Статический критерий устойчивости трубных анизотропных заготовок Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Оценено влияние анизотропии механических свойств на силовые режимы процесса обжима трубных заготовок.

На рис. 3 представлены графические зависимости изменения относительной силы Р при обжиме трубных заготовок от коэффициента нормальной анизотропии К. Анализ графических зависимостей показывает, что с увеличением коэффициента анизотропии Я относительная сила обжима Р уменьшается. 'Гак, при увеличении коэффициента анизотропии Я с 0,2 до 2 относительная сила процесса уменьшается на 25 %.

Библиографический список

1. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов / Н.Н. Малинин. -М: Машиностроение, 1986.-221 с.

2. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных металлов / С.П. Яковлев [и др.]. - М: Машиностроение-1, Изд-во ТулГУ, 2004. - 427 с.

3. Яковлев С.П. Обжим и раздача тонкостенных цилиндрических оболочек из анизотропного материала жестким инструментом в режиме ползучести / С.П. Яковлев, А.В. Черняев, Д.В. Крылов // Изв. ТулГУ. Сер. Технические науки. - 2007. - Вып. 2. - С. 133 - 137.

Получено 23.04.08

УДК 621.98.011

Е.Н. Сосенушкин, Е.И. Третьякова,

А. Махдиян (Москва, МГТУ «Станкин»)

СТАТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТРУБНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЗАГОТОВОК

Рассмотрена математическая модель статического критерия потери устойчивости трубных заготовок с учетом анизотропии механических характеристик и приведены результаты численных экспериментов для различных сталей.

Сущность статического критерия устойчивости состоит в том, что рассматриваются состояния равновесия, бесконечно близкие к основному

Рис. 3. Графические зависимости изменения Р от Я (У = 0,5мм!с; Ко=2,0; Ц = 0,1)

состоянию равновесия, т.е. при некотором значении нагрузки наряду с основной формой возможна другая форма равновесия, а именно, при искривлённой заготовке.

Для решения задачи устойчивости цилиндрической трубы с начальными и текущими размерами - радиусом срединной поверхности /^р, высотой начальной и текущей к; толщиной начальной $о и конечной 5,

под действием осевых сжимающих нагрузок - используем статический критерий устойчивости [1].

На рис. 1 показана трубная заготовка в начальный момент потери устойчивости, где . /?: 5г>. 5 — начальные и конечные высота и толщина

/ ' у - ■ у -

стенки соответственно; /^р, р - начальный и конечный радиусы срединной поверхности соответственно; сор, со - начальный и текущий прогиб заготовки.

Рис. 1. Схема потери устойчивости трубной заготовки при обжиме

Авторами работы [2] предложено учитывать влияние анизотропии в расчетах условий потери устойчивости по следующей математической модели.

Рассматриваемая трубная заготовка из цилиндрически-ортотропного материала, подчиняющегося условию текучести Мизеса -Хилла [3]:

2/(Оу) = ^’(ст^ -аг)2 +С7(аг -ах)2 +Н(ах-су)2 =1 (1)

и ассоциированному закону течения

5б* = ^ - су) + С(ах - сг)];

2 (Я + ^ + С) о і

5е„ =----------------

у 2(Я + ^ + (?) о,-

§8,-

-ст-) + ЯГа.. -<7у)1:

^ и 4 У ^' 4 у

где интенсивность напряжений а,- определяется по выражению

[

т

<*«=

2 (Р + в + Н)

- стг)2 + С?(аг -ах)2 + Я(стх - сту)2

Уг

, (3)

а приращение интенсивности деформаций 6ег- - как

\2

бе,- =

2(^4 (7 +Я)

V

К7 + СЯ + ЯР

г

+ н

РЬгх - СбВу Рв + СН + НР

ч2

У

Ябе2 - ^5ех ЛзТоЯ + ЯР

Уг

,(4)

где Я, С? - параметры анизотропии.

Дифференциальное уравнение устойчивости цилиндрического участка трубы при осевом сжатии имеет вид [ 1 ]

сГ(бМ)

ск

2 + °х

2

.УЙГСО

Д

+—8Г = 0;

(5)

ср

+5/2 +«/2

бМ = \Ьохг(к; 5Т = \bGydz, (6)

-5/2 -5/2

где 6Г - изменение дополнительно возникшей при потере устойчивости окружной силы вследствие выпучивания срединной поверхности заготовки; со - прогиб срединной поверхности заготовки; 6М - приращение момента внутренних сил при изменении кривизны срединной поверхности

Труба находится в плоском напряжённо-деформированном состоянии ввиду отсутствия напряжений по толщине (52= 0 и деформаций срединной поверхности в окружном направлении 8-^ = 0; Ыу = 0.

Из выражений (2) имеем [3]

На

Яуох

Р(°у)+Я(<Тд,-сгх) = 0;(Р + Я)Оу = Ябх; оу = — ^ ;ау (7)

С учётом коэффициентов анизотропии заготовки в направлениях

р' Ц

оси и в тангенциальном направлении Ях =—Яу%,Яу = —.

Принимая во внимание выражения (7) для определения сту окончательно получим

Ст/= ед )ах, (8)

5ст/=ад)бстх; (9)

1/

где В(Яі) =

1 3 + Ку + у^ + К)? + Кх&у

]) 2(ЯХ + Я у + ) о+^>2

1/2

6єг=ОД)бєх, (10)

+лу+&хку) 1 (ЯхДу+/?/■+2^+1+/г/)1/,‘ где Од), у. --------------------------------------------.

Запишем зависимость интенсивности напряжений а,- от интенсивности деформаций в виде

а/ = а/0 + Аг-1. (11)

Продифференцировав выражение (11), найдём касательный модуль упрочнения Ек

Ек=^- = Апг{п~1 =АпСп~1 (Яг )ехи-1, (12)

гг - а*0 + ЛС /1^\

£«) ' ( ' После преобразования (2) с учетом (7) получим приращение деформации сжатия

2 3 Ку 8е ^хКу + 1 + Ку /1<(Ч

8ех =-----------------------------------—ох. (14)

* 2 2(ЛХ + ЯхЯу + Я у) о,- 1 + Л^

Отсюда следует

2 (Кх + + Яу)(1 + Ку) ст,- 2 „ сл

ах =----------------------------------------т^дех’ 05)

х 3 Яу(Я}Ях + 1 + Яу) 5е; **

§ах=5} {Ц)Ек5гх, (16)

> \ _ 2 №х +Кх&у + Ку) 0 + ^у)

Ч ) ~~ Т ~ ~ ^ - ТЧ •

где Л] (Л;

1 ' 3 Лу КуЯх + \ + Яу

С момента появления складки деформация заготовки происходит в основном за счёт выпучивания стенки. Радиальные напряжения и деформации малы и ими можно пренебречь. Тогда 5ех ~-8еу, откуда следует,

где

Принимая во внимание выражение (17), будем иметь

Оо'у “■ у ,

g __ 2 №х ^х^у Ry)Q 2~3 Ry(RyRx + \ + Ry) (2Ry + \)RX

(18)

По гипотезе плоских сечений при изгибе принимаем линейную зависимость приращения деформаций по толщине трубы, т.е.

5zx = 5eq + z

2

d со _ со

—• 5еу=~y

(19)

с1х‘ л'ср

где 0£о - бесконечно малое приращение деформации срединной поверхности заготовки.

Решая совместно уравнения (5), (6), (15) - (19) после интегрирования, получаем

О А ^

.у со й со _ „ _ со

B\{Ri)Ek

\2dx

d2 со dx2

-B2(Ri)Ek

= 0.

R

(20)

cp

Поведение боковой поверхности заготовки при потере устойчивости достоверно описывается функцией [1]

2гсс

со = 0,5соо

1-COS

И

(21)

Принятая функция удовлетворяет граничным условиям о)=0 и

— = 0 при х = 0,х = И и условию изгиба со=соо; — = 0 при х = —. После dx dx 2

подстановки принятого выражения функции су и её дифференциалов в

уравнение (20) и математических преобразований получаем

2кх

.2

Bi(Rj)EkS2 4тт4 3 И4

-О

4п'

х и2

+ (Ri)Ek

2 пх

cos

h

-1

= 0.

R

(22)

cp

В уравнении (22) величина cos----- изменяется от -1 до +1. Теоре-

h

тические кривые эквидистантны экспериментальным кривым при

cos—— — —■ [1]. Учитывая это, подставим — в уравнение (22) вместо h 2 2

2пх

cos—, тогда получим

о

хкр

= Ек

h

Rcp24n2_

(23)

Подставляя в уравнение (23) значения Ек и ах из уравнений (12) и (13) и выражая текущие размеры заготовки через начальные параметры

(принимая ех = 1п^- и, следовательно, И = /го/ее* ,5 = $0^* )> получаем [2]

*П + АСп(Ъ) е/

5 к

.2. 2 4є

3^0

4я2Яср2е2є*

^0 _

2п2еЗЄхЯ

4 п2Яср2е2е*

(24)

~ В^)ЕкВ2{Я^ .

По рассмотренной математической модели потери устойчивости (24) проведены численные эксперименты.

На рис.2, приведены графические зависимости изменения величины относительной высоты /го /^о от степени деформации е* (при /^р =50 мм)

при осадке трубных заготовок из стали 20, стали 45, стали 12Х18Н9Т со следующими механическими характеристиками и геометрическими размерами трубных заготовок: сталь 20 - =250 МПа, Л=716,08 МПа, «=0,22,

Дх=0,81, Яу=0,72; сталь 45 - аго=355 МПа, Л=904,41 МПа, «=0,14,

Ях=0,76, Яу= 0,73; сталь 12Х18Н9Т - о/0=196 МПа, ,4=1080,56 МПа,

«=0,33, /?х=0,77, Я^.=0,76. Анализ результатов расчетов показывает, что с

увеличением степени деформации устойчивость заготовки и, следовательно, величина йо/^о уменьшается и, достигнув минимума, начинает возрастать в связи с увеличением толщины стенки заготовки, упрочнением материала и уменьшением высоты заготовки.

О 0,1 0,2 0,3 0,4

Степень деформации в направлении х

Рис. 2. Зависимость относительной высоты заготовки % /$о

от степени деформации ъх

Графические зависимости изменения величины /^/^о от степени деформации гх и параметра деформационного упрочнения п представлены на рис. 3. Расчеты выполнены для стали 45 со следующими механическими характеристиками: а/о=355 МПа, А=904,41 МПа, «=0,14, Ях=0,76, /^=0,73 (при = 50мм).

п=0,4

п=0.3

п=0,2

п=0,1

0.2

0.3

0.4

Степень деформации в направлении оси х

Рис. 3. Зависимость относительной высоты заготовки /зд /эц от степени деформации ех и п

Установлено, что чем выше показатель деформационного упрочнения п, тем больше величина /го /$о, тем выше устойчивость заготовки.

Приведенные выше соотношения позволили установить влияние цилиндрической анизотропии механических свойств исходной трубной заготовки на устойчивость в виде образования складок.

На рис.4 приведены графические зависимости изменения величины /го/50 от степени деформации гх и коэффициентов анизотропии .

0 0.1 0,2 0,3 0,4

Степень деформации в направлении оси х

Рис. 4. Зависимость относительной высоты заготовки /г# / 5# от степени деформации ех и коэффициентов анизотропии КхиКу

Расчеты выполнены для стали 45 со следующими механическими характеристиками: о,о=355 МПа, А-904,41 М11а, «=0,14, Ях=0,76,

Яу= 0,73 (при Лер =50 мм).

Библиографический список

1. Теория ковки и штамповки / Е.П. Уиксов, [и др.]; под общ. ред. Е.П. Унксова, А.Г. Овчинникова..- М.: Машиностроение. - 1992. - 720 с.

2. Жарков А.А. Образование складок при обжиме трубной заготовки из анизотропного материала / А.А. Жарков, О.В. Пилипенко, А.Е. Феофанова ІІ Изв. ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. - 2006. - Т. 1. -Вып. 1. - С. 75 - 82.

3. Яковлев С.П. Обработка давлением анизотропных материалов / С.П. Яковлев, С.С. Яковлев, В.А. Андрейченко. - Кишинёв: Квант, 1997. -331с.

Получено 23.04.08