CC BY
30
раметров штатных и аварийных процессов в энергетических объектах. Цифровые аварийные осциллографы вместе с программным обеспечением могут стать основой систем поддержки принятия решений при авариях в электросетях.
Управление восстановительными операциями. В энергосистеме могут происходить крупные аварии. То обстоятельство, что аварии происходят редко, только усложняет работу оператора, поскольку его опыт в решении вопросов восстановления нормального режима энергосистемы ограничен. Вследствие этого во многих центрах управления имеются планы проведения восстановительных действий.
В развитых зарубежных странах огромное внимание уделяется применению ГИС-технологий для управления инженерными коммуникациями.
Компания Boston Edison - это одна из старейших электрических и телекоммуникационных компаний в США, существующая более 100 лет и обслуживающая сегодня более 650000 клиентов на площади более 600 кв. миль. Инфраструктура электрических сетей компании Boston Edison включает 210000 электрических столбов, 52000 трансформаторов, 7500 миль подземного кабеля и 14500 миль воздушных линий. Boston Edison разработала и использует профессиональную AM/FM ГИС, предназначенную для улучшения обслуживания пользователей электросетями. Система CADIMAGE (Computer Aided Distribution Information Management and Grapgics Editor) построена с использованием программных продуктов фирмы ESRI и базируется на программе ARC/INFO. Компания разрабатывает ГИС управления энергосетью для обслуживания пользователей коммуникаций, для облегчения обслуживания, ремонта и диспетчеризации электрических сетей. Уже имеется подсистема, ответственная за отображение нарушений на электролиниях и реагирование на запросы пользователей одновременно в главном центре приема вызовов, центре управления энергетическими сетями, а также во всех пунктах пользовательской службы на всей обслуживаемой компанией территории. Пользователи могут легко и быстро связаться с диспетчерами и ремонтными бригадами, а также получить исчерпывающую графическую, текстовую и сопутствующую информацию, что оптимизирует обслуживание и ремонт оборудования,
УДК 519.21
СТАБИЛИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРОЦЕССОВ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЯХ
РОДЗИНСКИЙ А. А.
Описывается несколько схем случайных блужданий с постоянным и изменяющимся числом состояний. Время перехода из одного состояния в другое предполагается дискретным; длительности переходов, вообще говоря, различны. Рассматривается случай, когда длительности переходов в совокупности образуют сходящийся ряд. Эта ситуация при определенных условиях позволяет произвести стабилизацию основных характеристик процесса блужданий за конечный промежуток времени. Приводятся примеры применения рассмотренных схем блужданий.
значительно повышает эффективность обслуживания потребителей.
В настоящее время происходит переоценка и бурное развитие программно-аппаратных средств геоинформационных технологий, которые качественно изменят наши возможности по отображению явлений реального мира. Понятия пространства и времени в ГИС, использующиеся в качестве взаимосвязей, вместе с характеристиками и свойствами объектов, с процессами и событиями, происходящими на заданной территории, позволяют моделировать окружающий мир максимально правдоподобно.
Литература: 1. ЭВМ в управлении энергосистемами. Те-мат. вып.: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 173 с. (Тр. Ин-та инж. по электротехнике и радиоэлектронике; Т. 75, № 12). 2. Kamstrup J., Klitko A. and others. Ukraine: Energy & Economy. EC Energy Centre in Kiev, 1996. 128 p. 3. Уотермен Д. Руководство по экспертным системам: Пер. с англ./ Под ред. В.Л. Стефанюка. М. 1989. 280 с. 4. Программно-аппаратное обеспечение, фонд цифрового материала, услуги и нормативно-правовая база геоинформатики. Ежегодный обзор. Вып.3. Том 1. (1996-1997). Приложение к “Информационному бюллетеню” ГИС-ассоциации. 1998. 206 с.
Поступила в редколлегию 10.02.99 Рецензент: д-р техн- наук Зацеркляный Н.М.
Чебатарев Станислав Иванович, канд. техн. наук, профессор кафедры геодезии и геоинформационных технологий Харьковской Государственной Академии городского хозяйства. Научные интересы: геоинформационные технологии. Увлечения и хобби: компьютерная графика. Адрес: Украина, Харьков, Пр. 50-летия СССР, 27, тел. 50-30-80, 40-94-46, 47-76-55.
Гриб Олег Герасимович, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой электроснабжения городов Харьковской Государственной Академии городского хозяйства. Научные интересы: управление в энергетике. Увлечения и хобби: охота, путешествия.Адрес: Украина, Харьков, Пр. 50-летия СССР, 27, тел. 50-30-80, 40-9446,47-76-55.
Ерохин Андрей Леонидович, канд. техн. наук, доцент кафедры информатики Университета внутренних дел Украины. Научные интересы: системы принятия решений, современные компьютерные технологии. Увлечения и хобби: компьютер, радиолюбительство, музыка. Адрес: Украина, Харьков, Пр. 50-летия СССР, 27, тел. 50-30-80, 40-94-46, 47-76-55.
В настоящее время при рассмотрении многих процессов часто используют подход, основанный на теории марковских процессов. В ряде случаев решение задачи удается получить при рассмотрении соответствующим образом выбранного процесса случайных блужданий.
1. Рассмотрим простейший вариант случайного блуждания по целочисленным точкам числовой прямой. Пусть частица переходит из точки х = i в
х = i +1 с вероятностью pi (0 < pi < 1) и с вероятностью qi = 1 - pi попадает в точку х = о • Здесь состояниями являются целочисленные точки прямой х = 0, 1, 2,...; все состояния сообщающиеся.
Пусть в начальный момент времени частица находится в точке х = о . Вероятность цепочки переходов о ^ 1 n равна
lim роp1... Pn. (1)
РИ, 1999, № 1
43
Если этот предел равен нулю, то состояние x = 0 является возвратным (в этом случае и все остальные состояния возвратные). Если же предел (1) отличен от нуля, то все состояния невозвратны. В этом случае частица при n ^х с вероятностью 1 будет неограниченно смещаться направо (стремиться к ). Если
же состояние возвратно, то частица с вероятностью 1 будет бесконечное число раз возвращаться в каждое из состояний x = 0, 1,.... Среднее время возвращения
в исходное состояние x = 0 равно
Т = I1 - Ро) + 21 - Pi)Po + ••• =
= 1 + Ро + Po Pi + ••• + Po P1- Pn-1 + ••••
Если сумма (2) конечна и для всех i выполняется условие
q ^ 8 > 0, (3)
то, как известно [5], существует единственное стаци-
онарное распределение ;} 0 и для любого началь-
( 0)ш
ного распределения вероятностей \Рц^_0
(p 0 = р x = j,t = 0))
limp}(t) = n j, j = 0,1,2, •••. (4)
Здесь Pj{t) (j = 0,1,2, ••) — вероятности того, что
частица находится в состоянии j в момент времени t . Нетрудно проверить, что
п0 = Т_1, щ = Т_1 Po,•••, пn = Т_1Р0Pn-1 .
Описанное случайное блуждание известно. Приведем некоторые его модификации.
2. Рассмотрим случайное блуждание с изменяющимся числом состояний. Пусть при t = 0 число
состояний x = i , i < n0 — конечно (n0 < да ). Пусть,
далее, в моменты времени t1, t2,_, tt,••• (0 < t1 <•••< tl <•••) число состояний процесса блужда-
ний возрастает, принимая значения n1, n2 ,•••, n{, ••• (n0 <n1 <•••<nt <•••). Пусть, как и в рассмотренном выше варианте блужданий, переход из x = i в x = i +1 происходит с вероятностью pi, а “сброс” в нуль (x = 0) происходит с вероятностью qi = 1 - р{. Однако теперь при tk < t < tk+1 число состояний равно nk .
Вероятности pt, qt следовало бы метить помимо индекса i еще и индексом к . Мы не будем этого
делать для простоты записи. При t є[tk, tk+1) начальное распределение вероятностей следует задавать в
точках x = 0,1, •••, nk .
Пусть при t є[tk, tk+1) имеет место (3). Тогда если бы случайные блуждания происходили при всех t > tk (т.е. неограниченно долго), то предельное равенство (4) выполнялось бы. Ограничение t < tk+1
приводит к тому, что в (4) t є tk, tk+1J, а за этот промежуток времени (4) может иметь место лишь для определенного класса начальных распределений ве -роятностей. Если разность tk+1 - tk достаточно вели-
ка, то величины Pj{t) из (4) при t , близких к tk+1, будут локализованы в окрестностях предельных точек пj :
п j —<5< Pj{t) < л j + СТ .
Таким образом, при t , близких к tk+1, имеет место ст -фокусировка [3].
3. Опишем случайное блуждание, отличающееся от первого из рассмотренных числом точек “сброса”. В первом блуждании точкой сброса являлось состояние x = 0 . Теперь число таких точек будет больше одной. Сначала рассмотрим блуждание с двумя точками сброса x = 0 и x = a . Вероятностная схема блужданий здесь такова. При x є[0, а] частица переходит из x = i в x = i +1 с вероятностью pt и из x = i в 0 с вероятностью qt = 1 - рі. Если же x є(а, да), то частица с вероятностью pi переходит из x = і в x = i +1, с вероятностью q0i — в 0 и с вероятностью qai — в точку а (pi + q0i + qai = 1). Если выполняется
условие q0i > 5 > 0 , то данное случайное блуждание имеет стационарное распределение. Если множество точек сброса 0, а1, a2,•••, an_1 равно n (n > 2), то вероятностная картина блужданий выглядит так. При x є[0, a2] схема блужданий та же, что и для двух точек сброса. При x є[a2, a^ частица с вероятностью Pi переходит из x = i в x = і + 1 , с вероятностью q0i — в точку 0 и с вероятностью qaji — в точку a}-(j = 1,2 ); Pi + q0i + qa^- + qa2i =1. На полуинтервалах
[ak, ak+1] (2 < k < n - 2), (an_1, x) схемы случайного блуждания вводятся аналогично. Если число точек сброса бесконечно, то схема случайных блужданий определяется так же, как и для конечного их числа.
4. Случайные блуждания с конечным или бесконечным числом точек сброса и изменяющимся числом состояний вводятся так же, как и для блуждания
2. В моменты времени t1, t2,•••, tt,••• (0 < t1 <„< tj <„) число состояний процесса принимает значения n1, n2, •••, nt ,••• (tj ^ да, nt ^x ). На каждом множестве состояний из [0, n/| при 0 < t < tj+1 процесс блужданий определяется так же, как и для случая постоянного (бесконечного) числа состояний. Как и в рассмотренных выше случаях, условие существования стационарного распределения имеет вид
q<0- ^ 8 > 0.
5. Опишем процесс блужданий на графе, представляющем собой дерево. Считаем, что ребра графа имеют целочисленные длины, вообще говоря, различные. Занумеруем вершины ветвей дерева, его ребра и точки на ребрах, отстоящие от его концов на целочисленные расстояния. Случайные блуждания происходят по этим точкам и они рассматриваются как состояния определяемого нами процесса. Координаты состояний теперь, в отличие от блуждания
вдоль прямой, имеют вид (n1, n2, n3). Здесь n1 —
номер вершины ветви, n2 — номер ребра, которое из
этой вершины исходит, n3 — целочисленная коорди-
44
РИ, 1999, № 1
ната на ребре с номером п2. Существует много способов введения координат [п1, п2, п3). В ряде случаев вершины ветвей разумно нумеровать в зависимости от их расстояний до вершины дерева, а нумерацию вершин ветвей, равноотстоящих от вершин дерева, нумеровать, скажем, слева направо. Ребра, исходящие из одной и той же вершины, также разумно нумеровать слева направо, целочисленные координаты точек на ребрах должны совпадать с расстояниями от этих точек до начала ребра. Пусть
щ, п2, п3 введены таким способом. Перейдем к описанию процесса блужданий на дереве. Вершины всех ветвей считаем точками сброса. Рассмотрим множество состояний {п1, п2, п3) на графе, для которых п1, п2 фиксированы, а п3 принимает значения целочисленных координат на ребре п2. Пусть точка (п1, п2, п3 +1) принадлежит ребру {п1, п2) (т.е. ребру с номером п2 с началом в п1). Тогда обозначим через Рщ,п2,п3,п3+1 вероятность перехода из (пь п2,щ) в {п1, п2, п3 +1. Если же точка (п1, п2, п3) является концом ребра п2, который совпадает с вершиной т1, то следует задать вероятность перехода из (п1, п2, п3)
в т, т2,1. Здесь т2 — номер ребра с началом в т1. Кроме того, следует задать вероятности перехода в точки сброса (вершины ветвей). Описанный способ нумерации состояний удобен и для случая, когда блуждания на графе являются процессом с изменяющимися числом состояний. Такая нумерация удобна и тем, что дает возможность восстановить топологию графа. В ряде случаев можно прибегать к такой нумерации, при которой координатой состояния является одно число. Но и в этом случае целесообразно нумеровать состояния, начиная от вершины дерева, и производить нумерацию так, чтобы координаты состояний не убывали по мере их удаления отдерева.
Рассмотренные выше случайные блуждания можно изучать и при неодинаковых длительностях переходов из состояния в состояние. Если в этом случае последовательность длительностей переходов образует расходящийся ряд, то при выполнении некоторых условий [1, 2] будет иметь место фокусировка или ст -фокусировка. Описанные случайные блуждания можно рассматривать как дискретную цепь Маркова, порожденную марковским процессом с непрерывным временем [5]. В частности, этот процесс может быть и неоднородным, с переменными длительностями переходов.
Теперь при рассмотрении процесса блужданий на графе (см. п.5) не предполагается, что ребра графа имеют целочисленные длины, а состояния (точки на ребрах) — целочисленные координаты. Сформулируем условия фокусировки для этого случая [4]. При этом исследуемый процесс будем описывать его
инфинитезимальной матрицей Л(t). Рассмотренные варианты случайных блужданий содержат некоторые ограничения (за один шаг процесс переходит из исходного состояния в ближайшее к нему, все вершины ветвей дерева являются точками сброса).
Они были введены, чтобы имела место преемственность с известным и хорошо изученным блужданием
1. При исследовании процессов фокусировки и стабилизации от этих ограничений можно отказаться. Ниже состояния будем нумеровать одним индексом.
Пусть существует такая последовательность попарно непересекающихся интервалов
{[Sk , Sk < tk < Sk+1, Sk ^ t0, С -ж
и такая последовательность индексов jk, к = 1,2,... (jk нумерует состояния), для которых
ад tk
z inf
k=j г Sk
= го
(5)
причем на множестве
k с)\ U[ sk, tk)
к=1
норма матрицы Л( s) ограничена одной и той же
константой. Пусть, далее, Л(/) непрерывна на[ sk, tk) и существует предел
,lim p(хk) = p , (6)
где тk є[sk, tk), pTk) — нулевой собственный вектор
матрицы Л*(тk). Тогда для любого j и любого начального распределения вероятностей, заданного в точке s є[s1, t0),
Здесь Pj — j -я компонента вектора p из (6).
Если ряд (5) сходится, но его сумма достаточно велика, то t0 является точкой ст - фокусировки.
Рассмотренные в статье схемы случайных блужданий могут быть использованы при изучении реальных процессов радиоэлектроники, экономики, экологии.
Литература: 1. Герасим С.Н., Дикарев В.А, Числин Н.Н. Существование предельных вероятностей для конечных процессов Маркова с убывающими к нулю временными промежутками переходов // Докл. Национальной Академии Наук Украины, 7, 1998. 2. Дикарев В.А. Точки фокусировки и стабилизация неоднородных марковских процессов. X.: ХТУРЭ, 1995. 9 с. Рус. Деп. в ГТНБ Украины 28.02.95. № 533 — Ук. 95. 3. Дикарев В.А. Точки фокусировки и теоремы о существовании предельных вероятностей. X.: хТУРЭ, 1995. 11 с. Рус. Деп. в ГТНБ Украины 28.02.95. № 526 — Ук. 95. 4. Дикарев В.А. Условия фокусировки. Расщепление Марковского процесса на несвязные фрагменты. // Радиоэлектроника и информатика. 1998. № 3. 5. РозановЮ.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука. 1985. 320 с.
Поступила в редколлегию 05.02.99 Рецензент: д-р техн. наук Гиль Н.И.
Родзинский Анатолий Анатольевич , аспирант кафедры прикладной математики ХТУРЭ. Научные интересы: случайный анализ и его приложения. Увлечения: иностранные языки, компьютеры. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-94-36.
РИ, 1999, № 1
45
