CC BY
23
Раздел II. Математическое моделирование физических процессов
УДК 517.958
Ю.Ф. Блинов, А.Г. Клово, П.В. Серба
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ПРОЦЕССОВ МИГРАЦИИ АТОМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОБЛУЧЕНИЯ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ
БОГОЛЮБОВА
Рассматривается вывод кинетического уравнения, описывающего миграцию атомов под действием облучения. В качестве исходного уравнения использовалось уравнение Лиу-вилля, которое описывает поведение системы "налетающие ионы - атомы материала мишени - атомы примеси ". С использованием метода Боголюбова уравнение Лиувилля приводилось к системе кинетических уравнений типа Больцмана. При этом интеграл столкновений использовался в форме Больцмана и Власова. Использование функции Грина позволило рассматривать отдельно движение налетающих ионов и движение атомов примеси.
Кинетическое уравнение; интеграл столкновений; уравнение Больцмана; уравнение Власова; метод Боголюбова.
Yu.F. Blinov, A.G. Klovo, P.V. Serba
THE STATISTICAL APPROACH TO THE DESCRIPTION OF ATOMS MIGRATION BY RADIATION BASED ON THE BOGOLYUBOV EQUATIONS
The derivation of a kinetic equation describing the atoms migration under the influence of radiation was considered. Liouville equation which describes the behavior of the system "colliding ions - atoms of the target material - the impurity atoms" was used as the original equation. Liouville equation led to a system of Boltzmann type kinetic equations using Bogolyubov method. The collision integral was used in Boltzmann-Vlasov form. Using of the Green's function allowed to consider separately the motion of the incident ions and the movement of impurity atoms. Transport equation; collision integral; Boltzman equation; Vlasov equation.
Прохождение ускоренных частиц через вещество сопровождается их упругими и неупругими соударениями с атомами последнего. В процессе упругого столкновения атомы вещества приобретают энергию, достаточную для осуществления миграции.
Движение атомов в кристалле при ионном облучении описывается уравнением Лиувилля [1]-[3}
др ~dt
где p(r1,r2,..., rn; p1, p2,..., pn)dr1dr2...drndp1dp2...dpn - n -частичная функция
H ,р
(1)
распределения; [ А, В] - скобки Пуассона; Н - гамильтониан кристалла. Гамильтониан имеет вид
А
Н = т* + Т + иК[ + + Х[ Т + ^и . ^, (2)
л л
где Т1 - оператор кинетической энергии ионов; Ти - оператор кинетической энер-
л
гии атомов примеси; Тг - оператор кинетической энергии собственных атомов кри-
л
сталла; и и1 - оператор потенциальной энергии взаимодействия налетающих ионов
л
с атомами примеси; иш - оператор потенциальной энергии взаимодействия нале-
л
тающих ионов с собственными атомами кристалла; и. - оператор потенциальной энергии взаимодействия собственных атомов кристалла между собой.
Используя метод Боголюбова, введем а1, а2, а3 - частичную функцию распределения [1] (а1 = 1,2,...; а2 = 1,2,...; а3 = 1,2,..., где а1 - число ионов, а3 -число атомов примеси, а2 - число атомов кристалла)
N г
^аз = у ] ^Р. (3)
Здесь Хг = {г, Рг} обозначает совокупность координат и импульсов г -й части-
N
цы; а, = а1 + а2 + а3. Интегрируя (1) по Х,+1,...,ХN и умножая на — , получаем цепочку уравнений Боголюбова
Э = [На1а2а3 ; ^а1а2а3 ] + у Х{ [Н а, +1; ^а, +1]^Х5 +1. (4)
Выпишем первые из уравнений цепочки Боголюбова
Э^ N г
= [Т100, Щ + у{ и ^110]^Х2, (5)
Э^ N г N г
-Э^ = [Т001; Щ+V {[и.; +V {[и; . (6)
Уравнение (5) описывает движение налетающих ионов, уравнение (6) - движение атомов примеси. Перепишем уравнения (5) и (6) в виде
&+Р Э- = Х; 0,0, (7)
Э1 т1 Эг .
здесь /1 = ^100, /2 = _Т010, /3 = ^001 - одночастичные функции распределения
(г = 1 соответствует налетающим ионам, г = 3 - атомам примеси, г = 2 - атомам материала кристалла); J(г) - интеграл столкновений, равный
](г) = N{[и.;; (8)
двухчастичная функция распределения. Введем функцию Грина [4], описывающую распределение атомов примеси по импульсам на глубине, если на глубине находится источник, испускающий атомы с импульсом Р . Функция Грина определяется из уравнения
^ + = /(2,3). (9)
dt m dr
-Представим решение уравнения (7) для атомов примеси, используя функцию Грина, полученную из решения (9):
t
f3(r',v',t) = j J(3,l)G(r,v;r',v',t -r)drdr. (10)
0
Представим функцию распределения атомов примеси в виде суммы равновесной и неравновесной составляющих:
f3(r,v, t) = fo(r, v) + Af (r, v, t). (11)
Причем доля атомов примеси, находящихся в равновесии, превышает долю атомов, находящихся в движении
j fo(r, v)dv >> j Af (r, v, t )dv . (12)
v v
Интегрируя (10) по скоростям с использованием интеграла столкновений для парных соударений в форме Больцмана
J( j,i) = jjj[/1(V)fi(v«) - m/3(v*)]Va(v,v* | v',v*)dv'dv*dv* (13)
и учитывая (11), получим уравнение для распределения концентрации атомов примеси по глубине
t
N3(r, t ) = jjjv" f1(v") N3(r ',T)a(v, v* | v', v*)G (r", v*; r, v", t -T)dv"dr ' dr. (14)
0 r v"
Дифференцируя (14) по времени, получим кинетическое уравнение с памятью dN (r t) г г
—^^^ = j j iz(r',r,t -т)N3(r\t) + z(r',r,t -т)N3(r,T)]drdr, (15)
0 v
где функция памяти определяется из соотношения
Э
Z(r,r',t) =— jj vf(r,v,t)o(v ^v')G(r,r',v',t)dvdv . (16)
v v
Анализ динамики изменения концентрации атомов примеси во времени показал, что когда
1
-— >>Т0, (17)
где I - интенсивность облучения; СГп - полное сечение соударения налетающих частиц с атомами примеси; Т0 - характерное время достижения стационарного
состояния для функции Грина, вместо уравнения (15) можно использовать кинетическое уравнение
^^t ) = j L(r, r ') N3(r', t )dr '-N3(r, t)j L(r, r')dr ', (18)
V V
где L(r, r') - функция атомного смещения, определяемая из выражения
L(r,r') = jj vf1(r,v,t)a(v ^ v')G(r,r',v',t)dv'dv . (19)
Таким образом, полученные уравнения (15) и (18) описывают миграцию атомов при баллистическом механизме переноса.
При использовании интеграла столкновений в форме Власова, который описывает взаимодействие налетающих частиц с атомами примеси, кинетическое уравнение, описывающее движение примесных атомов, записывается в виде
/ + = \ К Л(х )/ (Хз Ж + ] ((3, / ). (20)
Проинтегрировав по Х1, перепишем (20) в виде
& + = _1& + //2). (21) дг д г т оу Здесь внешнее поле и определяется из выражения
и = ГйгУ13 Гйу^ (22)
V
и представляет собой поле, создаваемое потоком ионов. Такое представление допустимо в случае, когда время взаимодействия между частицами мало.
Далее, как и при выводе уравнения (15), для вывода кинетического уравнения используется функция Грина, определяемая из решения уравнения (9). В этом случае уравнение (22) будет иметь вид
/ =-\ I1 иг Р((23)
0 у т о г оу Дифференцируя (2з) по времени, получим
/ .-г азитзО^Ъы-^^. (24)
д г 0 У т д г О V д г
Когда характерное время торможения ускоренных атомов примеси мало, как и в случае (17), уравнение (24) можно переписать в виде
/ .-/^ОМх-^. (25)
О г у т дг ду
Представляя функцию распределения /3 в виде
/з (х, V ) = N3 (х)8() (26)
и интегрируя (25) по скоростям, получим
. - Г1 дТ^ (£,г5' (V р (х - £ V . (27)
дг ут дг
Учитывая свойства 5 -функции, (27) можно переписать в виде
. - Г1 (£ г )11ш р(х - £ v)d£. (28)
дг ут дг ^0
В пределе малых скоростей функция Грина может быть представлена в
виде
ИтО(х -£, V) = 5(х -£- vт), (29)
V ^0
где Т - время, необходимое для совершения диффузионного перескока на одно межатомное расстояние. Учитывая (29) и интегрируя по ^, (28) будет иметь вид
dN3 (х, t ) = д д t дх
—
m дх
(30)
Учитывая, что отношение — = -D [2], уравнение (30) может быть запи-
m kT
сано в виде
dN3 (x, t )= D д
'д^и,
x 3
(31)
дt kT дх
Уравнение (31) описывает процесс миграции в случае, когда при взаимодействии налетающих частиц с атомами примеси не успевают проявиться соударения, сопровождающиеся сближением частиц до расстояний, на которых между частицами возникают большие силы, т.е. в случае слабых дально-действующих изменений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Введение в квантовую статистическую механику. - М.: Наука, 1984. - 394 с.
2. Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика. - М.: Наука, 1981. - 352 с.
3. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике / Избранные труды. T. 2. - Киев: Наукова думка. 1969. - 522 с.
4. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. - М.: Мир, 1978. - 495 с.
Статью рекомендовал к опубликованию д.ф.-м.н., профессор А.А. Лаврентьев.
Серба Павел Викторович - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: serba@sfedu.ru; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634371706; кафедра высшей математики; д.ф.-м.н.; зав. кафедрой.
Клово Александр Георгиевич - кафедра высшей математики; к.ф.-м.н.
Блинов Юрий Федорович - тел.: 88634371940; кафедра технологии микро- и наноэлек-тронной аппаратуры; к.т.н.; доцент.
Serba Pavel Viktorovich - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University"; e-mail: serba@sfedu.ru; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371706; the department of higher mathematics; dr. of phis.-math. sc.; head the department.
Klovo Alexander Georgievich - the department of higher mathematics; cand. of phis.-math. sc.;
Blinov Yuri Fedorovich - phone: +78634371940; the department of micro- and nano-electronic devices; cand. of eng. sc.; associate professor.
