CC BY
28
2007
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
№ 117
УДК 681.518.52
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ 2-ГО ПОРЯДКА В УСЛОВИЯХ КОМБИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
М.А. РЯЗАНОВА, А.А. ИВАНОВ, А.А. БЫКОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Шахтариным Б.И.
Рассмотрены дискретные системы синхронизации (ДСС) 2-го порядка, в частности, было рассмотрено два случая: случай наличия и отсутствия гармонической помехи на входе. Была предложена методика перехода от стохастического разностного уравнения, описывающего статистическую динамику ДСС 2-го порядка, к системе уравнений, описывающей простую Марковскую последовательность. Подробно рассмотрен простейший случай комбинированного воздействия (на входе гармоническая помеха на частоте полезного сигнала). Было предложено решение векторного уравнения Колмогорова-Чепмена в случае наличия и отсутствия гармонической помехи на входе. Были получены статистические характеристики (ПРВ сигнала рассогласования) ДСС 2-го порядка.
Поведение ДСС 2-го порядка при наличии на входе шума и полезного гармонического колебания описывается следующим стохастическим разностным уравнением
xk+1 = (1 + d)xk - dxk_1 + ¡d (g-d) - Kysin(xk) + Kd sin(xk_1) - Kgnk + Kldnk1, (1)
где xk - фазовая ошибка в дискретный момент времени; К1 равен параметру K, нормирован-
К
ному на амплитуду входного колебания (т.е. К1 = — ); y,d - параметры фильтра; ¡I - параметр,
2pBd (1 - d)
характеризующий частотную расстройку ц =--------------; nk - отсчеты входного шума.
d(g- d) k
Уравнение (1) с учетом соответствующей замены равносильно системе из двух уравнений 1-го порядка
x1 (k +1) = x2 (k),
x2 (k +1) = (1 + d) x2 (k)-dx1 (k) + ysin (x2 (k))+ (2)
+¡d (y-d)-k + Kd sin (x1 (k))-K1ynk+1 + K1dnk .
Система уравнений (2) не описывает марковскую последовательность. Чтобы получить марковскую модель и в дальнейшем использовать эффективные подходы, для ее анализа необходимо выполнить преобразование координат.
Перед тем, как получить соответствующие выражения, имеет смысл рассмотреть известные
подходы к решению задачи определения ПРВфазовой ошибки для ДСС 2-го порядка [2]. В [2]
для этого предлагается воспользоваться заменой следующего вида
x1 = Ф1 -ГУг +my
x2 = dy 2 +¡g- (3)
-g[(1+d) y 2- Ф1- d¡+K sin(dy1- gy2 + ¡y)]- K1 gik После подстановки (3) в (2) получается следующая система уравнений
' y1(k +1) = y 2(k)
< y2(k +1) = (1 + d)y2(k)-dy1 (k) + ¡d + (4)
+Kd sin(dy1 (k) - yy2 (k) + ¡y) + K1nk
В случае независимости случайных отсчетов пк и стационарности параметров их распределения выражение (4) описывает двумерную простую марковскую последовательность. В силу этого двумерная плотность распределения вероятности случайных величин у1(к) и у2(к) удовлетворяет векторному уравнению Колмогорова-Чепмена (К-Ч) [1]
^к+1 (У1> У2) = | | Ч(Ух, У2 *2 К (*1, *2 №^2 , (5)
где ^к+1(у1з у2) - искомая плотность вероятности на к-й итерации, т.е. совместная ПРВ у1(к) и у2(к), ц(у1,у2 \г1,г2) - условная плотность распределения вероятности. ПРВ перехода
д(у1,у2 \г1,*2) можно получить, заменив ут(к +1) на ут , а ут(к) на *т
Г у - 2, = 0
\ 1 2 (6)
[у2 - (1 + й)г2 + й*1 + цй - К - у*2 + цу) = К1пк
Анализ (6) позволяет сделать вывод, что событие, при котором первая координата принимает значение у1, не зависит от события, при котором вторая координата принимает значение у2. Поэтому ПРВ перехода можно записать в виде произведения
Ч(у^у2 22) = Ч1(у11*^ г2)Ч2(у2 1*^ 22). (7)
Заметим, что 8(у1 -г2) - дельта-функция Дирака
Ф1 |Z1, *2) = #>1 - *2). (8)
Плотность вероятности события, при котором на следующем шаге вторая координата примет значение у2 при условии нахождения системы в состоянии (г1, г2), равна плотности вероятности того, что величина К1пк примет значение, стоящее слева от знака равенства во втором уравнении выражения (6). Считая распределение пк белым гауссовским шумом с нулевым математическим ожиданием, можно записать
1 2 . 1 ---2[у2-(1+й)*2 +й*1 +цй-К -у*2 +цу)]
^2(у2 1*1,*2) = ^= е 2с , (9)
\2рс
где с2 - дисперсия последовательности К1пк, определяемая через дисперсию входного шума сС следующим образом
с2 = К2с2. (10)
Таким образом, ПРВ перехода имеет вид
1---------------------------2 . 1 --[ у2-(1+й) *2 +о*1 +цй - К Бт( -у*2 +цу)]
Я(у1,у21*1, *2) = ^= 8(у -*2)е 2с . (11)
л12рс2
После подстановки (11) в (5) и учета интегрирования 8 - функции получим следующее выражение
+1'
^ у2) = | у 2 кК (zl, у1)й*1, (12)
в котором
12 1 -^ [ у 2-(1+ё ) Л +*1 +цй - К -уу +цу)]
q/(Уl,у21*1) = I 2 е 2с . (13)
у12рс
Уравнения (12) и (13) получены в предположении, что переменные у1, у2 определены на бесконечности.
Для численного расчета (12) приходится искусственно ограничивать область определения переменных конечными пределами. При этом из рассмотрения исключаются важные движения с нарастанием фазы, например, кратные захваты или предельные циклы 2-го рода. Кроме того, в присутствии шума изображающая точка, находящаяся вблизи состояния синхронизма, имеет ненулевую вероятность перескочить на следующий период, а из него в свою очередь, на следующий и т.д.
Описанные особенности являются следствием цилиндричности фазового пространства СС.
Чтобы учесть идентичность множества состояний на бесконечной фазовой плоскости и, следовательно, учесть проскальзывания фазы, необходимо модифицировать (12) и связанные с ним выражения.
В [2] предлагается следующий переход
/4
Wk+i U, у 2) _ jK (у, У2 k wk (*i, у )dz,
K (У1, у 2 ki) =
[2pn+У2-(1+d) yi +dzi +md-K sin( dz-gy\+mg)]2
e
PC -¥
W (У1, У2) = II wk (y1 + 2pn, y2 + 2pm) .
(14)
(15)
(16)
m=-¥ n=-¥
В выражениях (14)-(16) под у и у2 подразумеваются новые фазовые координаты, определенные на отрезке (-р,р) .
Выражение (16) равносильно утверждению об идентичности траекторий, начинающихся в точках
| у = ую + 2рт
1 у 2 = у 20 + 2рп
При построении использовано преобразование координат, обратное (3), которое имеет вид
_ gx2 - mdg+ Kg sin(x1) - x1(g+ dg-d) У,_ d (d -g)(1 -g)
У2
x2 + K gsin( x1) - gx1 - mg(1 + d - g)
(17)
(d -g)(1 -g)
Вследствие особенностей нелинейного преобразования (4.1.12) прямые x1 _ const отображаются на плоскость (y„y2) также в виде прямых. Поэтому полоса -p< xj <p, из которой реализуются всевозможные фазовые движения на плоскости (y„ y2) также отображается в полосу. При этом множество инвариантных состояний в новых координатах имеет вид
2р
У1 _ У10 +
У 2 _ У20 +
g-d 2p
k
(18)
g-d
k
Условие (18) можно получить из (4), положив у равным y[ + C1, а у2 равным y2 + С2
' y[(k+1)+С _ у2 (k)+С2
< у2(k +1) + С2 _(1 + d)(у2(k) + С2)-d(y[(k) + С)-md +
+Kd sin(d (y[(k)+С1) - g(y2(k)+С2)+mg)+K1nk
-p
1
-2 c
Для нахождения С1, С2, прибавление которых к у1, у2 не изменит характер траекторий, необходимо привести (19) к виду (4). При этом из первого уравнения (19) следует равенство С1 = С2 = С, а из второго йС - уС = 2жк . Из последнего равенства можно получить период координат у, у2
2р
Т = Т
У1 У2
Т
у-ё
(20)
Анализ преобразования (3) показывает, что множество -п < х1 < п отображается на плоскость (у1, у2) в виде наклонной полосы. Это приводит к неудобству и дополнительным вычислительным затратам при выполнении операции свертывания координат и интегрировании при численном решении уравнения Колмогорова-Чепмена (К-Ч). Можно получить преобразование исходных переменных, при использовании которого наклонная полоса, как и в исходных переменных (х1, х2), будет параллельна одной из координатных осей фазовой плоскости. В то же время в новых переменных система уравнений будет описывать Марковскую последовательность. Подобный переход к переменным (и1,и2) имеет следующий вид [2]
Х1 и2
ё (ё -у)(1 -у) у + ёу-ё
уу
-К у Біп(и2) + ёт- К1 упк Преобразование, обратное (21), выглядит так
ух2 -тёу+ К у2 б1п(х1) - х1(у+ ёу-ё) + К1у1пк
(21)
и.
и 2 Х1
ё (ё -у)(1 -у)
(22)
Переменные (и1, и2) связаны простой линейной зависимостью с (у1, у2) , которая имеет вид
обратное преобразование имеет вид
К = У ,
[щ2 = ёУ1 -уу2+mу,
У = и1
ёи - и2 + ту
У 2 = ~-----
(23)
(24)
у
Систему уравнений в новых координатах легко получить из выражений (2) и (21), тогда
и1(к +1) = ёи1(к) -—и2(к) + т
у у
и2(к +1) = ё (ё-у)(у~1 и,(к) +у+ ёу-ёи2(к) - (25)
у
- К у Біп(и2 (к)) + ёт- Ку упк
у
и
Для получения уравнения Колмогорова-Чепмена в координатах (и1, и2) необходимо выписать ПРВ перехода.
В результате ПРВ перехода будет иметь следующий вид
1 Сґ ё V 2 ч 2с2у2
і 2 2 $(и1 — у+—-т) х е у
42пе2 у у у
-ё(у ё)(у 1)у-(1+^-ё) + Ку8іп(у2)-ёт
у у _
где с2 = К&.
Тогда векторное уравнение К-Ч будет иметь вид
Wk+1 ^ и2) = | | Ч(и1, и2 |'^ У |К (У, У )ёУ1ёУ .
, (26) (27)
(28)
Чтобы проинтегрировать (28) по одной переменной с учетом 8 - функции, необходимо сделать замену переменных следующего вида
^ = и----у + — -и
У У , (29)
что равносильно
V1 = 1(уи1 +?-ту-у) ё
(30)
У2 = 7
После замены переменных получаем следующее
^к+1 (и1, и2) = ^ | | Я ( ^ и2 |V1(t,t), У(і,0 К ( У(і,0 ) ёё7,(31)
Эу Эу Зі Зі
Эу1 Эу2
(32)
Эт Эт
Пределы интегрирования
^ е (-¥, м),те (-¥, ¥) . (33)
Тогда из (20) и (32) следует, что
J = -Уй. (34)
После подстановки (26), (33) и (34) в (31) с учетом изменения порядка интегрирования по X за счет отрицательного знака в (34) получается следующее выражение для ПРВ фазовой ошибки
У 1
^к+1(U1, и2):
ОО ОО / 1 \
. і—--11 ^К(уи1+7-ту-у),7р(0х
ё у/2рс у -^-^ Vё у (35)
хе
2с у
и2-ё(у ё)(у 1) (уи^ +т-ту-1у)-(1+ё-ё)т+Кутп(т)-ёт
у у
ё(ёт
Учитывая свойства 8 -функции, приходим к следующему уравнению для ПРВ фазовой ошибки
Wk +1(U1, и2) + ■
1
_( П [ ~/Уи1+ У -Уу2 ) X « ^
В [2] для перехода от двумерной ПРВ к одномерной предлагается выражение в обобщенной форме, непосредственное использование которой для вычислений не представляется возможным. Выражение имеет вид
2 [и2-(у-ё Ху-1)ц-уУ2 +Куът(У2)-ту(1+ё-у)]2
ёУ2 (36)
х+уу2-ту ё '
У 2 ёУ 2 .
(37)
2
и
2
Вычисление одномерной плотности вероятности по формуле (37) может привести к неверному результату, если предположить, что двумерная плотность Ж (у1 , у2 ) получена путем свертывания по бесконечным координатам внутрь квадрата со сторонами (-р,р) .
Формула предполагает, что между координатами у1, у2 существует однозначная линейная зависимость, которая определяется выражением (3). На самом деле в результате сворачивания координат внутрь квадрата для каждого значения координаты х может появиться несколько линейных отрезков, связывающих координаты у1, у2.
В координатах выражение для расчета одномерной ПРВ, как следует из (21), выглядит так
W(х) = I w(t, x)dt.
(38)
Рассмотрим случай наличия помехи. Стохастическое разностное уравнение имеет вид Xj(k + 1) = x2(k),
x2 (k +1) = (1 + d) x(k + 1) - dx(k) + md (g- d) + r (k) - K gsin (x(k +1))+Kd sin (x(k)) - K1 gn(k + 1) + (3 9)
+ '
£4 sin(x(k+1)+(k+1)Д +q(k+1)-q(k+1))] +Kjd n(k)+£4 sin(x(k)+kft+q(k)-qc(k)) I,
i V i )
где для удобства последующих выкладок введено обозначение для слагаемых, отвечающих за модуляцию полезного сигнала
r (k) = вс (k + 2) - (1 + d)вс (k +1) + d6c (k). (40)
Как уже упоминалось ранее, выражения вида (39) не описывают марковскую последовательность.
Для применения математического аппарата марковских последовательностей необходимо выполнить переход к новым переменным состояния системы.
Предлагается использовать следующее преобразование
x1(k) = u2(k)
x2(k) = d(g d)(g 1)щ(к) + g+ dg du2(k)-Kgsin(u2(k)) +
+dm-Kg
g g n(k) + 2 4 sin ( X1(k) + kb +q (k) -qa (k) )
(41)
С учетом (41) выражение (39) можно привести к виду
g
u1(k+1) = du1(k) - - u2(k)+m+— _ 1Л
g g d (g-d)(g-1)
r (k )
u2(k +1) = d(g d)(g 1)u(k) + g+ dg du2(k)-Kgsin(u2(k)) + (42)
+dm- Kg
gg
n(k)+2 4sin (u2(k)+kb+q (k) - вс (k))
Предполагая, что п(к) является белым гауссовым шумом со стационарными статистическими характеристиками, из выражения (42), легко получить ПРВ перехода из состояния (у1, у2) в новое состояние (и1, и2) .
и2 |V1, у2) = Я1(к)Я2(к), (43)
где
qi{k) = 8 Чіік)=
d v2
u1 — v1+—-m
g
g g
'icg _
d (g-d )(g-1)
r (k )
d(g-d)(g-1) і g+dg-d
g
g
+Kgsin(v ) + K ,g! ^ sin ( v + kb + 0 (k) - # (k))]
(44)
Подставляя (43), (44) в уравнение К-Ч записанное в обобщенном виде, можно получить следующее выражение
1 ¥ Г1Г f ^ ^
Ж +1(ui. u2) =
гХ ж
v d v
gu + V2 -mg-
d (g-d )(g-1)
r (k)
Х
(45)
xe
—2u-(g-d)(g-1)ui-gV2 + ^gsin(v2)-mg(1+d-g)+KlgY Ai sin(v2 +kfr +q (k)-q (k))+¿ 2g2 i d
Г (k)
dv
Стоит отметить, что в наиболее общем случае (45) содержит зависимость от моментов времени к в явном виде. Данный факт означает, что установившаяся ПРВ будет нестационарной. Кроме того, в случае периодического закона изменения r (к) во времени (или отсутствия модуляции полезного сигнала), а также периодичности по к выражений sin (kfit +q (к)) статистические характеристики установившейся ПРВ также будут носить периодический характер во времени. Данные утверждения подтверждаются расчетами.
По аналогии с процедурой, описанной при выводе уравнения Колмогорова-Чепмена для случая гармонического сигнала на входе, можно перейти к новым координатам (иг,и2) на цилиндрическом фазовом пространстве, где их принимает произвольные значения, и2 принимает значения из диапазона [—T>, T2 ]. При этом выражение для ПРВ на цилиндрическом фазовом пространстве Wk (иг, и2) может быть записано в следующем виде
т2 ( л f .2 \ \
Ж+1(ui, u2) =
■\¡2pc 2d ‘
rX
S J
k=-l -t 1
w,r
g(ui + Tik)+V2 -mg-
g2
d (g-d )(g-1)
r (k)
2 v
X
(46)
xe
2c
—u-(g-d)(g-1)(u1 +T1k)-gV2 + Kgsin(v2)-mg(1+d-g)+KgS Ai sin(v2 +kb +0 (k)-0 (k))+g
Г i d
r (k)
Уравнение Колмогорова-Чепмена (44) легко переписать для некоторых частных случаев входных воздействий, интересных с практической точки зрения. По аналогии с приведенными ниже выражениями можно получить частные случаи выражений для ПРВ на цилиндрическом фазовом пространстве, описываемые (46).
При отсутствии модуляции входного колебания и при наличии гармонической помехи изменение двумерной ПРВ во времени описывает следующее выражение
Wk+1(u1> u2) = I \ 2 J Ж I 1(gu1 + v2 -mg), v2 |X
y¡2nc d2 -L V d y
xe
2c2g2
1 [w2-(g-d)(g-1)w1 -gv2 + Kgsin(v2)-mg(1+d-g)+K^gA^in^ + kb +0 )]2
dv
Когда на систему воздействует ЧМ-сигнал и ЧМ-помеха, уравнение К-Ч принимает вид
1
2
2
Wk +1^ и2) = ^
[и2 -(g-d )(^-1)и1 -gv2 + rgsin(v2)-^g(1+d-g)+sin(v2 + kb1 +Дг1 sin(kwi1 +Qi1 )+q -Д sin(kwi ))+griг- (к) I
e 2e2g d J dv2,
где r(k) = Д (sin ((k + 2)w)-(1 + d)sin ((k + 1)w) + d sin(kw)) (49)
НАЛИЧИЕ НА ВХОДЕ СИГНАЛА ПОСТОЯННОЙ ЧАСТОТЫ
Рассматривается аддитивная гармоническая помеха с нулевой частотной расстройкой относительно полезного сигнала, расстроенная по частоте гармоническая помеха и помеха в виде ряда гармонических составляющих с произвольным соотношением частот. Анализируются статистические характеристики фазового рассогласования в зависимости от частотного рассогласования, интенсивности помехи и шумового воздействия.
СЛУЧАЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ПОМЕХИ НА ЧАСТОТЕ ВХОДНОГО СИГНАЛА
На рис. 1 приведены ПРВ фазовой ошибки при наличии на входе полезного гармонического сигнала, шума и гармонической помехи, частота которой совпадает с частотой полезного колебания. С ростом интенсивности помехи (рис. 1, а, б) наблюдается увеличение дисперсии фазовой ошибки, постепенно приводящее к появлению двумодальности ПРВ. Обусловлено это ростом эквивалентного коэффициента усиления системы, приводящим в конечном итоге к потере устойчивости нулевого состояния и появлению циклического движения 1-го рода со средним значением периода к = 2.
РАССТРОЕННАЯ ПО ЧАСТОТЕ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПОМЕХА
На рис. 2 а, б приведены установившиеся ПРВ фазовой ошибки для ненулевой частотной расстройки гармонической помехи в различные моменты времени. Нормированная частотная расстройка помехи составляет величину 2p /1, где l - целое число. В этом случае установившаяся картина изменения ПРВ во времени имеет фиксированную структуру с числом кривых, равным l (рис. 2а, l = 4). Также на рис. 2, а, б приведены графики ПРВ фазовой ошибки при различных интенсивностях шума и гармонической помехи. Можно видеть, что увеличение интенсивности шума или помехи приводит к размыванию ПРВ и соответственно к увеличению фазовой ошибки.
22
pe d
щ + v2 -mg-
d (f-d )(g-1)
r,¡(k)
, v,
X
(48)
\
\
1
У
a) 6)
Рис. 1. ПРВ фазовой ошибки при
a - к = 1,р = 10ЭБ,q = 0, g = 2,T0 = 0,5, A1 = var, Д = Д = 0 б - к = 1, р = 10ЭБ ,q = 0,g= 1,33, T0 = 0.5, A1 = var, Д = Д1 = 0
а
б
Рис. 2. ПРВ фазовой ошибки ДСС 2-го порядка при а - к = 1, р = 10ЭБ,в1 = 0, у= 2, Т0 = 0.7, А1 = 0,2, Д = 0,Д = 2р/4
б - к = 1,р = 10ЭБ,3 = 0,у = 2, Т0 = 0,7, А = 0,8, Д = 0,Д = 2р/4
На рис. 3 приведены ПРВ фазовой ошибки для помехи в виде ряда гармонических составляющих при различной интенсивности второй составляющей помехи.
Рис. 3. Зависимость ПРВ фазовой ошибки ДСС 2-го порядка от частотной расстройки при различной интенсивности второй составляющей помехи и к = 1,р = 10ЭБ,Д = 0,3 = 0,Д = уаг,у = 1,333,Д = 2Д, А = 0,5,А2 = 0,1,й = 1,Т0 = 0,7
ЛИТЕРАТУРА
1.Акимов В.Н., Белюстина Л.Н., Белых В.Н. и др. Системы фазовой синхронизации. Под ред. В.В. Шах-гильдяна, Л.Н. Белюстиной. М: Радио и связь, 1982.
2.Фомин А.Ф., Хорошавин А.И., Шелухин О.И. Аналоговые и цифровые синхронно-фазовые измерители и демодуляторы. Под ред. А.Ф. Фомина. М.: Радио и связь, 1987.
3.Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998.
4.Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М.: ИПРЖР, 1996.
Сведения об авторах
Рязанова Мария Алексеевна, окончила МГТУ им. Н.Э. Баумана (2006), аспирантка МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 2 научных работ, область научных интересов - помехоустойчивость систем синхронизации.
Иванов Андрей Андреевич, 1985 г.р., студент 6 курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 2 научных работ, область научных интересов - статистическое моделирование нелинейных систем управления.
Быков Андрей Александрович, 1981 г.р., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана (2005), аспирант МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 4 научных работ, область научных интересов - системы фазовый синхронизации, методы подавления шумов.
