CC BY
14
УДК 621.7.043
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ ВЫТЯЖКИ ПО МЕТОДУ ЭРИКСЕНА
Я. А. Вилимок
Рассматривается статистический анализ результатов экспериментов вытяжки по методу
Эриксена.
Ключевые слова: сферический купол, вытяжка, уравнение регрессии, коэффициент трения, предельная высота.
В исследованиях производственного и лабораторного характера часто приходится изучать связи между количественными или качественными признаками. Эти связи, называющиеся функциональными, можно описать методами математического анализа. Вероятностные связи между случайными величинами многообразны и сложны. Наиболее простой и имеющей важное практическое значение является корреляционная связь, которая между двумя или несколькими случайными переменными величинами выражается в том, что на изменения одной случайной величины другая реагирует изменениями своего математического ожидания [2].
На основе проведенных с помощью МКЭ исследований вытяжки сферического купола по методу Эриксена для алюминия А5М и стали 12Х18Н10Т различных толщин [3] выявлены закономерности влияния толщины материала t и диаметра пуансона d и методом статистической обработки результатов экспериментов получены уравнения регрессии. Применяемый в промышленности метод испытания на формовку сферической лунки по Эриксену обеспечивает наиболее близкую к двухосному растяжению схему деформирования и позволяет оценить способность листового металла к деформированию, связанному с уменьшением толщины заготовки. Исследования проводились для диаметров пуансона d = 3,8, 15, 20 мм и значений толщин материала t = 0,2 ... 1 мм в соответствии с ГОСТ 10510-80 [1].
В таблице 1 приведены результаты исследований для стали 12Х18Н10Т при коэффициенте трения // =0,1.
Исходя из полученных результатов установлено, что взаимосвязь между переменными линейна, следовательно, уравнение регрессии определяется с помощью полинома первой степени. Для проведения регрессионного анализа и нахождения уравнения регрессии были введены относительные величины: относительная толщина 1отн = t/d и относительная высота Ъотн = H/d.
Найденные уравнения регрессии позволят устанавливать предельную высоту сферического купола при известных толщине материала, диаметре пуансона и коэффициенте трения.
Таблица 1
Результаты исследований для стали 12Х18Н10Т_
d = 3 мм
t, мм 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Н, мм 1,66 1,86 2,055 2,265 2,47 2,66
d = 8 мм
t, мм 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Н, мм 3,75 3,92 4,19 4,38 4,57 4,75 4,94 5,14 5,35
d = 15 мм
t, мм 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Н, мм 5,65 5,95 6,25 6,65 6,85 7,05 7,28 7,45 7,63
d = 20 мм
t, мм 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Н, мм 8,2 8,6 9,2 9,48 9,71 9,9 10,1 10,35 10,6
Ниже, в качестве примера, приведен порядок нахождения и анализа уравнения линейной регрессии у = ах+Ь, где х = 1отн, у = Ьотн для стали 12Х18Н10Т при коэффициенте трения // = 0,1:
1. Составляется таблица вспомогательных величин (таблица 2).
2. Вычисляются коэффициенты ая Ь уравнения линейной регрессии:
_ I £ у; - п £ х1у1 _ 2,7411 • 21,5946 - 39 • 1,6761
а ~ (Е ЪУ ~п£х? ~ 2,74112 - 39 • 0,2694 * 2'0619;
_ 2,7411 • 1,6761 - 0,2694 • 21,5964 _ О.)2-"!*? 2,74112 - 39 • 0,2694 ~ '
Исходя из полученных значений искомое уравнение принимает вид:
у = 2,0619 + 0,4088.
Технологии и оборудование обработки металлов давлением
Таблица 2
Вспомогательные величины
; Xi У> ху, хг УГ
1 0.01 0.41 0.0041 0.0001 0.1681
2 0.0143 0.4036 0.0058 0.0002 0.1629
3 0.015 0.43 0.0065 0.0002 0.1849
4 0.0214 0.425 0.0091 0.0005 0.1806
37 0.15 0.722 0.1083 0.0225 0.5213
38 0.167 0.755 0.1261 0.0279 0.57
39 0.2 0.79 0.158 0.04 0.6241
I 2.7411 21.5946 1.6761 0.2694 12.2905
3. Вычисляются коэффициенты линейной парной корреляции (гху) и детерминации (Я2): ПI *1У1 - Iх1 £ У; 39 • 1,6761 - 2,7411 • 21,5964
7(712Х2 - (£ з02)(п£у? - (ХуО2) л/С39 • 0,2694 - 2,74112)(39 • 12,2905 - 21,59462) « 0,9895;
Д2 = ^ = 0,98952 « 0,9791.
Так как 0,9 < гху< 1, то связь между рассматриваемыми признаками высокая.
4. Проводится оценка значимости параметров регрессии и корреляции.
Для этого рассчитывается среднее значение х:
IV 2,7411
х = -} х,=-= 0,0703;
я ¿шш1 39
и составляется таблица вспомогательных величин (таблица 3), где:
- л и
У1
Вспомогательные величины
Таблица 3
; х, У, Уь Х1-Х - х)2 ег А, Ае, (Ае,)2
1 0.01 0.41 0.4294 -0.0603 0.0036 -0.0194 0.0004 0.0473 — —
2 0.0143 0.4036 0.4383 -0.056 0.0031 -0.0347 0.0012 0.0859 -0.0153 0.0002
3 0.015 0.43 0.4397 -0.0553 0.0031 -0.0097 0.0001 0.0226 0.025 0.0006
4 0.0214 0.425 0.4529 -0.0489 0.0024 -0.0279 0.0008 0.0657 -0.0182 0.0003
37 0.15 0.722 0.7181 0.0797 0.0064 0.0039 0 0.0054 -0.0011 0
38 0.167 0.755 0.7531 0.0967 0.0094 0.0019 0 0.0025 -0.0021 0
39 0.2 0.79 0.8212 0.1297 0.0168 -0.0312 0.001 0.0394 -0.033 0.0011
I — — — — 0.0768 — 0.007 0.8364 — 0.0113
5. Вычисляется средняя ошибка аппроксимации:
0,8364
100% = 39 • 100% « 2,1445%;
I У[
Так как коэффициент аппроксимации ~ 2 %, то погрешность уравнения регрессии невысокая. 6. Вычисляется фактический Р-критерий Фишера:
ГЛ , ч 0,9791 , р/аы = , ,7 (п - 2) = ;-^тг^гг (39 - 2) « 1731,3778;
'ху
1 -'"ху4'" 1 - 0,9791
После чего находится табличный критерий Фишера:
Р,аы ~ 4,1055, так как ^ = 1, Ат = п - 2 = 39 - 2 = 37 и а = 0,05.
Поскольку фактическое значение Ргаи> Р^ы, то коэффициент детерминации статистически значим: найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна.
7. Находятся случайные ошибки параметров а, Ь и коэффициента корреляции гху:
тП =
Ш-уд2
XOj-Xj)2 п — 2
N
0.007
0,0768 39 -2
0,0496;
mh =
N
Ш-уУ
I*i2
n^Ui - хУ
N
0.007
0.2694
39 - 2 39 • 0,0768
0,0041;
тг
\
1 - г2
-1- 'ху
N
0.98952
39-2
0,0238.
Анализ точность определения оценок уравнения регрессии показал, что коэффициенты найдены верно.
8. Рассчитываются ^статистики Стьюдента. Табличный коэффициент Стьюдента:
иаы ~ 2,0262, так как ё/= и-2 = 39-2 = 37 иа = 0,05 и фактические коэффициенты:
41,6098; ta=A=«
тЬ 0,0041
99,2504; tr =
' ' 'ху
'■Гху
41,6098.
Поскольку 4, 4, trxy>ttabi, то статическая значимость коэффициентов регрессии подтверждается. В результате проведенных вычислений найдено уравнение регрессии для стали 12Х18Н10Т при коэффициенте трения // = 0,1 и проведена оценка значимости параметров этого уравнения.
Приведенная выше последовательность вычислений была применена для результатов экспериментальных исследований алюминия А5М и стали 12Х18Н10Т при различных коэффициентах трения // = 0,05... 0,2. Полученные уравнения регрессии приведены в табл. 4.
Уравнения регрессии
Таблица 4
Коэффициент трения (x Сталь 12X18H10T Алюминий A5M
0,05 homn = 2,415tomn + 0,443 homH = l,924tomn + 0,393
0,1 homH = 2,062tomH + 0,409 homu = 1,645t0mu + 0,362
0,15 homn = l,563t0mH + 0,361 homn 1 >292tomH 0,311
0,2 homu = l,241tomH + 0,316 homu = 0,956t0mn + 0,275
Используя найденные уравнения, зная диаметр пуансона и толщину материала, можно вычислять предельную высоту вытяжки купола для алюминия А5М и стали 12Х18Н10Т при двухосной схеме напряженного состояния.
Рассмотренная методика может быть применена для обширной номенклатуры материалов, что позволяет использовать ее на практике, например, на производстве.
Список литературы
1. ГОСТ 10510-80. Метод испытания на выдавливание листов и лент по Эриксену. М.: Изд-во стандартов, 1993. 6 с.
2. Пучков Н.П. Теория вероятностей и математическая статистика в системе политехнического образования: учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамбовского государственного технического университета, 2017. 80 с.
3. Ларин С.Н., Вилимок Я.А., Поцелуев К.О. Исследование двухосного напряженного состояния по методу Эриксена // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2019. Вып. 12. С. 107 - 109.
Вилимок Ярослав Александрович, магистр., vilimokya(a);yahoo.com. Россия, Тула, Тульский Государственный Университет
STATISTICAL PROCESSING OF THE RESULTS OF DRA WING STUDIES BY THE ERIKSENMETHOD
Y.A. Vilimok
Statistical analysis of the results of drawing experiments by the Eriksen method is considered.
Key words: spherical dome, drawing, regression equation, coefficient of friction, limit height.
Vilimok Yaroslav Aleksandrovich, undergraduate, vilimokya(a);yahoo.com. Russia, Tula, Tula State
University
