизическим парамет-
* 2,3
рами и имеет вид т = аиг , а нижняя
т = аиг со значениями параметров, взятыми для объёмной фазы. Отметим, что время тепловой релаксации для образца с переменными значениями параметров частицы больше, чем для частиц с объёмными значениями. Это и объясняет полученный феномен.
Выводы
Методом молекулярной динамики в рамках формализма Грина — Кубо найдены коэффициенты теплопроводности наноразмерных частиц алюминия в диапазоне 2-8 нм и температур в интервале (100-1000) К. Даны аппроксимационные формулы для коэффициента теплопроводности и теплоёмкости в тех же интервалах.
На основе феноменологического подхода определена тепловая история плавящейся частицы в рамках модели с теплофизическим параметрами, зависящими от (х, Т). Здесь выявлено влияние зависимости теплофизических параметров от температуры и масштабного фактора на динамику нагрева и фазового перехода. В том числе определён двухфронтовой режим плавления («слоёный пирог») наночастицы, обусловленный масштабным фактором.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 15-08-01947-а.
Список литературы
1. Фёдоров, А. В. Точечная модель горения наночастиц алюминия в отражённой ударной волне / А. В. Фёдоров, А. В. Шульгин // Физика горения и взрыва. - 2011. - Т. 47, № 3. - С. 47-51.
2. Bazyn, T. Combustion of nanoaluminum at elevated pressure and temperature behind reflected shock waves / T. Bazyn, H. Krier, N. Glumac // Combustion and Flame. - 2006. - Vol. 145. - P. 703-713.
3. Фёдоров, А. В. Математическое моделирование плавления наноразмерных частиц металла / А. В. Фёдоров, А. В. Шульгин // Физика горения и взрыва. - 2011. - Т. 47, № 2. - С. 23-29.
4. Фёдоров, А. В. Комплексное моделирование плавления наночастицы алюминия / А. В. Фёдоров, А. В. Шульгин // Физика горения и взрыва. - 2013. - Т. 49, № 4. - С. 68-75.
5. Фёдоров, А. В. Молекулярно-динамическое моделирование плавления наночастиц алюминия методом внедрённого атома / А. В. Фёдоров, А. В. Шульгин // Физика горения и взрыва. - 2015. - Т. 51, № 3. - С. 55-59.
6. Smith, W. A short description of DL_POLY / W. Smith, I.T. Todorov // Mol. Simul. - 2006. - Vol. 32. -P. 935-943.
7. Sheng, H. W. EAM potentials [Электронный ресурс] / H. W. Sheng. - URL: http://sites.google.com/site/eampotentials/Home.
8. Allen, M. P. Computer simulation of liquid / M. P. Allen, D. J. Tildesley. - Oxford : Oxford University Press, 1987. - 408 с.
9. Finnis, M. W. A simple empirical N-body potential for transition metals / M. W. Finnis, J. E. Sinclair // Philosophical Magazine A. - 1984. - Vol. 50. - P. 45-66.
10. Green, M. S. Markoff random processes and the statistical mechanics of time-dependent phenomena. II. Irreversible processes in fluids / M. S. Green // J. Chem. Phys. - 1954. - Vol. 22. - P. 398-413.
11. Kubo, R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. I. General theory and simple applications to magnetic and conduction problems / R. Kubo // J. Phys. Soc. Jаp. - 1957. - Vol. 12. - P. 570-586.
12. Rapaport, D. C. The art of molecular dynamics simulation / D. C. Rapaport. - Cambridge : Cambridge University Press, 2004. - 549 p.
13. McGaughey, A. J. H. Phonon transport in molecular dynamics simulations: formulation and thermal conductivity prediction / A. J. H. McGaughey, M. Kaviany // Advances in Heat Transfer. - 2006. - Vol. 39. - P. 169-255.
14. Taherkhani, F. Temperature and size dependency of thermal conductivity of aluminum nanocluster / F. Taherkhani, H. Rezania // J. Nanopart. Res. - 2012. - Vol. 14. - 1222.
15. Puri, P. Effect of particle size on melting of aluminum at nano scales / P. Puri, V. Yang // J. Phys. Chem. C. -2007. - Vol. 111. - P. 11776-11783.
16. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / под ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. - М. : Мир, 1979. - 312 с.
Поступила в редакцию 20 августа 2015 г.
Сведения об авторах
Фёдоров Александр Владимирович — доктор физико-математический наук, профессор, заведующий лабораторией Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича Сибирского отделения РАН, Новосибирск, Россия. fedorov@itam.nsc.ru.
Шульгин Алексей Валентинович — кандидат физико-математический наук, старший научный сотрудник Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича Сибирского отделения РАН, Новосибирск, Россия. shulgin@itam.nsc.ru.
Bulletin of Chelyabinsk State University. 2015. № 22 (377). Physics. Issue 21. P. 89-97.
STATISTICAL AND PHENOMENOLOGICAL DESCRIPTION MELTING AND IGNITION OF SOME METALS NANOPARTICLES
A. V. Fedorov, A. V. Shulgin
Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics of Siberian Branch of RAN, Novosibirsk, Russia
Corresponding author A. V. Fedorov, fedorov@itam.nsc.ru
Molecular dynamics simulation of melting aluminum nanoparticles done with DL_POLY package and embedded atom potential for determining thermal conductivity. Analytical approximations of obtained dependence of thermal
conductivity and heat capacity on temperature and particle size was offered. The problem of the melting of the na-
noparticles within the framework of the phenomenological approach is solved on the basis of the obtained thermal
parameters.
Keywords: molecular dynamics, nanoparticles, melting, heat capacity, thermal conductivity.
References
1. Fedorov A.V, Shul'gin A.V Tochechnaya model' goreniya nanochastits alyuminiya v otrazhennoy udarnoy volne [Spot combustion model aluminum nanoparticles in the reflected shock wave]. Fizika goreniya i vzryva [Combustion, Explosion and Shock Waves], 2011, vol. 47, no. 3, pp. 47-51. (In Russ.).
2. Bazyn T., Krier H., Glumac N. Combustion of nanoaluminum at elevated pressure and temperature behind reflected shock waves. Combustion and Flame, 2006, vol. 145, pp. 703-713.
3. Fedorov A.V, Shul'gin A.V. Matematicheskoe modelirovanie plavleniya nanorazmernykh chastits metalla [Mathematical modeling of melting metal nanoparticles]. Fizika goreniya i vzryva [Combustion, Explosion and Shock Waves], 2011, vol. 47, no. 2. pp. 23-29. (In Russ.).
4. Fedorov A.V., Shul'gin A.V. Kompleksnoe modelirovanie plavleniya nanochastitsy alyuminiya [Complex modeling the melting of aluminum nanoparticles] Fizika goreniya i vzryva [Combustion, Explosion and Shock Waves], 2013, vol. 49, no. 4. pp. 68-75. (In Russ.).
5. Fedorov A.V, Shul'gin A.V Molekulyarno-dinamicheskoe modelirovanie plavleniya nanochastits alyuminiya metodom vnedrennogo atoma [Molecular dynamics simulation of melting aluminum nanoparticles embedded atom method]. Fizika goreniya i vzryva [Combustion, Explosion and Shock Waves], 2015, vol. 51, no. 3, pp. 55-59. (In Russ.).
6. Smith W., Todorov I.T. A short description of DL_POLY. Molecular Simulation, 2006, vol. 32, pp. 935-943.
7. Sheng H.W. EAM potentials. Available at: https://sites.google.com/site/ eampotentials/Home.
8. Allen M.P., Tildesley D.J. Computer simulation of liquid. Clarendon, Oxford, 1997. 408 p.
9. Finnis M.W. Sinclair J.E. A simple empirical N-body potential for transition metals. Philosophical Magazine A, 1984, vol. 50, pp. 45-66.
10. Green M.S. Markoff random processes and the statistical mechanics of time-dependent phenomena. II. Irreversible processes in fluids. The Journal of Chemical Physics, 1954, vol. 22, pp. 398-413.
11. Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. I. General theory and simple applications to magnetic and conduction problems. Journal of the Physical Society of Japan, 1957, vol. 12, pp. 570-586.
12. Rapaport D.C. The art of molecular dynamics simulation. Cambridge University Press, 2004. 549 p.
13. McGaughey A.J.H., Kaviany M. Phonon transport in molecular dynamics simulations: formulation and thermal conductivity prediction. Advances in Heat Transfer, 2006, vol. 39, pp. 169-255.
14. Taherkhani F., Rezania H. Temperature and size dependency of thermal conductivity of aluminum nanocluster. Journal of Nanoparticle Research, 2012, vol. 14, 1222.
15. Puri P., Yang V Effect of particle size on melting of aluminum at nano scales. The Journal of Physical Chemistry C, 2007, vol. 111, pp. 11776-11783.
16. Sovremennye chislennye me tody resheniya obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Modern numerical methods of the solution of the ordinary differential equations]. Dzh. Kholl, Dzh. Uatt (eds.). Moscow, Mir Publ., 1979. 312 p. (In Russ.).
Submitted 20 August 2015.
