Статистическая оценка характеристик проектируемого самолета с помощью метода Монте-Карло Текст научной статьи по специальности «Математика»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м IV 197 3

№ 2

УДК 629.735.33,01.03

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЕКТИРУЕМОГО САМОЛЕТА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО

В. Е. Денисов, В. К. Исаев, А. М. Рябов, Л. М. Шкадов

Для оценки характеристик самолета на стадии проектирования предполагается, что параметры, определяющие его летно-технические данные, являются вероятностными величинами с соответствующими законами распределения. Для численного построения законов распределения (гистограмм) летно-технических данных проектируемого самолета используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В качестве исходных распределений параметров самолета используются нормальные и бета-распределения, для моделирования которых применяется метод Неймана. Даны примеры статистических оценок летно-технических данных (длина разбега, крейсерская дальность) одного из вариантов пассажирского самолета. Полученные результаты сравниваются с результатами расчета методом моментов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В число задач оценки технической обоснованности проекта самолета на начальных этапах его разработки входит задача оценки влияния степени неопределенности различных исходных параметров проектируемой системы на ее выходные характеристики (летно-технические данные, стоимость, эффективность и т. д.).

Если исходные параметры считать случайными величинами с заданными законами распределения, то эта задача сводится к определению вероятностных характеристик выходных величин.

Аналитическое решение задачи преобразования случайных величин возможно только в относительно простых случаях [1—3]. В более общих случаях для получения законов распределения и их численных характеристик (математических ожиданий, дисперсий и пр.) используется численный метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Как всякий численный процесс, использующий случайные числа, метод Монте-Карло является приближенным. Погрешность оценки математического ожидания по вероятности, даваемая методом Монте-Карло, имеет порядок TV-0’5, где N—число испытаний [1]. Таким образом, при достаточно большом N метод гарантирует сколь угодно малую ошибку е.

Дадим точную формулировку задачи.

Дан оператор F(x) преобразования вектора x(xlt х2, .... Xq) в вектор У (Уь У2> ■■ ■ > У#)- Пусть Xj имеют заданные плотности распределения Pj(xj), 7=1, 2, . . . , Q. Требуется найти плотности распределения Pi(yi{x))5 = 1, 2...... R.

Распределение случайной величины характеризуется тремя видами параметров, определяющих соответственно его центр, масштаб и форму. Нормальное (гауссово) распределение с плотностью

(Л--М)2

1

Р (■*) =

2а»

'V2n

полностью определяется параметрами центра — математическим ожиданием М и масштаба — дисперсией а и не имеет параметра формы.

Смещемие Симметрично Смещение

* -г*.

2)oc=lSS;fi=ij9S

Я in

3)<x.=0/-,p=l}S

masc

r . r* '7Г7177

/, 2, 3 — большая степень неопределенности; 4, 5, 6 — средняя степень неопределенности; 7, 8, 9—-малая степень неопределенности

Фиг. 1

Распределение случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом, бета-распределение, имеет два параметра формы а и 13:

р (х) — А (х — xmin)a (*max — xf,

где р(х) — плотность вероятности величины X,

-*шах> -*min — соответственно наибольшее и наименьшее предполагаемые значения X, • '

Г (о + Р + 2)

Л Г(в+|)Г(Р+1)(д:П1„-Г (г) — гамма-функция.

\а-НЁ!-И

Наиболее вероятное значение величины х определяется выражением

+ ß-*min

т = -------Но----->

математическое ожидание '"'max

Р а + 1

М = I хр (X) <1* = (Jfmax Xmjn) а _|_ р 2 "Ь -*min’

*min

а дисперсия

хшах

. /» (a-f 1) (й + 1)

Dx — J (х М)2р (х) dx ~ о _j_ 2)2 (а р _|_ 3) (-^max -^min)2-xmin

В зависимости от выбора а и ß можно получить различные качественные формы законов распределения плотности вероятности, в том числе и равномерное распределение (a = ß = 0). При отсутствии более точной информации о законе распределения его можно задать минимальным и максимальным предполагаемыми значениями величины, степенью неопределенности и направлением отклонения от симметричного распределения, т. е. одним из девяти типовых законов, иллюстрируемых фиг. 1 [4].

АЛГОРИТМ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Для применения метода Монте-Карло необходимо иметь способ получения случайной величины с заданным законом распределения. Различные методы и алгоритмы моделирования неравномерных распределений изложены в монографиях [2] и [5].

В настоящей работе использовался метод Неймана [2], который заключается в следующем. Задана ограниченная плотность распределения р(х). Пусть £ и т) — равномерно распределенные в промежутке [0, 1] случайные величины. Выбираем случайные числа £ и ч] и проверяем неравенство:

P [£ (-^max -^tnin) •«min] V SUP Р (■*)•

■^rain^^^^max

Если неравенство выполняется, то число i = i(xmax — хтт) -)- хт,п принимаем в качестве искомой случайной величины, распределенной соответственно с плотностью р{х) на интервале [xmin> Jrmax]. Если же неравенство не выполняется, то пару (5, 7)) отбрасываем и берем следующую. В этом методе нет необходимости знать функцию распределения. Для реализации случайного вектора заданной размерности с заданными для каждого компонента законами распределения в алгоритме используются два датчика псевдослучайных чисел с равномерным распределением на промежутке [0, 1]. Таким образом, по методу Неймана получаем Xi с требуемой плотностью Pi(xi) на интервалах [хт-1п ¡, .«max г] (/ = 1,2......Q).

Для каждой реализации вектора х вычисляем значение функции F(x). После Декретного обращения к процедуре счета F (х) накопленную информацию статистически обрабатываем (строим гистограммы и вычисляем основные моменты).

ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ЛЕТНО-ТЕХНИЧЕСКИХ ДАННЫХ САМОЛЕТА

В качестве примеров рассмотрим в упрощенной постановке две типичные задачи оценки летно-технических характеристик одного из вариантов пассажирского самолета: длины разбега и дальности полета. В этих задачах F(x) суть операторы интегрирования и вычисления значений нелинейной функции, метод моментов в этих условиях является приближенным.

Статистическая оценка длины разбега. Длина разбега находится из следующего соотношения:

1 г уау 1 с

g } _р_ ,

о

/ :

а

Здесь О = (?к ”Ь ^?об

с. у

2(7 ^ 0

■Ь Ог; От

отр

т/ тУи 0 вес топлива.

/•

■ /Су отр)

1334м 2129м 2256м 2333м 2663м 1в3^ „ Е2,2£ 225^ л-тл"1

Длина разВега М~2256м\б= 127м Длина разбега М-2256м\в-130-м

2663м

Длина разВега М-2256М-, <з = 127м *)

Фиг. 3

Случайными величинами приняты Р— тяга, Ок — вес конструкции, <30б— вес оборудования, йс у — вес силовой установки, сх 0, сжотр и су0тр — аэродинамические коэффициенты при отрыве, Кп — скорость в момент отрыва от взлетной полосы передней стойки шасси,/—коэффициент трения.

На этом примере было проанализировано влияние законов распределения исходных параметров на численные характеристики плотности распределения I и вид гистограммы. Для числа N = 1000 испытаний рассмотрены следующие варианты (фиг. 2):

1. Все параметры распределены по усеченному нормальному закону в диапазоне [М; — 4<¡1, Мг + 4и(] (см. фиг. 2, а).

2. Все параметры распределены по одному из 9 типовых законов, приведенных на фиг. 1 (см. фиг. 2, б).

3. Все параметры распределены по равномерному закону (см. фиг. 2, в).

При этом варианты 1 и 2 рассматривались при условии равенства соответствующих значений математических ожиданий и дисперсий.

Фиг. 4

Основные моменты Мин приведены в таблице, где указаны также их теоретические значения, найденные методом моментов.

Вариант Метод Монте-Карло Метод моментов

М [л] а [л] М [м] а [м]

1 2256 126,9 2250 122,8

2 2256 133,7 2250 122,8

3 2148 190,0 2145 191,6

Как видно из таблицы, различие между обоими методами вычисления математического ожидания и среднего квадратичного отклонения практически незначительны.

Статистическая оценка дальности полета. В рассмотренном примере дальность полета считается функцией девяти случайных величин:

(сх о, А, Ср, (7Т< р, £р, ¿пл» Ок. 0об, у),

где сх о — коэффициент сопротивления при нулевой подъемной силе на крейсерском режиме полета, А — коэффициент отвала крейсерской поляры, ср— коэффициент тяги двигателя, От р — расход топлива при разгоне и наборе высоты, £р — дальность участка разгона и набора высоты, ¿пл — дальность участка планирования. Остальные величины аналогичны рассмотренным в предыдущем примере.

Пример численной реализации заданных законов распределения входных параметров для N = 5000 приведен на фиг. 3.

При каждой случайной реализации исходных величин режим работы двигателя при полете на дальность оптимизируется.

На фиг. 4 приведены гистограммы распределения дальности полета для значений N= 800, 2000, 5000, 9000. Там же указаны полученные величины М и а. Расчет методом моментов дает значение М = 3911 км, а = 363 км.

Таким образом, оба метода дают близкие значения численных характеристик. Однако метод моментов не позволяет установить связь диапазона изменения летно-технических характеристик с вероятностью их реализации и, в зависимости от вида функции и количества случайных параметров, может оказаться более трудоемким.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М., Срагович В. Г., Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М., Физматгиз, 1962.

2. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М., .Наука“, 1971.

3. Вентцель Е. С. Теория вероятности. М., Физматгиз, 1962.

4. Д е н е м а н П. Ф. Выражение неопределенности оценки стоимости системы методом Монте-Карло. Перевод ГОНТИ-1, 028—69, 1969.

5. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М., „Мир“, 1969.

Рукопись поступила 30/Ш 1972 г.