Статистический анализ результатов торгов. Интервал стартовой цены Текст научной статьи по специальности «Математика»

001: 10.24411/2072-4098-2018-11001

Статистический анализ результатов торгов. Интервал стартовой цены

М.Б. Ласкин

старший научный сотрудник Санкт-Петербургского Института информатики и автоматизации Российской академии наук (СПИИ РАН), доцент кафедры информационных систем в экономике Санкт-Петербургского государственного университета, кандидат физико-математических наук (г. Санкт-Петербург)

Михаил Борисович Ласкин, [email protected]

Настоящая статья посвящена анализу результатов торгов с целью изучения общих закономерностей, связывающих начальную цену с результатами торгов (с коэффициентом превышения результата торгов над стартовой ценой). Рассмотрены практические рекомендации для назначения стартовой цены торгов, а также для применения скидки на торг при продажах на открытом рынке.

Вопрос оценки скидки на торг при наличии массива парных наблюдений (цена предложения - цена сделки) уже рассматривался в литературе (см., например [1]). В России получение значимой статистической информации о ценах сделок по-прежнему связано со значительными трудностями, поэтому мы рассмотрим общие закономерности, связывающие начальную цену торгов с их результатами, в частности, вопрос оценки скидки на торг по данным аукционных торгов, результаты которых не являются коммерческой тайной, поскольку условия аукционов, стартовые цены и результаты торгов публичны.

Основная идея такого подхода заключается в простом предположении: если стартовая цена ниже рыночной, то следует ожидать активных торгов и значительного превышения результата торгов над стартовой ценой, если стартовая цена завышена, то торги могут не состояться, а цену придется снижать. Тогда существует теоретическая точка (цена), в которой наиболее вероятный коэффициент превышения будет равен единице.

В работах [2, 3] доказано, что существуют теоретические основания предполагать распределения цен логарифмически нормальными. Это находит подтверждения в практических исследованиях российских и зарубежных авторов (см. [4-6]).

Мы будем предполагать распределения стартовых цен и цен результатов торгов логарифмически нормальными и при численных расчетах проверять эту гипотезу с помощью статистических тестов.

Рассмотрим коэффициент превышения результата торгов над стартовой ценой (К):

К = V / V ,

рт от'

где Vpm - цена, полученная в результате торгов; V - стартовая цена торгов.

Если V , Vоm распределены логарифмически нормально, то и коэффициент К = Vpm / Vоm распределен логарифмически нормально, так как 1пК = 1пVpm - распределен нормально. При этом математическое ожидание равно разности математических ожиданий цен, а дисперсия зависит от дисперсий цен и коэффициента корреляции случайных величин V

оm'

Vpm. Объектом исследования может быть как двумерная случайная величина (Уст, V ), так и двумерная случайная величина (V. К). С точки зрения наглядности результатов

удобнее работать со второй, поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать случайную величину (Уст, К).

Теперь перепишем уже доказанное в статье [1] утверждение для случайных величин V , К.

ст

Утверждение 1

Если случайные величины V и К имеют совместное логарифмически нормальное распределение, то при фиксированном Vcm = V наиболее вероятный коэффициент превышения равен:

Мобе (К I Vст = V) = ехр

+ 9—(1™ - ^)- а2 (1- р2)

(1)

где о1 - параметры нормального распределения логарифма стартовой цены;

р2, о2 - параметры нормального распределения логарифма коэффициента превыше-

ния;

р - коэффициент корреляции.

Легко увидеть, что зависимость наиболее вероятного коэффициента превышения от стартовой цены торгов имеет вид степенной функции:

Мобе (К I Vст = V) = Av

01

(2)

где А = ехр

^2

Р1 - а22 (1 - р2)

Если иметь в виду, что с повышением стартовой цены торгов коэффициент превышения должен уменьшаться, то показатель степени в формуле (2) должен быть отрицательным, следовательно, при численных расчетах следует ожидать отрицательных значений коэффициента корреляции. Особый интерес представляет случай, когда наиболее вероятный коэффициент превышения равен единице, см. формулу (1). Разрешая уравнение

1 = ехр

+ р^- (lnv - ^)- о| (1 - Р2)

относительно V, получим:

V =

1 а1

Р °2

(3)

При таком значении стартовой цены торгов наиболее вероятный коэффициент превышения равен единице. Это не означает, что объект при такой стартовой цене (или выше) не будет продан, так как К - величина случайная. В то же время стартовая цена, определенная по формуле (3), является некой граничной ценой, после которой наиболее вероятный коэффициент превышения становится меньше (!) единицы. В этом случае участники рынка будут демонстрировать нежелание торговаться.

Это же граничное значение может пролить свет на вопрос о применении скидки на торг в практике оценки (для аналогичных объектов недвижимости), если доступны только цены предложения. Поскольку до сих пор информация о ценах сделок на открытом рынке является труднодоступной, можно оценить необходимость применения скидки на торг по результатам торгов. Для этого необходимо очистить статистику результатов торгов от «нерыночных» (завышенных в результате слишком азартного поведения участников) или «фиктивных» сделок. После устранения крайних значений торги рассматриваются как

один из инструментов получения цены сделки, совершенной на рыночных условиях. Цены предложения ниже граничной цены не нуждаются в корректировке - объект может быть продан на открытом рынке по цене предложения (на торгах, возможно, и выше). Цены предложения выше граничной цены следует откорректировать, используя формулу (3).

Аукционные торги - один из инструментов публичных продаж. Возникает вопрос: можно ли по результатам торгов вообще говорить о рыночной цене? В общих массивах данных аукционов и торгов, безусловно, содержится много информации, не имеющей ничего общего с рыночными условиями, поэтому к выборкам, полученными по результатам торгов, следует относиться с осторожностью - часть информации не является рыночной. Традиционным для статистических исследований является удаление аномально низких и аномально высоких значений цен (как стартовых, так и результатов торгов). Кроме того, подлежат удалению результаты торгов с низким коэффициентом превышения (например до 1,05 - так отсекаются «фиктивные» торги) и слишком высоким коэффициентом превышения (отсекаются результаты, полученные чрезмерно «азартными» участниками).

В настоящее время весьма актуальна задача определения интервальной оценки для назначения стартовой цены торгов. Формула (3) дает обоснованную верхнюю границу такого интервала. Что можно предложить в качестве нижней границы?

Поверхность плотности совместного двумерного логарифмически нормального распределения является унимодальной (то есть имеет единственную точку абсолютного максимума). Плотность двумерного логарифмически нормального распределения величин X и У с нулевым вектором средних задается формулой:

где 1 / ху - значение Якобиана преобразования системы координат при переходе к логарифмическим координатам.

Максимум значения этой функции достигается в точке х = -о^ - ро1о2, у = - ро1о2 (доказательство см. в работе [1]).

Вводя обозначения х = 1пУ - у = \пК - получаем координаты точки абсолютного максимума:

V = ехр (//1 - о"2 - роа); К = ехр (//2 - о| - роа). (4)

Координаты точки абсолютного максимума для аппроксимирующей поверхности являются оценкой наиболее часто повторяющейся комбинации начальной цены торгов и соответствующего коэффициента превышения в наблюдаемой выборке. В связи с этим представляется обоснованным предложить в качестве нижней границы интервала, в котором должна находиться стартовая цена торгов, точку с координатой V = ехр(// -а12 -ра1а2). Таким образом, статистический анализ результатов торгов дает аргументированную оценку стартовой цены в виде следующего интервала:

Рассмотрим пример.

Выбор и подготовка данных

Для исследования использованы данные аукционных торгов Фонда имущества города Санкт-Петербурга по встроенным помещениям торгового, офисного и складского назначения за 2012-2015 годы. Распределения цен в каждом году хорошо приближались логарифмически нормальным законом распределения. Результаты аппроксимации представлены в таблице 1 и на рисунке 1.

Таблица 1

Параметры нормального закона распределения логарифмов цен в 2012-2015 годах и соотношение моды, медианы и средних значений для распределений цен, тыс. р./ кв. м

Год Параметры нормального распределения логарифмов цен Чис ловые характеристики распределений цен

математическое ожидание стандартное отклонение корректировка мода медиана математическое ожидание

2012 4,408 0,58 0,362 58,651 82,105 97,145

2013 4,528 0,60 0,242 64,586 92,573 110,830

2014 4,647 0,65 0,124 68,320 104,240 128,760

2015 4,770 0,61 0,000 81,296 117,943 142,060

Все четыре выборки проверены тестом Колмогорова-Смирнова на логарифмическую нормальность. Результаты тестирования: р-уа!ив = 0,1966; 0,4115; 0,6867; 0,4929 для 2012-2015 годов соответственно. При 5-процентном уровне значимости оснований отвергнуть гипотезу о логарифмической нормальности нет.

Корректировка

В течение указанного периода наблюдался восходящий тренд. Выборки за 2012-2014 годы откорректированы к 2015 году. Таким образом, все полученные результаты можно считать актуальными на начало 2016 года.

Корректировка проведена с помощью сдвига выборок логарифмов цен вправо на величину разности средних значений логарифмов цен 2015 года и «корректируемых» годов (2012-2014) (см. колонку «корректировка» табл. 1). При таком сдвиге дисперсии выборок, естественно, не изменяются.

С одной стороны, корректировка путем общего сдвига выборки на разницу средних являтся обобщением обычной для практики оценки корректировки в методе парных сравнений. С другой стороны, такая корректировка предполагает равенство дисперсий соответствующих нормальных законов распределения. В связи с этим необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий выборок за 2012, 2013 и 2014 годы и дисперсии выборки за 2015 год. Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий использован критерий Фишера. Результаты приведены в таблице 2.

При 5-процентном уровне значимости не отвергаются гипотезы о равенстве дисперсий выборок 2012 и 2015 годов и дисперсий выборок 2013 и 2015 годов. Гипотеза о равенстве дисперсий выборок 2014 и 2015 годов отклоняется (р-уа!ив меньше 0,05). Из этого следует, что для дальнейшего анализа выборки 2012, 2013 и 2015 годов (с учетом сдвига выборок 2012 и 2013 годов) могут быть объединены. Выборка 2014 года не может быть включена в дальнейший анализ, так как дисперсия в 2014 году была значимо большей.

■0К1

логарифм цены за 1 кв. м

б)

Рис. 1. Гистограммы и апроксимации логарифмически нормальным законом распределений цен за 2012-2015 годы (а) и гистограммы и апроксимации нормальным законом распределений логарифмов цен за 2012-2015 годы (б) (толщина линий возрастает от 2012 к 2015 году)

Таблица 2

Результаты теста Фишера на равенство дисперсий выборок 2012-2014 годов

и дисперсии выборки 2015 года

F-test Для дисперсий выборок по годам

2012 и 2015 2013 и 2015 2014 и 2015

p-value 0,5646 0,197 0,0264

В 2014 году наблюдались некоторая неопределенность и увеличение волатильности на рынке, обусловленные очевидными внешними причинами, что нашло отражение в увеличении дисперсии выборки.

Объединенная (с учетом сдвигов) выборка данных хорошо приближается логарифмически нормальным законом распределения (см. рис. 2).

о о

X I-

о

о о

X I-

о

0,000

СЕ X

^ ф

X ^

® ш 0,8

® 9

а ^

§ &0,6

Л 1_

О

100

200

300

400 500

цена, тыс. р./кв. м

а)

0,4

0,2

0,0

8 10 логарифм цены за 1 кв. м

б)

Рис. 2. Гистограмма и плотность логарифмически нормального закона распределения для объединенной выборки стартовых цен (а) и гистограмма и плотность нормального закона распределения для объединенной выборки логарифмов цен (б)

0

4

0

2

6

Объединенная выборка логарифмов цен проверена на нормальность тестом Колмогорова-Смирнова. Значение р-уа!ие = 0,1058, то есть при 5-процентном уровне значимости можно сохранить аппроксимацию логарифмически нормальным законом.

Разделение смеси (выделение типов недвижимости) и удаление из выборки данных,

не соответствующих рыночным условиям

На следующем шаге выборка разделена на три подвыборки: торговая, офисная, складская недвижимость. Из получившихся выборок исключены:

• аномально низкие и высокие стартовые цены;

• аномально низкие и высокие результаты торгов;

• все случаи состоявшихся торгов с превышением не выше 5 процентов или вообще без превышения стартовой цены;

• случаи превышения начальной цены более чем в 4 раза.

Далее представлены результаты расчетов по трем типам недвижимости (иллюстрации приводятся для складской недвижимости).

На рисунке 3 показаны наблюдения двумерной величины (стартовая цена - коэффициент превышения) для складской недвижимости. По горизонтали - цена в тыс. р./кв. м

(на правой диаграмме - логарифм цены), по вертикали - коэффициент превышения результата торгов над стартовой ценой (на правой диаграмме - логарифм коэффициента превышения).

§ 4,5

х

си

I 4

ей

си

& 3,5

X

си

И 2,5

со о

2 1,5 1

••Ч

♦

♦ ♦ ♦ «

♦ ♦ л * ♦ .

•--»-»-

ЧЛ ♦ ♦♦ г

♦ ♦ ♦♦ • ♦ — ♦ ♦ » ♦

~г

30

-1-1

60 90

цена, "тыс. р./кв. м

а)

* 1,5 1,2 0,9 0,6 0,3 0

♦ ♦ *ф

/

* л ♦ ♦ **,**

♦ ♦ ♦ • ♦

ч

\ ♦

% • • •

-Г-

2

—г-

4

5

ст

б)

Рис. 3. Складская недвижимость. Рассеяние пар «стартовая цена - коэффициент превышения» (а) и рассеяние пар «логарифм стартовой цены - логарифм

коэффициента превышения» (б)

3

Эллиптический характер рассеяния на правой диаграмме является основанием для проверки логарифмических пар на совместную нормальность. Для проверки применен «круговой» тест Колмогорова-Смирнова (подробнее см. [2]). Результат представлен на рисунке 4.

* 1,2

ш

о

X

§ 5 ^§0,8

сР

ф

0,4-

0,0-

т

50

СЕ л 1,2-

д о

ш X

X

та ф

а ф р 0,8-

ф п

100 150

угол поворота, градусы

0,4

0,0

100 150

угол поворота, градусы

Рис. 4. Результаты круговых тестов Колмогорова-Смирнова для складской недвижимости. Сплошной линией показаны значения р-уа!ие при различных углах поворота, пунктирной линией показан критический уровень в 5 процентов

На рисунке 4 видно, что кривые, соответствующие значениям р-уа!ие при различных углах поворота системы координат, всегда выше критического значения 0,05 (5%). Это означает, что при 5-процентном уровне значимости оснований отвергнуть гипотезу о совместном логарифмически нормальном распределении двумерной величины нет. Таким

образом, двумерная выборка может быть аппроксимирована двумерным логарифмически нормальным законом распределения с выборочными средними, дисперсиями и коэффициентом корреляции.

Аналогичные результаты кругового теста Колмогорова-Смирнова были получены для торговой и офисной недвижимости. Получены следующие параметры двумерных логарифмически нормальных законов распределения:

• для складской недвижимости - ^ = 3,0859, ст1 = 0,5857, = 0,568, ст2 = 0,3418, р = -0,5424;

• для торговой недвижимости - ^ = 3,9468, а1 = 0,30, = 0,46, ст2 = 0,311, р = -0,5437;

• для офисной недвижимости - ^ = 3,9474, а1 = 0,351, = 0,36, о2 = 0,2567, р = -0,4052. Графическое изображение аппроксимирующих поверхностей (в виде линий уровня) для

складской недвижимости представлено на рисунке 5.

3,6 §

N

-

\

\

V -

к

х

си

•3,2 3 .0 ей

:2,8 | •2,4 Ё

си

:2,0 ^

■1,6 £ о

1,2 0,8 0,4 0,0

ООСОГ— (ОЮ^СОМ^ООСО т- 01 СО Ю (О I— СООЗОЗО

стартовая цена, тыс. р./кв. м а)

ОСОС^ОО-чГОСОС^ОО-чГОСОС^ОО-чГОСО СЭ СЭ С^ 01 СО -чГ -чГ 10 СО СО I4-' I4-' СО СП СО

1пУ г.

1,9 1пК 1,4 0,9 0,4 -0,1 0,6 -1,1 -1,6

б)

Рис. 5. Аппроксимация выборки для складской недвижимости. Аппроксимация двумерным логарифмически нормальным законом для стартовых цен (а) и для

логарифмов стартовых цен (б)

При фиксированном значении стартовой цены торгов наиболее вероятное значение коэффициента превышения определяется по формуле (1):

1) для складской недвижимости:

Мобв(К ^^ = V) = вхр

0 3418

0,568 - 0,5424 ° (( - 3,0859) ■

0,5857 -0,34182 [1-(-0,5424)2]

2) для торговой недвижимости:

= 24, 395у

-0,929.

Мобв(К ^^ = V) = вхр

0,46 - 0, 5437°,311(1Пк - 3,9468) -0,30 ^ '

-0,3112 [1-(-0,5437)2]

= 11,801к

-0,525.

3) для офисной недвижимости:

Mode(KIVCT = v) = exp

0,36 - 0,4053 2567 (Inv - 3,9474) -0,351

-0,25672 [l-(-0,4053)2 ]

= 11,51v

-0,554

Такой же результат может быть получен с использованием стандартных средств Excel при аппроксимации степенной функцией пар точек «стартовая цена - наиболее вероятный коэффициент превышения» (например, на рисунке 6 представлена зависимость для складской недвижимости, аналогичные графики могут быть получены для торговой (y = 11,801 x"0'525, R2 = 1) и офисной (y = 11,51x"°'554, R2 = 1) недвижимости) 1.

2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0

Рис. 6. Зависимость наиболее вероятного коэффициента превышения от стартовой цены

торгов для складской недвижимости

Особый интерес предсталяют стартовые цены, для которых наиболее вероятный коэффициент превышения равен единице. Для всех исследованных выборок такое значение стратовой цены может быть получено по формуле (3) или с использованием стандартной опции Excel на вкладке «данные», анализ «что если» (в этом случае погрешность возникает только из-за приближенного характера самой опции «что если»). Для исследуемых выборок получены следующие граничные значения:

• для складской недвижимости - v = 30,999 (тыс. р./кв. м);

• для торговой недвижимости - v = 110,106 (тыс. р./кв. м);

• для офисной недвижимости - v = 82,288 (тыс. р./кв. м).

При назначении стартовой цены слева от граничного значения наиболее вероятный коэффициент превышения выше единицы. Справа от граничного значения наиболее вероятный коэффициент превышения ниже единицы. Такая информация может оказаться полезной для организатора торгов. При назначении стартовой цены следует учесть результаты статистического анализа в предшествующий период, если есть основания считать, что макроэкономическая ситуация не изменилась. В этом случае стартовую цену надо выбрать так, чтобы у участников торгов оставалась возможность играть на повышение. Насколько -зона ответственности организатора торгов, так как для обеспечения рыночных условий при слишком низкой стартовой цене необходимо отсечь от участия в торгах игроков, интере-

1 Наилучшее приближение степенной функцией очевидным образом следует из формулы (1).

0,0

ст

(О

О

Рис. 7. Поверхность плотности двумерного логарифмически нормального закона распределения для складской недвижимости

сующихся не объектом, а возможностью его немедленной перепродажи. В то же время обоснованная нижняя граница интервала, в котором целесообразно назначить стартовую цену, дается формулой (4). Нижняя граница интервала соответствует абсциссе точки абсолютного максимума поверхности плотности двумерного логарифмически нормального закона распределения. Такая поверхность для складской недвижимости показана на рисунке 7.

Нижние границы интервалов равны (для расчета использована формула (4):

• для складской недвижимости: V = вхр(3,0859 - 0,58572 + 0,5857 х 0,3418 * 0,5424) = = 17,313 тыс. р./кв. м (наиболее вероятное превышение К = вхр(0,568 - 0,34182 + + 0,5857 * 0,3418 * 0,5424) = 1,75);

• для торговой недвижимости: V = вхр(3,9468 - 0,32 + 0,3 * 0,311 * 0,5437) = 49,76 8 тыс. р./кв. м (наиболее вероятное превышение К = вхр(0,46 - 0,3112 + 0,3 * 0,311 * * 0,5437) = 1,51);

• для офисной недвижимости: V = вхр(3,9474 - 0,3512 + 0,351 * 0,2567 * 0,4053) = = 47,5 11 тыс. р./кв. м (наиболее вероятное превышение К = вхр(0,36 - 0,25672 + + 0,351 * * 0,2567 * 0,4053) = 1,39).

Таким образом, основываясь на статистических данных по торгам Фонда имущества города Санкт-Петербурга, в начале 2016 года для назначения стартовой цены торгов могли быть рекомендованы следующие интервалы (левая граница - абсцисса точки абсолютного максимума, правая граница - граничная точка с наиболее вероятным коэффициентом превышения равным единице, в тыс. р./кв. м):

• для складской недвижимости: 17,313 - 30,999;

• для торговой недвижимости: 49,768 - 110,106;

• для офисной недвижимости: 47,511 - 82,288.

Граничная цена (правая граница интервала) является важным ориентиром для выбора скидки на торг при оценке объектов аналогичного типа, если для анализа доступны

только цены предложений на открытом рынке. В этом случае следует задаться вопросом: для любой ли цены предложения надо применить скидку на торг? Если цена предложения низкая (ниже граничной цены, определенной по результатам торгов на объекты недвижимости такого же типа), то объект может быть продан по цене предложения и скидку на торг применять не следует. Если цена предложения высокая (выше граничного значения), то следует применить скидку на торг. В этом случае скидка на торг полностью определяется формулой (3).

1. Информация о совершенных на торгах сделках является важным статистическим материалом. Анализ результатов торгов может быть использован не только при подготовке торгов и формировании рекомендаций для потенциальных продавцов, но и в практике оценки.

2. При подтверждении гипотезы о совместном нормальном распределении логарифмов стартовых цен торгов и коэффициента превышения анализ проводится с помощью изучения двумерной плотности распределения.

3. Наиболее вероятный коэффициент превышения не является константой, он зависит от стартовой цены. Характер зависимости - степенная функция. Параметры степенной функции полностью определяются параметрами нормального закона совместного распределения логарифмов стартовых цен и коэффициента превышения.

4. Абсцисса точки абсолютного максимума может быть нижней границей интервала, в котором целесообразно разместить стартовую цену торгов. Верхняя граница интервала может быть определена как цена, для которой наиболее вероятный коэффициент превышения равен единице.

5. Степенная функция, связывающая стартовую цену с ее наиболее вероятным коэффициентом превышения, является маркером, указывающим следует ли применять скидку на торг при анализе цен предложений на открытом рынке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Русаков О. В., Ласкин М. Б., Джаксумбаева О. И., Стабровская К. Ю. Определение скидки на торг по статистическим данным // Вестник гражданских инженеров. 2016. № 2.

2. Русаков О. В., Ласкин М. Б., Джаксумбаева О. И. Стохастическая модель ценообразования на рынке недвижимости: формирование логнормальной генеральной совокупности // Вестник УМО. 2015. № 5.

3. Rusakov O., Laskin M., Jaksumbaeva O. Pricing in the real estate market as a stochastic limit. Log Normal approximation // International Journal of the Mathematical models and methods in applied sciences. 2016. Volume 10.

4. Никулина Т. В., Пономарева О. А., Пупенцова С. В. Логарифмически нормальное распределение цен на жилые объекты недвижимости элитного класса и эконом-класса. В сб.: Неделя науки СПбПУ. Материалы научного форума с международным участием / ответственные редакторы О. В. Калинина, С. В. Широкова. Инженерно-экономический институт ; Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,. 2015.

5. Ciurlia P., Gheno A. A model for pricing real estate derivatives with stochastic interest rates // Mathematical and Computer Modeling. 2009. No 50.

6. Ohnishi T., Mizuno T., Shimizu C, Watanabe T. On the Evolution of the House Price Distribution. Columbia Business School. Center of Japanese Economy and Business. Working Paper Series. May 2011. No 296.

Выводы