CC BY
45
Статистический и мультифрактальный анализ коллективных дислокационных процессов в условиях эффекта Портевена - Ле Шателье
М.А. Лебедкин, Л.Р. Дунин-Барковский, Т.А. Лебедкина
Институт физики твердого тела РАН, Черноголовка, 142432, Россия
Скачкообразная деформация твердых тел часто проявляется в виде сложной эволюции напряжения течения, отражающей фундаментальные динамические режимы коллективного движения дефектов. Для ее изучения необходимы методы, позволяющие количественно характеризовать неоднородный нестационарный сигнал. В данной работе скачкообразная деформация сплавов Al-Mg исследована с помощью статистического и мультифрактального анализа скачков нагрузки. Показано, что при увеличении скорости деформации распределения в виде пиков сменяются монотонными распределениями, которые описываются степенной статистикой, являющейся признаком самоорганизующейся критичности. Этот переход соответствует изменению пространственной природы эффекта — переходу от локализации деформационных полос к их распространению вдоль кристалла. Установлено, что в области перехода резко возрастает ширина мультифрактального спектра.
1. Введение
Пластическое течение твердых тел является результатом процессов, протекающих в нелинейной диссипативной системе взаимодействующих дефектов. Динамика таких систем характеризуется самоорганизацией и, как следствие, иерархией масштабов в пространстве и времени [1]. Неустойчивость однородного пластического течения в некоторых условиях проявляется в виде повторяющихся скачков деформирующего напряжения — скачкообразной деформации. Микроскопические механизмы этого явления достаточно полно изучены [2, 3]. При этом сложная временная эволюция напряжения течения а обычно рассматривается как случайный шум, обусловленный сложностью дефектной структуры реальных кристаллов. Однако применение методов теории нелинейных динамических систем в работах нескольких последних лет показало, что зависимость а(() (( — время) содержит информацию о динамических свойствах деформационных процессов.
Первые исследования динамики скачкообразной деформации были проведены на примере эффекта Портевена - Ле Шателье [4], наблюдаемого в разбавленных металлических сплавах. В этом случае неустойчивость пластического течения связана с динамическим дефор-
мационным старением — пиннингом дислокаций, остановленных на препятствиях, вследствие диффузии к ним примесных атомов. Если в некоторой области температур Т и скоростей деформации е характерные времена активации движения дислокаций и диффузии примесных атомов близки по величине, зависимость а(е) может стать Л-образной [2]. Возникновение участка отрицательной скоростной чувствительности напряжения течения объясняется уменьшением эффективности пин-нинга при уменьшении времени ожидания дислокаций на препятствиях, т.е. увеличении е (при данной температуре). Такого рода нелинейность является причиной хорошо известных в электронике релаксационных колебаний [5]. В данном случае она должна приводить к периодическим осцилляциям е и а.
Реальные кривые деформации имеют существенно более сложную форму. Обычно различают три основных типа неустойчивости эффекта Портевена - Ле Шателье в зависимости от формы деформационных кривых и характера пространственных корреляций между полосами локализованного скольжения. При низкой скорости деформации (высокой температуре) каждый скачок напряжения связан с возникновением деформационной полосы в случайном месте в образце (тип С).
© Лебедкин М.А., Дунин-Барковский Л.Р, Лебедкина Т.А., 2001
Амплитуды скачков напряжения Да имеют явно выраженный характерный масштаб. По мере увеличения є (уменьшения Т) корреляция между полосами возрастает, так что полосы последовательно возникают в соседних областях, приводя к прыжковому распространению деформации (тип В), а при еще более высокой скорости наблюдается квазинепрерывное распространение деформационных полос вдоль кристалла (тип А). При этом радикально изменяется форма деформационных кривых. В частности, в случае типа А наблюдается множество скачков напряжения с разной амплитудой, каждому из которых уже не удается поставить в соответствие отдельную деформационную полосу.
Сложная эволюция деформирующего напряжения, отражающая неоднородное и нестационарное пространственно-временное поведение эффекта Портевена -Ле Шателье, привлекает внимание с точки зрения поведения нелинейных неравновесных систем. Статистические исследования показали, что распределения параметров скачков нагрузки при высокой скорости деформации описываются степенным законом [6-10]. Степенной закон означает отсутствие характерного масштаба процессов, что является признаком самоорганизующейся критичности, предсказанной для протяженных систем с бесконечным числом степеней свободы [11]. Принципиально другой режим был найден с помощью динамического анализа, т.е. восстановления ^-мерной фазовой траектории системы по ее одномерной проекции (в данном случае зависимости а(£)). В работе [12] показано, что при более низких значениях є кривые деформации отвечают низкоразмерной хаотической динамике, при которой остается лишь несколько коллективных степеней свободы. Параллельное использование обоих подходов позволило получить свидетельства перехода между двумя режимами [13, 14]. Возникновение качественно различных режимов не кажется удивительным, учитывая, что при варьировании экспериментальных условий характерные пространственные и временные масштабы деформационных процессов изменяются на порядки величины. В переходных областях можно ожидать еще более сложное и неоднородное поведение, для анализа которого, по-видимому, лучше подходит мультифрактальный формализм, позволяющий описывать сложное неоднородное поведение с помощью набора показателей скейлинга [13].
Этот формализм применяется в представленной работе наряду со статистическим анализом эффекта Портевена - Ле Шателье. Кривые деформации сплава Al-Mg измеряются в зависимости от температуры, скорости деформации, микроструктуры и размеров образцов. Полученные первые данные мультифрактального анализа свидетельствуют о его перспективности для количественного описания неустойчивого пластического течения с единой точки зрения.
а, МПа
1000 3000 5000 с
Рис. 1. Пример кривой деформации поликристалла А1-3ат. %Mg при комнатной температуре и полной скорости деформации е а = = 5.310-5 с-1 (а — деформирующее напряжение, I — время). На вставке показан участок этой кривой
2. Методика
Плоские образцы с типичными размерами 25х х(1^5)х1.5 мм3 вырезались из поликристаллов сплава А1-3 ат. %Mg и монокристаллов сплава А1-4.5 ат. %Mg и деформировались в диапазоне температур от -30 до 160 °С с постоянной скоростью растяжения, соответствующей скорости деформации е а = 2 • 10-6 2.7 -10-3 с-1.
Индекс «а» здесь введен для обозначения полной скорости деформации, включающей пластическую деформацию образца и упругую деформацию системы «машина - образец», жесткость которой составляла приблизительно 107Н/м. Величину напряжения течения регистрировали в цифровом виде с частотой от 5 до 50 Гц. Поликристаллические образцы были получены холодной прокаткой до е = 0.5. Часть образцов отжигали при различных температурах в интервале 360^460 °С. При этом средний размер зерен варьировался в диапазоне 50^500 мкм. Монокристаллические образцы имели ориентацию осей вблизи направлений типа (111) или (100), соответствующих множественному скольжению.
Типичный пример кривой деформации сплава A1-Mg приведен на рис. 1. Для анализа выбиралась часть кривой, соответствующая установившемуся пластическому течению с примерно постоянным коэффициентом деформационного упрочнения. Упрочнение кристаллов, отражающее изменение их микроструктуры в процессе деформации, имеет два следствия, затрудняющих анализ: увеличение среднего значения а и увеличение средней глубины скачков Да. Проверка показала, что в статистическом смысле величина Да растет по мере роста а. Поэтому упрочнение учитывалось с помощью нормировки на систематическую зависимость а(/). Обычно для этого используют бегущее среднее. При этом надо учитывать, что усреднение в слишком узких
Рис. 2. Участки нормированных кривых деформации поликристал-лического образца при комнатной температуре и различных скоростях деформации: 2.7-10-5 (а), 1.1-10-4 (б), 5.3• 10 4 с-1 (в)
интервалах может нивелировать изучаемые вариации а. В данной работе для нормировки использовалась аппроксимация деформационных кривых полиномами не выше четвертой степени. Аналогичные результаты получались при использовании альтернативного способа нормирования Да на зависимость среднего значения Да от времени. Участки нормированных деформационных кривых для разных скоростей деформации показаны на рис. 2. Чтобы избежать влияния вариации микроструктуры от образца к образцу, в каждом опыте получали данные для нескольких значений е или Т. Очевидно, это достигается ценой уменьшения размера каждой из статистических выборок, которые содержали от 2000 до 4000 точек. Тем не менее, полученные результаты подтверждаются дальнейшими исследованиями, в которых каждый массив данных измеряется на отдельном образце [14].
3. Результаты
3.1. Статистический анализ
Описанные выше переходы между типами эффекта Портевена - Ле Шателье наиболее отчетливо выражены в случае отожженных поликристаллов. Рисунок 2 иллюстрирует последовательность изменений, происходящих при повышении скорости деформации. Скачки напряжения в неотожженных образцах обычно более регулярны, и переход В ^ А не наблюдается даже при наиболее высоких скоростях деформации. Напротив,
N
40
20
0.5
1.5
20
10
0.5
1.5
40
20
| I—| I I I I |—1_________________________I I | I_пн
о
Рис. 3. Гистограммы распределения нормированных амплитуд скачков деформирующего напряжения 5 для кривых, приведенных на рис. 2
деформация монокристаллов носит нерегулярный характер. Как следствие, классификация скачков затруднена. Это долгое время было причиной отсутствия интереса к исследованиям эффекта Портевена - Ле Ша-телье в монокристаллах. Статистический анализ предоставляет простой количественный критерий для оценки изменений формы деформационных кривых. На рис. 3 приведены гистограммы распределения норми-
Рис. 4. Нормированные функции плотности распределения амплитуд 5 (1) и длительностей т скачков напряжения (2) для кривой деформации, показанной на рис. 2, в
рованных амплитуд скачков напряжения 5 для кривых, показанных на рис. 2. Зависимость в виде пика (рис. 3, а) соответствует существованию выделенного масштаба глубины скачков. Появление скачков разной амплитуды при увеличении е приводит к уширению пика и постепенному смещению его центра тяжести в сторону меньших амплитуд. Может также наблюдаться дополнительный пик (рис. 3, б), что свидетельствует о неоднородном характере скачкообразной деформации. При дальнейшем повышении е максимум исчезает и наблюдаются монотонные распределения. При наиболее высоких скоростях форма распределений (например рис. 3, в) дает основания для анализа степенных корреляций, существование которых является доказательством самоорганизующейся критичности:
Д5)~ 5-*, Я(т)~ т-у, 5 ~ тИ, 5 (/)~ /,
(1)
где ^(5) и Б(т) — плотности функций распределения глубины 5 и длительности т скачков нагрузки, а S(f — низкочастотная часть спектра Фурье кривой деформации. Показатель Н характеризует сингулярность скачков нагрузки. Значение Н = 1 соответствует чисто упругой разгрузке образца и отделяет область регулярного поведения Н > 1 от области сингулярности Н < 1, где 5 принимает большие значения при малых длительностях. Показатели скейлинга не являются независимыми, а должны удовлетворять определенным соотношениям: у = И(х -1) +1; м = 2 при 2/И + * < 3 или м = И(3 - х) при нарушении этого условия [15]. Экспериментальные зависимости на рис. 4-6 удовлетворительно описываются выражениями (1). Отклонение от линейных зависимостей на рис. 4 наблюдается на краях интервала и, по-видимому, связано с пределом чувствительности измерительной схемы при маленьких скачках нагрузки и недостаточностью статистики для редких больших скач-
Рис. 5. Зависимость между амплитудами и длительностями скачков напряжения для кривой на рис. 2, в (данные усреднены для близких значений т)
ков. Показанные на рисунках наклоны х - 1.25, у - 1.6, Н - 1.5, определенные по линейным участкам, удовлетворяют первому из приведенных соотношений между показателями скейлинга. На основании второго соотношения можно ожидать м = 2. На рис. 6 видно, что это значение, показанное пунктирной линией, согласуется с наклоном спектра деформационной кривой. Поэтому, несмотря на значительный разброс данных, совокупность полученных результатов позволяет говорить
о возникновении самоорганизующейся критичности при высокой скорости деформации. Аналогичные изменения происходят и при уменьшении температуры.
Описанные изменения формы гистограмм при варьировании экспериментальных условий являются общей тенденцией для всех групп образцов. Однако области параметров, при которых происходят эти изменения, чувствительны к микроструктуре и поперечным размерам образцов. В случае неотожженных поликрис-
Рис. 6. Спектр Фурье S(f деформационной кривой, показанной на рис. 2, в. Пунктирная линия соответствует наклону ш = 2
таллов преобладают симметричные распределения. По мере отжига усиливается тенденция к асимметричным гистограммам. Монокристаллы характеризуются асимметричными распределениями даже при низких скоростях деформации. Как можно ожидать, влияние деформационного упрочнения противоположно влиянию отжига. В целом, влияние микроструктуры можно условно свести к одному количественному параметру: чем ниже напряжение течения, тем раньше происходит переход к монотонным распределениям при увеличении е или уменьшении Т. Наконец, эффект уменьшения поперечного размера образцов, наблюдавшийся только в случае монокристаллов, оказался аналогичен эффекту уменьшения деформирующего напряжения.
3.2. Мулътифракталъный анализ
Статистические распределения параметров скачков нагрузки дают усредненное описание деформационных кривых. При этом предполагается, что на участке установившейся скачкообразной деформации с примерно постоянным коэффициентом деформационного упрочнения ее статистические свойства неизменны. В то же время, кривые скачкообразной деформации могут быть неоднородными, так что их различные части в общем случае могут иметь разные свойства. Идеальная процедура должна заключаться в накоплении статистических выборок в узких интервалах вблизи одних и тех же значений степени деформации для большого числа “идентичных” образцов (усреднение по статистическому ансамблю). Получающийся набор гистограмм для разных е дал бы полное статистическое описание скачкообразной деформации. В реальных экспериментах усреднение по ансамблю заменяется усреднением по времени. Однако можно попытаться получить информацию
о локальных свойствах скачкообразной кривой в рамках мультифрактального формализма, который позволяет описать неоднородный сигнал с помощью набора показателей скейлинга. Строгое изложение мультифрак-тального формализма можно найти в работах [16-18]. Сущность его сводится к следующему. Определяя локальную меру, связанную с изучаемой физической величиной, неоднородный сигнал разбивают на подмножества с однородными свойствами: точки одного подмножества имеют одинаковый показатель скейлинга а для выбранной меры. Вычисляя фрактальные размерности подмножеств, получают спектр Да), статистически описывающий исследуемый сложный объект наиболее полным образом.
Регистрируемая кривая деформации а0 представляет собой массив точек аг- (г = 1, 2, ..., Ы), определенный на временном отрезке. Разделим этот отрезок на интервалы 5t с длиной, кратной интервалу измерения, и определим локальную меру рг- (5г% суммируя норми/ V
рованные значения напряжения р1 = аг/ ¿ак внутри
/ к=1
интервала (другое определение меры, использующее производную &а/&, применено в [14]). Интересуясь сингулярным поведением, будем рассматривать только точки, принадлежащие скачкам нагрузки. Полученное множество точек соответствует обобщенному канторов-скому множеству [16]. Если при уменьшении длины интервала
Рі (80~ ^а ,
то а характеризует локальную степень сингулярности меры так же, как показатель h (см. соотношения (1)) характеризует сингулярность скачков нагрузки. Если при этом число интервалов со степенью сингулярности а изменяется как
^ ~ st-/(а),
величину _Да) можно рассматривать как фрактальную размерность составленного из них подмножества.
Прямой подсчет числа интервалов для каждого значения а неудобен. Обычно используют альтернативное описание с помощью спектра обобщенных размерностей Dq [19], вычисляемого на основе соотношений:
= £ Рі ~ ^, т^) = (Я - 1)Dq. (2)
І
Величины Д0, Д и Д2 имеют простой физический смысл и представляют собой фрактальную размерность геометрического носителя, на котором определена мера, информационную и корреляционные размерности соответственно [20]. Спектр сингулярности оказывается связанным со спектром обобщенных размерностей преобразованием Лежандра:
а = ¿т/dq, /(а) = qа - т^), £рЦ ~ Stг(я). (3)
І
Очевидно, при больших положительных q основную роль в функции %^) играют наибольшие значения меры, а при больших отрицательных q — наименьшие. В результате, атах = отвечает наиболее плотным, а а тіп = — наименее плотным подмножествам. Та-
ким образом, разность 0 = атах - атіп отражает степень неоднородности (мультифрактальности) изучаемого объекта. В случае компактного или фрактального объекта спектр стягивается в точку.
Другим важным параметром спектра сингулярности является его максимальное значение, которое оказывается равным Д0, т.е. характеризует среднюю плотность событий. В частности, это позволяет проконтролировать корректность анализа, повторяя вычисления для полной деформационной кривой, т.е. включая точки в интервалах между скачками. В этом случае мера определена на непрерывном временном отрезке и должно выполняться равенство Д0 = 1. В проведенном анализе оно выполнялось с точностью до третьего десятичного знака.
І
1.0
0.5 1.0 1.5 а
Рис. 7. Мультифрактальные спектры _Да) для деформационных кривых, показанных на рис. 2 (кривые 1, 2 и 3 соответствуют случаям а, б и в). Выборочно показаны ошибки определения значений показателей по экспериментальным данным
Необходимость дифференцирования в выражениях (3) приводит к появлению значительной ошибки при анализе экспериментальных данных. В данной работе вычисляли непосредственно спектр сингулярности, используя формулы, полученные в [18] и обеспечивающие хорошую точность при работе с небольшими массивами данных. Первые результаты мультифрактального анализа были получены для опытов при комнатной температуре. Спектры Да), рассчитанные для трех случаев (см. рис. 2 и 3), показаны на рис. 7. Значения а и f оценивались при варьировании 5t по крайней мере на порядок величины. При этом ограничивались интервалом q от -5 до 5, поскольку при увеличении абсолютного значения q быстро возрастает ошибка вычислений. Из рисунка видно, что в точке максимума ^ = 0) значения f и а увеличиваются при повышении е . Это соответствует росту степени заполнения кривой деформации скачками напряжения и понижению степени сингулярности скачков. Наиболее важной особенностью полученных данных является немонотонное изменение ширины мультифрактального спектра 0. При низких и высоких скоростях деформации 0 относительно невелико, а в области перехода В ^ А резко возрастает (кривая 2). Это свидетельствует о существенной неоднородности деформационной кривой, что подтверждается также уменьшением значения f в точке q = q ^ = 5 [17].
4. Обсуждение и выводы
Поведение изучаемой системы оказывается более сложным по сравнению с другими протяженными системами с большим числом степеней свободы и пороговой динамикой, в которых возникают степенные корреляции процессов (самоорганизующаяся критичность). Наиболее вероятной причиной этого является
существование характерных масштабов, определяемых микроскопической природой эффекта Портевена - Ле Шателье. В работах [7, 8] показано, что поведение эффекта Портевена - Ле Шателье обусловлено двумя факторами — ^-образной функцией скоростной чувствительности напряжения течения и неоднородностью деформации в кристалле. Форма ^-образной функции определяет время нагружения между скачками нагрузки tй, а сила пространственной связи между элементами кристалла, деформирующимися с разной скоростью, контролирует время выравнивания деформации th (время пластической релаксации). Однородный случай идеальных релаксационных колебаний соответствует бесконечной силе связи. Авторы [7, 8] показали, что основную роль в пространственной корреляции деформации играют упругие напряжения, возникающие из-за несоответствия локальных деформаций. При этом пластическая релаксация уменьшает эффективность корреляции по сравнению с чисто упругим случаем. Последнее подтверждается наблюдением размытия гистограмм (рис. 3) в условиях, благоприятствующих пластической релаксации, например при отжиге поликристаллов или уменьшении поперечных размеров монокристаллов. Вследствие отрицательной скоростной чувствительности а, увеличение £ также приводит к ослаблению упругопластической связи. Кроме того, при этом изменяется форма ^-образной кривой и, в частности, уменьшается время tй [21]. Влияние температуры на форму этой кривой трудно оценить количественно, поэтому для простоты будем рассматривать изменения, происходящие при варьировании скорости деформации и фиксированной температуре.
При низкой £ й выполняется неравенство t& >> ^ поэтому деформация почти однородна и локальное возникновение неустойчивости происходит случайным образом вследствие флуктуаций £ в кристалле (тип С). Скачки нагрузки имеют характерный масштаб, связанный с формой ^-образной кривой. По мере увеличения скорости деформации возрастает th и уменьшается ta. Градиент деформации, возникающий при очередном скачке, не успевает сглаживаться, приводя к зарождению новой деформационной полосы в соседнем месте (тип В). Менее эффективная релаксация неоднородностей вызывает значительную дисперсию параметров скачков нагрузки. Наконец, при tй << th наблюдается распространение полос вдоль образца. Локальные скорости деформации принимают всевозможные значения вдоль восходящей ветви ^-образной кривой, и, следовательно, исчезает характерный масштаб скачков (тип А).
Таким образом, полученные результаты позволяют установить связь между феноменологической классификацией эффекта Портевена - Ле Шателье, его статистическими свойствами и физическими механизмами,
определяющими динамику деформационных процессов в различных условиях. Статистический анализ показывает, что усиление пространственной корреляции деформационных полос, приводящее к переходу от локализации (типы С и В) к распространению полос (тип А), сопровождается переходом от распределений с максимумом к монотонным распределениям, отвечающим самоорганизующейся критичности. По данным мульти-фрактального анализа, в области перехода происходит заметное уширение мультифрактального спектра деформационных кривых, свидетельствующее об их сильной неоднородности. Наконец, в работах [12-14] тип С связывают со случайными процессами, а в случае типа В найден детерминированный хаос. Отметим, что в этих работах основное внимание уделялось анализу изменений, вызванных варьированием скорости деформации. В то же время, в работе [7], например, сообщалось об особенностях влияния температуры на эффект Пор-тевена - Ле Шателье. Мультифрактальный и динамический анализ совокупности полученных данных является предметом дальнейших исследований.
Работа была частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты № 01-0216476, 01-02-16461 и 00-15-96703).
Литература
1. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах (от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации). - М.: Мир, 1979. - 512 с.
2. Kubin L.P, Estrin Y Spatial coupling and propagative plastic instabilities // Continuum models for materials with microstructure / Ed. by H.-B. Mühlhaus. - New York: J. Wiley and Sons, 1995. - P. 395-450.
3. Клявин О.В. Физика пластичности кристаллов при гелиевых температурах. - М.: Наука, 1987. - 256 c.
4. Portevin A., Le Châtelier F Heat treatment of aluminum-copper alloys // Transactions of American Society for Steel Treating. - 1924. - V. 5. -P. 457-478.
5. Ганн Дж. Эффект Ганна // Успехи физических наук. - 1966. - Т. 89. -
№ 1. - С. 147-160.
6. Lebyodkin M.A., Bréchet Y, Estrin Y, Kubin L.P Statistics of the cata-
strophic slip events in the Portevin - Le Châtelier effect // Physical Review Letters. - 1995. - V. 74. - No. 23. - P. 4758^761.
7. Лебедкин М.А., Дунин-Барковский Л.Р. Критическое поведение и механизм корреляции деформационных процессов в условиях неустойчивости пластического течения // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1998. - Т. 113. - № 5. - С. 18161829.
8. Лебедкин М.А., Дунин-Барковский Л.Р. Динамический механизм температурной зависимости эффекта Портевена - Ле Шателье // Физика твердого тела. - 1998. - Т. 40. - № 3. - С. 487-492.
9. Lebyodkin M., Dunin-Barkowskii L., Bréchet Y, Estrin Y., Kubin L. Spatio-temporal dynamics of the Portevin - Le Châtelier effect: experiment and modelling // Acta Materialia. - 2000. - V. 48. - P. 25292541.
10. Lebyodkin M.A., Fressengeas C., Ananthakrishna G., Kubin L.P. Statistical and multifractal analysis of the Portevin - Le Châtelier effect // Int. Conf. on Strength of Materials, ICSMA-12, August-September 2000, USA, Asilomar. - Mater. Sci & Eng. A (to be published).
11. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Physical Review A. - 1988. - V. 38. - No. 1. - P. 364-374.
12. Ananthakrishna G., Fressengeas C., Grosbras M., Vergnol J., Engel-keC., Plessing J., Neuhauser H., BouchaudE., Planés J., Kubin L.P On the existence of chaos in jerky flow // Scripta Metallurgica et Mate-rialia. - 1995. - V. 32. - No. 11. - P. 1731-1737.
13. Ananthakrishna G., Noronha S.J., Fressengeas C., Kubin L.P. Crossover from chaotic to self-organized critical dynamics in jerky flow of single crystals // Physical Review E. - 1999. - V. 60. - P. 5455-5462.
14. Bharathi S.M., Lebyodkin M.A., Ananthakrishna G., Fressengeas C., Kubin L.P. Jerky flow in alloys: multifractal signature of a dynamical transition (to be submitted to Physical Review Letters).
15. Kertész J., Kiss L.B. The noise spectrum in the model of self-organized criticality // J. Physics A. - 1990. - V. 23. - P. L433-L440.
16. Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L.P, ProcacciaI., Shraiman B.I. Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets // Physical Review A. - 1986. - V. 33. - No. 2. - P. 1141-1151.
17. ВстовскийГ.В., КолмаковА.Г., ТерентьевВ.Ф. Мультифрактальный анализ особенностей разрушения приповерхностных слоев молибдена // Металлы. - 1993. - № 4. - С. 164-178.
18. Chhabra A., Jensen R. V Direct determination of the fa) singularity spectrum // Physical Review Letters. - 1989. - V. 62. - No. 12. -P. 1327-1330.
19. Hentschel H.G.E., Procaccia I. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors // Physica. - 1983. -V. 8D. - No. 3. - P. 435-444.
20. Grassberger P., Procaccia I. Dimensions and entropies of strange attractors from a fluctuating dynamics approach // Physica. - 1984. -V. 13D. - No. 1. - P. 34-54.
21. Kubin L.P, Chibab K., Estrin Y. The rate dependence of the Portevin -Le Châtelier effect // Acta Metallurgica. - 1988. - V. 36. - No. 10. -P. 2707-2718.
