Статистические характеристики импульсной фазовой автоподстройки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396

Б. И. Ш ахтарин, А. В. С в и н ц о в, Д. А. С в я т н ы й

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНОЙ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ

Рассмотрен метод решения векторного уравнения Колмогорова— Чемпена. Получены плотности распределения вероятностей фазового рассогласования в дискретных системах синхронизации второго порядка в переходном режиме.

Эквивалентная схема рассматриваемой системы синхронизации (СС) приведена на рис. 1. В качестве воздействия на входе СС рассматривается аддитивная смесь полезного сигнала, широкополосного гауссового шума, а также ряда гармонических составляющих, определяющих детерминированное паразитное колебание:

^вх = А бт(ОСкТ0 + вс(к)) + пг(к) + ^ Аг бт(огкТ0 + вг(к)),

г

где А, Ос, вс(к) — амплитуда, частота несущей и закон изменения фазы полезного колебания соответственно; Аг, Ог, вг(к) — амплитуда, частота несущей и закон изменения фазы г-й составляющей паразитного детерминированного колебания соответственно; п\ (к) —шумовые отсчеты с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а.

Так как сигнал поступает на вход СС после прохождения линейного тракта с ограниченной полосой пропускания, шумовые отсчеты п(к) удобно представить в виде квадратур:

п\ (к) = пс(к) соб(о0кТ0) + п8 (к) бш(о0кТ0),

Рис. 1. Эквивалентная функциональная схема дискретной СС с равномерной дискретизацией при наличии помех

где Ш0 — частота, на которую настроен линейный тракт; пс(к), п3(к) — независимые гауссовые шумовые отсчеты.

Колебания на выходе цифрового синтезатора (ЦСО) можно описать следующим образом:

иц(к) = Ац соэ(ШокТо + вц(к)),

где Ац, 9ц (к) — амплитуда колебаний и закон изменения фазы на выходе ЦСО соответственно; Т0 — период дискретизации.

ринцип действия квадратурного цифрового фазового детектора (ЦФД) следующий: две входные последовательности перемножаются, затем из результата исключается суммарная составляющая и умножается на 2. Таким образом, колебание на выходе ЦФД записывается в виде

(к) = АдАц jsin((wc - Lo0)kT0 + 9c(k)-

Оц(к)) + ПСА)СО8(-0ц (к)) + П^Ак)81П (-вц(к)) +

+ ^ А[ - ^°)кТс + Ог(к) - 0ц(к))}, (1)

г

где Ад — коэффициент умножения детектора. Введем обозначения для начальной расстройки Шн:

Шн = Шс - &0, (2)

фазовой ошибки или фазового рассогласования х(к):

хк(к) = ШнкТо + вс(к) - вц(к), (3)

и частотной расстройки помехи вг относительно несущей часто™ полезного колебания:

вг = Шг - Шс. (4)

Введем обозначения п(к) для шумовой составляющей, входящей в выражение (4):

п(к) = пс(к) сов(вц(к)) + п3(к) эт(-вц(к)). (5)

При выполнении условиямумовая полоса системы много меньше полосы шума на входе — отсчеты п(к) можно считать широкополосными гаусовыми шумовыми отсчетами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсией и2п.

Пд

С учетом уравнений (2)-(5) выражение (1) перепишем в виде

ид(к) = ЛЛЛЦЛ\ sin (ж(k)) +

+ ^ Л sin(x(k)+ ßtkTo + вг(к) - вс(к)) \. (6)

Анализ выражения (6) для колебания на выходе ЦФД позволяет свести функциональную модель цифровой СС при наличии комбинированного входного воздействия (помехи) к виду, изображенному на рис. 2, б. Особенности полученной эквивалентной схемы заключаются в следующем: на выходе детектора существует пересчитанный выходной шум; блоки, идентичные по числу гармонических составляющих; суммирование с ошибкой слежения системы разностных фаз между полезным воздействием и соответствующей гармонической составляющей помехи. В отличие от шумовой помехи, составляющие детерми-рованной помехи не удается пересчитать в эквивалентное воздействие на выход ЦФД. Для построения разностного уравнения запишем выходной сигнал цифрового фильтра в символическом виде:

Щ(к) = Кф(г)пд (к), (7)

где Кф(г) — коэффициент передачи фильтра в ¿-области. Изменение фазы колебания с выхода ЦСО пропорционально управляющему сигналу ЦФНЧ, поэтому имеет место следующее равенство:

вц(к + 1) - вц = КцНф(к), (8)

где Кц — эквивалентная крутизна перестраиваемого генератора. Используя уравнение (6), можно получить изменение фазовой ошибки за период дискретизации:

х(к + 1) - х(к) = ОнТо + вс(к + 1) - вс(к) - вц (к + 1) + вц(к).

Из выражений (6)-(9) следует

х(к + 1) - х(к) = ОнТо + вс(к + 1) - вс(к) - КцКф(г)пд(к). (9)

Подставляя выражение (6) в уравнение (9), последнее следует рассматривать в качестве цифровой СС для произвольного фильтра, записанного в символическом виде:

x(k + 1) = шТ + x(k) + вс(к + 1)-

n(k)

- Oc(k) - КцКф(г)ЛдЛцЛ< sin(x(k)) +

A

+ ^ A sin(x(k) + ßtkTo + ед - ОД)

С учетом уравнения (6) приходим к разностному уравнению цифровой СС второго порядка с произвольным фильтром:

х(к + 2) = (1 - Ь\)х(к + 1) + Ьгх(к) + (1 + Ьг)ШнТо+ + вс(к + 2) + (Ь - 1)вс(к + 1) - Ьгвс(к) - аоБ(вт(х(к + 1)) +

+ п(кА+ 1) + £ А й^п(х(к + 1) + (к + 1)вгТо + вг(к +1)-

г

- вс(к + 1))) - аг^в1п(х(к + 1)) + пА)+

+ £ АА й^п(х(к) + квгТо + в г (к) - ВД)) ,

г

где К = АдАцАКца; Кг = К/А; Б = АдАцАКц следует рассматривать в качестве обобщенного коэффициента усиления кольца синхронизации.

Для цифрового пропорционально интегрирующего фильтра (ПИФ), коэффициент передачи которого определяется выражением

Кф (*) = ^^^ + т, (Ю)

где д, т — параметры фильтра; а0 = т, аг = 1 - тд, Ьг = -д. Уравнение (10) преобразуем к виду

х(к + 2) = (1 - д)х(к + 1) + дх(к) + (1 - д)шнТо + вс(к + 2)+

+ (1 + в)вс(к + 1) + две (к) - тБ(вт(х(к + 1)) + п(к + 1) +

А

+ £ А 8[п(х(к + 1) + (к + 1)вгТо + вг(к +1) - вc(k + 1)))-

- (1 - md)S(sin(x(k + 1)) + n(k)+

Л

+ ^ A sin(x(k) + (k)ß{To + 6i(k) - 6c(k))),

Нормированная частотная расстройка в определяется выражением

в=2П.

Установим соответствие между коэффициентами:

K = S(mdd~ 1}; ( S = Kd(Y - 1); md | m= Y

7 = то-г; 1 д(7 -1}'

Рассмотрим разностные уравнения в новых обозначениях в случае, когда на входе системы присутствуют аддитивная смесь полезного колебания и помехи (в виде гармонического колебания).

Для СС ПИФ получим

х(к + 2) = (1 + д)х(к + 1) - дх(к) + 2прТ0(1 - д)- К-у 81п(х(к + 1)) + Кд 81п(х(к)) - К^и(к + 1) + К1ди(к)--Кхвт(х(к+1) + (к + 1)АТ0 + 0г) + К1дА1 в1п(х(к)+в1кТ0+0г),

где х(к) — фазовая ошибка; К — обобщенный коэффициент усиления, Кг = К/А, А — амплитуда входного колебания; 7, д — параметры фильтра; ц — параметр, отвечающий за частотную расстройку,

2пвТ0(1 - д)

^ =----—; ик — отсчеты входного шума.

а(7 - а)

Для применения аппарата марковских случайных процессов проведем ряд преобразований. Сначала введем переменные х1(к) = хк-1, х2(к) = хк, затем перейдем к системе двух уравнений, описывающих двумерную последовательность:

' xi(k + 1) = X2(k); x2(k + 1) = (1 + d)x(k + 1) - dx(k) + ц,d(j - d)r(k)-— Ky sin x(k + 1) + Kdsin x(k) — K1Y[n(k + 1) +

+ ^ Аг sin(x(k + 1) + (k + 1)вгТ) + 9%(k + 1) - ec(k + 1))] +

i

+ Kid{n(k) + ^ Ai sin(x(k) + в-ikTo + 9t(k) - 9c(k)),

i

где r(k) = 9c(k + 2) - (1 + d)9c(k + 1) + d9c(k) отвечает за модуляцию входной фазы; вг — частотная расстройка i-й помехи; 9г — фаза i-й помехи.

Запишем преобразование координат для комбинированного воздействия в виде системы уравнений:

' xi(k) = U2(k);

d(Y — d)(Y — 1) y + dY — d п, X2(k) = —---1 ui(k) +--U2(k)-

Y Y

— Ky sin u2(k) + dp — K1Y< n(k) +

+ Y Ai sin(xi(k) + kßTo + 6i(k) - ec(k))\.

Систему уравнений в координатах (u1, u2) можно представить как

d 1 y

ui(k + 1) = - ui(k)--U2(k) + p + -г,-ir;-7Г r(k);

Y Y d(Y— d)(Y— 1)

tu , л\ d(Y — d)(Y — 1) пл , Y + dY — d u2(k + 1) =-ui(k) +--u2(k) —

Y Y

— Ky sin u2(k) + dp — K^s n(k) +

+ Y Ai sin(u2(k) + kßTo + 0¿(k) - 0c (k))

Соответственно, уравнение для комбинированного воздействия примет вид

Wk+i(Ui,U2) =

1

X

х i Wk\ d

x exp

YUi + V2 - pY -

Y 2

-r(k)

,V2 x

2c2y 2

d(Y - d)(Y - 1) U2 - (y - d)(Y - 1)ui - YV2 + Ky sin V2-

-^Y(1+d-Y)+KiY Y Ai sin(v2+k^iTo+0i(k)-0c(k))+dr(k)

dV2.

Заметим, что в наиболее общем случае плотность распределения вероятностей (ПРВ) зависит от времени в явном виде. Это означает, что установившаяся ПРВ будет нестационарной .По аналогии с процедурой, описанной при выводе уравнения КЧ для случая гармонического сигнала на входе, можно перейти к новым координатам (иг, и2) на цилиндрическом фазовом пространстве, где иг принимает произвольные

1

2

значения, и2 принимает значения из диапазона [0,Т2]. При этом выражение для ПРВ на цилиндрическом фазовом пространстве Wk(и1,и2) может быть записано в следующем виде:

^^к+1.(и1,и2) = 1

X

X

Е

T2

h-

1 0

х exp

1

Y{ui + Tin} + V2 - ^Y -1

Y2

-r(k)

2c2y 2

d(Y - d)(Y - 1) U2 + Т2П - (y - d)(Y - 1){ui + Tin}-

,V2 X

- YV2 + Ky sin V2 - ^Y(1 + d - Y) + KiY ^ A sin(v2 + kß%To+

+ вг(k) - 0c(k)) + dr(k)

dV2.

Уравнение КЧ можно конкретизировать для некоторых частных случаев входных воздействий. В частности, при отсутствии модуляции входного колебания и наличии гармонической помехи изменение двумерной ПРВ во времени описывается уравнением

сю

'Шк+1(и1,щ)= 1 ^ У тк^^[7и1 + ^ - х

х exp

1

2c2y 2

[U2 - (y - d)(Y - 1)ui - YV2 + Ky sin V2-

- ^7(1 + й - Y) + К^Л1 вт^ + кад + 01)]21 йщ.

На рис. 2, а, б, в приведены характерные изменения одно- и двумерных ПРВ во времени в зависимости от начального распределения фазовой ошибки в системе. Динамика автономной системы во всех случаях вбиралась одной и той е и характеризовалась состоянием синхронизма и двумя устойчивыми предельными циклами второго рода с периодами 2 и 3. Таким образом, состояние синхронизма не имеет глобальной устойчивости. При этом предполагали, что области притяжения циклов значительно меньше областей притяжения состояния синхронизма. а рис. 2, а, б приведено изменение одно- и двумерной РВ для начального распределения вблизи состояния синхронизма. Как видно из рисунков, система быстро приходит к установившемуся состоянию. Процесс сопровождается количественным изменением плотности распределения в соответствии с параметрами СС и интенсивностью шумового воздействия .При большой интенсивности шума

d

2

2,00 1,15 1,50 1,25 1,00 0,75 0,50 0,25 О

А

и J 11 2 \ /

I 4

л

-7t -JX/4 -Tf/2 -7(14 0 Tt/tf jt/2 Mß

Рис. 2. Изменения одно- и двумерных ПРВ во времени в зависимости от начального распределения фазовой ошибки в системе:

К = 0,8 (а); К = 0,9 (б, в); р = 10 дБ, Qi = 0, в = 0,1, 7 = 1,9, То = 0,7 при й = 1 (а, б, в); А =0 (а, в), 0,1 (б); А\ =0 (а), 0,8 (б, в)

наблюдается размывание ПРВ около области синхронизма, и наоборот, при малой интенсивности шума распределение с каждой итерацией принимает более локализованный вид. Рассматриваемый случай имеет место, когда основная доля начальной ПРВ сосредоточена в области притяжения состояния синхронизма, причем движение происходит без проскальзывания фазы.

На рис. 2, в показана эволюция двумерных ПРВ фазовой ошибки для случая начальной РВ в области, далекой от синхронизма. ри этом некоторая часть начальной ПРВ находится в области притяжения состояния синхронизма, откуда движения изображающих точек происходят без проскальзывания фазы, а часть — в области, где движение сопровождается переходом на следующий период. Во время переходного процесса одномерное распределение фазовой ошибки приобретает равномерный характер, а двумерная ПРВ вытягивается вдоль ui. Данное явление объясняется непрерывностью преобразования ПРВ, что, с учетом выбора начальных условий, приводит к растягиванию двумерного распределения вдоль одной из координат. Как видно из рис. 2, время до установившегося режима слабо зависит от интенсивности шумового воздействия на входе .При этом, безусловно, для больших интенсивно-стей шума установившаяся ПРВ размазана в большей степени. Данный факт можно объяснить случайностью и независимостью шумовых отсчетов, а таюке значительными размерами области притяжения состояния синхронизма. Поэтому влияние шума сводится лишь к размыванию ПРВ и в среднем не приводит к какому-либо качественному изменению характера движений изображающих точек.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шахтарин Б. И. Статистическая динамика систем синхронизации. - М.: Радио и связь, 1998.

2. Шахтарин Б. И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. - М.: ИПРЖР, 1996.

3. W e i nb e r g A., L i u В. // IEEE Trans. 1974. V СОМ-22. № 2. P. 123.

4. Башмаков M. B., Казаков Л. Н. Статистические характеристики систем фазовой синхронизации // Электросвязь. - 2001. - № 6. - С. 25.

5. Казаков Л. Н., Башмаков М. В. Математические модели стохастических цифровых систем фазовой синхронизации: Учеб. пособие. Яросл. гос. ун-т. - Ярославль: Изд-во Яросл. ун-та, 2001.

6. Святный Д. А. Сравнение статистических характеристик СФС 1-го порядка и ИСФС 2-го порядка при наличии гармонических помех на входе // Фундаментальные проблемы создания автономных информационных и управляющих систем (АИУС) / Шифр "Кедр-5". Приложение. - Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002 г.

Статья поступила в редакцию 10.12.2003