Статистические методы прогнозирования валютного курса. Сезонность в динамике валютного курса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Садовникова Н.А.

д.э.н., профессор, зав. кафедрой «Статистика», Российский экономический университет

[email protected]

Тагирова З.А.

магистр, Институт цифровой экономики и информационных технологий, Российский экономический

университет

[email protected]

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВАЛЮТНОГО КУРСА. СЕЗОННОСТЬ В ДИНАМИКЕ ВАЛЮТНОГО КУРСА

Ключевые слова: Методы статистического прогнозирования, компонентная структура ряда, фактор сезонности в динамике валютного курса, автокорреляционная функция.

Keywords: Methods of statistical forecasting, component structure of the series, the seasonality factor in the exchange rate dynamics, the autocorrelation function.

По обыкновению ведение любой деятельности социально-экономической сферы предполагает последовательность действий, направленных на реализацию некоторого плана, который в той или иной степени является результатом прогнозной практики, чем и объясняется непрерывно растущая потребность в развитии и увеличении числа инструментов прогнозирования. Прогнозы, являясь подспорьем планирования, помогают ускорить развитие объекта планирования в нужном направлении, а также предупредить нежелательные результаты. Осуществить прогноз можно на основе выявления закономерности развития самого показателя во времени с последующей экстраполяцией полученной компонентной структуры на будущее или зависимости исследуемого показателя от других экономических факторов, значения которых известны, контролируемы либо легко предсказуемы. Т.о. структурный анализ динамики изучаемого явления является важной частью процесса прогнозирования.

Чаще всего для выявления компонентной структуры рассматриваемого процесса применяют автокорреляционную функцию, представляющую собой последовательность коэффициентов автокорреляции различного порядка, определяющего значение лага L, задающего коррелируемые части исходного ряда.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, определяют лаг, при котором значение коэффициента автокорреляции наиболее значимо:

- Если таковым является коэффициент автокорреляции первого порядка j можно сделать вывод о наличии

тенденции в исходном ряду;

- Высокое значение коэффициента автокорреляции порядка L указывает на содержание во временном ряду циклических колебаний с периодом L;

- Для случая, когда ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, проверяются на справедливость два предположения: уровень ряда определяется только случайной компонентой либо в ряде присутствует сильная нелинейная тенденция, для выявления которой следует провести дополнительный анализ.

Следует отметить, что знак коэффициента автокорреляции не позволяет сделать вывод об убывающем или возрастающем характере развития тенденции временного ряда.

Проверку ряда на существование нелинейной тенденции рекомендуется осуществлять путем расчета линейных коэффициентов автокорреляции для временного ряда, прологарифмировав исходные уровни ряда. В случае если коэффициенты автокорреляции отличны от нуля, проводят дальнейшее исследование ряда на наличие нелинейной тенденции.

Определившись с компонентным составом ряда, необходимо установить тип связи между выявленными структурными элементами, воспользовавшись рядом признаков, указывающих на тот или иной тип, среди которых:

- Варьирование относительных отклонений эмпирических значений показателя от теоретических на приблизительно одном и том же уровне с одновременным возрастанием абсолютных отклонений, указывающее на мультипликативную связь между основной тенденцией и сезонной составляющей;

- Соответствие нормальному закону распределению относительных отклонений эмпирических значений показателя от его теоретических значений, указывающее на мультипликативную связь;

- Соответствие нормальному закону распределению относительных отклонений эмпирических значений показателя от его теоретических значений, указывающее на аддитивную связь.

На характер связи между компонентами в некоторых случаях может указывать графическое отображение данных: при визуальном увеличении амплитуды циклических колебаний выбор делают в пользу мультипликативной связи между тенденцией и циклической составляющей.

В практических целях не всегда удается однозначно идентифицировать сезонную составляющую, особенно для таких сложных многофакторных экономических процессов, как колебание валютного курса. Обозначим влияние данного фактора на динамику курса доллара к рублю, принимая в качестве расчетного периода промежуток с 2000 по 2017 г.

Рисунок 1.

Динамика курса доллара к рублю за период с 2000 г. по 2017 г.

Для выявления сезонной составляющей динамики рассматриваемого процесса выполнен ряд действий, более подробное описание которым представлено ниже.

Для описания структуры динамики колебания курса доллара за рассматриваемый период рассчитаны последовательность коэффициентов автокорреляции порядка от 1 до 700, которые представлены графиком автокорреляционной функции на рис. 2.

Автокорреляция

-Автокорреляция

Рисунок 2. График автокорреляционной функции

Несмотря на стабильно убывающий характер графика автокорреляционной функции, на коррелограмме можно заметить изменения в скорости убывания величины автокорреляции рядов в окрестности значений временных лагов, соответствующих следующим временным периодам:

- квартал: в точке «квартального лага» величина автокорреляционной функции снижается быстрее, поскольку в большей части годовых периодов, приведенных для выявления сезонности, средний уровень динамики курса доллара меняется в противоположном направлении от квартала к кварталу на протяжении года;

- год: в точке «годового лага» снижение величины автокорреляционной функции замедляется, поскольку вследствие повторения в той или иной степени поквартальной динамики, в характере годовой динамики, относящейся к разным годам, можно также заметить сходства;

- два года: замедление скорости снижения величины автокорреляции в окрестности «двухлетнего лага» является следствием причины замедления скорости снижения величины автокорреляции при годовом лаге.

Следует отметить, что годовая динамика курса доллара идентична не во всех одноименных кварталах каждого года, т. е. динамика курса доллара данного года находит свое повторение в динамике других годов «кусками», которые чаще всего представлены кварталами, либо заключены в одноименных кварталах, однако, принимая к учету чувствительность динамики рассматриваемого явления к фактору времени, поэтому в качестве периодов, в которых величина воздействия факторов сезонности принята различающейся, выбраны кварталы.

В качестве аналитического выражения, выравнивающего значения уровней временного ряда, выбран полином 4-й степени: = + «г£ + + ^¡Е1

Тестирование абсолютных и относительных отклонений фактических значений от трендовых на нормальность распределения путем расчета описательных статистик, таких как показатели эксцесса и асимметрии, показало, что распределение ряда значений относительных отклонений ближе к нормальному, чем распределение ряда значений абсолютных отклонений, что указывает на наличие мультипликативного типа связи между основной тенденцией и сезонной составляющей. Также при определении типа рассматриваемой связи можно опираться на динамику абсолютных и относительных отклонений, которая в данном случае местами указывает на наличие мультипликативной связи: динамика относительных отклонений варьируется приблизительно на одном и том же уровне, в то время как динамика абсолютных отклонений имеет тенденцию к возрастанию.

Рисунок 3.

Динамика абсолютных и относительных отклонений фактических значений курса доллара к рублю

от теоретических, полученных по уравнению тренда

Установив тип связи между сезонной компонентой и основной тенденцией, можно переходить к измерению величины воздействия сезонности на колебание курса доллара путем расчета сезонных индексов.

Индексы сезонности были рассчитаны по методу относительных величин, используя в качестве базы отношений среднемесячные теоретические уровни значений, полученных по тренду, в соответствии с которым усредняются помесячные индексы сезонности за ряд лет. где:

Л

- среднее значение индекса сезонности для периода 8 за к лет, > - среднее из фактических значений за сезон 8 к-го года,

' - среднее из теоретических значений за сезон 8 к-го года.

IS месяц

1,0412 январь

1,0411 февраль

1,0159 март

0,9937 апрель

0,9851 май

0,9898 июнь

0,9872 июль

0,9956 август

0,9963 сентябрь

0,9872 октябрь

0,9940 ноябрь

1,0058 декабрь

Рисунок 4.

Значения усредненных помесячных индексов сезонности IS

Первое, что можно отметить из полученных результатов, это ослабление рубля в зимний период под воздействием сезонного фактора, в качестве примера сезонного фактора, негативно сказывающегося на курсе рубля в зимний период, можно привести осуществление выплат российскими корпорациями по внешнему долгу. В летний период факторы сезонности в сумме оказывают на курс рубля положительное влияние. На сегодняшний день при изучении динамики курса доллара за некоторый период, сезонность не рассматривается в числе первостепенных факторов и может быть учтена среди прочих факторов в случае, если независимые переменные в достаточной мере объясняют значения уровней ряда и влияние фактора сезонности слабо ощутимо.

В зависимости от того насколько полно теоретическая модель отражает данные из предыстории, на основе которых она построена, принимают решение о применении данной модели в целях прогнозирования. Выбор метода прогнозирования основан также и на таких индивидуальных свойствах ряда значений показателя, как степень инерционности процесса, описываемого данным рядом. Однако в последнее время ввиду наблюдаемого возрастания подвижности экономических систем, вследствие их непрерывного усложнения и учащения взаимодействий элементов данной системы, возрастает необходимость в более гибком статистическом инструментарии прогнозирования.

Выделяют следующие группы методов прогнозирования в зависимости от свойств данных, закладываемых в основу прогноза:

Простейшие методы экстраполяции:

- прогнозирование в предположении сохранения значений предшествующих уровней ряда в будущем,

- метод среднего уровня,

- метод среднего абсолютных приростов,

- метод среднего темпов роста.

Экстраполяция на основе тренда;

Динамические модели прогнозирования главным образом подразделяются на:

- модели с распределенным лагом (метод последовательного увеличения числа лагов, метод Койка, метод главных компонент, лаги Алмон),

- модели авторегрессии (метод адаптивных ожиданий, модель неполной (частичной) корректировки),

- адаптивные модели (прогнозирование с учетом дисконтирования информации (экспоненциальное сглаживание, метод гармонических весов),

- прогнозные модели ARIMA (расширение ARMA) для нестационарных временных рядов).

Прогнозирования на основе кривых роста;

Прогнозирование для процессов, не имеющих тенденции.

Наибольший интерес при прогнозировании будущих состояний экономических процессов, отличающихся некоторой степенью преемственности в различных проявлениях, представляют динамические модели, главным отличием которых является задействование лаговых переменных в аналитическом представлении развития явления для достижения более тесной связи между эмпирическими и теоретическими значениями показателя. Экономические явления, в динамике развития которых помимо элементов преемственности характера изменения явления в прошлых периодах содержатся факторы изменчивости, удобно описывать и прогнозировать адаптивными моделями. Примером таких процессов является колебание курса доллара к рублю.

Как было указано одной из таких моделей прогнозного назначения является модель, основанная на методе простого экспоненциального сглаживания, предполагающего применение скользящей средней с весовыми коэффициентами, величина которых определяется экспоненциальному закону.

Формула расчета экспоненциальной средней выглядит следующим образом:

St(y) = а ■ yt + (1-а) ■ Sn(y),

81(у) — значение экспоненциальной средней временного ряда

— значение экспоненциальной средней для момента (И); у1 — значение последнего уровня исходного ряда динамики (для перспективного прогнозирования) или значение уровня временного ряда сош1алы ю-экономического явления в момент I:; а — параметр сглаживания (вес Ыго значения уровня времен-

Параметр сглаживания рассчитывается по формуле, предложенной Р.Г. Брауном:

' ' 2 а =--,

п+1

где: п - число уровней временного ряда, вошедших в интервал сглаживания. Пределы изменения а выявлены эмпирическим путем: ОД < а< 0,3-

При расчете экспоненциальных средних возникает проблема определения начальных условия, значения которые могут быть известны:

- начальное условие ув рассчитывается как среднее арифметическое всех уровней ряда:

- в качестве начального условия уд принимается значение первого уровня ряда уг, величина которого будет уменьшаться по мере удаления от данного уровня.

Если начальные условия не известны, то формула их расчета будет зависеть от того, какая модель выбрана для наилучшего описания тенденции временного ряда. Последовательность вычислительных действий для осуществления метода простого экспоненциального сглаживания для целей прогнозирования можно привести на примере ряда, тенденция которого описывается линейным уравнением тренда:

Определяются параметры уравнения № Э ^ путем решения следующей системы уравнения:

{

п а0 + ац = £у ао1Х + а^Р =

Рассчитываются начальные условия некоторой последовательности порядков, максимальное значение которой определяется числом параметров уравнения тренда:

— начальное условие первого порядка:

8,[11(у)=ао"—»

а

1

начальное условие второго порядка:

2(1"«).

Ч'

Производится расчет экспоненциальных средних первого и второго порядков по следующим формулам:

= иу( + (1 - а)- 80^(у),

где: У[ - значение фактического уровня исходного временного ряда. Прогноз строится по модели вида:

У*+ь =яи+я,1,

Где оценки коэффициентов прогноза определяются по следующим формулам:

а, -

1 -а

Для расчета ошибки прогноза применяют формулу:

а =ст.

а

(2-а)

- [1 - 4(1 -а)+5(1 - а)" + 2а(4 - За)]-1 + 2а2Ь2

где:

k - число степеней свободы

Ошибка прогноза вычисляется для выбора оптимального параметра сглаживания а.

Рассматривая авторегрессионные модели адаптивного характера в контексте динамики временного ряда колебаний валютного курса, следует упомянуть такие виды преобразований, как: AR, AM, ARMA, ARIMA.

Авторегрессионное преобразование порядка Р AR (Р) называется модель описания динамики величины Y вида:

(yt - m) = а,(у,_1 - m) + ct2(yt_2 - m) + ... + ap(yt_p - m) + ut где: m - среднее значение величины Y, U^ - белый шум (ряд случайных остатков с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией).

Преобразование методом скользящих средних порядка q MA(q) представлено формулой:

yt = У + 0oUt + PlA-l + p2Ut-2 + ... + PqUt-ч Авторегрессионное преобразование методом скользящей средней ARMA (p,q) представляет собой сочетание моделей AR (P) и MA(q), предназначено для моделирования стационарных рядов и имеет аналитическое выражение следующего вида для ARMA (1,1):

У, = Y + <*1-Уь1 + Po-Ut + Pi-ut_i

ARIMA(p,q) является аналогом модели ARMA(p,q) для нестационарных временных рядов, применяя в расчетных целях вместо объемных величин разностные:

у*= И] у*+ - + Ор у*_р + Po-U, + P]-Ut_, + ... + Pq-U,^,.

Модели AR, AM, ARMA применяются при существовании автокорреляции в остатках, в то время как набор объясняющих переменных и уравнение регрессии носят явный характер.

Приведенные модели прогнозирования являются лишь незначительной частью всего разнообразия статистических методов, что еще раз характеризует прогнозирование как одну из самых сложных задач экономического анализа, решение которой требует индивидуального подхода. Сложность статистического прогнозирования состоит еще и в том, что получение модели с высокой точностью аппроксимации данных не является гарантией получения качественного прогноза, обеспечивающего реализацию намеченного плана.

Список литературы

1. Безруков А.В., Самарина Е.П., Тенетова Е.П. Прогнозирование развития «точек роста» в высокотехнологичном секторе России на основе адаптивного моделирования // Экономика и предпринимательство. 2017. - № 9-1 (86). - С. 52-56.

2. Бородин С.А. Эконометрика: Учеб. пособие. - Мн.: Новое знание, 2001. - 408 с.

3. Дуброва Т.А. Прогнозирование социально-экономических процессов. - М.: Маркет, 2010. - 187 с.

4. Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник для бакалавриата и магистратуры. - М.: Юрайт, 2018. - 449 с.

5. Садовникова Н.А., Минашкин В.Г., Кучмаева, О.В., Дарда Е.С., Махова О.А. Статистика: учебник. - М.: Научная библиотека, 2016. - 244 с.

6. Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А., Анализ временных рядов и прогнозирование. Вып. 3: Учебно-методический комплекс. - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2009. - 264 с.

7. Материалы сайта Центрального банка РФ (ЦБ РФ). - http://www.cbr.ru/