Статическая модель приоритетного обслуживания на компьютерной сети Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

УДК 629.735.015:681.3

СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРИОРИТЕТНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

НА КОМПЬЮТЕРНОЙ СЕТИ

В.А. РЕБРОВ, Л.Е. РУДЕЛЬСОН

Рассмотрена модель многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с приоритетами для статической дисциплины распараллеливания вычислений. Модель основана на гипотезе о равновесном состоянии очередей заявок в общем и в разделенном буферном накопителе. Получены оценки для вероятностей потери заявок для каждого входного потока. Приведены результаты статистического моделирования.

Введение

Традиционные точные методы исследования систем с неоднородным входящим потоком отличаются громоздкостью вычислений. Используются рекуррентные соотношения, позволяющие выразить вероятности последующих состояний системы через предыдущие [1]. В то же время, на стадии проектирования, когда сведения о предполагаемых характеристиках сбора данных известны приблизительно, в высокой точности результата нет необходимости. Важно получить инструмент ориентирования при выборе дисциплины обслуживания очереди, выделить диапазоны устойчивого поведения априорно заданных показателей качества (вероятности потери сообщения, времени ожидания) и оценить, влияние каких параметров системы на эти показатели наиболее существенно. Решение этой задачи с помощью известных методов возможно, если отказаться от традиционных точных схем, сознательно пойти на определенное огрубление модели, сохраняя ее соответствие погрешности исходных данных, используя так называемый «принцип равнопрочности», т.е. посредством «инженерного» подхода к проблеме, позволяющего проследить основные закономерности процесса образования очереди заявок в его динамике.

В процессе применения нетрадиционного подхода следует отдавать себе отчет в том, что его прагматическое достоинство - возможность получения приближенных («равнопрочных») расчетных формул приобретается известной ценой потери общности. Исследования модели проводятся, во-первых, при ослаблении теоретических ограничений, во-вторых, сводятся к частным описаниям СМО, что позволяет определить дополнительные условия, облегчающие формализацию. Такие аналитические исследования содержат немало эвристических моментов. Во избежание преувеличения (фетишизации) результатов и попыток их распространения на неадекватные приложения ограничим диапазон исследований наиболее распространенными в гражданской авиации типами организации сбора телеграфных сообщений по управлению воздушным движением [2]:

• обслуживание с относительными приоритетами и приоритетным приемом поступающих заявок в общий БН;

• обслуживание с относительными приоритетами и приемом поступающих заявок в раздельные секции БН.

Вопрос о предпочтительности одной дисциплины перед другой решается обычно на основе неформальных соображений. С одной стороны, при равных затратах памяти общий буферный накопитель (БН) позволяет сократить вероятности потерь за счет динамического перераспределения объемов, занимаемых заявками различной приоритетности. С другой стороны, предоставление каждому входному потоку собственной секции упрощает ряд технологических решений проекта, устраняя из него избыточные системные связи. Для обоснования качественного анализа нужны новые количественные характеристики.

Под статическим разделением понимается дисциплина распараллеливания, при которой за каждым каналом СМО (или группой каналов) жестко закрепляются заявки одного потока (или ограниченной группы потоков), а заявки других потоков объявляются недоступными для него в процессе работы. Если такие «закрепленные» заявки не поступают в систему, то канал (или группа каналов) простаивает в ожидании даже при перегрузке других каналов системы. Например, вводы диспетчера управления воздушным движением (УВД) обрабатываются на его персональном компьютере, а вводы других диспетчеров - на их компьютерах.

1. Модель с раздельными секциями буферного накопителя

Исследование модели процесса поступления и обслуживания заявок на произвольное количество п обслуживающих каналов начнем с самой простой модели. Пусть мы имеем вычислительную сеть, содержащую п каналов и обслуживающую т = п простейших потоков записей интенсивностью Хг (г = 1, т ) каждый, которым выделены собственные секции БН объемами по гг мест для ожидания (рис. 1). В случае занятости канала и отсутствия свободных мест в БН, заявка г-го потока, приходя в систему, получает отказ в обслуживании и теряется. Возможно, что в

каком-либо другом, к-м БН, к = 1, п, к Ф г, есть при этом незанятые места, то есть простаивающие каналы системы. Времена обслуживания распределены экспоненциально с параметрами ^г. Загрузка г-го канала рг = Хг /рг < 1.

Очевидно, что рассматриваемая модель тривиальна и легко распадается на п одноканальных СМО, работающих автономно и независимо друг от друга. Вероятность пг потери заявки г-го уровня приоритетности равна

'г +1(1 -р)

Р/

1 -рг

Суммарные нормированные потери по всем п каналам исследуемой модели достигают:

г +1(1 -Р)

1 п 1

- £ Р=1 £

П г=1 П г=і

1 -Р

Г +2

¿1

¿2 ¿3 к4 ¿5

¿6

¿7

Рис.

Г1

Г2

Г3

Г4

Г 5

Гб

Г7

канал 1

канал 2

канал 3

канал 4

канал 5

канал 6

канал 7

М1 М2 Мз М4 М5

Мб

М7

Статическое распараллеливание с раздельной очередью

Рассмотренная простая модель позволяет обнаружить одно характерное свойство. По-видимому, именно элементарность постановки делает его очевидным. Вероятность потери заявки не зависит ни от приоритетности потока, которому она принадлежит, ни от соотношения уг = ^11^г параметров обслуживания, столь сильно влияющих на эффективность одноканальных систем. Величина критерия определяется лишь размером БН, предоставленного в распоряжение г-го потока, и создаваемой им загрузкой рг. При дальнейших исследованиях более сложных моделей необходимо анализировать, сохраняется ли тенденция снижения эффективности приоритетного обслуживания при переходе от одноканальной к многоканальной СМО, или отмеченное выравнивание вероятностей потерь заявок остается качеством лишь рассмотренной полностью разобщенной системы.

Первым шагом обобществления ресурсов модели является использование файла с общим доступом. Пусть СМО содержит, как и прежде, п однотипных каналов, обслуживающих с относительным приоритетом п пуассоновских входных потоков с интенсивностями Хг каждый

(г = 1, п); времена обслуживания распределены экспоненциально с параметрами рг. Прием заявок осуществляется по принципу приоритетного вытеснения из общего БН объемом г мест для ожидания. Объединение буферной памяти создает известную упорядоченность на входе системы за счет возможного отказа в обслуживании неприоритетным заявкам. Вследствие этого возникает корреляция между потоками, реализующая заданные отношения предшествования. Другим содержательным отличием от предыдущей модели является динамическое распределение ресурса БН. С одной стороны, становится маловероятной ситуация, при которой заявка произвольного г-го потока, поступая в систему, застает занятым весь объем г общего БН. С другой стороны, заметим, что эта малая вероятность реализуется целиком за счет неприоритетных требований, что приводит к увеличению вероятности простоя соответствующих каналов.

2. Модель с общим буферным накопителем

Первоначальное рассмотрение ограничим моделью двухприоритетной двухканальной СМО, на которой проследим основные закономерности обслуживания. Специфика такой системы предоставляет в распоряжение заявок высоких приоритетов (ЗВП) все каналы и весь БН объемом на г мест для ожидания. Вероятность п1 их потери может быть оценена как

-=Р +1(1 — РР

1 1 -Р1+2

Очевидно, что и здесь отсутствует зависимость п = /(у), так как первый канал по условиям задачи никогда не бывает занят заявками низких приоритетов (ЗНП). Процесс обслуживания потока ЗВП определяется лишь его собственными характеристиками. Наиболее вероятную длину Ь1 очереди ЗВП, накапливающейся в общем БН за время обслуживания одной из них, оценим по известному приближению Ь1 = (1+и2) X Т1 = (1+ и 2) р1. Этот параметр позволяет рассчитать величину остатка г БН, которым по правилам приоритетного вытеснения может пользоваться ЗНП, в виде г = г - (1+ и 2) р1. Тогда

Р+1-(1+й>2)р (1 - р )

р2 = Р--------------2—Р-, если г > (1+ и 2) р1.

2 *-_1_')_Л-1-*'32 о 5 — V /Г1

1 - Г+2-(1+й2)р 1 г 2

В случае невыполнения условия г > (1+ и2') р1 режим обслуживания ЗНП ухудшается. По существу, неприоритетный поток полностью лишается возможности образования очереди ожидания, а принадлежащие ему заявки могут занимать выделенный им канал лишь в моменты его простоя. Преобразуя известную формулу для одноканальной СМО, не имеющей БН (г = 0), можно записать п2 = р2 / (1+р2). Заметим, что подобная ситуация весьма маловероятна. В предположении пуассоновского потока на входе и экспоненциального времени обслуживания (и = 1) даже при р ^ 1, наиболее вероятная длина очереди ЗВП не достигает двух заявок, то есть Ь1 < 2. На рис. 2 представлены графики зависимостей п; = /(р) для обсуждавшейся модели вычислительной сети.

Нетрудно видеть, что для равноценных по аппаратурным затратам систем с параметрами п = 2; г1 = г2 = г/2 = 5 использование общего БН при жестком (статическом) разделении потоков по обслуживающим каналам становится предпочтительнее по критерию минимизации вероятностей потери заявки. Этот эффект можно объяснить динамическим использованием буферной памяти, при котором относительный сдвиг по времени «сгущений» и «разрежений» нерегулярных входных потоков несколько компенсируется подвижными границами зон общего БН. Сказывается, хотя не в полной мере, и восстановление отношений предпочтительности на входе за счет возможности вытеснения из БН неприоритетных заявок. Обобщая модель на случай п каналов и т = п входящих потоков, определим наиболее вероятную длину Ькл очереди всех заявок, расположенных в шкале приоритетов выше произвольного к-го потока, в виде

к-1

ц-і = (1+ $)! р,-

Тогда приближенная формула для расчета вероятности потери заявки к-го типа запишется как

Г+1_(и2)£р.

Рк Ы (1 -Рк)

к-1 :

г+2-(1+$2)£р ,=1 1

Р = і

к

Рис. 2. Графики з ависимостей п = /(р) длд ствтичесісого деления заявок

к -1

апёе г > (1 + $ ) 2 Р -

,=1

1 -Рк Рк 1 + Рк

■ а ї бї оеаі і і пёо^аа.

Приведенное выражение не учитывает влияние корреляции между заявками по отношениям предшествования или на общем поле компьютерной памяти [3]. Считается, что входные потоки независимы. Однако и в случае, если обслуживание заявки ,-го типа разрешается при занятости (, - 1)-го канала лишь с вероятностью Qi, вид обеих формул можно оставить прежним, но загрузку р, рассчитывать как р, = X, / Qi^i- Очевидно, что вероятность потери заявки при этом возрастает.

Дальнейшая детализация постановки задачи исследования для статической дисциплины разделения входных потоков заявок по каналам СМО приводит к следующим моделям обслуживания.

1=1

3. Вариации статической дисциплины

Пусть имеем п-канальную систему, которая обслуживает т < п пуассоновских входных потоков заявок с интенсивностями Xг соответственно (г = 1, т ); времена обслуживания распределены экспоненциально с параметрами Прием заявок осуществляется по принципу записи в раздельные зоны БН с объемами гг каждая, причем число таких зон равно количеству т входных потоков. При организации работы подобной системы п процессоров будут разделены на т групп, каждая из которых получит в свое распоряжение один из входных потоков с приданым

___ т

ему собственным БН, и пг каналов, г = 1, т, ^ щ = п. Будем считать, что корреляция между

г=1

заявками либо отсутствует, либо учтена в параметре загрузки рг. Исследуемая модель представляется композицией из т многоканальных СМО, на каждую из которых поступает одномерный г-й поток заявок, причем на входе его воспринимает БН объемом гг мест для ожидания. Вероятность потери заявки произвольно выбранного г-го потока оценивается формулой, в которую подставляются конкретные значения гг и пг. Уровень приоритетности не влияет на величину пг. Включение в СМО большего, чем т, количества буферных зон бессмысленно, так как фактически это будет означать простое наращивание одного или нескольких (всех) БН.

Более реален случай, при котором число с1 разделенных приемных зон меньше, чем количество т входящих потоков, т. е. с1 < т. При этом некоторые группы из пг каналов будут обобществлять один физический объем памяти, в котором в соответствии с наперед заданной приоритетной шкалой осуществляется размещение заявок нескольких потоков с вытеснением менее

приоритетных. Правила приема создают известную упорядоченность на входе, ставя в благоприятные условия заявки высоких приоритетов. Пусть в СМО поступают й групп входных потоков. Каждая группа с индексом г (г = 1, й) насчитывает £г пуассоновских потоков с интенсивностями X] (у = 1, £), пронумерованных в соответствии со шкалой приоритетов, сумма

й

Ъ £г = т . Заявки у-го типа, принадлежащие г-й группе входных потоков, поступают на обслуга

живание £г разными группами каналов и, в случае занятости у-й группы каналов, направляются в очередь для ожидания в г-й обобществленный БН. Для произвольно выбранного у-го потока эффективный остаток БН, свободный от заявок более высоких приоритетов, может быть при-

]-1

ближенно оценен как ] г' [ = г — (1 + ^2)Ъ рг . Тогда для расчета вероятности потери заявки у-го

I=1

потока при положительном ближайшем большем целом вычисленной величины г' будет справедлива формула, в которую в качестве объема БН следует подставлять ] г' [, а в противном случае приравнивать г нулю. Количество п каналов СМО в формуле определяется исходя из того, сколько их назначено на обслуживание заявок у-го типа по условиям задачи.

Рассмотрим наиболее распространенную реализацию статического распараллеливания. Пусть система обслуживает т приоритетных потоков на п каналах, причем т > п. Количество разделенных секций БН равно числу т входных потоков. В этом случае т потоков заявок разделяются на п групп, каждая из которых назначается на отдельный канал. Внутри г-й группы

___ п

(г = 1, п ) осуществляется приоритетное обслуживание I, потоков (1г < т, Ъ ^ = т ). Вероятность

г=1

потери заявки в такой системе оценивается с помощью классического выражения для многоканальной СМО, работающей на I, разделенных БН

„п—1

п

(п—1)!

рп+г (1—р)

ъ

к=0

пк —1 ( п — к)рк

п

п—1

\Р

п+г+1

к! (п — 1)!‘

Учет корреляции между заявками производится путем вычисления загрузки системы рк анализируемым к-м потоком по формуле рк = Хк / Qk цк. Наконец, если количество секций БН равно количеству каналов, т. е. каждый из них обслуживает I, потоков с приоритетным приемом в г-й БН, то для определения вероятности потери заявки следует пользоваться выражениями, полученными в [4], где у, = Ц1 /ц, - соотношение параметров обслуживания

к у — К )Гк Ъ \^]г к

Ъ о

. г=1

1—\Ъ р

г=1

1—Ъ р

V г=1

— К )гкЪ\ Рр ) +1

1V р

к ( О ^

, если (1 + $2 )рк Ъ —^ < г,

г=1 V Р

Ъ о,

г=1

к-1( \

(ни >рк^1( О)(| .

1—Ъ о,

V г=1

1—\ Ъ О■

■ + Ъ^ук р]

к—1( \ ' / 1 *■" у к Г" у

— (1+и2 )гкЦ{р + 1 у=к

1+Ъ р

. г =1

Рк

1—

к—1 ( О Л

■(1 + * )Р Ъ (р

г=1 V >г J

г

г

г

1

г

г=1

к-1 С р. ^

если (1 + $ ) К. 2 ~~ £ Г < (1 + $ )К. 2

V К у

V К у

где . - аналогичный символу Кронекера переключатель; .,к = { 1, т } , т - количество входных

потоков,

2 р, к-1 С р ^

1=1 -, если (1 + $ ) К 2 1

1+2 р

,=1

> г .

си

<

си

I

I

си

<

и

ю

о

о

Ь—

о

с

Рис. 3. Система с относительными приоритетами и приоритетным приемом

о

а

V Р J

Обобщим модель статического распараллеливания т потоков заявок на п = т каналов с приоритетным приемом в общий БН для произвольного соотношения т Ф п (рис. 3).

Пусть п < т, что соответствует реальной ситуации. Ее можно представить суперпозицией п обслуживающих каналов, каждый из которых обрабатывает заявки у-й группы пуассоновских потоков ( у = 1, п ), накапливаемых в динамически изменяющейся зоне общего БН, свободной от ЗВП. Размер гу этой зоны можно приближенно рассчитать как

г. = г - (1 + $2)

2

V я=к. +1

¿крКт 2 2

5=1 1=1

К

■ т; дкр - пере-

где к. - индекс произвольного потока, входящего в .-ю группу, к. = 1,1.; 21.

.=1

ключатель, аналогичный символу Кронекера и определенный выше, принимающий единичное значение, позволяющее учитывать переполнение общего БН заявками высоких приоритетов в сеансах обслуживания заявок низких приоритетов, и равный нулю при отсутствии событий такого переполнения. Далее, у, = ц /ц, - соотношение параметров обслуживания заявок высшего и l'-гг приоритетов; двойная сумма до р - 1 учитывает заполнение БН заявками потоков, принадлежащих группам более высокой, чем., приоритетности, в сеансах обслуживания заявок потоков, принадлежащих группам низшей приоритетности; сумма до * - то же относительно к-го потока заявок внутри .-й группы, в которой производится обслуживание с относительными приоритетами 1. самостоятельных потоков.

Рассматриваемая модель вписывается в рамки ограничений, оговоренных перед выводом приближенной формулы для одноканальной модели [4]. При ее использовании вместо г следует

I

т Р-1 "5 Р

подставлять г.. При (1 + $2) 2 ¿крКт 2 2 1

Р=+1 І'=І і=1 Кі

принадлежащему .-й группе, рассчитываются как для системы с г = 0.

> г. потери по любому к.-му входящему потоку,

1=1

г=1

' к Угк ( к

Е — 1 - Е —

^к = —-—-—^-1—-, апёё аёу апао у = к +1,да т бааааёеаТ (1 + г?2)— — £ гк;

—к

( к \Гк +1 1 -|Е — I

'к \Гк ( к Е — 1 - Е—

. ¿=1 -

Г к Ук

1 - (Е—

- ¿=1

. 1=1

к Угк+1 + Е°У'к — ( к Угк+1

У" 1 -| Е—

1 - II—

-1=1 -

1-

гк Ук

(1 + ^2)' Гг Рк

. 1=1 -

Рк

апёё о!оуаи аёу!а11 а у, у = к +1,да, (1 + ^)—;. —>гк ёТ^абааи

Гк

к-1

0к = (1 + ^2) —к Е г

1 - ( V*+1 / ( — У 1 -^

1 / - Г -

£ гк;

( к УГк ( к У

Е — 1 - Е —I да 1 -

_____¿А_________¿=1___1 + Е° — _____________________________

+ А^°]к —] Гк ук +1

у=1 ' к

( к Угк

(Е —1

- г =1 -

( к УГк +1

1 - II —1

1 -|Е—

. ¿=1 -

1-

Гк Гк

(1 + ^2)Г, —к

х

XГк/ ^

7 ( — У к +1 /( „У

(1+^2) —к Ег 1 - — 1 -"

¿=1 -Г у! - Г -

если хотя бы для одного у, у = к +1, да, (1 + ^2 — — > гк ё Qk > гк.

Это означает, что вероятность обслуживания заявки произвольного к-го потока, независимо от уровня его приоритетности, есть вероятность Рок застатьу-й обслуживающий канал свобод]

ным, а вероятность потери заявки есть ее дополнение до единицы

У-1 ¡„ ку

еЕ—+Е—

-гг —Л — Р — Ж=1 г=1 г=1

лк, ~ 1 1 Ок, ~

У-1 4 ку

1+еЕ—+Е—

,=1 ¿=1 ¿=1

Наконец, при п > да модель представляет собой совокупность нескольких многоканальных СМО, обслуживающих каждая один к-й поток, к = 1, да, использующих каждая собственную к-ю динамическую секцию общего БН, объем которой вычисляется как

да к-1 —

)гк (=г - (1+^2)- Е °к —]-Е—.

У=к+1 ; ; !=1 Г

Ближайшее большее неотрицательное целое вычисленной величины подставляется в выражения для оценки вероятности потери заявки по к-му потоку в такой системе.

I=1

I = 1

I =1

Заключение

Полученные результаты, помимо основной направленности на оценку необходимых объемов буферных зон, могут быть обобщены как исследование частных дисциплин диспетчеризации вычислительного процесса в системах с приоритетами. Такое обобщение возможно, во-первых, вследствие наличия аппарата, подкрепленного экспериментальной проверкой методом статистического моделирования, позволяющего рассчитать проект в виде объемов БН для заявок на обслуживание при заданных параметрах входных потоков. Во-вторых, расчеты по формулам, полученным выше, дают возможность найти области устойчивого поведения критерия при колебаниях этих параметров.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания: Учебник. - М.: РУДН, 1995.

2. Табель сообщений о движении воздушных судов в Российской Федерации (ТС-95). Издание третье. - М.: Воздушный транспорт, 2002.

3. Бабаева С.И. Оценки вероятностей потерь заявок в авиационных системах с учетом связности вычислительных задач // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, № 105, 2006.

4. Ребров В.А., Рудельсон Л.Е. Обработка плановых сообщений в общей очереди с относительными приоритетами // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, № 105, 2006.

STATIC MODEL OF PRIORITY PROCESSING ON THE COMPUTER NETWORK

Rebrov V.A., Rudelson L.Ye.

The model of multichannel system of mass service with priorities for static distribution disciplines of calculations is considered. The model is based on a hypothesis about an equilibrium condition of turns of streams of applications both in general and in the divided buffer store. Estimations for probabilities of loss of applications for each entrance stream are received. Results of statistical modeling are showed.

Сведения об авторах

Ребров Виталий Анатольевич, 1982 г.р., окончил МГТУ ГА (2004), аспирант кафедры вычислительных машин, комплексов, систем и сетей, автор 12 научных работ, область научных интересов - программное обеспечение планирования полетов воздушных судов.

Рудельсон Лев Ефимович, 1944 г.р., окончил МЭИ (1968), доктор технических наук, профессор кафедры вычислительных машин, комплексов, систем и сетей МГТУ ГА, автор более 130 научных работ, область научных интересов - программное обеспечение автоматизированных систем организации воздушного движения.