Статическая коалиционная модель инвестирования инновационных проектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

К В. Григорьева/ А. С. Иванов,2 О. А. Малафеев3

СТАТИЧЕСКАЯ КОАЛИЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ИНВЕСТИРОВАНИЯ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ4

В современном мире создания и развития информационных технологий и программ модернизации в различных сферах жизнедеятельности актуальной проблемой является разработка и внедрение инновационных проектов (ИП). Каждый член коллектива участников ИП имеет свои права и обязанности. Участники одного ИП могут заниматься обслуживанием еще нескольких ИП. Кроме того, каждый ИП можно рассматривать как задачу, содержащую локальные подзадачи. Таким образом, имеется группа участников, называемых агентами, и совокупность ИП, не зависящих друг от друга или связанных единым центральным проектом. При этом участие в каждом ИП сопряжено с затратами (доходами), которые следует минимизировать (максимизировать). Формализовать такую задачу можно следующим образом.

Пусть задан граф Г, каждая вершина которого соответствует какому-либо элементу г реализации ИП (для краткости введем аббревиатуру: элемент инновационного проекта -ЭИП). Ребра, связывающие вершины графа, соответствуют переходам от одного ЭИП к другому. Множество участников ИП - . Для каждой вершины заданы затраты участников ИП на работу в соответствующем ЭИП гили доходы от инвестирования соответствующего ЭИП г для всех . Последовательность вершин и соединяющих их ребер, образующая путь на графе, является программой инвестирования инновационного проекта (ПИИП). Обозначим множество ПИИП . Затраты (доходы) участников ИП от инвестирования ПИИП получаем суммированием соответствующих затрат (доходов) для каждого ЭИП г заданной ПИИП . Для минимизации затрат (максимизации доходов) инвесторам необходимо найти оптимальную в некотором смысле очередность выполнения ЭИП или оптимальную в некотором смысле ПИИП. Будем называть эту задачу статической многокритериальной задачей инвестирования ИП (СМ-ЗИИП). Под решением СК-ЗИИП на графе Г понимается компромиссное решение (компромиссная программа инвестирования ИП, К-ПИИП). Подобные статические многокритериальные задачи возникают в различных предметных областях. Алгоритм их решения подробно изложен в работах [1, 4].

Пусть теперь на том же графе Г, каждая вершина которого соответствует какому-либо ЭИП г, а последовательность ребер, образующая путь на графе, является ПИИП ( -множество ПИИП), задана статическая задача инвестирования инновационных проектов (С-ЗИИП). В отличие от СМ-ЗИИП С-ЗИИП формализуется в виде теоретико-игровой модели в смешанных стратегиях на графе Г. В качестве игроков в модели выступают агенты -инвесторы ИП, множество игроков . В качестве стратегий игроков выступают положительное и отрицательное решение по участию в той или иной ПИИП , т. е. стратегия игрока принимает либо значение , либо для каждой ПИИП . Смешанной стратегией является вектор вероятностей положительного и отрицательного решений по участию в ПИИП , т. е. смешанная стратегия игрока - это вектор , где , - соответственно вероятность принятия игроком отрицательного или положительного решения относительно участия в ПИИП .

Пусть теперь на том же графе Г, каждая вершина ^ 6 ^ которого соответствует какому-

1 Ксения Владимировна Григорьева старший преподаватель кафедры моделирования социально-экономических систем ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», канд. физ-мат наук E-mail: kseniya196247@mail.ru

2 Александр Сергеевич Иванов, аспирант ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет». E-mail: app_spb@mail.ru

3 Олег Алексеевич Малафеев, заведующий кафедрой Моделирования Социально-экономических Систем Санкт-Петербургского государственного университета. д.ф-м.наук, профессор, E-maiil: malafeyevoa@mail.ru

4 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (грант ~09-01-00360).

Я Е Я

либо ЭИП г, а последовательность ребер, образующая путь на графе, является ПИИП 1 ,

Я _ (я ^ я }

где "V ь > т/ - множество ПИИП, задана статическая задача инвестирования инновационных проектов (С-ЗИИП). В отличие от СМ-ЗИИП, С-ЗИИП формализуется в виде теоретико-игровой модели в смешанных стратегиях на графе Г. В качестве игроков в

модели выступают агенты - инвесторы ИП. Множество игроков - ^ _{1ьК ,1п}. в качестве стратегий игроков выступают положительное и отрицательное решение по участию в той или

иной ПИИП Я} Е Я , т. е. стратегия игрока 1 принимает значение либо х' _ 0 , либо х' _1 для

- т-гттттт-г Я,- Е Я , 1 _ 1, т „ каждой ПИИП . Смешанной стратегией является вектор вероятностей

т-гттттт-г Я,- Е Я , 1 _ 1, т

положительного и отрицательного решений по участию в ПИИП , т. е.

I ц=(е° е1) е0

смешанная стратегия игрока 1 - это вектор , где Ъг - вероятность отрицательного

I Я Е.1

решения игроком 1 участвовать в ПИИП 1, а ^1 - вероятность положительного решения

I я

игроком 1 участвовать в ПИИП 1.

Доходы игроков для каждой ПИИП Я} Е Я, 1 т, определяются набором принятых решений, т. е. доходы игроков от вложений различного рода средств, в том числе и материальных, определяются как значения функции выигрыша на множестве ситуаций

х _ (х1 ,Хп), образованных принятыми решениями по реализации соответствующих ПИИП. Таким образом, для каждой ПИИП имеет место бескоалиционная игра п лиц, в которой требуется найти оптимальную в смысле некоторого принципа оптимальности ситуацию и вектор выигрышей в этой ситуации. Однако так же, как и в СМ-ЗИИП, для того, чтобы оптимизировать затраты (доходы), инвесторам необходимо найти оптимальную в некотором смысле ПИИП. Решая поочередно каждую из т бескоалиционных игр, получим набор оптимальных ситуаций в соответствующих бескоалиционных играх.

(х*, Я* (х*)) *

Под решением С-ЗИИП понимается пара , где х есть оптимальная

~ * / * \

Я |х I *

ситуация, а ! - компромиссное решение, соответствующее ситуации х (К-ПИИП).

В данной работе будем рассматривать задачу оптимизации затрат (доходов)

инвесторов в одном инновационном проекте в условиях их коалиционного взаимодействия.

Иными словами, сформулируем статическую коалиционную задачу инвестирования

инновационных проектов (СК-ЗИИП).

Пусть в условиях С-ЗИИП инвесторы могут создавать коалиции с целью получения

более высокого дохода. Создание коалиций определяется договорами о совместном вложении

средств и сопровождается распределением других обязанностей, например, возможностью

привлечения специалистов по участию в ИП. Для инвестирования каждой ПИИП задан вид

коалиционного взаимодействия, т. е. известно, кто из игроков, и с кем, должен объединиться в случае реализации соответствующей ПИИП.

Таким образом, для каждой ПИИП получаем коалиционную игру, в которой требуется найти оптимальную ситуацию и дележ в этой ситуации. Напомним, что коалиционной игрой является игра, в которой принимающие решение игроки объединены в фиксированные коалиции с целью получить максимально возможный выигрыш [5, 7]. Однако так же, как и в С-ЗИИП, для того, чтобы оптимизировать затраты (доходы), инвесторам необходимо найти в конечном итоге оптимальную ПИИП. Решая поочередно каждую из m коалиционных игр, получим набор оптимальных ситуаций в соответствующих коалиционных играх. В качестве принципов оптимальности здесь принимаются равновесие по Нэшу (Nash Equilibrium, NE) [8], обобщенный PMS-вектор [3, 4], оптимум Парето [2, 5, 7], арбитражная схема Нэша [8], вектор Шепли [9], компромиссное решение [11, 12].

Ниже будут подробно описаны алгоритмы построения обобщенного PMS-вектора в коалиционной игре и нахождения множества компромиссных решений.

(х* , R * (х*)) *

Под решением СК-ЗИИП понимается пара , где Хе - оптимальная

R * ( * )

ситуация в игре с коалиционным разбиением ^, а - К-ПИИП, соответствующая

*

Xv

ситуации L.

Поскольку каждой ПИИП Rj 6 R, j 1 m, ставится в соответствие какая-либо из m коалиционных игр с фиксированным коалиционным разбиением ^, то и К-ПИИП соответствует некоторой коалиционной игре. Соответствующее коалиционное разбиение множества игроков N в коалиционной игре будет компромиссным коалиционным разбиением, а дележи коалиций в коалиционной игре - компромиссными дележами.

В качестве иллюстрации рассмотрен пример взаимодействия трех участников инновационного проекта.

Формализация статической коалиционной многокритериальной задачи инвестирования инновационных проектов. Будем рассматривать задачу нахождения оптимального вектора доходов инвесторов в одном инновационном проекте в условиях их коалиционного взаимодействия.

N = {!,}.-

Пусть имеется множество 1 1 n участников (далее, игроков) инновационного

R = }__

проекта (ИП) и задано множество j_1'm программ инвестирования ИП (ПИИП), см.

рис. 1.

Ri

R2

R

m

Рис. 1. ПИИП

Рассмотрим случай, в котором агенты 1, 1 _1, п , принимают решение участвовать в

той или иной ПИИП Я}, 1 1 т , в смешанных стратегиях. Каждый агент может согласиться инвестировать ПИИП, или отказаться от этого. Его доход определяется в зависимости от ответа.

Таким образом, стратегиями агентов являются ответы «да» или «нет» с некоторой

я

вероятностью для каждой отдельной ПИИП 1.

Обозначим через Х _ {0,1} - множество чистых стратегий х1 агента 1, 1 _1 п , для

х х _ 0

всех ПИИП. Стратегия 1 соответственно может принимать значения 1 - отказ от

Я1 х. _ 1

участия в инвестировании программы или 1 - согласие на участие в инвестировании

программы 1

(х }п я

Набор чистых стратегий * 1'1=1, выбранных агентами для каждой ПИИП 1, образует

х _ Пх

ситуацию х игры & между агентами в чистых стратегиях. Множество 1=1,п - множество

ситуации игры.

I ц=(е° Е1) Е°

1 - это вектор ^ Р1 , где

_ - 0

Смешанная стратегия игрока 11 - это вектор ^1 , , где е - вероятность отрицательного решения игроком 1 участвовать в ПИИП Я] Е Я, а - вероятность положительного решения. Множество М1 - множество всех смешанных стратегий игрока 1.

я

Набор смешанных стратегий, выбранных агентами для каждой ПИИП 1, образует

м _ Цм 1

ситуацию ^ игры между агентами в смешанных стратегиях. Множество 1=1,п -множество ситуаций в смешанных стратегиях.

На множестве ситуаций в чистых стратегиях для каждого агента 1, 1 _ 1 п, при фиксированной ПИИП Я}, 1 1 т , определена функция выигрыша К ' Х ^ Я.

Таким образом, для каждой ПИИП Я}' ■ Тт' получаем бескоалиционную игру п

лиц

G ( Rj (х)) .

g(rj(x))^n={/I}I=i~n, {x}1=rm,Kwlm,X6x), j=^.

(1)

Определение 1. Статической задачей инвестирования инновационных проектов (С-ЗИИП) будем называть набор из т бескоалиционных игр п лиц, определенных (1).

Пусть теперь задано коалиционное разбиение 2 множества ^ агентов:

I

, , = N.

2 = ^Д ,}, I < п , п = N , Sk п Sq = 0 V к Ф q к= к

Тогда получаем т одновременных коалиционных игр 1 лиц в нормальной форме

G(я,(х2)) = Тт - G(я,(х))

, ассоциированных с игрой :

0(Я,-ЫЦ N = {/,}=т~п, ^ 1=й,, ^ У ■ = ^.

\ "к б2 к 8к 62/ (2)

Xе X е S к = 1/ ~Sk = {Xi}■ е

Здесь Sk - множество стратегий Sk коалиции k' ' , а стратегия 16 '

к _

набор стратегий агентов, входящих в коалицию ^'к Т1. Набор стратегий

__X = ^ х

х2 = (хе ,К, )бX 6X е , к = Т1 G (я, (х2)) к=Т~, "

2 1 е1 ,к , - ситуация в игре ^ . Множество к=Т 1 -

G (я, (х2))

множество ситуаций в игре .

Обозначим М^ - множество смешанных стратегий Ц^ коалиции Sk , к = Т 1. Набор

„ Ц2=(Ц е , К , Це )бМ Це бМе , к = 1,I стратегий ^ 1 1' , к к , - ситуация в смешанных стратегиях.

М = ПМ "к

Множество к=1'1 - множество ситуаций в смешанных стратегиях.

е х2 = (~хе , к , )

Из определения стратегии к коалиции к следует, что 41 1' и

Х = (Х К Х ) G (я, (х )) G (я, (х2)) тт

' п> - одна и та же ситуация в играх 4 ^ ' и v ^ ' . Из этого однако не

следует, что Ц = Ц2 .

При фиксированных ПИИП Я}, ■ Т т, и коалиционном разбиении 2 определена

Н" : X ^ Я1 е

функция выигрыша к коалиции к. Здесь и далее предполагается выполнение

следующего соотношения:

HJsk Щк (х2) = XК/(х2), к = 1,/, j = 1,m, Sk 6 Е

16 s.

к

(3)

где К (хЕ), 1 6 Sk, - функция выигрыша агента 11 в ситуации хЕ.

Определение 2. Статической коалиционной задачей инвестирования инновационных проектов (СК-ЗИИП) будем называть набор из т коалиционных игр 1 лиц, определенных (2).

(х* , Я * (х*)) *

Определение 3. Под решением СК-ЗИИП будем понимать пару , где х2 -

т/- тт 1 С (Я (х2)) 1 = 1 т

ситуация равновесия Курно-Нэша в игре 1 лиц 4 1 ' , ■> ' , с коалиционным

Я * ( * ) *

разбиением 2 , а - К-ПИИП, соответствующая ситуации х2.

В качестве дележа внутри коалиций используется обобщенный PMS-вектор [3, 6].

Алгоритм нахождения решения СК-ЗИИП. Напомним алгоритм построения

обобщенного PMS-вектора в коалиционной игре [6].

. г, «Я, е 2 k = Г7 ^ С (Я 1 (х2))

1. Вычислим для всех коалиций к ' ' коалиционной игры ' значения

Н 1 (х2)

выигрыша к по формуле (3).

С (я (х )) * * *

2. Найдем в игре ситуацию NE х2 или 12 (одну или несколько [8]), где 12 -

NE в смешанных стратегиях.

Отметим, что в случае 1 =1 задача поиска ситуации равновесия является задачей

максимизации суммарного выигрыша игроков из коалиции Я1, в случае 1 =2 -задачей поиска ситуации равновесия в биматричной игре, во всех остальных случаях -задачей поиска ситуации равновесия в бескоалиционной игре.

Н1 и)

3. Выигрыш каждой коалиции в ситуации равновесия к разделим между агентами этой коалиции в соответствии с вектором Шепли [10] )= ''5)):

Sh(Sk :i)= X -1)!(' -№0" v(S' \ {i})]v i = 1,s,

4 , ^ .

1 'С^ 5!

где '1 - компонента вектора Шепли для игрока 11 из коалиции Як Е 2 ,

5 = Кк| (5' = 1) Бк (1') v(S') о

1 к1 4 II'- количество элементов множеств к у ', а у ' -максимальный

1 'Я ' с Я

гарантированный выигрыш коалиции ' к . При этом

v(Sk) = Хяфк' 1) 1=1 .

Тогда PMS-вектор в ситуации NE в смешанных стратегиях 12 в игре СК1 (хе)) определяется как PMs(ц2) = (PMS1 (ц2),..., PMSn (|4)),

где

рмб, (|2) = >1и(як ' 1) 1 е Бк, к = 1,1.

Напомним также алгоритм нахождения множества компромиссных решений [11, 12]

Срш (R)= arg min max <j max PMS/ - PMS/ L

/=1, m i=1, n [ /=1, m J

Мг = max PMS/'

1. Построим идеальныИ вектор M (мьк ' Mn)' где J 1m - максимальное

I R J

значение функции дохода агента 1 в ситуации NE на множестве ПИИП , а J -

т-гттттт-г RJ , RJ 6 R

номер ПИИП J J .

R m

2. Найдем для каждоИ ПИИП J отклонение от максимума 1 значений дохода

Aj = M, - PMS J', i = 17n остальных игроков, т. е. 1 1 1 .

AJ R J

3. Из найденных отклонений 1 для каждоИ ПИИП J выбираем максимальное по всем

AJ* = max AJ агентам 1 отклонение 1 1 .

R

4. Выбираем минимальное по всем ПИИП J из всех максимальных отклонений по

*

1 — min Aj — min miv Aj

*

L.............. / / iJ

A * = min Д* = min max A

i

всем агентам 1 i отклонение 1

т-гттттт-г Я 1 Е Срмч (Я ),

ПИИП на котором достигается минимум, является компромиссным

решением СК-ЗИИП С(х2)) для всех агентов.

Таким образом, получаем алгоритм нахождения решения СК-ЗИИП.

1. Зафиксируем ПИИП Я] , 1 =1,т.

2. Найдем ситуацию равновесия 12 в коалиционной игре С^(х2)) и найдем дележ

в этой ситуации, т. е. рм^12).

3. Повторим итерации 1-2 для всех остальных ПИИП.

4. Найдем К-ПИИП R* , т. е. R* е CpMS (R).

Пример. Рассмотрим множество из пяти ПИИП * 1' 2' 3' 4' и множество из

R = {r , R2 ' R4> R5 }

N {l1'12'13}, у каждого из которых в бескоалиционной игре G(Rj (х))

..................... .U)

трех игроков

множество стратегий содержит два элемента: х1 1 - «да», х1 0 - «нет», 1 1,3. Функции

С (Я. (х)) . .

выигрыша игроков определяются в игре посредством табл. 1.

Таблица 1

Стратегии игроков Выигрыши игроков Выигрыши коалиций

ii 12 13 i1 12 13 (Ib 12 ) (12,13 ) (I1,13) (I1,12,13 )

1 1 1 4 2 1 6 3 5 7

1 1 0 1 2 2 3 4 3 5

1 0 1 3 1 5 4 6 8 9

1 0 0 5 1 3 6 4 8 9

0 1 1 5 3 1 8 4 6 9

0 1 0 1 2 2 3 4 3 5

0 0 1 0 4 3 4 7 3 7

0 0 0 0 4 2 4 6 2 6

В [13] излагается подробное решение игр для различных случаев коалиционного разбиения множества агентов, в том числе решение кооперативной и бескоалиционной игр. Сведем полученное в [13] решение в таблицу 2.

Таблица 2

ПИИП Коалиционные разбиения Ситуация NE (/1,12,13) Вероятность реализации ситуации NE Выигрыши игроков в ситуации NE

R1 = «M, Ы, {а (1,1,0) 1 (1, 2 2)

(0,1 0) 1

(1,0,1) 1/7

R2 2 2 -{{I1, 12 } {/3 }} (1 a0) 4/21 ((2.71, 2.43), 2.33)

(0, 1, 1) 2/7

(0,1,0) 8/21

(1,1,1) 5/12

R3 2 3 -&1, 13 } {/2 }} (1,0,1) 1/12 (2.59, (2.5), 2.91)

(0, 1, 1) 5/12

(0,0,i) 1/12

R4 24 -{{12.13}= {/1}} (1,0,1) 1 (3, (3, 3))

(1,0,1) 1

R5 25 -{/1, 12, 13 } (1, o, 0) 1 (2.5,3.5, 3)

(0,1,1) 1

Применяя алгоритм нахождения компромиссного решения, получаем множество компромиссных коалиционных разбиений (табл. 3). Таблица 3

I1 12 13 I1 12 13

{{I1}, {12 }, {13}} 1 2 2 a{{I1}, {12 }, {13 }} 2 1.5 1 2

{{I1, I2}, {I3}} 2.71 2.43 2.33 a{{I1, 12 }, {13 }} 0.29 1.07 0.67 1.07

{{I1, 13},{12}} 2.59 2.5 2.91 a{{I1, 13 }, {12 }} 0.41 1 0.09 1

{{12, I3}, {I1}} 3 3 3 a{{12,13 }, {I1}} 0 0.5 0 0.5

{I1, 12, I3} 2.5 3.5 3 a{ I1, 12, 13 } 0.5 0 0 0.5

M 3 3.5 3

Следовательно, компромиссными являются дележи, полученные в коалиционной игре с коалиционным разбиением Е4 в ситуации NE (1, 0,1) в чистых стратегиях с выигрышами (3, 3, 3) и в кооперативной игре с коалиционным разбиением Е5 в ситуациях NE (1,0,1), (1, 0, °), (0,1,1) в чистых стратегиях с выигрышами (2.5,3.5,3). При этом в ситуации, например, (1,0,1) первый и третий агент будут участвовать в инвестировании соответствующей ПИИП, а второй - нет. Иными словами, если первый и третий агенты будут участвовать в инвестировании, а второй - откажется, то в условиях соответствующего коалиционного взаимодействия их доход окажется оптимальным.

ЗЗаключение. В данной работе формализована статическая коалиционная задача инвестирования инновационных проектов, построен алгоритм нахождения оптимального решения и решен численный пример.

Список литературы

1. Гордеев, Д. А. Вероятностно-детерминированная модель влияния факторов на функционирование организации, осуществляющей инновационную деятельность/ Д. А. Гордеев, О. А. Малафеев, Н. Д. Титова // Экономическое возрождение России. - 2011. - №1(27). - С. 73-82.

2. Григорьева, К В. Арбитражная схема Нэша в решении биматричных коалиционных игр/ К. В. Григорьева // Межвуз. темат. сб. тр.; под ред. д-ра физ.-мат. наук, профессора Б. Г. Вагера. - Вып. 15. -СПб.: СПбГАСУ, 2009. - С. 56-61.

3. Григорьева, К. В. Бескоалиционные игры в нормальной форме: учеб. пособие/ К. В. Григорьева. - СПб.: СПбГАСУ, 2007. - Ч. 1. - 78 с.

4. Григорьева, К. В. Динамический подход с элементами локальной оптимизации в классе стохастических коалиционных игр/ К. В. Григорьева, О. С. Зенович //Межвуз. темат. сб. тр. СПбГАСУ; под ред. д-ра физ.-мат. наук, профессора Б. Г. Вагера. - Вып. 16. - СПб.: СПбГАСУ, 2010. -С. 104-138.

5. Григорьева, К. В. Динамический процесс кооперативного взаимодействия в многокритериальной (многоагентной) задаче почтальона / К. В. Григорьева, О. А. Малафеев // Вестник гражданских инженеров. - 2011. - № 1 (26). - С. 150-156.

6. Зенкевич, Н. А. Динамические игры и их приложения в менеджменте: учеб. пособие / Н. А. Зенкевич, Л. А. Петросян, Д. В. К. Янг. - СПб.: Высшая школа менеджмента, 2009. - 415 с.

7. Малафеев, О. А. Управляемые конфликтные системы / О. А. Малафеев. - СПб.: СПбГУ, 2001.

8. Петросян, Л. А. Теория игр / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. А. Семина. - М.: Высшая школа, 1998.

9. Grigorieva, X. Solutions of bimatrix coalitional games / X. Grigorieva, S. Mamkina // Contributions to game and management. Collected papers printed on the Second International Conference «Game Theory and Management» [GTM'2008]. - SPb.: Graduate School of Management, SpbSU, 2009. - P. 191-198.

10. Kolokoltsov, V. N. Understanding game theory/ V. N. Kolokoltsov, O. A. Malafeev. - N. Y., London: World Scientific, 2010. - 253 p.

11. Nash, J. Non-cooperative Games/ J. Nash // Ann. mathematics 54, 1951. - Р. 286-295.

12. Petrosjan, L. Dynamic games with coalitional structures/ L. Petrosjan, S. Mamkina // Intersectional Game Theory Review. - 2006. - № 8(2). - P. 295-307.

13. Shapley, L. S. A Value for n-Person games, in H. W. Kuhn and A. W. Tucker (eds.) / L. S. Shapley // Contributions to the theory of games (Princeton University Press), 1953. - P. 307-317.

The list of the literature

1. Gordeev, D. A. Probabilistic and deterministic model of the influence factors on the functioning of the Organization of innovation activity/ D. A. Gordeev, O. A. Malafeev, N. D. Titova // Economic revival of Russia. - 2011. - № 1 (27). - P. 73 -82.

2. Grigorieva, K V. Arbitration scheme in the Nash solution of Beatrix games of coalition/ K. V. Grigorieva // Interuniversity thematic collection of works; ed. prof. dr. B. G. Wager. - No. 15. - St. Petersburg, Civil Engineering, 2009. - P. 56-61.

3. Grigorieva, K V. Non-coalition game in normal form mesons: study guide/ K. V. Grigorieva. - St. Petersburg: Civil Engineering, 2007. - Part 1. - 78 p.

4. Grigorieva, K V. Dynamic approach with elements of local optimization in a class of stochastic games of coalition/ K. V. Grigorieva, O. S. Zenovich // Interuniversity thematic collected works of civil engineering; ed. prof. dr. B. G. Wager. - №. 16. - St. Petersburg, Civil Engineering, 2010. - P. 104-138.

5. Grigorieva, K. V. The dynamic process of co-operative interaction in multi-criteria (multi-agent) problem mailman/ K. V. Grigorieva, O. A. Malafeev // Herald of Civil Engineers. - 2011. - № 1 (26). - P. 150-156.

6. Zenkevich, N. A. Dynamic Games and Applications in Management: tutorial / N. A. Zenkevich, L. A. Petrosjan, D. C. Yang/ - St. Petersburg. Published by Graduate School of Management, 2009. - 415 p.

7. Malafeev, O.A. Managed conflict system / O. A. Malafeev. - St. Petersburg.: St. Petersburg State University, 2001.

8. Petrosyan, L. A. Game Theory / L. A. Petrosyan, N. A. Zenkevich, E. Seven-on. - M.: Higher School, 1998.

9. Grigorieva, X. Solutions of bimatrix coalitional games / X. Grigorieva, S. Mamkina // Contributions to game and management. Collected papers printed on the Second International Conference «Game Theory and Management» [GTM'2008]. - SPb.: Graduate School of Management, SpbSU, 2009. - P. 191-198.

10. Kolokoltsov, V. N. Understanding game theory/ V. N. Kolokoltsov, O. A. Malafeev. - N. Y., London: World Scientific, 2010. - 253 p.

11. Nash, J. Non-cooperative Games/ J. Nash // Ann. mathematics 54, 1951. - P. 286-295.

12. Petrosjan, L. Dynamic games with coalitional structures/ L. Petrosjan, S. Mamkina // Intersectional Game Theory Review. - 2006. - № 8(2). - P. 295-307.

13. Shapley, L. S. A Value for n-Person games, in H. W. Kuhn and A. W. Tucker (eds.) / L. S. Shapley // Contributions to the theory of games (Princeton University Press), 1953. - P. 307-317.