CC BY
67
УДК 378.146:51
Крашенинникова Ю. В.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТИРОВАНИЯ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Тестирование является одним из мощных инструментов контроля знаний учащихся. Автор разработал и успешно применяет экзаменационные тесты по следующим математическим дисциплинам: вводный курс алгебры и аналитической геометрии, линейная алгебра, теория вероятности, дифференциальные уравнения и операционное исчисление. Экзаменационный тест не призван заменить собой экзамен полностью, он лишь дополняет стандартные формы контроля. Результаты тестирования дают четкое представление об уровне знаний студентов, что позволяет сократить вторую, устную часть экзамена. Объективность и простота обработки результатов являются главными плюсами тестового контроля. Проверка тестовых заданий на пригодность к использованию не требует привлечения каких-либо специализированных математических программных продуктов и может быть осуществлена с помощью программы Мю1геой Excel.
При разработке тестовых заданий автор руководствовался следующими принципами. Во-первых, содержание тестовых заданий должно полностью охватывать основные темы учебного курса и соответствовать требованиям содержания учебной дисциплины, зафиксированным в государственных образовательных стандартах. Во-вторых, содержание теста должно соответствовать целям тестирования. Далее приведен один из вариантов теста по вводному курсу алгебры.
0 - 2 -1
1. Вычислить определитель 4 5 0
3 21
Г1 - л
2. A =
3 0
B =
Г 0 2 1 ^
2 1 3
Г1 - 4 2 ^
C =
Какое из произведений является матрицей размера 2*2? 1) ABC; 2) BCA; 3) CBA; 4) CAB.
3. Пусть \а\ = 5 .
1 и векторы а и Ь сонаправлены. Вычислить {а, Ь). 4. Известно, что вектор а составляет с координатными осями равные острые углы. Тогда направляющие косинусы вектора а равны:
1) 7Т 2) т; 3) -í; 4) -ТГ
5. Указать ранг матрицы
(1 -1 2 01
0 1 -2 3
0 0 0 4
V 0 0 0 0 у
6. Вычислить: /- .
7. Известно, что многочлен 8-ой степени со старшим коэффициентом 2 имеет корни 3, 1, -2, кратности которых равны, соответственно, 1, 4, 3. Тогда свободный член многочлена равен: 1) -48; 2) 102; 3) -51; 4) -2400.
8. Не прибегая к алгоритму деления с остатком, указать остаток от деления многочлена х5 + 2х4 + х3 + 2 на многочлен х2 - 1:
1) 0; 2) 2х + 4 ; 3) 3х2 + 2 ; 4) х2 + 3х + 3.
9. Известно, что среди корней многочлена 5-ой степени с вещественными коэффициентами есть корни х = 2 кратности 1 и х = -6 - 71 кратности 2. Укажите все остальные корни многочлена и их кратность.
10. Пусть А =
(10 0 1 0 1 3
V0 0 1 у
. Не вычисляя обратную матрицу, указать А 1
(1 0 0 1 (1 0 01 (1 0 01
1) 0 1 - 3 ; 2) 0 1 0 ; 3) 0 1 1/ /3 ; 4)
V0 0 1 у V0 3 1 у V0 0 1 у
0 1
0 - X 1
11. Общее решение системы линейных уравнений имеет вид
( 1 1 -1 2 1
+ и
(1 1 (21
5 7
+ V
3 0
V 0 у V 1 у
Тогда ранг матрицы этой системы равен: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
12. Однородная система линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А имеет ненулевое решение. Какое из следующих утверждений неверно?
1) строки матрицы А линейно зависимы; 2) система имеет бесконечно много решений; 3) определитель матрицы А равен 0; 4) система имеет единственное решение.
13. Укажите, какие из перечисленных ниже систем векторов являются базисом в 3-х мерном арифметическом пространстве.
1) а(1, 5, 8), Ь (0, - 2, 4);
2) а(0, 9, 6), Ь (8, 6, - 4), о (3, 6, - 4), 3(5, 0, 1);
3) 5(6, - 2, 0), Ь (0, 0, 0), с(- 4, 8, - 4);
4) а(1, 5, - 7), Ь (0, - 3, 2), о(0, 0, 7).
14. Как изменится определитель матрицы, если поставить ее первый столбец на последнее место, а порядок остальных столбцов оставить прежним?
1) умножится на -1; 2) не изменится; 3) умножится на (-1)" 1;
4) умножится на (-1)" .
15. Пусть А - квадратная матрица порядка 3, |А| = 1. Тогда определитель матрицы 3А равен: 1) 9; 2) 27; 3) 1; 4) 3.
16. Найти площадь многоугольника с вершинами в точках, изображающих на комплексной плоскости все значения + 343 .
17. Пусть вектор X = 7 X Г . Тогда (Х, к) равно: 1) 1; 2) ^; 3) -1; 4) 0.
18. Числа 190, 171, 133 делятся на 19 без остатка. Объяснить без вычислений,
почему определитель матрицы
Г1 9 0 ^ 1 7 1 133
\
также делится на 19.
19. Если г + - = 1 то сумма г123 +—!— равна: 1) 0; 2) -2; 3) 32; 4) 32(1+/).
г г
20. Сколько решений может иметь система линейных уравнений, если столбцы основной матрицы системы линейно независимы?
Тестовые задания сбалансированны по содержанию: количество заданий по каждой теме в процентном отношении соответствует объему данной темы в курсе. По уровню сложности заданий тест можно разделить на три блока. К блоку легких заданий относятся задания 1-5, для решения которых необходимо воспользоваться одной формулой или базовыми знаниями по данной теме. Группу заданий 6-17 можно отнести к среднему уровню сложности. Большинство из них расчитаны на проверку знаний по теории. Задания, для решения которых необходимо применить сразу несколько базовых знаний или решение которых не очевидно, относятся к блокам боле сложных заданий. Например, задание 19 сразу же решается, если равенство
1 ,
г +--= 1 интерпретировать геометрически.
г
Надо заметить, что не всякое содержание представляется в формате тестового задания. Доказательства, обширные математические выкладки трудно выражаются
или совсем не выражаются в тестовой форме. Пытаясь решить эту проблему, автор предлагает набор тестовых заданий, по сути представляющих собой небольшие фрагменты доказательств, позволяющих оценить уровень понимания студентом теоретического материала и его способность применить свои знания. Например: сколько решений может иметь система линейных уравнений, если столбцы основной матрицы системы линейно независимы?
В экзаменационном тесте предпочтение отдается заданиям, выполнение которых требует минимальных вычислений или не требует их вообще.
Соблюдены стандартные требования и к форме теста. Тест состоит, как правило, из 20 заданий. В тесте присутствуют задания трех видов: задания закрытого типа с четырьмя вариантами ответов, задания открытого типа и задания на установление соответствия. Вот пример задания на установление соответствия:
Укажите тип дифференциального уравнения (уравнение с разделяющимися переменными; однородное уравнение; линейное уравнение; уравнение в полных дифференциалах):
1) х yy ' = y2 + 2х2;
2) х2 d y + (3 - 2х y)d х = 0;
3) h cos ydx + xtgydy = 0;
4) (x + sin y)d x + (x cos y + sin y)d y = 0 .
Задания закрытого типа составляют 80 % от общего числа заданий. Подбор дис-тракторов - неверных вариантов ответов в заданиях закрытого типа - ориентирован на наиболее типичные ошибки, допускаемые студентами. При оценке результатов тестирования автором используется дихотомическая оценка, т. е. испытуемому начисляется 1 балл за правильный ответ и 0 баллов за неверный ответ или пропущенное задание.
Апробация экзаменационных тестовых заданий была проведена в трех группах учащихся первого курса. В тестировании участвовало 50 испытуемых. Полученные в ходе тестирования результаты были статистически обработаны с помощью программы Мю1геоп Excel. Результаты тестирования заносятся в таблицу таким образом, чтобы сумма элементов i-й строки представляла собой число баллов, набранных i-м испытуемым, а сумма элементов j-го столбца - число правильных ответов на j-е задание. Первая задача статистической обработки теста заключается в том, чтобы подобрать теоретическую плавную кривую, наилучшим образом описывающую статистическое распределение индивидуальных баллов испытуемых. В таблице 1 содержится простой статистический ряд случайной величины. На основании этих данных вычислены основные характеристики распределения: среднее арифметическое индивидуальных баллов испытуемых M=9,38; стандартное отклонение распределения ^=0,16; коэффициент асимметрии A=0,16. Построена гистограмма распределения индивидуальных баллов испытуемых и теоретическая кривая распределения (рис. 1). Согласованность теоретического и статистического распределений была проверена
с помощью критерия согласия %2 Пирсона. Оказалось, что распределение индивидуальных баллов испытуемых близко к нормальному распределению, значение стандартного отклонения указывает на хорошие дифференцирующие способности теста,
а близкий к нулю коэффициент асимметрии - на сбалансированность заданий теста по трудности.
Таблица 1.
частота X X2 М «2 D сг X3 «з /¿3 А Норм. распред.
0,02 1 1 0,02 0,02 1 0,02 0,015294 0,001448
0,04 2 4 0,08 0,16 8 0,32 0,022736 0,01311
0,04 3 9 0,12 0,36 27 1,08 0,03214 0,001922
0,1 4 16 0,4 1,6 64 6,4 0,043204 0,074664
0,02 5 25 0,1 0,5 125 2,5 0,055227 0,02247
0,04 6 36 0,24 1,44 216 8,64 0,067133 0,010966
0,06 7 49 0,42 2,94 343 20,58 0,077601 0,003992
0,1 8 64 0,8 6,4 512 51,2 0,085299 0,002534
0,12 9 81 1,08 9,72 729 87,48 0,08916 0,010667
0,06 10 100 0,6 6 1000 60 0,088624 0,009245
0,1 11 121 1,1 12,1 1331 133,1 0,083768 0,003145
0,04 12 144 0,48 5,76 1728 69,12 0,075293 0,016543
0,1 13 169 1,3 16,9 2197 219,7 0,064355 0,019744
0,02 14 196 0,28 3,92 2744 54,88 0,052306 0,019954
0,02 15 225 0,3 4,5 3375 67,5 0,040428 0,010322
0,06 16 256 0,96 15,36 4096 245,76 0,029714 0,03087
0 17 289 0 0 4913 0 0,020767 0,020767
0,04 18 324 0,72 12,96 5832 233,28 0,013802 0,049725
0,02 19 361 0,38 7,22 6859 137,18 0,008723 0,014578
0 20 400 0 0 8000 0 0,005243 0,005243
9,38 107,86 19,8756 4,458206 1398,74 14,14694 0,159655 0,34191
17,09548
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Число набранных баллов
□ Гистограмма распределения индивиду альных баллов испытуемых
- Теоретическая кривая нормального распределения
Рис. 1. Гистограмма распределения индивидуальных баллов испытуемых и теоретическая
кривая распределения.
Кроме исследования распределения индивидуальных баллов испытуемых анализируется содержание тестовых заданий. По данным, содержащимся в столбцах таблицы результатов тестирования, вычисляется коэффициент трудности каждого задания - статистическая вероятность того, что задание не будет выполнено. Около половины заданий имеет показатель трудности 50%. Для определения степени корреляции заданий между собой рассчитываются коэффициенты связи по формуле
где е/?( , - коэффициент корреляции результатов по двум заданиям теста с номерами / и -; Р{ ■ - статистическая вероятность одновременного выполнения >го и j-го заданий; Р{ - статистическая вероятность выполнения >го задания; Р- - статистическая вероятность выполнения j-го задания (Переверзев, 2003).
Положительные значения коэффициентов связи указывают на то, что задания нацелены на проверку уровня знаний по сходному содержанию. Для повышения качества теста следует удалить задания с отрицательными коэффициентами корреляции и, кроме того, не включать в тест несколько заданий, проверяющих один и тот же содержательный элемент. Считать коэффициенты связи имеет смысл при составлении итоговых тестов, проверяющих знания студентов сразу по нескольким разделам курса. В этом случае следует стремиться к невысоким положительным значениям коэффициентов связи. Критериальная валидность отдельных заданий теста была оценена с помощью подсчета значений коэффициента бисериальной корреляции
где М1 - - среднее арифметическое индивидуальных баллов испытуемых, выполнивших j-е задание верно; М0- - среднее арифметическое значение индивидуальных баллов испытуемых, выполнивших _]-е задание неверно; СТ - стандартное отклонение распределения индивидуальных баллов испытуемых; N1 - - число испытуемых,
выполнивших j-е задание верно; N0- - число испытуемых, выполнивших j-е задание неверно; N - общее число испытуемых ( Переверзев, 2003).
Большинство заданий имеют положительное значение коэффициента бисери-альной корреляции, а следовательно, подходят для достижения основной цели тестирования - дифференциации испытуемых.
Наконец, результаты тестирования не должны зависеть от внешних условий проведения теста. Для определения надежности теста была использована формула Кьюдера-Ричардсон:
n -1
f n , Л
IP (1 - Pj )
1 - ^-;-
где гп - коэффициент надежности теста; п - число заданий в тесте; Р- - статистическая вероятность выполнения j-го задания; а - стандартное отклонение распределения индивидуальных баллов испытуемых (Переверзев, 2003).
Коэффициент гп оказался равен 0,74, что свидетельствует о достаточной надежности теста.
Результаты экспертизы позволяют утверждать, что предложенные тесты адекватны предъявляемым к ним стандартным требованиям (Майоров, 2002, Челышкова, 2002) и могут быть использованы в учебном процессе.
n
r =
n
Литература
1. Майоров А. Н. Теория и практика создания тестов для системы образования. - М.:
Интеллект-центр, 2002.
2. Переверзев В. Ю. Критериально-ориентированное педагогическое тестирование: Учеб. по-
собие. - М.: Логос, 2003.
3. Челышкова М. Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов: Учеб. посо-
бие. - М.: Логос, 2002.
Krasheninnikova Y STATISTICAL PROCESSING OF THE TEST RESULTS IN HIGHER MATHEMATICS
Tests are effectual and relevant form of the control of student's knowledge. This paper discusses some aspects of creating tests for examinational control and checking their quality. It also gives a variant ofstatistical processing of the test results based on Microsoft Excel program.
Key words: algebra examinational tests, approbation of test, statistical processing of test results.
