CC BY-NC
29
ФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ КОРАБЛЯ
DOI: 10.24937/2542-2324-2019-4-390-203-210 УДК 519.23: 537.621.5
А.М. Вишневский, А.Я. Лаповок, А.А. Фирсова
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ РАСЧЕТА ДИПОЛЬНОГО МАГНИТНОГО МОМЕНТА
Объект и цель научной работы. Рассматривается задача корректной оценки погрешности определения параметров магнитного поля (МП), получаемых расчетным путем по результатам измерений магнитной индукции. Решение задачи производится на примере расчета дипольного магнитного момента (ДММ).
Материалы и методы. Применяемые в настоящее время методы определения ДММ, как правило, при произвольном распределении источников поля не позволяют напрямую оценить погрешность результатов. В работе предлагается статистический подход, основанный на методе Монте-Карло. При этом решается большое число тестовых задач, в которых система источников и погрешность измерений моделируются с помощью случайных величин. На основе распределения случайной величины - погрешности расчета ДММ при каждой реализации - строится оценка погрешности определения ДММ.
Основные результаты. Предложен алгоритм для оценки погрешности определения ДММ. В рамках принятого подхода о случайном характере измеряемого МП рассмотрено моделирование системы источников МП и моделирование типичных составляющих погрешности измерений. Произведен анализ погрешности измерений как случайной величины. Приведен пример оценки погрешности определения ДММ.
Заключение. Предложенный метод оценки погрешности определения ДММ легко реализуем, применим для любых методов расчета ДММ, позволяет непосредственно моделировать факторы, влияющие на погрешность, оценивать влияние различных факторов на результат, получать отдельные оценки для каждого фактора, а также суммарную оценку погрешности. Статистический подход к оценке погрешности применим в расчете по данным измерений и других характеристик поля, например при экстраполяции МП. Аналогичный подход может быть реализован и при определении погрешности расчета характеристик других стационарных полей.
Ключевые слова: магнитное поле, измерения, дипольный магнитный момент, погрешность, статистический подход, численное моделирование, метод Монте-Карло, случайная величина, доверительная вероятность. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
SHIP SIGNATURES
DOI: 10.24937/2542-2324-2019-4-390-203-210 UDC 519.23: 537.621.5
A. Vishnevsky, A. Lapovok, A. Firsova
Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
STATISTICAL ANALYSIS OF DIPOLE MAGNETIC MOMENT DETERMINATION ERROR
Object and purpose of research. This paper discusses the accuracy of magnetic field caclulations based on magnetic induction measurements, taking the calculation of dipole magnetic moment (DMM) as case study.
Для цитирования: Вишневский А.М., Лаповок А.Я., Фирсова А.А. Статистический анализ погрешности расчета дипольного магнитного момента. Труды Крыловского государственного научного центра. 2019; 4(390): 203-210. For citations: Vishnevsky A., Lapovok A., Firsova A. Statistical analysis of dipole magnetic moment determination error. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2019; 4(390): 203-210 (in Russian).
Materials and methods. Current methods of DMM determination are usually based on arbitrary arrangement of magnetic field sources, so the accuracy of their results cannot be estimated directly. This paper suggests a statistical approach based on Monte-Carlo method and relying on a great number of case studies, where the system of sources and error of measurements are simulated by means of random values. The distribution of random value, i.e. DMM calculation error for each case, becomes the basis for DMM accuracy assessments.
Main results. This paper suggests an algorithm for DMM accuracy assessment. Following the assumption that magnetic field measurement results are random values, the authors simulate the system of magnetic field sources, as well as typical components of magnetic field measurement error, analyzing it as a random parameter and illustrating their approach by a case study of DMM accuracy assessment.
Conclusion. The method of DMM accuracy assessment suggested in this paper is easy to implement and apply to whatever methods of DMM calculations, enabling direct simulation of different factors relevant for the calculation error, as well as contribution assessment for each of these factors and their combined effect. This statistical approach to accuracy assessment is also applicable to measurement-based calculations of other parameters of magnetic field, for example, it can be used for field extrapolation. Similar approach can also be developed for calculation error assessment of other stationary fields. Keywords: magnetic field, measurements, dipole magnetic moment, error, statistical approach, numerical simulation, Monte-Carlo method, random value, confidence probability. Authors declare lack of the possible conflicts of interests.
Введение
Introduction
Известно, что в ряде случаев параметры магнитного поля - так же, как и любого другого физического поля, - или интегральные характеристики его источников не могут быть измерены напрямую, а определяются по результатам измерений расчетным путем. Примером является определение магнитных мультипольных моментов, в частности дипольного магнитного момента, для которого не существует прямых методов измерений. Еще одним примером является экстраполяция измеренных значений МП в другие точки на различные расстояния от источников.
При этом погрешность нахождения искомых параметров зависит как от погрешности прямых измерений МП, так и от методической погрешности расчета, которые и определяют суммарную погрешность. В свою очередь, методическая погрешность оценивается, как правило, на основе решения контрольных задач для источников поля сравнительно простой структуры либо для небольшого числа компьютерных моделей реальных источников. Однако в условиях, когда структура измеряемого поля априори неизвестна, указанный путь не позволяет получить достоверную оценку погрешности. В статье рассматриваются возможности получения такой оценки и предлагается универсальный подход для решения поставленной задачи.
В статье рассматривается оценка погрешности определения ДММ. Оценка погрешности косвенных измерений других характеристик МП или его источников может быть выполнена аналогичным образом.
Анализ подходов к решению задачи оценки погрешности определения дипольного магнитного момента
Approaches to calculation error assessment of dipole magnetic moment
В [1] рассматриваются известные методы определения ДММ по результатам измерений трех компонент индукции МП (BX, BY, BZ). Эти методы определения ДММ можно разделить на две группы.
Одна группа основана на решении обратной задачи, при этом алгоритм решения состоит из двух этапов:
■ построение математической модели источников МП - реальных или фиктивных (эквивалентных) - и определение интенсивности источников по результатам измерений МП;
■ определение требуемых параметров по найденной на предыдущем этапе интенсивности источников МП.
При численной реализации первого этапа решение задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Получаемая СЛАУ является плохо обусловленной, а решение неустойчивым. В этом случае применяются специальные методы решения некорректных задач, например метод регуляризации Тихонова или усеченное сингулярное разложение. Из теории решения некорректно поставленных задач следует, что оценка точности решения некорректно поставленной задачи не может быть выполнена в общем виде (невозможно представить зависимость погрешности решения от погрешности исходных данных и матричного оператора
в аналитическом виде для любой некорректно поставленной задачи) [2], при этом оценка погрешности может быть проведена только при наличии существенной априорной информации об искомом решении. Отсутствие априорной информации о распределении источников не позволяет произвести оценку погрешности решения задачи. Следует также отметить, что при выполнении оценки погрешности решения СЛАУ в качестве точного решения обычно выбирается нормальное псевдорешение [3], полученное при точных исходных данных. Однако в силу различия истинного (физического) решения и нормального псевдорешения получаемые оценки не дают погрешности решения задачи в целом.
Другая группа методов расчета ДММ не требует построения модели источников и решения обратной задачи, а связана с интегрированием данных измерений по поверхности измерений [4-7]. В этом случае методическая погрешность определения ДММ представляет собой погрешность интегрирования и обуславливается ограниченным числом данных измерений (непрерывный оператор интегрирования аппроксимируется конечным суммированием). В случае, когда вид функции распределения МП априори неизвестен, оценить погрешность интегрирования не представляется возможным.
На практике оценка точности производится обычно на основе решения модельных (тестовых) задач с различным уровнем погрешности входных данных. Одним из вариантов построения тестовых задач является использование детерминированных моделей, например компьютерное моделирование МП технического объекта (ТО) с помощью специализированного программного обеспечения [8]. Однако такой подход предполагает рассмотрение лишь небольшого числа моделей и, соответственно, оценку погрешности ДММ только для рассмотренных моделей. При этом получаемая оценка не дает верхнюю границу погрешности для возможных состояний ТО.
При проведении измерений фактическое МП ТО может существенно отличаться от прогнозируемого. Так, непрогнозируемую составляющую МП вносит остаточное МП, которое формируется практически непредсказуемым образом и изменяется в процессе эксплуатации объекта. Учитывая эти факторы, можно полагать, что остаточное МП имеет случайный характер. Также следует отметить, что остаточная намагниченность может обуславливаться локальной намагниченностью ТО, и в целом это вызывает появление мультипольных моментов высших порядков. Наличие в МП таких составля-
ющих приводит к сложному «изрезанному» характеру поля. Таким образом, использование одной или нескольких детерминированных моделей ТО может привести к получению заниженной оценки погрешности определения ДММ.
В такой ситуации адекватной моделью, отражающей как мультипольность, так и случайность фактических источников МП, является случайное распределение диполей в объеме ТО. Рассматривая достаточно большое число таких распределений, можно охватить значительное число фактически возможных распределений МП.
Также следует отметить, что измерения МП, по которым производится расчет ДММ, содержат случайную погрешность, что требует при моделировании соответствующего подхода с учетом случайного характера величин, влияющих на погрешность измерений.
Оценка погрешности на основе статистического подхода
Accuracy assessment based on the statistical approach
С учетом предположения о случайном характере МП и погрешности измерений предлагается производить оценку погрешности определения ДММ на основе метода Монте-Карло с использованием большого числа реализаций случайного процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами рассматриваемого физического процесса.
Каждая реализация случайного процесса соответствует решению тестовой задачи с имитацией измерений МП. Решение тестовых задач проводится в следующем порядке. Моделируется система источников МП и решается прямая задача по расчету магнитной индукции в заданных точках и расчету точного значения ДММ. Моделируется погрешность измерений, которая затем вносится в данные расчета магнитной индукции. Результаты расчета МП используются в качестве исходных данных для определения ДММ. По итогам решения тестовой задачи вычисляется погрешность определения каждой из компонент ДММ.
5М = \мCalc - Mfact|, % = x, y, z, (1)
где Mfxact - компоненты точного значения ДММ; M^Calc - компоненты ДММ, рассчитанные по данным измерений.
Схема алгоритма решения тестовой задачи приведена на рис. 1.
Моделирование источников МП Моделирование погрешности измерений
Расчет точного значения ДММ Расчет точных значений МП в точках измерений ->- Формирование исходных данных (имитация данных измерений)
Рис. 1. Схема алгоритма решения тестовой задачи
Fig. 1. Solution algorithm of the test problem
.....................................__ ................................ Расчет ДММ по имитации данных измерений
Вычисление погрешности определения ДММ 8м
При статистическом подходе получаемая в результате решения тестовой задачи погрешность о ^ рассматривается как случайная величина. При использовании статистического подхода к оценке погрешности решаются следующие алгоритмические вопросы:
■ выбор модели источников;
■ анализ и учет составляющих погрешности измерений;
■ анализ множества реализаций погрешности (случайной величины
§ M )
и определение формы представления погрешности. В дальнейшем предполагается, что сетка точек измерений фиксирована и все датчики работоспособны.
Выбор модели источников
Selection of the model of sources В отсутствие информации об источниках МП предполагается, что МП создается точечными диполями, которые распределены в некотором объеме, соответствующем габаритам ТО, а распределение интенсивности источников носит случайный характер.
Рассмотрим случай, когда ТО аппроксимируется цилиндром длиной L и радиусом R, а нерегулярность геометрии учитывается элементом в виде расположенного над цилиндром параллелепипеда высотой h, длиной l и шириной w.
МП создается точечными магнитными диполями, распределенными в заданном объеме. Координаты расположения диполей (х, у, 2) представляют собой случайные величины, равномерно распределенные в интервалах [-¿/2, ¿/2], [-Я, Л], [-Я, Я+к] соответственно и попадающие в заданный объем.
Интенсивность магнитных диполей также является случайной величиной. Значения каждой из компонент диполя равномерно распределены на интервале [-Мтах; Мтах], где Мтах - заданное значение. Число магнитных диполей N предполагается фиксированным. При этом Мтах и N выбираются таким образом, чтобы:
■ максимальное/минимальное значение компонент МП на поверхности измерений с вероятностью 99 % лежало в диапазоне измерений средства измерений (СИ) магнитной индукции;
■ в объем, соответствующий параллелепипеду, с вероятностью 99 % попадал хотя бы один диполь.
При задании составляющих Мх, Му, М2 вектора магнитного момента точечного диполя, расположенного в точке с координатами х', у', 2', составляющие магнитной индукции в точке с координатами х, у, 2 рассчитываются по формуле
B
Мю
4п
M 3(M, r)r
"7+
(2)
B
Рис. 2. Пример распределения магнитного поля вдоль оси цилиндра Х
Fig. 2. Example of magnetic field determination along X axis of the cylinder
где B = (Bx, By, Bz )T; M = (Mx, My, Mz )T; r = (x - x', y - y , z - z')T;
r = y] (x - x ' )2 + (y - y' )2 + (z - z ' )2; д0 = 4n • 10-7 Гн/м - магнитная постоянная.
Контрольное значение дипольного момента системы источников получается суммированием моментов диполей, а значение МП системы источников в заданной точке получается суммированием значений МП от каждого точечного диполя.
Получаемое в рамках рассматриваемой модели МП имеет сложный изрезанный характер, пример которого приведен на рис. 2.
Принятая модель источников со случайным распределением дает наименее гладкое поле на поверхности измерений и представляет собой наихудший случай с точки зрения точности определения ДММ.
Учет составляющих погрешности измерений
Consideration of measurement error components
Расчет ДММ по исходным данным без погрешности позволяет оценить методическую погрешность определения ДММ. Для получения суммарной погрешности ДММ производится моделирование погрешности измерений. Ниже приведен пример возможных составляющих погрешности измерений.
1. Погрешность СИ: погрешность измерительного канала, дрейф нуля, неортогональность магнитных осей датчика.
2. Неточность установки датчика: отклонение фактических координат датчика от проектных, угловое отклонение осей датчика от осей системы координат измерительного стенда.
3. Неточность установки объекта: угловое отклонение осей ТО от осей системы координат измерительного стенда, смещение центра объекта относительно заданной точки.
4. Влияние сторонних источников магнитного поля (ферромагнитного оборудования стенда).
В зависимости от особенностей конструкций стенда и используемой измерительной системы возможны дополнительные составляющие погрешности измерений.
Каждая составляющая погрешности рассматривается как случайная величина; в зависимости от имеющейся априорной информации о вероятных значениях погрешности измерений выбирается закон распределения соответствующей случайной величины. В соответствии с [9], если отсутствует информация о функции плотности распределения
вероятности погрешности измерения, то при расчете характеристик погрешности измерений принимают закон равномерной плотности.
В соответствии с [10] погрешность СИ рассматривается как случайная величина на множестве средств измерений данного типа; таким образом, при большом числе датчиков можно полагать, что погрешность СИ является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале:
■ погрешность измерительного канала СИ - на интервале ±Д;
■ углы отклонения магнитных осей первичных измерительных преобразователей от предполагаемых ортогональных осей датчика - на интервале [-а, а];
■ дрейф нуля датчика в течение заданного времени - на интервале [-0, 0].
Для измерительной системы при большом числе датчиков погрешность установки датчика также может рассматриваться как случайная величина, равномерно распределенная на интервале:
■ отклонения координат датчика от заданных значений по осям X, Y, Z измерительного стенда - на интервале [^, с1];
■ возникающие при установке датчиков угловые отклонения осей датчика от осей системы координат стенда - на интервале [-Р, Р].
В отсутствие априорной информации о точности установки ТО соответствующая составляющая погрешности рассматривается как случайная величина, равномерно распределенная на интервале:
■ угловые отклонение осей объекта от осей системы координат стенда - на интервале [-у, у];
■ отклонения координат центра объекта относительно заданной точки в системе координат измерительного стенда - на интервале [-Ь, Ь]. При оценке влияния сторонних источников ферромагнитное оборудование стенда может моделироваться точечными магнитными диполями. В зависимости от внешних влияющих воздействий оборудование может намагничиваться в разных направлениях, и значения составляющих каждого диполя представляются случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [ -Ы™н; Ы™Хшн ], где
ЫГГ - максимальные по абсолютной величине значения составляющих ДММ оборудования.
В результате совместного моделирования рассмотренных факторов рассчитывается общая оценка погрешности решения задачи. Анализ влияния факторов по отдельности позволяет выявить основные составляющие погрешности определения ДММ.
Анализ множества реализаций погрешности определения дипольного магнитного момента
Analysis of random samples for dipole magnetic moment determination errors
Результатом проведения статистического модели- fsMl
рования является множество реализации {ог- ^} квазислучайной величины суммарной погрешности определения ДММ, вычисленной по формуле (1).
Доверительные границы (пределы) погрешности расчета ДММ определяются по фактическому распределению суммарной погрешности расчета ДММ, представленной множеством реа-
- fsMl лизаций {ог-
При выборе формы представления доверительных границ погрешности измерения ДММ учитываются следующие обстоятельства:
■ погрешность определения ДММ зависит от уровня измеренного поля, который, в свою очередь, зависит от величины ДММ;
■ при нулевом значении ДММ существует ненулевая погрешность определения величины ДММ.
Соответственно, пределы погрешности определения ДММ представляются в виде
AM £ =±(a + b M™ |),
£ = х, У, z, ДММ,
(3)
вычисленные по
где М^изм - компоненты данным измерений.
При определении доверительных границ погрешности доверительная вероятность принимается равной 0,95.
Исследования показали, что при числе реализаций свыше 1000 значение погрешности ДМ практически не зависит от числа реализаций случайного процесса.
Трехкомпонентные измерительные датчики
3я/2
0
Рис. 3. Измерительное сечение Fig. 3. Measurement section
Пример оценки погрешности определения дипольного магнитного момента
Case study for dipole magnetic moment determination errors
Рассмотрим случай, когда измерения МП проводятся датчиками МП, размещенными стационарно в 37 измерительных сечениях. Расстояние между сечениями равно 6 м. В каждом измерительном сечении установлено по восемь трехкомпонентных датчиков магнитной индукции. Датчики размещены на цилиндрической поверхности радиуса r, при этом в каждом сечении они располагаются на образующих а = 0, п/4, п/2, 3п/4, п, 5п/4, 3п/2, 7п/4. Общее количество измерительных датчиков - 296; их расположение в сечении показано на рис. 3.
В качестве примера рассмотрим оценку погрешности при следующих параметрах моделирования.
Моделирование системы источников: длина цилиндра L = 160 м, радиус цилиндра R = 8 м, высота параллелепипеда h = 5 м, длина l = 22 м, ширина w = 3 м, число источников N = 100, максимальная интенсивность источника Mmax = 8 кА-м2.
Моделирование погрешности измерений: погрешность измерительного канала СИ Д = = ±(0,02 + 0,01|5изм|) мкТл, неортогональнось осей датчика а = 15', дрейф нуля 9 = 50 нТл, угловое отклонение осей датчика от осей принятой системы координат в = 15', отклонение координат датчика от проектных значений d = 0,1 м, точность установки ТО по курсу, крену и дифференту у = 0,25°, центр объекта находится в заданной точке с точностью b = 0,05 м.
Ферромагнитное оборудование моделируется сторонним диполем с составляющими ДММ Mx = 0,6 кАм2, My = 0,3 кАм2, M2 = 0,3 кАм2.
Определение ДММ производится на основе неполного мультипольного разложения МП [1]. При этом используется модель источников поля в виде распределенных вдоль продольной оси ТО диполь-ных, квадрупольных и октупольных моментов.
Алгоритм определения ДММ включает следующие операции:
■ задается горизонтальный отрезок, длина которого равна длине ферромагнитного корпуса ТО. Отрезок разбивается на n участков (в примере принимается n = 12). В центре каждого участка, в точках xi (i = 1...n), располагаются диполь, квадруполь и октуполь, при этом неизвестными являются 15 составляющих муль-типольных моментов;
Характеристики погрешности измерения дипольного магнитного момента Characteristics of dipole magnetic moment measurement error
Компонента ДММ Доверительные границы погрешности результата измерений
Продольная компонента MX AMx = ±(16 + 0,1MX™) кА-м2
Поперечная компонента MY AMy = ±(7 + 0,07My™) кА-м2
Вертикальная компонента MZ AMz = ±(8 + 0,08MZ™) кАм2
■ по известным составляющим измеренного магнитного поля, координатам мультиполей на отрезке и координатам установки датчиков получают СЛАУ для нахождения величин составляющих мультипольных моментов участков;
■ поскольку СЛАУ является плохо обусловленной, для получения устойчивого решения используется метод усеченного сингулярного разложения. В результате решения СЛАУ находятся неизвестные составляющие мультиполь-ных моментов на участках;
■ по найденным в результате решения СЛАУ составляющим дипольного момента mx(x), my(x), mz(x,) на каждом из отрезков определяются составляющие MX, MY, Mz суммарного дипольного момента:
n n n
Mx = 2 mx (x); MY = 2 my (xt); Mz = 2 mz (xt).
i=1 i=1 i=1
Статистический анализ погрешности определения ДММ показал, что с вероятностью 95 % суммарные погрешности определения составляющих ДММ лежат в доверительных границах, приведенных в таблице.
Экспериментальные исследования на стенде для физического моделирования МП подтвердили эффективность предложенного подхода для оценки погрешности определения ДММ.
Заключение
Conclusion
Рассмотрен статистический подход для оценки погрешности определения ДММ по данным измерений магнитной индукции, который легко реализуем, применим для любых методов расчета ДММ и позволяет:
■ учитывать реальный характер распределения источников поля;
■ непосредственно моделировать факторы, влияющие на погрешность;
■ оценивать влияние различных факторов на результат и получать отдельные оценки для каждого фактора;
■ находить суммарную оценку погрешности. Предложенный статистический подход к оценке погрешности может быть использован и при расчете по данным измерений других характеристик поля, например при экстраполяции (пересчете) МП. Аналогичный подход может быть реализован и при определении погрешности расчета характеристик других стационарных физических полей в условиях, когда структура их источников формируется, по сути, случайным образом.
Библиографический список
1. Firsova A.A. Comparison of magnetic dipole moment calculation methods // Signature control - a key element of ship and submarine stealth: Proceedings of 8th Int. Conf. "Navy and Shipbuilding Nowadays" (NSN'2015). July 2-3 2015, St.-Petersburg. P. 190-198.
2. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: МГУ, 1989. 632 c.
3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.
4. Краснов И.П. Об определении магнитных моментов по результатам измерений на замкнутых поверхностях // Геомагнетизм и аэрономия. 1981. № 1. С. 137-142.
5. Вишневский А.М. Определение электрических и магнитных мультипольных моментов по результатам измерений на замкнутых поверхностях // Электричество. 1993. № 3. С. 50-52.
6. Большаков В.И., Гузеев С.Т. Использование магнитных центров в задачах магнитной безопасности судов и земного магнетизма // Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. 2002. Вып. 13(297). С. 59-71.
7. KildishevA.V., NyenhuisJ.A., MorganM.A. Multipole analysis of an elongated magnetic source by a cylindrical sensor array // IEEE Transactions on Magnetics. 2002. Vol. 38. No. 5. P. 2465-2467.
8. Программа расчета магнитного поля STAR3D Magnetic. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011618301.
9. МИ-1317-2004. Рекомендация. Государственная система обеспечения единства измерений. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. М.: ФГУП «ВНИИМС», 2004.
10. ГОСТ 8.009-84. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений.
References
1. A. Firsova. Comparison of magnetic dipole moment calculation methods // Signature control - a key element of ship and submarine stealth: Proceedings of 8th Int. Conf. "Navy and Shipbuilding Nowadays" (NSN'2015). July 2-3 2015, St.-Petersburg. P. 190-198.
2. A. Bakushinsky, A. Goncharsky. Incorrect problems. Numerical methods and applications. Moscow State University, 1989. 632 pp. (in Russian).
3. A. Tikhonov, V. Arsenin. Solution methods for incorrect problems. Moscow: Nauka, 1986. 288 pp. (in Russian).
4. I. Krasnov. On determination of magnetic moments as per measurement data for closed surfaces // Geomagnetism and Aeronomy. 1981. No. 1. P. 137-142 (in Russian).
5. A. Vishnevsky. Determination of electric and magnetic multipole moments as per measurement data for closed surfaces // Elektrichestvo (Electricity). 1993. No. 3. P. 50-52 (in Russian).
6. V. Bolshakov, S. Guzeev. Application of magnetic centers for magnetic security of ships and Earth magnetism studies // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2002. Issue 13(297). P. 59-71 (in Russian).
7. A. Kildishev, J. Nyenhuis, M. Morgan. Multipole analysis of an elongated magnetic source by a cylindrical sensor array // IEEE Transactions on Magnetics. 2002. Vol. 38. No. 5. P. 2465-2467.
8. STAR3D Magnetic software for magnetic field calculations. Certificate No. 2011618301 on state registration of software (in Russian).
9. MI-1317-2004. Recommendation. State System for Ensuring Measurement Uniformity. Results and measurement error characteristics. Presentation forms. Moscow, All-Russian Research Institute of Metrological Service (VNIIMS), 2004 (in Russian).
10. Standard GOST 8.009-84. Standard metrological characteristics of instrumentation (in Russian).
Сведения об авторах
Вишневский Александр Михайлович, д.т.н., профессор, начальник отделения ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (812) 415-65-10. E-mail: 7_otd@ksrc.ru. Лаповок Андрей Яковлевич, к.т.н., начальник сектора ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (812) 415-65-33. E-mail: alapovok@gmail.com.
Фирсова Анна Анатольевна, к.т.н., старший научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (812) 415-65-33. E-mail: nurka100@mail.ru.
About the authors
Alexander M. Vishnevsky, Dr. Sci. (Eng.), Prof., Head of Division Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 415-65-10. E-mail: 7_otd@ksrc.ru. Andrey Ya. Lapovok, Cand. Sci. (Eng.), Head of Sector, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 415-65-33. E-mail: alapovok@gmail.com. Anna A. Firsova, Cand. Sci. (Eng.), Senior Researcher, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 415-65-33. E-mail: nurka100@mail.ru.
Поступила / Received: 01.10.19 Принята в печать / Accepted: 19.11.19 © Коллектив авторов, 2019
