CC BY
28
УДК 530.182,621.373.826
ЭО!: 10.20310/1810-0198-2016-21 -2-497-502
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ, ИНДУЦИРОВАННОЙ ШУМОМ, В ЛЕГИРОВАННОМ ЭРБИЕМ ОПТОВОЛОКОННОМ ЛАЗЕРЕ
© М.О. Журавлев, Д.В. Лопатин, О.И. Москаленко, М.В. Храмова, А.Н. Писарчик, Р. Джаймс-Райте
В настоящей работе приводятся результаты численного исследования индуцированной шумом перемежаемости в легированном эрбием оптоволоконном лазере с модулируемым параметром. В рамках работы предложен модифицированный метод для выделения статистических характеристик перемежающегося поведения, и с помощью данной методики получены зависимости средней длительности существования различных колебательных режимов от параметра надкритичности в легированном эрбием оптоволоконном лазере. Ключевые слова: вейвлет-анализ; колебательный режим; легированной эрбием оптоволоконный лазер.
Мультистабильность является одним из фундамен- стей ламинарных участков поведения при фиксирован-
тальных физических явлений, наблюдаемых в различ- ных значениях управляющих параметров, что позволяет
ных областях науки и техники, в т. ч. в электронике [1], однозначно определить, какой тип перемежающегося
оптике [2], механике [3] и биологии [4]. Впервые тер- поведения реализуется в исследуемой системе. мин «мультистабильность» был введен в работе, по- Таким образом, целью настоящей работы являлось
священной зрительному восприятию [5]. Для диссипа- получение статистических характеристик перемежаю-
тивных систем мультистабильность означает одновре- щегося поведения, индуцированного шумом, в мульти-
менное существование нескольких возможных конеч- стабильных системах, что в дальнейшем позволит по-
ных устойчивых состояний (аттракторов) при фикси- строить общую теорию, описывающую данный тип
рованном наборе значений параметров системы. Ус- перемежаемости.
тойчивое состояние, к которому стремится система, В качестве объекта исследований в рамках данной
зависит от начальных условий, т. е. долгосрочная дина- работы был выбран легированный эрбием оптоволо-
мика системы, соответствующая одному из устойчивых конный лазер с модулируемым параметром [15]. В ряде
состояний, определяется ее начальными условиями. недавних работ [16-17] показано, что данная динами-
При этом в настоящее время, несмотря на большое ческая система является мультистабильной, причем
количество работ, направленных на изучение мульти- при внешнем шумовом воздействии на нее она демон-
стабильности [6-8], ряд вопросов, связанных с изуче- стрирует индуцированное шумом перемежающееся
нием этого явления, до сих пор остается не решенным. поведение, которое проявляется в том, что происходит
Одним из них является изучение поведения мультиста- попеременная смена одного колебательного режима
бильных систем, находящих под внешним шумовым другим. Данная динамическая система описывается
воздействием. В работах [9-10] было показано, что следующими уравнениями воздействие флуктуаций может приводить к тому, что
описывала поведение мультистабильных систем, де- где х - это интенсивность излучения лазера; у - это
монстрирующих перемежающееся поведение в присут- среднее значение верхнего уровня лазерной генерации;
ствии шума. В связи с этим возникает необходимость Ь - длина активного волокна в лазере; ^ и представ-
детального изучения индуцированной шумом переме- ляют собой параметры, определяемые соотношением
жаемости в динамических системах, что говорит о не- между основным состояниями: поглощением а^, вы-
обходимости определения статистических характери- нужденным переходом а21 и возбужденным состояни-
стик такого типа поведения в мультистабильных сис- ем поглощения а23; Тг - время внутрирезонаторного
темах, что является важным шагом исследования лю- кругового обхода фотона; а0 - коэффициент поглоще-
бого типа перемежающегося поведения [11-14]. В роли ния слабого сигнала эрбиевого волокна на длине волны
таких характеристик, как обычно, выступают зависи- лазера; а4Ь - коэффициент внутрирезонаторных потерь
мость средней длительности ламинарного поведения от на границе; т - время жизни ионов эрбия в возбужден-
параметра надкритичности и распределение длительно- ном состоянии; г0 - радиус сердцевины волокна; w0 -
радиус основной моды волокна; г„ - коэффициент, указывающий на совпадение между основной модой лазера и активного волокна, легированного эрбием. Слагаемое Рр отвечает за спонтанное излучение основной моды лазера, а Рритр - за мощность накачки в лазере и выражается как
P = P
pump p
1 - exp[-a0ßi(l - y)]
(2)
где Рр - это мощность накачки на входе волокна, а в -безразмерный коэффициент. Параметры для моделирования были выбраны следующими: Ь = 0,88 м,
Тг = 8,7 нс , гк = 0,308, а0 = 40 м-1 , ^ = 2, ^ = 0,4 ,
ал = 3,92-10-2, ст12 = 2,3-10"17м2 , г0 = 2,7-10-6м ,
т = 10-2с, X8 = 1,б5 -10-6 м , = 3,5 -10-6 м и р = 0,5 ,
что связано с тем, что при таком выборе параметров данные численного моделирования хорошо согласуются с экспериментальными результатами.
Мощность накачки на входе волокна модулируется гармоническим сигналом
Pp = P[l- md sin(27i/d?)],
(3)
где р - это мощность накачки; тл - амплитуда колебаний; - собственная частота колебаний лазера (/ = 80 кГц в рамках настоящей работы), при этом в
данной системе возможно сосуществование до четырех периодических орбит А, ( = 1,3,4,5) с частотой субгармоник / = / /1 : период колебаний один (/1 = / = 80 кГц), период колебаний три (/3 я 27 кГц), период колебаний четыре (/ = 20 кГц) и период колебаний пять (/ = 16 кГц). Если же в мощности накачки
будет присутствовать слагаемое с шумом, то получим следующее соотношение
Pp = P[l -md sin(2rt/dt)+^G(C, fn)]
(4)
где ц - амплитуда шума, а 0(й„ /п) - функция с ненулевым средним, характеризующая шум, причем ^ меняется в переделах [-1,1]. В результате влияния шума фазовая траектория будет периодически посещать различные бассейны притяжения устойчивых аттракторов, т. е. будет происходить смена одного колебательного режима другим. Таким образом, исследуемая система перейдет из мультистабильного состояния в метаста-бильное, и в этом случае можно будет детектировать перемежающееся поведение, индуцированное шумом. При этом влиять на количество сосуществующих устойчивых состояний и наиболее вероятное из них будут параметры стохастической модуляции /„ и ц. В рамках настоящей работы они были выбраны следующими: / = 30 Гц и = 0,95 .
Чтобы определить статистические характеристики перемежающегося поведения, индуцированного шумом, в легированном эрбием оптоволоконном лазере с модулируемым параметром, была использована методика, предложенная в работе [18]. Данный метод осно-
ван на использовании непрерывного вейвлетного преобразования с комплексным базисом [19-21], при этом для того чтобы определить, какой из колебательных режимов реализуется в настоящий момент в исследуемой системе, необходимо сопоставить значения мгновенных распределений энергии вейвлетного преобразования на характерных временных масштабах, соответствующих каждому из колебательных режимов, которые могут существовать в данной системе, при этом необходимо учитывать нормировку вейвлетного спектра [22]. Подробно данная методика определения длительности характерных колебательных режимов описана в работе [18].
Тем не менее, данная методика не всегда позволяет корректно определить, какой колебательный режим реализуется в исследуемой системе, что хорошо иллюстрирует рис. 1а, где представлена интенсивность излучения лазера, и рис. 1б, где приведены соответствующие ей нормированные зависимости мгновенного распределения энергии вейвлетного преобразования от времени для периодов колебаний: период колебаний один (/ = / = 80 кГц), период колебаний три
(/ я 27 кГц), период колебаний четыре (/ = 20 кГц) и
период колебаний пять (/ = 16 кГц). Очевидно, что в
данном случае в исследуемой системе не реализуется период колебаний один, при этом согласно данной методике он присутствует, кроме этого длительность существования «ошибочного» колебательного режима меньше одного периода. Стоит отметить, что данный артефакт метода является достаточно серьезным, т. к. полученные таким образом статистические характеристики будут значительно отличаться от реальных. В связи с этим при использовании данной методики выделения статистических характеристик было наложено дополнительное условие, что длительность любого колебательного режима не может быть меньше одного периода колебаний. Такая модернизация исходного метода позволила избавиться от артефактов.
Далее было проведено численное моделирование легированного эрбием оптоволоконного лазера и были получены статистические характеристики (зависимость средней длительности существования колебательного режима от параметра надкритичности) для каждого из колебательных режимов. При этом в качестве параметра надкритичности выступал параметр (л-ло), где л о -граничное значение амплитуды шума, при котором в исследуемой системе становится возможным наблюдать тот или иной колебательный режим. На рис. 2 представлены зависимости средней длительности существования различных колебательных режимов от параметра надкритичности. Стоит отметить, что средние длительности существования всех колебательных режимов не подчиняются ни одному из известных теоретических законов для различных типов перемежаемости. Тем не менее, для периода 1 (рис. 2а) данная зависимость ведет себя очень схоже с теоретическими закономерностями для известных типов перемежаемости, а именно, при минимальных значениях параметра надкритичности среднее время существования данного типа колебания максимально, а при увеличении данного параметра среднее время существования уменьшается и после некоторого значения становится почти постоянным. Тем не менее, для других колебательных режимов (рис. 2б-2г) это не свойственно.
Рис. 1. а - приведена зависимость интенсивности излучения от времени для оптоволоконного лазара, легированного эрбием с модулируемым параметром, при этом амплитуда шума равна ^ = 0,85, б - представлены нормированные зависимости мгновенного распределения энергии вейвлетного преобразования от времени для периода колебаний один ^ = ^ = 80 кГц, для периода колебаний три /3 х 27 кГц, для периода колебаний четыре = 20 кГц и для периода колебаний пять /5 = 16 кГц
/> <А
Рис. 2. а - зависимость средней длительности существования периода колебаний один от параметра надкритичности (q -1 ), где 1 = 0,05, б - зависимость средней длительности существования периода колебаний три от параметра надкритичности (q - % ), где % = 0,05, е - зависимость средней длительности существования периода колебаний четыре от параметра надкритичности (l - 1 ), где 1 = 0,29, г - зависимость средней длительности существования периода колебаний пять от параметра надкритичности (q -10 ), где q0 = 0,44
Таким образом, результаты, полученные в рамках настоящей работы, представляют значительный интерес, т. к. в дальнейшем позволят построить корректную теоретическую модель, описывающую индуцированную шумом перемежаемость в мультистабильных системах. Кроме этого, модифицированный метод для выделения статистических характеристик в мультиста-бильных системах может быть использован при дальнейших исследованиях индуцированной шумом перемежаемости [23-24].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Maurer J., Libchaber A. Effect of the Prandtl number on the onset of turbulence in liquid 4He // Journal de Physique Lettres. 1980. V. 41. № 21. P. 515-518.
2. Brun E., Derighetti B., Meier D., Holzner R., Ravani M.J. Observation of order and chaos in a nuclear spin-flip laser // Opt. Soc. Amer B. 1985. V. 2. P .156-167.
3. Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. Chichester: Wiley, 1986. 460 p.
4. Foss J., Longtin A., Mensour B., Milton J.G. Multistability and delayed recurrent loops // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 708-711.
5. Atteneave F. Multistability in perception // Sci. Am. 1971. V. 225. № 6. P. 63-71.
6. Giglio M., Musazzi S., Perini U. Transition to chaotic behavior via a reproducible sequence of period-doubling bifurcations // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 243-246.
7. Bachar G., Segev E., Shtempluck O., Shaw S.W., Buks E. Noise-induced intermittency in a superconducting microwave resonator // EPL. 2010. V. 89. № 1. P. 17003.
8. Pedaci F., Giudici M., Tredicce J.R., Giacomelli G. Stochastic resonance in bulk semiconductor lasers // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P. 36125.
9. Kuno M., Fromm D.P., Hamann H.F., Gallagher A., Nesbitt D.J. Nonexponential "blinking" kinetics of single CdSe quantum dots: A universal power law behavior // J. Chem. Phys. 2000. V. 112. P. 31173120.
10. Stone E., Holmes P. Noise induced intermittency in a model of a turbulent boundary layer // Physica D. 1989. V. 37. P. 20-32.
11. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Midzyanovskaya I.S., Sitnikova E. Yu., van Rijn С.М. On-off intermittency in time series of spontaneous paroxysmal activity in rats with genetic absence epilepsy // CHAOS: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2006. V. 16. P. 043111.
12. Sitnikova E.Yu., Hramov A.E., Grubov V. V., Ovchinnikov A.A., Koronovskii A.A. On-off intermittency of thalamo-cortical oscillations
in the electroencephalogram of rats with genetic predisposition to absence epilepsy // Brain research. 2012. V. 1436. P. 147-156.
13. Hramov A.E., Koronovskii A.A., K^r^sk^^a M.K. Zero Lyapunov exponent in the vicinity of the saddle-node bifurcation point in the presence of noise // Phys. Rev. E. 2008. V. 78. P. 036212.
14. Короновский А.А., Куровская М.К., Храмов А.Е. Распределение длительностей ламинарных фаз для перемежаемости типа I в присутствии шума // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17. № 5. С. 43-59.
15. Pisarchik A. N., Kir'yanov A., Barmenkov Y., Jaimes-Reategui R. Dynamics of an erbium-doped fiber laser with pump modulation: theory and experiment // J. Opt. Soc. Am. B. 2005. V. 22. № 10. P. 21072114.
16. Campos-Mejia A., Pisarchik A.N., Arroyo-Almanza D.A. Noise-induced on-off intermittency in mutually coupled semiconductor laser // Chaos Solitons Fractals. 2013. V. 54. P. 96-100.
17. Pisarchik A. N., Jaimes-Reategui R., Sevilla-Escoboza R., Huerta-Cuellar G., Taki M. Rogue Waves in a Multistable System // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. P. 274101.
18. Журавлев М.О., Короновский А.А., Москаленко О.И., Писар-чик А.Н., Ридер Д.Р., Храмов А.Е. Выделение характерных колебательных режимов в динамике легированного эрбием оптоволоконного лазера // Изв. РАН. Сер. физическая. 2015. Т. 79. № 12. С. 1711-1714.
19. Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вевлетный анализ и его приложения. М.: Физматлит, 2003. 176 с.
20. Hramov A.E., Koronovskii A.A. An approach to chaotic synchronization // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Scienc. 2004. V. 14. № 3. P. 603-610.
21. Короновский А.А., Храмов А.Е. Об эффективном анализе перехода к хаосу через перемежаемость с помощью вейвлетного преобразования // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. № 1. С. 3-11.
22. Koronovskii A.A., Hramov A.E., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 056207.
23. Короновский А.А., Храмов А.Е., Шурыгина С.А. Неавтономная индуцированная шумом синхронизация // Изв. РАН. Сер. физическая. 2009. Т. 73. № 12. С. 1728-1731.
24. Короновский А.А., Храмов А.Е., Храмова А.Е. К вопросу о синхронном поведении связанных систем с дискретным временем // Письма в ЖЭТФ. 2005. Т. 82. № 3. С. 176-179.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 15-32-20299 и 16-32-60078).
Поступила в редакцию 4 апреля 2016 г.
UDC 530.182,621.373.826
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-497-502
STATISTICAL CHARACTERISTICS OF NOISE-INDUCED INTERMITTENCY IN ERBIUM-DOPED FIBER LASER
© M.O. Zhuravlev, D.V. Lopatin, O.I. Moskalenko, M.V. Khramova, A.N. Pisarchik, R. Jaimes-Reategui
In this paper we present the results of numerical studies of noise-induced intermittency in the erbium-doped optical fiber laser with a modulated parameter. We propose modified wavelet-based method for the determination of the statistical characteristics of intermittent behaviour and using this technique obtain dependences of the average duration of the existence of different oscillation regimes on the critical parameter in the erbium-doped optical fiber laser.
Key words: wavelet; oscillation regimes; erbium-doped optical fiber laser.
REFERENCES
1. Maurer J., Libchaber A. Effect of the Prandtl number on the onset of turbulence in liquid 4He. Journal de Physique Lettres, 1980, vol. 41, no. 21, pp. 515-518.
2. Brun E., Derighetti B., Meier D., Holzner R., Ravani M.J. Observation of order and chaos in a nuclear spin-flip laser. Opt. Soc. Amer B., 1985, vol. 2, pp. 156-167.
3. Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. Chichester, Wiley Publ., 1986. 460 p.
4. Foss J., Longtin A., Mensour B., Milton J.G. Multistability and delayed recurrent loops. Phys. Rev. Lett., 1996, vol. 76, pp. 708-711.
5. Atteneave F. Multistability in perception. Sci. Am., 1971, vol. 225, no. 6, pp. 63-71.
6. Giglio M., Musazzi S., Perini U. Transition to chaotic behavior via a reproducible sequence of period-doubling bifurcations. Phys. Rev. Lett., 1981, vol. 47, pp. 243-246.
7. Bachar G., Segev E., Shtempluck O., Shaw S.W., Buks E. Noise-induced intermittency in a superconducting microwave resonator. EPL, 2010, vol. 89, no. 1, p. 17003.
8. Pedaci F., Giudici M., Tredicce J.R., Giacomelli G. Stochastic resonance in bulk semiconductor lasers. Phys. Rev. E., 2005, vol. 71, pp. 36125.
9. Kuno M., Fromm D.P., Hamann H.F., Gallagher A., Nesbitt D.J. Nonexponential "blinking" kinetics of single CdSe quantum dots: A universal power law behavior. J. Chem. Phys., 2000, vol. 112, pp. 3117-3120.
10. Stone E., Holmes P. Noise induced intermittency in a model of a turbulent boundary layer. Physica D., 1989, vol. 37, pp. 20-32.
11. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Midzyanovskaya I.S., Sitnikova E.Yu., van Rijn S.M. On-off intermittency in time series of spontaneous paroxysmal activity in rats with genetic absence epilepsy. CHAOS: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2006, vol. 16, p. 043111.
12. Sitnikova E.Yu., Hramov A.E., Grubov V.V., Ovchinnikov A.A., Koronovskii A.A. On-off intermittency of thalamo-cortical oscillations in the electroencephalogram of rats with genetic predisposition to absence epilepsy. Brain research, 2012, vol. 1436, pp. 147-156.
13. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Kurovskaua M.K. Zero Lyapunov exponent in the vicinity of the saddle-node bifurcation point in the presence of noise. Phys. Rev. E., 2008, vol. 78, p. 036212.
14. Koronovskiy A.A., Kurovskaya M.K., Khramov A.E. Raspredelenie dlitel'nostey laminarnykh faz dlya peremezhaemosti tipa I v prisutstvii shuma. Izvestiya vuzov. Prikladnaya nelineynaya dinamika, 2009, vol. 17, no. 5, pp. 43-59.
15. Pisarchik A. N., Kir'yanov A., Barmenkov Y., Jaimes-Reategui R. Dynamics of an erbium-doped fiber laser with pump modulation: theory and experiment. J. Opt. Soc. Am. B., 2005, vol. 22, no. 10, pp. 2107-2114.
16. Campos-Mejia A., Pisarchik A.N., Arroyo-Almanza D.A. Noise-induced on-off intermittency in mutually coupled semiconductor laser. Chaos Solitons Fractals, 2013, vol. 54, pp. 96-100.
17. Pisarchik A. N., Jaimes-Reategui R., Sevilla-Escoboza R., Huerta-Cuellar G., Taki M. Rogue Waves in a Multistable System. Phys. Rev. Lett., 2011, vol. 107, p. 274101.
18. Zhuravlev M.O., Koronovskiy A.A., Moskalenko O.I., Pisarchik A.N., Rider D.R., Khramov A.E. Vydelenie kharakternykh kolebatel'nykh rezhimov v dinamike legirovannogo erbiem optovolokonnogo lazera. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Seriya fizicheskaya, 2015, vol. 79, no. 12, p. 1711-1714.
19. Koronovskiy A.A., Khramov A.E. Nepreryvnyy vevletnyy analiz i egoprilozheniya. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2003. 176 p.
20. Hramov A.E., Koronovskii A.A. An approach to chaotic synchronization. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2004, vol. 14, no. 3, pp. 603-610.
21. Koronovskiy A.A., Khramov A.E. Ob effektivnom analize perekhoda k khaosu cherez peremezhaemost' s pomoshch'yu veyvletnogo preobrazovaniya. Pis'ma v zhurnal tekhnicheskoy fiziki (Pis'ma v ZhTF) — Applied Physics Letters, 2001, vol. 27, no. 1, pp. 3-11.
22. Koronovskii A.A., Hramov A.E., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform. Phys. Rev. E., 2007, vol. 75, pp. 056207.
23. Koronovskiy A.A., Khramov A.E., Shurygina S.A. Neavtonomnaya indutsirovannaya shumom sinkhronizatsiya. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Seriya fizicheskaya, 2009, vol. 73, no. 12, pp. 1728-1731.
24. Koronovskiy A.A., Khramov A.E., Khramova A.E. K voprosu o sinkhronnom povedenii svyazannykh sistem s diskretnym vremenem. Pis'ma v Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki» (Pis'ma v ZhETF) — Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters, 2005, vol. 82, no. 3, pp. 176-179.
GRATITUDE: The work is fulfilled under support of Russian Fund of Fundamental Research (projects no. 15-32-20299 and 16-32-60078).
Received 4 April 2016
Журавлев Максим Олегович, Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А., г. Саратов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, е-mail: zhuravlevmo @gmail .com
Zhuravlev Maksim Olegovich, National Research Saratov State University; Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Research Worker, е-mail: zhuravlevmo @gmail .com
Лопатин Дмитрий Валерьевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического моделирования и информационных технологий, е-mail: +79107540080@ya.ru
Lopatin Dmitriy Valerevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Mathematical Modeling and Information Technology Department, е-mail: +79107540080@ya.ru
Москаленко Ольга Игоревна, Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, г. Саратов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, е-mail: o. i.mo skalenko @gmail .com
Moskalenko Olga Igorevna, National Research Saratov State University, Saratov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, е-mail: o.i.moskalenko@gmail.com
Храмова Марина Викторовна, Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, г. Саратов, Российская Федерация, кандидат педагогических наук, доцент, е-mail: mhramo-va@gmail.com
Khramova Marina Viktorovna, National Research Saratov State University, Saratov, Russian Federation, Candidate of Pedagogy, Associate Professor, е-mail: mhramova@gmail.com
Писарчик Александр Николаевич, Центр биомедицинских технологий, Мадридский политехнический университет, г. Мадрид, Испания, кандидат физико-математических наук, профессор, е-mail: apisarch@cio.mx
Pisarchik Aleksander Nikolaevich, Center for Biomedical Technology, Technical University of Madrid, Madrid, Spain, Candidate Physics and Mathematics, Professor, е-mail: apisarch@cio.mx
Джаймс-Райтег Ридер, Гвадалахарский университет, Университетский центр Лос-Лагос, Халиско, Мексика, доктор физико-математических наук, профессор, е-mail: rjaimes@culagos.udg.mx
Jaimes-Reategui Rider, Universidad de Guadalajara, Centro Universitario de los Lagos, Jalisco, Mexico, Doctor of Рhysics and Mathematics, Professor, е-mail: rjaimes@culagos.udg.mx
