Стабильное свойство оператора программного поглощения в квазилинейных играх с простым движением в пространстве с неполной линейной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934

© В.И. Ухоботов

[email protected]

СТАБИЛЬНОЕ СВОЙСТВО ОПЕРАТОРА ПРОГРАММНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИГРАХ С ПРОСТЫМ ДВИЖЕНИЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ С НЕПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СТРУКТУРОЙ

Ключевые слова: нечеткие множества, непрерывная игра, выпуклая цель, оператор программного поглощения.

Abstract. Consider stable property of the operator for one class countin-uous games with simple move and convex aim.

Введение

Задачи управления с помехами при наличии нечеткой информации о фазовом состоянии можно рассматривать как задачи синтеза гарантированного результата в фазовых пространствах, элементами которого являются нечеткие множества [1]. Такие пространства наделены линейной структурой, в которой не выполняется дистрибутивный закон умножения числа на вектор относительно сложения двух чисел и может не существовать противоположный элемент.

Одной из простых моделей конфликтно-управляемых систем являются непрерывные игры с простым движением. Им посвящена обширная литература [2-12]. Кроме как для модельных целей, этот класс игр может служить для приближенного получения решения в более сложных системах. Так, А.Н. Субботиным [8] с помощью функции цены дифференциальной игры с простым

движением проводится локальная аппроксимация функции цены достаточно общей дифференциальной игры.

Игры с простым движением обладают тем свойством, что их оператор программного поглощения на выпуклых множествах удовлетворяет условию стабильности [2;5;11;12]. В данной работе приводится алгебраический метод доказательства стабильности таких операторов для квазилинейных задач в пространствах с неполной линейной структурой, он основан на их связи с операциями инфимальной конволюции и правого произведения на число [13] многозначных функций.

1. Нечеткие множества как пример пространства с неполной линейной структурой

Пусть X —линейное вещественное пространство. Для двух множеств A и B из X и для числа Л € R обозначим

A + B = {x € X | x = a + b: a € A, b € B

(1.1)

ЛА = {x € X | x = Ла : a € A}

Обозначим характеристическую функцию произвольного множества C С X через

(L2)

Характеристическая функция суммы двух множеств равна ¿(x;A + B) = sup min(£(y;A); ¿(z;B)). (1.3)

Характеристическая функция множества ЛA равна

5(x^A) = 5(Л-1 x;A), Л ^ 0;

5(x;0A) =0, x^O, 5(0;0A) = 1.

Обобщая понятие характеристической функции, приходим к понятию нечеткого, по Заде, множества [1].

Определение 1.1. Нечетким множеством г универсального множества X называется совокупность пар вида (х | ¿(х; г)) , где х € X , а ¿(.; г) : X ^ [0,1] .

Функция ¿(.;г) называется функцией принадлежности. Дадим определение суммы двух нечетких множеств и произведения нечеткого множества на действительное число [14].

г

и г2 универсального множества X называется нечеткое множество гх * гг универсального множества X , функция принадлежности которого определяется следующей формулой:

Определение 1.3. Произведением числа Л € К на нечеткое множество г универсального множества X называется нечеткое множество Л о г этого же универсального множества, функция принадлежности которого имеет следующий вид:

Пример 1.1. Пусть в пространстве X перемещается точка А, положение x € X которой состоит из ее начального положения xo € X, сложенного с воздействием щ € X. Для оценки начального состояния и значения воздействия привлечена группа из N экспертов. Каждый эксперт, оценивая тот факт,

x

один голос, а может и не отдавать. Причем один эксперт может отдать по одному голосу сразу нескольким x € X . В этом проявляется нечеткость знания экспертов. Аналогично они поступают с оценкой значения u € X воздействия.

Обозначим через n(x) количество экспертов, которые отметили, что начальное состояние равно x . Аналогично n(x) - количество экспертов, которые отметили, что значение воздействия x

¿(x; zx * ¿2) = sup min(£(y; zx); ¿(x — y Z2)). (1.5)

y€X

¿^;Л о z) = ¿(Л 1 x;z)^^0;

.

Информация о том, отметил ли данный конкретный эксперт конкретное начальное состояние и конкретное значение воздействия, отсутствует.

Зафиксируем х € X и оценим максимально возможное количество экспертов, которые указали на то, что точка А окажется в этом состоянии. Возьмем любой у € X. Тогда число экспертов, каждый из которых одновременно отметил, что начальное состояние равно у , а значение воздействия равно х — у, не превосходит величины тт(щ(у);п2(ж — у)) . Следовательно,

п(х) ^ эир тт(п1(х); Пг(ж — у)). у€Х

Поскольку никакой дополнительной информации нет, то примем п(х) равной правой части этого неравенства. Функция

¡и \ т(х) 1Х1 \ п(х)

Нх;г= (5(х; г2) =

задает меру того, что начальное состояние (воздействие) прини-х

X! М \ П(х)

5{х;г1 * г2)(х) =

задает меру того, что точка А окажется в состоянии х. В силу нашего допущения эта функция определена формулой (1.5).

х Лх

где Л ф 0 фиксированное число. Тогда п(х) = п(Л-1х) . Следовательно, функция

\ \ п(х)

5(х;А 021) =

определяется формулой (1.6).

Введенные операции (1.5) и (1.6) удовлетворяют следующим

свойствам:

I. 1) zi * z2 = z2 * zi; Vz*;

2) (zi * z2) * z3 = zi * (z2 * z3), Vz*;

3) существует элемент z0 такой, что z * z0 = z, Vz;

II. 1) 1 о z = z; Vz;

2) 0 о z = z0, Vz a о z0 = z0, Va € R;

3) a о (b о z) = (ab) о z, Va, b € R; Vz;

III. 1) a о (zi * z2) = (a о zi) * (a о z2), Va € R; Vz*.

Свойства 1.1, II.1 непосредственно следуют из формул (1.5) и (1.6). Проверим свойство ассоциативности.

.

четких множеств

u = (zi * z2) * z3 И V = z\ * (z2 * z3)

соответственно равны

¿(x;u) = SUP min[ sup min (¿(a; zi); ¿(b; z2)); ¿(p; z3)];

y+p=x a+b=y

¿(x;v) = SUP min[£(y;zi); sup min(¿(a; z2); ¿(b; z3)) ].

y+q=x a+b=q

Отсюда следует, что для любого числа e > 0 найдутся точки yi, p, ai, bi такие, что yi +p = x, ai + bi = yi и

¿(щ; zi) > ¿(x; u) — e, ¿(bi; z2) > ¿(x; u) — e;

¿(p; z3) > ¿(x; u) — e, Vx € X.

Из этих неравенств получим, что

min[5(ai;zi); sup min(£(b; z2); ¿(p; z3))^x U — e-

b+p=bi+pi

Отсюда, учитывая равенство ai + bi + p = ж , получим, что ¿(ж; v) ^ ¿(x; u) — e.

Так как число е > 0 произвольно, то ¿(ж;^) ^ ¿(ж; и) .

Аналогично доказывается и обратное неравенство.

В качестве г° возьмем нечеткое множество с функцией принадлежности

*(ж^>=ЦЖ;2 (1-7)

Тогда из формул (1.5) и(1.6) получим свойства 1.3, II.2 и II.3.

Проверим свойство 111.1. Пусть число а ф 0 . Тогда

¿(ж; а о (^ * я2)) = ¿(а-1ж; ¿1 * £2) =

= Бир тт(^у^;^(^;22)) =

ау+ар=ж

= Бир пип(^ачг;£1)^(а-1 ^^2)) =

= ¿(ж; (а о ^) * (а о ,г2)).

а

О о (^ * я2) = я0, О о ^ = я0, О о я2 = £0.

Поэтому из свойства 1.3 получим требуемое равенство.

Свойства 1-Ш показывают, что введенные действия над нечеткими множествами удовлетворяют почти всем аксиомам линейного пространства. Покажем, что не всегда выполняется равенство

(а + Ь) о я = (а о я) * (Ь о я). (1.8)

В самом деле, зафиксируем ненулевой элемент у € X и рассмотрим нечеткое множество я = я(7,р), функция принадлежности которого равна

¿(ж;,г) = | 7’ Ж , 7 € (О,1],

^ 1, ж ф 7р, ^

Тогда из формулы (1.5) получим, что ¿(ж; я*я) = 1. С другой

.а

Отсюда следует, что я * хф 2 о я.

.

не для каждого нечеткого множества существует обратный элея

надлежности которого тождественно равна единице. Тогда, как

.я

выполнено равенство

Следовательно, ^ * я^ф я0 для любого нечеткого множества.

Обозначим через 2 совокупность всех нечетких множеств я , для каждого из которых

Тогда из формул (1.5) и (1.6) получим, что множество 2

*о

Приведем еще примеры подмножеств в 2, которые замкнуты *о

Рассмотрим множество 2 С 2 , которое определяется следующим образом:

Здесь А —выпуклое множество в пространстве X , а число

Лемма1.1. Множество 2 является замкнутым относи-*о

¿(ж^х * я2) = вг^^я), у € X.

¿ ж я > .

х€Х

.

Я € (0’ 1] •

¿(ж; * ¿2) = зир тіп

уЄХ

= Бир

уЄХ

тіп(ді;д2), у Є А и ж - у є А,

О, уЄА или ж — уЄА2.

Таким образом

¿(ж;гі * ¿2) =

тіп(ді, 52), ж Є Аі + А2

О, жєА + А 2

.

Сумма двух выпуклых множеств является выпуклым множеством. Поэтому ^ ^ € 2.

Пусть число а ^ 0 и нечеткое множество я € 2. Тогда

Если а = 0, то 0 о я = я0 € 2 • Следовательно, а о я € 2 для любого числа а € Л .

Лемма 1.2. Для любого я € 2 м любых чисел а ^ О, Ь ^ О .

аЬ

.

Пусть а + Ь > 0. Для выпуклого множества выполнено равенство аА + ЬА = (а + Ь)А при любых а ^ О, Ь ^ 0. Отсюда и ..

Рассмотрим следующее подмножество 2 С 2 :

Лемма1.3. Множество 2 является замкнутым относи-*о

¿(ж;а о г) = ¿(а 1 ж;г) =

д, ж Є аА, О, жЄаА.

.

г Є 2і ^ ¿(ж; г) =

9 ж = у, , ж у,

у Є X, 9 є (0,1]. (1.12)

что

¿fez,*z2) = ( х = у+№-

\l), х*я + й.

(1.13)

¿(х;а о z) = { I’ Ж“ау’

^ 0, х ф ау

при а ф 0 . Отсюда следует утверждение леммы.

Для любого z € Z и любых чисел а, b € R, а + b^O выполнено равенство (1.8) .Если а + Ь = 0 и q < 1, то равенство (1.8) не выполняется.

Рассмотрим теперь случай, когда X является нормированным пространством с нормой ||х||, х € X .

Пусть Zi € Z. Положим

p(zi, Z2) = max[sup inf (|^(х, zi) — ¿(р, z2) |) + ||х — р||;

(1.14)

sup inf (|£(p, z2) — ¿(х, zi) 1 + Ух — p||)]. peXP^X

.

свойствам расстояния:

p(zbz2) ^0, p(z,z)=0; p(zbz2) = p(z2,zi);

p(zbz2) ^ p(zbz3) + p(z2,z3).

Доказательство. Первые два свойства непосредственно

.

.

ется первое. Тогда для любого числа а < p(zi, z2) найдется точка х € X такая, что

а ^ l^bzi) — ¿(p,z2)К Ух — р|| (1.16)

для всех р € X .

Для любых чисел а, в, Y выполнено неравенство

|а — в| < |а — y| + |y — в|.

Поэтому из (1.16) получим, что для любых p, q € X, Z3 € Z выполнено неравенство

а < |5(xi,2i) - ¿(q,z3)К Ух - q|| + |£(q,z3) - Ф,£2)К l|q - Pll-

Следовательно, для любого фиксированного qi € X будет выполнено неравенство

а ^ inf[|5(хь ^) - %, z3)| + - q||] +

q

+ inf[|5(qbz3) - ¿(p,z2)| + ||qi -p||.]

p

.

а ^ p(zbz3) + p(z3,z2).

Из произвольности числа а < p(zi,z2) получим третье условие .

Пример 1.2. Пусть X = R, a функции принадлежности двух нечетких множеств Zi заданы формулами 6{x;Zi) = О при х < 0 и Æ(x; z^) = 1, если х ^ О, (¿ = 1,2). Тогда

, ч м Г 0, х < 0, p ^ О, или х ^ О, p > О,

Zi) - i(p,*)| = | j, х ^, p ^, или х < о, p > 0.

Поэтому

зирт£[|£(х, ^) - Æ(p, z2)| + |х - р|] =

x p

= supinf[|^p, z2) - ¿(х, Zi)| + |х - р|] = 0.

px

Следовательно, p(zi, z2) = 0 Однако Zi ф z2 .

.

Z.

Лемма 1.5. Пусть Zn, z € Zx . Тогда

p(Zn, z) = rnn[max(qn, q); |qn - q| + ||yn - y||]. (1-17)

<^(ж,р) = |^(ж;2«) - ф;г) 1 + Уж - р|| =

|9п - 9| + УУп - уУ, ж = Уп, Р = У,

9п + ||уп - р||, ж = Уп, рФу,

9 + Ууп - уУ, хфуп,р = у,

11ж - Ру> ж + Уп, Р ^ у.

Поэтому

а = шрт£^ж,р = тт^п, |9п - 9| + УУп - У У]•

X Р

Аналогично

Ь = шр!п£(|ф,г) - ¿(ж,2п) 1 + ||ж -р||) = гш п[д, |д - 9п| + УУп - У У]•

р х

Отсюда следует формула (1.17).

Замечание 1.1. Условие р(гп, г) ^0 равносильно тому, что ^п ^ 9, Уп ^ У.

Лемма 1.6. Пусть г, гп € ^ «а, ап € Е таковы, что р(гп, г) ^ 0, ап ^ ма^О. Тогда

рп = р(ап о гп, а о г) ^ 0 при п •

Доказательство. Начиная с некоторого номера п все

ап

Рп = тт[тах(9п, 9); |9п - 9| + ||апУп - ау||]•

Отсюда и из замечания 1.1 получим требуемое условие

рп ^ 0 .

Замечание 1.2. В случае а = 0 и ап ф 0 будем иметь, что

Рп = тт[1; 1 - 9п + ||апУп||] ^ тт[1; 1 - д] = 1 - 9.

Лемма 1.7. Пусть z* Є Z, z Є Z\ . Тогда

¿(ж, z * z*) = min(q; ¿(ж - y; z*)).

(1.18)

Доказательство. Из формулы (1.5) имеем, что

.

Лемма 1.8. Пусть z € Z, zn € Z, z* € Z, zn € Z таковы, что p(zn, z) ^ 0, p(zn, z*) ^ 0 при n ^ œ .

Тогда p(zn * zn, z * z*) ^ 0 при n ^ œ .

Доказательство. Функции принадлежности нечетких множеств z* и zn обозначим через ¿(х) и Sn(х) . Тогда, используя лемму 1.7, получаем, что

Согласно замечанию 1.1 qn ^ q, yn ^ у . Обозначим an = sup inf (|^(ж, zn * z*n) — ¿(p, z * z*)| + Уж — p||) (1.20)

x£XP^X

Подставляя сюда формулы (1.19) , будем иметь, что

Здесь обозначено

вп = sup inf (I min(¿n(x);qn) - min(£(p);q)\ + ||ж - p||) x&XP^X

Если покажем, что вп ^ 0, то и ап ^ 0 .

Предположим, что последовательность вп не стремится к нулю. Тогда существует число є > 0 такое, что вп ^ є для всех

¿(ж; z * z*) = sup mi n ( ¿(т; z*);

т ЄХ V

¿(ж; zn * z*n) = min^n(ж - yn); qn) ¿(ж; z * z*) = miп^(ж — y); q).

.

an ^ вп + ІІУп — УІ

| min(¿n(Xn); Qn) - min(¿(p);q)К l|xn - p|| ^ £• (1-21)

С другой стороны, ИЗ условия p(zn, z*) ^0 следует, что

IMХ^ - Фп) 1 + ||Xn - Pnll ^ 0• (1-22)

для некоторой последовательности точек pn € X.

Последовательности чисел ön(xn), ¿(pn) принадлежат отрез,

•,

МXn) ^ ¿(Pn) ^ ||Xn - Pnl ^ 0•

• p p n

противоречивое неравенство 0 ^ е.

Рассмотрим теперь последовательность

Yn = sup inf (|<5(x,Zn * zn) - ¿(p,z * z*)| + 11x - p||) •

p£Xx^X

Yn ^ Фn+ ||yn - y||-

Здесь

#n = sup inf (| min(¿n(x); Qn) - min(¿(p); q)| + ||x - p||) • (1.23)

peXx^X

Покажем, что Фп ^ 0 . Предположим, что это не так. Можно считать (переходя, если нужно, к подпоследовательности), что е p n € X

что

| min(ön(x);Qn) - min(£(pn); q)К ||x - Pn|| ^ е

для всех точек х € X.

С другой стороны, из условия р(гП, г*) ^0 следует, что вы.

хп € X. Проведя те же рассуждения, что и в условиях (1.21) и .

Таким образом, из формул (1.14), (1.20), (1.23) следует, что р(2п * ¿П, г * ¿*) = тах(оп; 7п) ^ 0.

Замечание 1.3. Само пространство X можно отождествить с некоторым классом подмножеств множества 2\ , у каждого элемента которого в формуле (1.12) стоит д = 1. Для этого класса операции * и о превращаются в обычные операции сложения двух векторов в X и умножение вектора на число. Далее, для нечетких множеств хп и г из этого класса условие р(гп, г) ^ 0 означает сходимость уп ^ у в X.

2. Интеграл от ступенчатой функции

Предположим, что пространство 2 удовлетворяет следующему условию:

УЛ € [0,1], Уг € 2 ^ (Л о г) * ((1 — А) о г) = г. (2.1) Для точек хг € 2, г = 1,..., п, обозначим

п

хх * х2 * ... * хп = ® гг. (2.2)

г=1

Определение2.1. Множество А С 2 назовем выпуклым, если для любых ¿1, х2 € А и для любого числа А € [0,1] точка (А о гх) * ((1 — А о г2) € А .

.

А

(а о А) * (Ъ о А) = (а + Ъ) о А, Уа, Ъ ^ 0. (2.3)

Если множества А и В выпуклы, то выпуклыми являются множества А * В .

Определение 2.2. Выпуклой оболочкой множества А € 2 назовем множество

п

п

СоА = {х € 21 Х = ® (Аг о Хг) : Хг € А, Аг ^ О, / Лг = 1}. (2.4)

г

г

А

жеством.

Определение 2.3. Функция х : [а, Ъ] ^ 2 называется ступенчатой, если существует разбиение

а = го < т\ < ... < гп = Ъ

отрезка [а, Ъ] такое, что та каждом из интервалов (тг , тг+1) функция х(£) постоянна.

Такое разбиение назовем допустимым для ступенчатой функции х(£) .

Определение 2.4. Интегралом от произведения ступенчатой функции х : [а, Ъ] ^ х на интегрируемую скалярную функцию а(£) ^ 0 назовем

¡■ъ п П

/ (а(£) о х(£))^ = Ф (( / а(£)^) о х(£г)), и € (Тг— ,тг). (2.5)

Уа г=1 .) п—\

Здесь а < то < ... < тп = Ъ— допустимое разбиение для х(£) а, Ъ

.

бора допустимого разбиения. В самом деле, для двух допустимых разбиений рассмотрим разбиение, которое состоит из точек обоих разбиений. Пусть это разбиение а = то < ... < т^ = Ъ. Тогда каждый интервал (тг—, тг) поделен на интервалы

(Т?, ?!), ..., (Тт-1 ,Тт), Т? = тг—, Тт = т*.

т [ Та [Гг

® [(/ а^)^) о х(и)} = (1 а^)^) о г(и). (2.6)

«=.?'+1 ]гв-\ 'тг-\

Суммируя равенство (2.6) то всем интервалам (г^, г^х), по.

Если функция х(£) является ступенчатой на отрезке [а, Ь], то она является ступенчатой па отрезках [а, т], [т, Ь], а < т < Ь . Верпа формула

гЬ гт гЬ

/ (а^ о х(£))^ = / (а^ о х(£))^ * / (а^ ◦ ¿(¿))^. (2.7)

./а ./а </ т

Пусть У и и (-и) при любом V € V множества произвольной

природы и задана функция ^(и, V € 2, V € V, и € . Если

а, Ь

и(£) € и^(£)), V : [а, Ь] ^ V,

то функция ^(и(£), ■«(£)) будет ступенчатой. Возьмем интегрируемую функцию а : [а, Ь] ^ Л такую, чтобы

/ > О, Ут, г € [а, Ь], г < т. (2.8)

иГ

Возьмем допустимое разбиение а = то < ... < тп = Ь для функции ^¿) . Пусть

X, а = то < £ < п,

Vj, т^-— < £ < т,, ч Vn, т„-1 < £ < т„ = Ь;

( (?)

и^% т?— = г0 < £ < гь

и(£) = и?, гд-1 < £ < гд,

.

(?)

и/, г/ — < £ < г/ = т?.

Здесь и? € и(? • Тогда

п /*т/

(ао оф / (а^ о =

1=1.

т/-

п /

= фч(( / а^) о ^(и?,vj)) =

п т/

.®(

?-1 ./■/_!

= ,<Ф(( / «(*)*) о ® (Ад о ^(и?, V ?) )) =

9=1

п/

о Ф (V? о Ф (Ад о ^(и ?, V?)).

?=1 д=1

Здесь обозначено

V? = ( / а(£)^)/( / а(£)^), V! + ...^ = 1;

т/- а

ггч гт/

Ад = { а^)^)/( / а^), А1 + ...Ап = 1.

т/-

Положим

Ф(^) = со |^) ^(и, V).

иеи

.

.

Тогда для фиксированной ступенчатой функции ■«(£) (2.9)

N / 1а(£) о ^(и^)^^))]^ = ( / а(£)^) о Ф (V? оФ (?). (2.12)

С ч ./а ./а 1=1

и( •)

Здесь объединение берется по всем ступенчатым функциям

и(£) € и^£)) ■

ь

3. Квазилинейная игра с выпуклой целью

Рассмотрим в пространстве 2 , удовлетворяющем условию (2.1) , непрерывную игру, в которой правило перехода определяется формулой

х(£) = г{и) * [ -ф(щ(т), Vi(т))^т, ^ ^ ^ ^+1. (3.1)

■Пг

Здесь функция ^(и, V) определена при любых

V € V, и € и^). Управления берутся в классе ступенчатых .

Обозначим через V) множество всех ступенчатых функций V* : [ОД] ^ V, а через .)) - множество ступенчатых функ-

ций

и*(А € и^*(А), 0 < А < 1.

.

лаем замену времени

v*(А) = Vi(и + А(^+1 - ^)), и**(А) = иД^ + А(£т - ^)).

,

.

х(£) = г(и) * ((^+1 - ^) о [ ^*(X, и**(т))^т), (3.2)

J о

Л = 7^-=Т’ <(-)€^о, <(.)€^о(^(.))- (3.3)

4+1 И

Пример 3.1. Фиксированы множество М С 2, точка е € 2 и момент времени р. Цель первого игрока, выбирающего и

времени р осуществить включение е € х(р) * М .

Обозначим ^(х) = х * М . Тогда цель первого игрока можно записать следующим образом:

е € Яф)). (3.4)

Пример 3.2. Цель первого игрока заключается в том, чтобы осуществить удержание е € *(Ь) * М при всех 0 < Ь < р. Это условие удержания можно записать таким образом:

е € р| Пг(Ь)). (3.5)

*0

Пример 3.3. Пусть первый игрок стремится к моменту времени р осуществить включение е € *(Ь) * М. Эту цель запишем в следующем виде:

е € и Иг(Ь)). (3.6)

*0

Зафиксируем Ьг < И точку = г(и) . Из формулы (3.2)

следует, что для любого допустимого выбора (3.3) второго игрока существует допустимый выбор (3.3) первого игрока, при котором траектория (3.2) удовлетворяет соответственно включениям (3.4), (3.5) и (3.6) тогда и только тогда, когда

е € (К^)(гг), а = ¿¿+1 - (3.7)

е € (ЬаЩхг), (3.8)

е € ("*Щхг). (3.9)

Здесь

(Ка/)(*)= П У т)>и*((ЗЛ0)

«*( • )«*( •) 0

(¿а /)(*)= ПУП ^ °/ Т)>И*( Т))ЙТ))’ (ЗЛ1)

^*(•)«*(0 л 0

/• л

("аЛ(*) = П и и Л* * (а ° I ^(-и*(т),и*(т))^т). (3.12)

•»*(•)«*(•) л 0

Объединения и пересечения берутся по всем У*(.) € V), и*(.) € и(^*(.)) и то всем числам Л € [0,1] .

Рассмотрим введенные операторы (3.10) - (3.12) в более общем случае.

Считаем, что задано множество Е, в котором для каждых двух множеств А и В из Е (включая и пустые множества) и для каждого числа а > 0 определены множества

АДВ с Е, а • А с Е. (3.13)

Предполагаем, что эти операции удовлетворяют следующим свойствам:

АДВ ВДА.

• А А

2) а • (Ъ • А) = (аЪ) • А, У а > 0, УЪ > 0;

3) а • (АДВ) = (а • А) Да • В), Уа > 0;

4) (а + Ъ) • А с (а • А) Д(Ъ • А, Уа > 0, УЪ > 0.

III. Для любого семейства множеств Аа с Ей любого мно-А с Е

1) а •и а Аа = иа( а • А^, Уа > 0;

2) (иа АХДА = Ц(АаДА);

3) а •Па Аа = Па(а •А«);

4) (Па АХ ДА СП а( АаДА.

Из свойств III. 1 и III.2 следует, что если

А с А с Е, А с Е, а > ,

то

а • А С а • А, А ДА С А ДА. (3.14)

Введем две операции с многозначными функциями / : 2 ^2е .

а>

па многозначную функцию / : 2 ^ 2 е назовем многозначную функцию

(а х /)(*) = а • /(а 1 о Д. (3.15)

Определение3.2. Инфимальной конволюцией двух многозначных функций / : 2 ^ 2 е назовем многозначную функцию

(Д о ЛНД = и (Д(Х)Д/2(Х2)). (3.16)

Термины, использованные в этих определениях, аналогичны определениям для однозначных функций в линейных пространствах [13]. Показывается, что для любых многозначных функций /, /г и любых чисел а, Ъ > 0 выполнены следующие соотношения:

1х / = /;/! О /2 = /2 о(3.17)

Ъх ах / Ъа х /, .

(а х / о /))(Д Э [(а х /) о (а х /)](Д, (3.19)

((а + Ъ) х Ж*) с ((а х Л О (Ъ х Л)(*). (3.20)

Определение 3.3. Многозначную функцию / : 2 ^2Е назовем выпуклой, если для любых у € 2 и любого числа Л € ,

(Л • Л*)) Д((1 - Л • Лу)) с Л(Л о *) * ((! - Л) о у)). (3.21)

Рассмотрим отображение Т, которое задается следующим образом. Задано множество V) произвольной природы. Каждому элементу V € V® поставлено в соответствие множество и(^)

произвольной структуры. Задана многозначная функция Ф , которая каждой паре V € V), и € и любому числу Л € [0,1]

ставит в соответствие множество Ф(Л, и, V с 2.

Задано отображение п , которое каждой многозначной функции А : [ОД] ^2Е ставит в соответствие множество пАЛ с Е .

Оператор Та каждому числу а )0 и каждой многозначной функции / : 2 ^2Е ставит в соответствие многозначную функцию

(Т<тжл = П и п и * (а о ^]. (3.22)

и£Щ р€Ф(Х,и,'ю)

Условие стабильности этого оператора означает, что

(Т^ (ТСТ2/)(*) Э (Т^+^ /)(Д, V* € 2,Уаг ^ О. (3.23)

Сформулируем условия, которым должно удовлетворять ото-п

Предположение 3.1. Для любых многозначных функций А : [ОД] ^2Е, В : [ОД] ^2Е выполнены следующие соотношения:

АЛ Э В(Л), УЛ € [ОД] ^ пА(Л) Э п£(Л);

Уа > 0 ^ п(а • АЛ) = а • пАЛ); ув с е ^ п(АЛДВ э пАЛДВ;

п( и Ал Л) э и пА«( ^).

а а

Последнее включение должно выполняться для любого се-

Аа Л

Лемма 3.1. Для любой многозначной функции / : 2 ^2Е выполнено равенство

(ТДа х Я)(Д = (а х Т/Д, Уа > 0. (3.24)

Доказательство. Из формул (3.22) и (3.15) следует, что

(тд а х ляд = пипО(а х Л^+а о =

V и р

= П и пОа • Да1 ◦ (* * (а ◦ р)ш=

V и р

= а • Пип и Д(а_1◦ *) * р)] = а •(( тіЖа_1л) == (^х тжл-

V и р

Лемма 3.2. Для любых многозначных функций /і : 2 ^2Е выполнено включение

(Та(Д о /2))(г) Э ((ТстД) о /2)(г), V* Є 2. (3.25)

Доказательство. Из формулы (3.22) получим, что

(тлдоджл = пип[ и ДоД)(** (ао р)))]- (3-26)

v и рЄФ (Л,u,v)

Согласно формуле (3.16) и/ о Д)(г * (а о р))] =

ии

(Д(х)АД(?)] э

р р X *Ж2=2*(^ор)

э и и (Д(у * (а о р)) АД(?).

р у*Х2:=г

Поменяем в последнем выражении этого включения знаки объединения и подставим его в равенство (3.26). Тогда, учитывая свойства отображения п , сформулированные в предположении 3.1, получим

(тлд°жил э пи и ({пиД(у* ор))])АД(^)-

V и у*Х2:=г р

Поменяем в выражении, стоящем в правой части этого включения знаки пересечения и объединения, а затем применим свой-

А

(тлдод))(г)э и «ПипиД(у* (аоР))]}АД(Х2))-

у*Х2=г V и р

Стало быть, получим требуемое включение (3.25).

Лемма 3.3. Для любых функций Д : z ^ 2е таких, что /i(z) D /2(z) для Vz € Z, выполнено включение

(ТстA)(z) D (Т*/2)(z), Vz € Z. (3.27)

Доказательство непосредственно следует из формул (3.23) и из первого включения в предположении 3.1.

..

любой выпуклой многозначной функции / : Z ^ 2е выполнено .

Доказательство следует из включений (3.24), (3.25),(3,27) и из теоремы в работе [12]. Применим эту теорему к операторам

(3.10) - (3.12).

Лемма 3.4. Отображение п, задаваемое одной из следующих формул

пА(А) = П АЛ); пА(А) = А(1); пА(А) = U АЛ,

(КЛ^1 0^Л^1

..

Доказательство непосредственно следует из свойств операций объединения и пересечения множеств, а также из свойств III операций • и А.

СледствиеЗ.1. Для любой выпуклой функции / : Z ^2E и для каждого из операторов (3.10)—(3.12) выполнено включение ..

Рассмотрим операторы в задачах из примеров 3.1 - 3.3. С помощью замены

r t'

t = ti + X(ti+i - ti), w(r) = w*(----г—), ti ^ r ^ ti+1, W = u, v

4+1 ti

перейдем к равносильным операторам

(кт/)(*)= п и Л* * Ц^Нг),и(г))йг),

V.) и.)

№ Л(*)=П и ПвЛ* *// ^(Лг),и(г))йг), (3 28)

^.)и.) 1 '

(^тЛ(*) = П и и Л* *//^Нг),и(г))йг)-

^(.) и.)

Пересечения и объединения берутся по всем ступенчатым функциям V : [¿,т] ^ У; и0 Є Щу(г)), і ^ г ^ т; 8 Є [і, т] . Каждый из этих операторов связан с соответствующим оператором

(3.10) - (3.12) равенством

(М4т/)(*) = (Мт-/)(*), М = к,ь,ж.

/

чение

(М4т(М/Н*) Э (МГЯ(Л, і < т < р, * Є

Л е м м а 3.5. Каждый из операторов (3.28) удовлетворяет включению

(МТ(М/))^) С (М4Р/)(*), і < т < р, * Є (3.29)

Доказательство. Пусть точка х принадлежит множеству, стоящему в левой части доказываемого включения (3.28). Возьмем ступенчатую V : (¿,р] ^ V.

Пусть М = К. Тогда существует ступенчатое управление ■их(г) € и^(г)), £ < г ^ т такое, что

х € (КрЯг(т), ¿(з) = я * ^ ^^(г), «1(г))^г, £ ^ 8 ^ т.

Из этого включения получим, что существует управление и2(г) € и^(г)), т < г ^ р такое, что х € /(<г(р)), где

т /-Р

•0^(г),«1(г))^г * / ^^(г), м2(г))^г =

р

•0^(г), «(г))^Г

Здесь и(г) = и (г) при £ < г ^ т, и(г) = и2(г) ПРИ т < г ^ рх справа в (3.29).

Пусть М=Ь. Тогда, как и выше, существует управление

■их(г), £ < г ^ т

такое, что для всех в € [£, т]

х € (I?/)(г(в)). (3.30)

Отсюда и из включения (I?/)(<г) С /г) получим, что при £ ^ в ^ т выполнено включение

х € /(¿(в)). (3.31)

в т.

вление

и2(г) € и^(г)), т < г ^ р

такое, что выполнено включение (3.31) при всех т < в ^ р.

Следовательно, управление и(г) = цДг), £ ^ г ^ т и ■и(г) = и2(г) пРи т < г ^ р гарантирует выполнение включения

(3.31) при всех £ ^ в ^ р. Это означает, что точка х принадле-

жит множеству, стоящему справа в (3.29).

Пусть М = N . Тогда существует управление

и(г) € и^(г)), £ ^ г ^ т

и число в € [£, т] такие, что

х € да)(,ф)) = №-т+7)(,ф)).

Существует управление

и(г) € и^(г)), в < г ^ р — т + в

и число вх € [в,р — т + в такие, что х € /(¿(в],)) . Следовательно, управление

и(г) = и, (г), £ ^ г < в

и

и(г) = и2(г) при в ^ г ^ р — т + в

гарантирует выполнение включения х € /(¿(вх)) в некоторый момент в! € [£,р] . Поэтому точка х принадлежит множеству, стоящему в правой части (3.29).

Следствие 3.2. Для любой выпуклой многозначной функ/.

(МТ(М/(Л = (М/*), £ < т < р, г € 2.

Список литературы

1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений М.: Мир, 1976. 161 с.

2. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1984. 479 с.

3. Пшеничный Б. П., Сагайдак М.И. О дифференциальных играх с фиксированным временем// Кибернетика. 1970. 1“2. С.54-63.

4. Красовский Н. П., Субботин А.Н. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

5. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 222 с.

6. Гусятников П. Б., Половинкин Е. С. Простая квазилинейная задача преследования //Прикладная математика и механика. 1980. Т.44, вып.5. С.771-782.

7. Петросян Л. А., Томский Г. В. Геометрия простого преследования. Новосибирск.: Наука, 1983. 140 с.

8. Субботин А. И. Вычисление цены дифференциальной игры сближения простых движений на ограниченном промежутке времени //Управление с гарантированным результатом. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР. 1987. С.71-75.

9. Субботин А. И. Кусочно-линейная функция цены дифференциальной игры с простым движением //Тр. МИАН СССР. 1988. ('.2 12251.

10. Никольский М. С. Задача о переправе с возможной остановкой двигателя //Диф. уравнения. 1993. Г^11. С.1937-1940.

11. Ухоботов В. И. Дифференциальная игра с простым движением //Изв. вузов. Сер. матем. 1991. 1^8. С.69-72.

12. Ухоботов В. И. Стабильное свойство оператора программного поглощения в играх с простым движением и выпуклой целью в пространстве с неполной линейной структурой //Вестн. Челяб. ун-та. Серия 3. Математика. Механика. Информатика. 2003. Г“2(8). С. 181189; 1997, t2. С.107-109.

13. Рокафелар Р. Выпуклый анализ. М.: Наука, 1973. 469 с.

14. Негойцэ К. Применение теории систем к проблемам управления. М.: Мир, 1981. 184 с.