Статистический мониторинг надежности компонентов воздушных судов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 629.735.067

СТАТИСТИЧЕСКИЙ МОНИТОРИНГ НАДЕЖНОСТИ КОМПОНЕНТОВ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ

А.А. ИЦКОВИЧ, И.А. ФАЙНБУРГ, А.Р. АЛЕКСАНЯН

Рассмотрены методы статистического мониторинга надежности компонентов воздушных судов по данным эксплуатационных наблюдений на основе оценки доверительных интервалов показателей надежности, направленные на повышение безопасности полетов и эффективности процессов поддержания летной годности воздушных судов.

Ключевые слова: мониторинг, надежность, компоненты воздушного судна

Совершенствование методов контроля надежности авиационной техники, недостатки которых показаны в [1], могут быть выполнены на основе применения методов статистического мониторинга надежности компонентов воздушных судов на основе оценки доверительных интервалов случайных величин [2].

Статистический мониторинг надежности компонентов воздушных судов представляет собой совокупность процедур эксплуатационных наблюдений за показателями надежности компонентов, статистический анализ полученных данных с целью объективной оценки, моделирования и прогнозирования показателей надежности на предстоящие периоды и принятия адекватных управленческих решений.

1. Основные уравнения для определения доверительных границ

По выборочным характеристикам случайной величины z можно определить нижнюю (z )

н

и верхнюю (zß) доверительные границы для генеральной характеристики Zo. Эти границы определяют собой доверительный интервал, который с некоторой доверительной вероятностью a* накрывает z0 a* = Р(zh £ z0 £ zg).

Величина а* называется двухсторонней доверительной вероятностью.

Односторонние доверительные вероятности aj и а2 входят в условия

а1 =Р( z0 й z н ) ■ а2=Р( z0 £ z« ) .

Имеет место соотношение а* =aj+a2-1 (1)

В частном случае, когда aj = a2 = a , уравнение (1) записывается в таком виде: a = 2a —1.

Величина (ширина) доверительного интервала характеризует точность выборочной оценки генеральной характеристики, а доверительная вероятность — достоверность оценки.

Ниже излагаются способы определения доверительных границ для показателей надежности при различных законах распределения случайных величин.

2. Определение доверительных границ при биномиальном распределении

Если вероятность некоторого события (отказа) при одном наблюдении равна q, а при N независимых наблюдениях - это событие имело место п раз, то доверительные границы для q находятся следующим образом [2, 3].

При п Ф 0

п

ql

' ^ , (2)

п

Чв = ж/

Величины N и Я2 определяются по табл. 11.1 б, 11.1 в для а* = 0,95 [2].

Тогда при п Ф 0, нижняя рн и верхняя рв доверительные границы вероятности безотказной работы р определяются по формулам

п 1 1 п

р = 1-q = 1------- р = 1-q = 1-------

Рн Чв NN1 NN.

При т = 0

qн = ^ qв = ^ (4)

Величина N определяется по табл. П.11.1, а для а* =0,90 [125] или вычисляется для различных значений а по уравнению Я0 = N (1 - N1 -а).

Тогда при п = 0 нижняя рн и верхняя рв доверительные границы вероятности безотказной работы р определяются по формулам

-ъ =1 - рв =1 - qн =1. (5)

Следует отметить, что при т = 0 нижняя доверительная граница определяется по уравнениям (4) достоверно (а: = 1), а верхняя доверительная граница определяется с доверительной

вероятностью а2 = а. Подставляя в уравнение (1) значения а: =1 и а2 = а, получим а* = а .

Заметим, что величины Я0, Я1 и Я2 приведены также в табл. П.5.4, П.5.5 и П5.6 в [3].

Пример 1. При N =20 одинаковых наблюдений за невосстанавливаемыми изделиями получено п = 2 отказов. Найти доверительные границы для вероятности безотказной работы р (при а = 0,95).

п

Решение. По табл. 11.1 б, 11.1 в [2] для а* = 0,95, п = 2 и —=0,10 находим ^=5,53,

Я2 =0,42. По уравнениям (2) и (3) определяем

р = 1 —— = 1--------2---= 0,762, р = 1 —— = 1--------2---= 0,982

н NN. 20 • 0,42 в NN 20 • 5,53

Пример 2. При N = 20 одинаковых наблюдений за невосстанавливаемыми изделиями не получено ни одного отказа ( п = 0 ). Найти доверительные границы для вероятности безотказной работы при а = 0,90.

Решение. По табл. П.5.4 [3] для а = 0,90, п = 0 и N = 20 находим Я0 = 2,18. По уравнению

2 18

(4.34) для вероятности безотказной работы получаем рн = 1 -~~ = 1 —2сТ = 0,891, рв = 1 - 0 = 1

3. Определение доверительных границ при распределениях Пуассона

Доверительные границы для параметра а распределения Пуассона определяются из следующих выражений.

При n Ф 0

П , ч

ан =-, (6)

н

Г

n „ ч

ae —. (7)

r2

ри n = 0

«н =о, (8)

ае = Го =- ln(l -a), (9)

где r1, r2 приведены в табл. 11.2а, 11.26 [2].

Если вероятность некоторого события (отказа) при одном наблюдении равна q, а при N

независимых наблюдениях это событие имело место n раз, то при малых q величина

n распределена по закону Пуассона с параметром

а = Nq . (10)

Из (5-9) получаются следующие уравнения для доверительных границ вероятности отказа q : при n Ф 0

n

qн =1Г, (11)

Nr1

n

q=ъ- (12)

при n = 0

r

qH =0,. qe = -£. (13)

Тогда доверительные границы рн, ре для вероятности безотказной работы р могут быть

определены с учетом (11-13) по формулам: при n Ф 0

1 1 n n

Рн =1-qe = 1-т—, рв =1-qH =1--

Nr’ Nr’

2

при п = 0

Г

рн =1 - qв =1 - рв =1 - qн =1.

Если случайная величина I имеет экспоненциальное распределение с параметром 1 и наблюдаются значения ^,t2,...,tNэтойб случайной величины, то опытное значение этого параметра определяется по уравнению

1 1 N

1Т = N S'' ■ (14)

Доверительные границы определяются по формулам

1 ^оп 1 ^оп

н 16 -

r1 r3

где г и г3 определяются из табл. 11.2 а, 11.2 в [2].

Если величины t^ представляют собой случ восстанавливаемого изделия, то уравнение (14) можно записать в виде

Если величины t^ представляют собой случайные наработки между соседними отказами

1 N

т =—Е >1, (15)

о Ы1=1

где ТО - средняя наработка на отказ.

В этом случае доверительные границы находятся по формулам

Тн = Г3ТО , Тв = Г1ТО . (16)

Если восстанавливаемое изделие испытывалось в течение наработки >и и при этом

наблюдалось п отказов (после окончания периода приработки), то вместо уравнения (15) будем

иметь

То = ^, (17)

п

где >и - суммарная наработка наблюдаемого парка изделий.

В этом случае доверительные границы при т Ф 0 находятся по уравнению (17) и по формуле

ТОн = Г2ТО ; (18)

при п = 0 ТОн = —.

Г0

Если испытываются N невосстанавливаемых изделий, имеющих экспоненциальное распределение наработки до отказа, и наблюдения ведутся до получения п отказов, то опытная средняя наработка на отказ определяется по уравнению

Т = -

ср оп

п

Е >■+(N - п) хп

_ 1=1

В этом случае доверительные границы находятся по формулам

т = гТ т = гТ

ср н 3 ср оп ’ ср в 1 ср оп '

Подчеркнем следующее обстоятельство, которое относится ко всем приведенным

уравнениям. Если испытания ведутся в течение заданного промежутка времени, а полученное

число отказов является случайным, то при определении доверительных границ используются коэффициенты г1 и г2 . Если испытания ведутся до получения заданного числа отказов, а время испытаний является случайным, то используются коэффициенты г1 и г3 .

Коэффициенты г1 , г2, г3 могут быть найдены из табл. 15.2 квантилей распределения хи-квадрат в [2] или с использованием соотношений:

г1 = 2 2П(0 ч > (19)

%1-а (2п)

г2 =~ггп—т, (20)

2 (2п + 2) ' '

2п

г =-------

3 Ха(2п),

где Хр (к) - квантиль распределения хи-квадрат, при вероятности р и числе степеней свободы к.

При применении для восстанавливаемых изделий в качестве показателя безотказности параметра потока отказов О) или количества отказов на 1000 ч наработки К1000 , можно определить доверительные границы, используя выражения (16-18) с двумя способами получения коэффициентов г1 и г2 : расчетом по формулам (19) и (20) или по табл. 11.2а и 11.2б [2].

Для первого способа подставим в (16) и (18) выражения (17-20) и зависимости

Т = —

1П

он т

Т = —

ов а

получим следующие выражения 1 2п

тв Ха (2П + 2) П

к1ооав ха (2«+2)

к

*-10008

1000

к

1000н

8 = 1000^8 2п к

Х2-а (2П) П ’ Х2-а( 2п )

к

■ 1000а,

(21)

(22)

2і„

1000

2і„

после преобразований определим доверительные границы показателей безотказности

к

ХІ(2п+2)

2і..

Хіа(2П)

2і..

(23)

Ха (2п + 2) 500

к

х2-а (2п) 500

і,,

і,,

где Хр (2п + 2) Хр (2п) определяются по табл. 15.2 [2] по доверительной вероятности р = а и числу степеней свободы к = 2п + 2 к = 2п, соответственно.

Для второго способа расчета, в выражение (16), (18) подставив (17-22), получим

-1 = — = Л

О 2 п ’ Он 1 п ’

1000 1000 = т>и

к,

и

п

К

п

“-10006 1000н

из которых определим доверительные границы показателей безотказности п п

г і '2і и

ГІ

'V и

п

К1000в = —-1000 > К1000н

п

=----1000.

Г1Іи

где г1 и г2 определяются по табл. 11.2б [2].

Заметим, что выражение (23) практически совпадает с применяемым в ГосНИИ ГА уравнением (1.4) [1], но теперь можно уточнить постановку задачи для его применения. Задача в данном случае заключается в определении верхней доверительной границы показателя безотказности: параметра потока отказов сов (23) или количества отказов на 1000 часов наработки изделия К1000в для контроля уровня безотказности изделий эксплуатируемых до

безопасного отказа. В качестве исходных данных используется информация за предшествующий период (квартал, год) о количестве отказов п и наработке 1;и изделия, а также доверительная вероятность р = а.

Пример 3. При N = 20 наблюдений за невосстанавливаемыми изделиями в эксплуатации было получено п = 2 отказа. Найти доверительные границы рн, ре для вероятности безотказной работы р (при а = 0,90).

Решение. По табл. 11.2а, 11.2б [2] для а = 0,90 и п = 2 находим г1 = 3,77, г2 = 0,38. По уравнениям (11) и (12) определяем рн = 0,737, рв = 0,973 .

Пример 4. При N = 20 одинаковых наблюдений за невосстанавливаемыми изделиями не получено ни одного отказа п = 0 . Найти доверительные границы рн, рв для вероятности безотказной работы р при а = 0,90.

Решение. По табл. 11.2 в [2] для а = 0,90 и п = 0 находим г0 =2,30. По уравнениям (17) и

(15) определяем рн = 0,885, ре = 1.

Пример 5. При наблюдениях в эксплуатации за однотипными изделиями в течение наработки tи =10000 ч произошло п =7 отказов. Найти доверительные границы Тн, Тв для

средней наработки до отказа в предположении, что здесь имеет место распределение Пуассона ( а = 0,90).

Решение. По уравнению (17) находим Топ = 1428,57.

По табл. 11.2 [2] для а = 0,90 и п = 7 находим г1 = 1,8, г2 = 0,59.

По формулам (18) и (16) находим доверительные границы наработки на отказ Тн = 842,9, Тв = 2571,5.

Пример 6. При применении метода технической эксплуатации по состоянию до безопасного отказа (ТЭО) изделий самолета Ту-154М используется показатель безотказности -количество отказов на 1000 часов наработки К1000. При наблюдениях в эксплуатации за

однотипными изделиями - заслонками 3308В системы кондиционирования воздуха самолета Ту-154М, в авиакомпании ОАО «Ютэйр» в 2006 году получены следующие исходные данные: количество изделий на самолете а, количество отказов п , наработка изделий tu (табл. 1). .

Найти доверительные границы показателя безотказности К1000 заслонки 3308В системы кондиционирования воздуха самолета Ту-154М на 2007 год в предположении, что здесь имеет место распределение Пуассона ( а = 0,90).

Приведены примеры расчета (результаты расчета представлены в табл. 1):

1 способ расчета За I квартал

^ Са (2п + 2)*500 Са (2*1 + 2)*500 1,94*4*500 Л01/1

К1пт =----------------=-----------------=-------------= 0,314.

Г 12346 12346

Заметим, что в табл. 15.2 [2] приведены квантили хи-квадрат распределения %2 (к)/к. При р = а = 0,9, к = 4 по табл. 15.2 [2] находим (к)/к = 1,94, поэтому %2 (к) = 1,94*4 = 7,76 .

С?

£? (к У к = 1,94, поэтому %2 (к) =1 94*.

К %2-а (2п)*500 Х12-а(2*1)*500 = 0,106*2*500 = 0 008

1000н I. 12346 12346

За 2006 год

%а (2п + 2)*500 = %а (2*12 + 2)*500 = 1,37*26*500

К1000 =^----------------= ^----------------------------------= 0,124.

^ 143994 143994

К = %2-а (2п)*500 = %1-а (2*12)*500 = 0,652*24*500 = 0 054

1000 н I. 143994 143994 , .

2-й способ расчета За I квартал

п 1

К1000 =-------1000 =----------------1000 = 0,31,

г^и 0,26 -12346

п 1

Г =—1000 =--------------1000 = 0,008.

1000н т‘и 9,5 -12346

Таблица 1

Определение доверительных границ показателя безотказности К1000 заслонки 3308В системы кондиционирования воздуха самолета Ту-154М (в системе 4 изделия) авиакомпании ОАО «Ютэйр» за 2006 год

Исходные данные Результаты расчета

Период времени Коли- чество отказов, п Нара- ботка изде- лий, ‘и к ^1000 Верхние доверительные границы Нижние доверительные границы

1 способ 2 способ 1 способ 2 способ

Ср (к) к ^10006 т2 к Л“1000в Ср (к) к 1000н т1 к 1000н

I кв. 1 12346 0,08 7,76 0,31 0,26 0,31 0,212 0.008 9,5 0,008

II кв. 1 14196 0,07 7,76 0,27 0,26 0,27 0,212 0,007 9,5 0,007

III кв. 5 54252 0,09 18,60 0,17 0,54 0,17 4,87 0,045 2,1 0,045

ГУкв. 5 63200 0,08 18,60 0,16 0,54 0,16 4,87 0,039 2,1 0,039

Год 12 143994 0,08 35,62 0,13 0,67 0,13 15,65 0,054 1,5 0,054

За 2006 год

п 12

Г =-------1000 =------------1000 = 0,124,

т2‘и 0,67 -143994

п 12

Г =—1000 =------------------1000 = 0,054.

т1‘и 1,53 -143994

Определены верхние и нижние доверительные границы показателя безотказности К1000

заслонки 3308В системы кондиционирования воздуха самолета Ту-154М за 2006 год (по кварталам и за год в целом) с доверительной вероятности 0,9. При применении метода технической эксплуатации по состоянию до безопасного отказа, для этих изделий полученные верхние доверительные границы могут быть установлены в качестве допустимого уровня безотказности - ВГР на 2007 год (по кварталам и за го в целом). Отметим, что разработчик самолета ОАО «Туполев» установил для всех изделий самолета Ту-154М ВГР равным 0,2 отказа на 1000 часов налета. Результаты расчета показывают (табл. 1), что оба способа расчета дают практически одинаковые значения.

4. Определение нижней доверительной границы средней наработки до отказа невосстанавливаемых изделий при отсутствии отказов (табл. 11.7 в [2])

Рассмотрим случай, когда за эксплуатацией N невосстанавливаемых изделий велись наблюдения в течение времени tи и, при этом, отказов не было. Будем искать нижнюю

доверительную границу ‘нср для генеральной средней наработки до отказа, отвечающую

заданной доверительной вероятности а.

4.1. Экспоненциальное распределение наработки до отказа.

Если закон распределения наработки до отказа экспоненциальный, то вероятность отсутствия отказов у N изделий за время tи найдется по уравнению

[Р (‘и )]" =

ехр

г ‘

_ и ‘н

V ср У

Приравняв это выражение вероятности 1 - а, получим уравнение для определения искомой

нижнеи доверительном границы

Отсюда находим

ехр

ср

( _щ<Л

гн

V сР

N

:1 —а.

N

(23)

‘и 1п (1 -а) т0 ’

где т0 определяется по табл. 11.2.

Результаты расчетов по уравнению (23) приведены в табл. 11.7 [2].

4.2. Закон распределения наработки до отказа Вейбулла.

Для закона распределения наработки до отказа Вейбулла можно записать

ехр

V ап

а = у.

Введем квантиль экспоненты, тогда получим

( г ^

откуда

\ а ,

V п у

а,,

= Д,,

Используя уравнение і = аКь, получим

Расчет величины у можно упростить

С = Кь

(24)

у = 1—^.

N

Результаты расчетов по уравнению (24) для а = 0,90 приведены в табл. 11.7 в [2].

4.3. Нормальный закон распределения наработки до отказа.

Если закон распределений наработки до отказа нормальный (у<1/3), то уравнение запишется в виде

К

Отсюда

(гн — і Л

ср и

-І-Н

у ср J *Нр — І и

= -п/Т

а = .

(25)

■и.

У

ср

откуда

ср

і 1 — га,,

(26)

Результаты расчетов по уравнению (26) приведены в табл. 11.7 в [2].

Приведенные методы статистического мониторинга надежности компонентов воздушных судов, основанные на определении доверительных интервалов показателей надежности при разных законах распределения случайных величин. Применение этих методов позволит освободиться от недостатков существующих методов контроля надежности [1] и направлено на обеспечение летной годности и повышение безопасности полетов воздушных судов.

н

1

І

и

І

и

н

н

1

ЛИТЕРАТУРА

1. Файнбург И.А., Ицкович А.А., Алексанян А. Анализ методов контроля надежности изделий воздушных судов // настоящий Научный Вестник.

2. Шор Я.Б., Кузьмин Ф.И. Т аблицы для анализа и контроля надежности. - М. Сов. радио, 1968. - 284 с.

3. Ицкович А.А., Файнбург И.А. Надежность авиационной техники. Пособие по выполнению контрольной работы для студентов 4 курса специальности 160901 заочного обучения. - М.: МГТУ ГА, 2005. - 52 с.

THE STATISTICAL MONITORING OF THE AIRCRAFT COMPONENTS RELIABILITY

Itskovich A.A., Faynburg I.A., Aleksanyan A.R.

Methods of statistical monitoring of the aircraft components reliability in according to operational supervision data based on estimation of confidential intervals of the reliability indicators, directed on increase of the flight safety and the effectiveness of the process of maintenance of the aircraft flying suitability, are considered.

Key words: monitoring, reliability, aircraft components.

Сведения об авторах

Ицкович Александр Абрамович, 1934 г.р., окончил Уфимский авиационный институт (1957), доктор технических наук, профессор кафедры технической эксплуатации летательных аппаратов и авиадвигателей, автор более 250 опубликованных научных работ, область научных интересов -эксплуатационная надежность и эффективность эксплуатации авиационной техники, управление процессами технической эксплуатации и поддержания летной годности ЛА.

Файнбург Инна Александровна, окончила МИИВТ (1989), кандидат технических наук, доцент кафедры технической эксплуатации летательных аппаратов и авиадвигателей, автор 36 научных работ, область научных интересов - управление процессами технической эксплуатации и поддержания летной годности летательных аппаратов.

Алексанян Армен Размикович, 1976 г.р., окончил Государственный инженерный университет Армении (2001), аспирант кафедры технической эксплуатации летательных аппаратов и авиадвигателей МГТУ ГА, автор 4 научных работ, область интересов - поддержание лётной годности воздушных судов.