CC BY
15
УДК 681.51 ББК З.9.6.5-01
СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ФОРНАЗИНИ-МАРКЕЗИНИ1
Емельянова Ю. П.2
(Арзамасский политехнический институт НГТУ им. Р.Е. Алексеева, Арзамас)
Рассматриваются 2Б-системы, описываемые моделью Форназини-Маркезини. Доказаны прямая и обратная теоремы об экспоненциальной устойчивости таких систем в терминах векторной функции Ляпунова. Для решения задач стабилизации вводятся понятия экспоненциальной пассивности и векторной функции накопления. Приводится пример, демонстрирующий эффективность новых результатов.
Ключевые слова: 2В-системы, модель Форназини-Маркезини, устойчивость, функция Ляпунова, стабилизирующее управление, линейные матричные неравенства (ЛМН).
Введение
Системы с многомерной (пЭ)-динамикой описываются моделями, в которых число независимых переменных п больше одной. Теорию пЭ-систем очень сложно, а в ряде случаев невозможно, построить простым обобщением теории обычных Ш-систем. Например, в случае линейной динамики передаточная функция 2Э-системы зависит от двух переменных. Отсюда возникает два характеристических полинома и отсутствие единой концепции решения задач устойчивости, управляемости и наблю-
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №16-38-00192 мол_а.
Автор признателен проф. П.В. Пакшину за ценное обсуждение содержания статьи.
2Юлия Павловна Емельянова, к.ф.-м.н. ([email protected]).
49
даемости таких систем. В связи с этим актуальной представляется задача построения общей теории устойчивости и стабилизации пЭ-систем.
В данной работе рассматривается наиболее часто встречающийся на практике случай 2Э-систем. Среди этого класса систем распространение получили следующие модели: модель Форназини-Маркезини [8], модель Роессера [19] и модель в форме повторяющегося процесса [20]. Модель Роессера появилась в задачах обработки изображений, где вектор состояния делится на горизонтальную и вертикальную составляющие. Модель Форназини-Маркезини возникла в задачах построения двумерных цифровых фильтров; в модели один вектор состояния, но он является функцией двух независимых дискретных переменных.
Модели в форме повторяющегося процесса используются для описания динамики робототехнических систем, многократно повторяющих одну и ту же операцию на заданном интервале времени, каждый раз возвращаясь в начальное состояние. Эту операцию называют шагом, проходом или итерацией. Таким образом, вектор состояния повторяющегося процесса зависит от двух переменных - времени и номера шага, при этом все шаги имеют одинаковую длительность во времени. Выходной сигнал здесь обычно называется профилем повторения. Измеряя выходной сигнал и сравнивая его с желаемым с помощью управляющего воздействия можно достичь нужной точности выполнения той или иной операции. Такие задачи получили название задач управления с итеративным обучением.
Задачи управления с итеративным обучением являются важнейшим приложением теории 2Э-систем. Итеративное обучение естественным образом применимо к повторяющимся процессам и основано на запоминании информации с предыдущих операций с целью ее использования на следующих итерациях для повышения точности. Первые результаты по применению итеративного обучения были опубликованы в [14]. Позднее появились теоретические и экспериментальные результаты решения задач управления с итеративным обучением линейными повторяющимися про-
цессами [11, 18, 20].
Исследованию нелинейных 2Э-систем посвящено значительно меньше работ [4, 5, 13, 15, 17, 25], несмотря на то, что в инженерной практике задачи встречаются в нелинейной постановке. Например, процесс высокоточного лазерного напыления металла [21, 22], многопроходный процесс резки угольных пластов [20], многопроходная сварка [22]. Если в линейном случае некоторые результаты, полученные для определенной модели, например, для линейных повторяющихся процессов, можно применить и к другим моделям, например, к модели Роессера, то в нелинейном случае необходимо рассматривать каждую модель по отдельности.
В статье рассматриваются нелинейные дискретные системы Форназини-Маркезини. Сформулирована и доказана теорема об экспоненциальной устойчивости таких систем и ее обращение. Далее эта теорема используется для решения задачи стабилизации. В теории Ш-систем одним из наиболее мощных методов решения задач стабилизации является теория диссипативности [23], где важную роль играет понятие пассивности [2]. В данной работе для рассматриваемого случая 2Э-систем для решения задач стабилизации вводятся понятия экспоненциальной пассивности и векторной функции накопления. Приводится пример синтеза нелинейного закона управления, обеспечивающего экспоненциальную устойчивость процесса.
1. Постановка задачи
Рассмотрим нелинейную систему Форназини-Маркезини, описываемую следующей моделью в пространстве состояний
(1) Жг+1,^+1 = / , ,Щ,]+1,Щ+1,з ),
г ^ т ^ 0, з ^ д ^ 0, где Хх,з € М""* - вектор состояния, € - входной вектор управления, / - нелинейная функция, удовлетворяющая требованию / (0, 0, 0, 0) = 0. Граничные условия заданы в виде
(2) = (0, 1 ^ т, Хт,э = 'Пт(3), 3 > д,
где £(г) и ) - известные функции от г и ] соответственно. Предположим, что существуют конечные вещественные числа а > 0, @ > 0 и 0 < (о < 1 такие, что
(3) 1хг,я|2 = (¿)|2 < а1хт,д|2(0"т, г > т
( ) 1хт,з|2 = ЫЛ|2 < Р1хт,д|2С0"?, 3 > Я,
здесь обозначает Евклидову норму вектора д, £0 определяет скорость сходимости начальных значений г и ] вектора состояния.
1.1. Теорема об экспоненциальной устойчивости и ее обращение
Подавляющее большинство результатов и исследований по теории устойчивости 2Э-систем, описываемых моделью Форназини-Маркезини, получены для линейных систем. Работ, посвященных исследованию нелинейных 2Э-систем, совсем не много. Среди таких работ важно отметить работу [13], где получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости для нелинейных систем Форназини-Маркезини с использованием второго метода Ляпунова. В [15] получены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости тривиального решения системы, описываемой нелинейной моделью Форназини-Маркезини.
Определение 1. Нелинейная система (1), (2) называется экспоненциально устойчивой, если существуют такие к > 0 и 0 < Л < 1, что
(4) ^|2 < к\хтл|2Аг"тА^, г ^ т, з ^ д.
Отметим, что экспоненциальная устойчивость линейной модели Форназини-Маркезини была рассмотрена в [16], где экспоненциальная устойчивость определялась по-другому.
Для исследования устойчивости 2Э-системы (1) попытка использовать второй метод Ляпунова в отличие от Ш-случая приводит к серьезным затруднениям, поскольку 2Э-система (1) не описывается в терминах полного приращения вектора состояния
(5) V (я) =
Ц(0) = 0, У2(0) = 0.
и в результате невозможно найти полное приращение функции Ляпунова.
По этой причине для исследования устойчивости 2Э-систем в данной работе используется другой метод - метод векторных функций Ляпунова [4, 5, 6], где вместо полного приращения используется дивергенция векторного поля. Для дальнейшего анализа выберем функцию Ляпунова вида
VI (Жг+1,^+1)
(Жг+1,^+1)
где V (ж) > 0, ж = 0, ^>(ж) > 0, х = 0, Аналог оператора дивергенции этой функции вдоль траекторий системы (1) имеет вид
(6) Ж (ж) = У1(^+и+1) - ^(^¿+1) +
+ ^Жг+и+О - У2(Жг+1,7). Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Нелинейная система (1), (2) экспоненциально устойчива, если существует векторная функция (5) и положительные скаляры с1, с2, с3 такие, что
(7) С1|ж|2 < ^(ж) < С2|ж|2,
(8) С1|ж|2 < У2(ж) < С2И2,
(9) £> V (ж) < - Сз (|Жг,^'+112 + |Жг+1,,-12).
Доказательство. Из (9), (7) и (8) следует, что существует
такая 0 < С3 < с3, что
Т>У (ж) ^ - сз (|ж^-+1|2 + |ж^-+1|2) ^ ^ -Сз(|®г,^'+112 + |Жг+1,^' |2) ^
(10) < -- [ ^(#¿,./+1 +У2(жг+1,,)] .
2
Из (6) и (10) получаем
(11) 0 < У1(Жг+1,,"+1) + У2(ж4+1,,"+1) < - [^^+1 +
+ ^¿+1,,")] .
53
£3
^ < 1 и 0 < 1 - ^ Обозначим Л = 1 — —, и выбирая сз достаточно малой, так что
Из последнего неравенства (11) следует, что 1 — £ > 0, и отсюда получаем, что с3 > 0 и с2 > 0, 0 < £ < 1 и 0 < 1 — £ < 1.
1
(12) Со2 < А < 1,
с учетом (11) перепишем (12) в виде
(13) У1(Хг+1^+1) ^ \У1(Хг^+1) + \У2(Хг+х^) — ^2(^+1^+1). Решая (13) относительно У1(х^+{), получим
к+т-1
(14) У1(хк+т,з+1) < АкУ1(хт^+1) + ^ [ХУ2(х1+и) —
1=т
— У2(х1+и+1)] \к+т-1-> = лкУ1 (хт,,+1)+
к+т к+т
+ л £ У2(х^)\к+т-1 — £ У2(Чз+1)\к+т-1,
I=т+1 I=т+1
и обозначая
к+т
= £ У2(Х1,)\к+т-1,
I=т+1
из (14) получим, что
(15) Шк,]+1 < Шк,1 + \кУ1(хт,у+1) — У1(хк+ш,з+1). Решая (15) с учетом Шкп, имеем
п+д
^к,п+я < ^^ + ^ [ЛкУ1(хт,р) — У1(хк+т,р)] Хп+(1 -р, р=д+1
или
п+д к+т
^ У1(Хк+т,р)\П+'1 -Р + ^ У2(хщ+д )\к+т-1 < р=д+1 1=т+1
п+д к+т
< Хк ^ У1(хт,р)\п+1- + \п ^ У2(х1,д)\к+т-1.
р=д+1 1=т+1
Последнее неравенство перепишем в виде
Я+п т+к
(16) А-к Е УгМХ1- + А-п Е ^(х^)Ат- <
р=д+1 1=т+1
п+ч к
< Е У1(Жт,Р )Ад-Р + Е )Ат-,
р=д+1 1=т+1
и вычисляя правую часть (16) с учетом (3) и (12), имеем
п+ к+ т
(17) Е У1(хт,р)А9-р + Е )Ат- <
р=Ч+1 1=т+1
(Ч+п т+к \
Е Р^|2со-9а9-Р + Е |2С0-тАт- ) <
р=Я+1 1=т+1 )
(Ч+п т+к , , \
_ ^^ 1-т 1-т \
Р Е со2 со2 А9-р + а Е (о 2 Со 2 Ат- <
р=Ч+1 1=т+1 )
(Ч+п т+к \
Р Е Ар-яАр-яАя-р + а Е А1-тА1-тАт-1 <
р=Я+1 1=т+1 )
< ^х^ ( Р ±Ар + а Е А1) = ^^ + Р) .
\ Р=о 1=0 у
Из (16), (7), (8) и (17), следует, что
(18) С1А-кА-п1Хк+т,п+д |2 < А-к Е У1(Хк+т,р)А^-р +
п+
£
р= +1
+ А-п Е у2(4п+ч )Ат- < |Хт,д | .
I=т+1
И, наконец, из (18) следует (4) при к = и А = 1 — ^,
удовлетворяющих (12), что и требовалось доказать.
В случае Ш-систем важнейшим результатом является обратная теорема Ляпунова, и в данной работе обратная теорема получена для рассматриваемого 2Б-случая.
Теорема 2. Если нелинейная система (1), (2) экспоненциально устойчива, то существуют векторная функция Ляпунова (5) и положительные скаляры с1, с2, с3, удовлетворяющие неравенствам (7), (8) и (9).
Доказательство. Выберем компоненты векторной функции Ляпунова (5)в виде
тете тете
У1(хт,д) = а Е Е \xi,j\2, У2(хт,я) = р Е Е \Xi>i\2,
г=т ]=д i=m ]=д
а > 0, р> 0, а + р = 1.
Выбирая с1 ^ тт(а,[5), имеем
тете
С1\хт,д\2 ^ аЕ ^2\хг,з\2 = У1(хт,д),
г=т ]=д тете
С1\Хт,д\2 ^ ^ЕЕ \Хг, з\2 = У2 (хт,д),
= т =
и из условия экспоненциальной устойчивости следует, что
\2
(1 - ху2.
Е Е \2 < ^\2 Е Е хг-тх'- =
= т = = т =
Выбирая с2 ^ шах(а,,б) ^^^ , получим, что справедливы (7) и (8). Вычисляя дивергенцию (6) получим
Т>У(х) = VI(Хт+1,д+1) - VI(Хт,д+1) + У2(Хт+1,д+г)-
(те те тете \
Е Е \Хг,з\2 - Е Е \Хг,з\2 ) +
= т+1 = +1 = т = +1
(тете тете
Е Е \хг, э \2 - Е Е \2
= т+1 = +1 = т+1 =
= -« Е -Р Е ^12 ^ д+1|2-
,7=д+1 г=т+1
-Р |Жт+1,д |2 ^ - ш1п(о;,Р}(|жт)<г+112 + |Жт+1,д |2).
Таким образом, выполнено третье условие теоремы (9), где с3 = ш1п(а, Р). Теорема доказана.
2. Экспоненциальная пассивность и стабилизация
В данном разделе решается задача синтеза управления, обеспечивающего экспоненциальную устойчивость системы. Вводятся понятия экспоненциальной пассивности и векторной функции накопления вида (5).
Для дальнейшего анализа введем вспомогательную переменную е ЖПг следующего вида:
(19) гг^ = Н(Хг^,Щ^},
где хг^ = [ж^+1 хТ+1^]Т, = КТ-+1 и1+1^\Т, вектор Ъ удовлетворяет требованию Ъ(0, 0} = 0. Введем понятие пассивности.
Определение 2. Нелинейная дискретная 2Б-
система (1), (2) называется экспоненциально пассивной, если существуют векторная функция (5), вектор х вида (19) и положительные постоянные с1, с2, с3, удовлетворяющие условию
(20) Ж(х) < г^вщ^ - сз(|жга+1|2 + |жг+и|2},
где С - постоянная матрица соответствующего размера.
Это определение является обобщением на 2Э-системы определения, введенного в [9] для Ш-систем, а вектор г можно рассматривать как вспомогательный выходной вектор, который используется для синтеза закона управления и обеспечения пассивности системы. Процедура выбора этого вектора в теории Ш-систем известна как процедура пассификации или пассивации [12]. Выбор этого вектора зависит от выбора функции накопления и представляет собой отдельную сложную задачу подобную задаче выбора функци Ляпунова для нелинейных систем.
57
Таким образом, задача - найти пару (г, V), удовлетворяющую условию (20), и ниже показано, как эта задача может быть решена для частного случая.
Следующая теорема является расширением хорошо известных результатов теории пассивности Ш-систем [9] на рассматриваемый 2Э-случай.
Теорема 3. Пусть дискретная нелинейная 2Б-система (1), (2) экспоненциально пассивна. Предположим также, что существует функция <р(г) такая, что ф(0) = 0 и хТС^(х) > 0 при х = 0. Тогда закон управления вида
(21) Щ,з = -Фг,з) обеспечивает экспоненциальную устойчивость системы.
Доказательство. Из (20), (21), (7) и (8) следует, что существует такая 0 <с3 < с3, что
Ж(х) < -г^вф^) - с3(\х^+1\2 + \х^+1\2) <
< -с-з(\Чз+1\2 + \хг+1,з\2) < -^^ ШЧз+1 + У2(хг+и)] ,
С2
остальная часть доказательства такая же, как в теореме 1.
Заметим, что векторная функция накопления (5) может рассматриваться как векторная функция Ляпунова для системы (1) с законом управления (21), который обеспечивает экспоненциальную устойчивость системы.
3. Пример
Рассмотрим частный случай системы (1), на котором продемонстрируем процедуру нахождения стабилизирующего управления с обратной связью:
(22) хг+1^+1 = А1Хг^+1 + А2Хг+1^ + ф1(хг^+1,хг+1^)иг^+1 +
+ Ф2 (Хг,]+1, Хг+1,])Щ+1 где <р1 и <р2 - нелинейные векторные функции. В простейшем случае <р1 и <р2 - постоянные векторы и (22) - линейная 2Э-система Форназини-Маркезини. В рассматриваемом частном случае система (22) состоит из линейной части, на которую управление 58
(23) где $ =
- 0,
0.
действует через статические нелинейности 01 и 02, при этом стабилизирующее управление удается найти в явном виде.
Введем обозначения А = А А2 ], ф(хга-} = [ ф1(хг^+1,хг+1^} ф2(хг>^+1, Жг+1,^}]. Обозначим положительную определённость (отрицательную определённость) символом У 0 (соответственно — 0) и выберем векторную функцию накопления в виде (5) с компонентами У1(х) = ахТРх, У"2(х) = ,бхТРх, где Р У 0, а > 0, 0 и а + Р = 1 и удовлетворяют следующему линейному матричному неравенству
АТРА1 - аР + $ц АТРА2 + ^12 АТРА1 + $21 АТРА2 - РР + $22
$11 $12 $21 $22
В данном случае оператор дивергенции векторной функции Ляпунова (5) будет иметь вид
(24) VV(х} = х^Т, (атра - а0Р Юр +
+ 2х]^^Рф(хг,3 + й^ф7" (х гу] )Рф(хг^ . Анализ правой части (24) показывает, что если выбрать вспомогательный вектор выхода в виде
(25) ^ = 2фТ (х1,] )РАхг,з + ^ (хг,] }Рф(хг,^ , то будет справедлива следующая оценка:
(26) VV(х) < 2^гу^йг,^ - Атш($)|хга-12,
где Ат;п($) - минимальное собственное значение матрицы $, и из (26) следует, что система (22)-(25) экспоненциально пассивна относительно выходной переменной и входной переменнной при С = 2/, где I - единичная матрица соответствующего размера. Тогда согласно Теореме 1 стабилизирующий закон управления должен удовлетворять соотношению
(27) = -г^ = -(2фт(х*,.,-}РАхг^ + (хг,^}Рф(х*}йг,^}. Из уравнения (27) находим закон управления в явном виде:
(28) йад = -[/ + фТ (х%,] )Рф(хга- }]-1фТ (х%,] }РАхг,з.
Этот закон будет обеспечивать экспоненциальную устойчивость системы (22).
4. Заключение и перспективы работы
В работе получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости нелинейных 2Э-систем, описываемых моделью Форназини-Маркезини. Доказана обратная теорема. Получены новые результаты по использованию теории пассивности для анализа устойчивости и решения задач стабилизации рассматриваемого класса 2Э-систем. Эти результаты могут служить основой для дальнейшей исследований.
Дальнейшие исследования предполагаются в следующих направлениях. В [24] линейная модель Форназини-Маркезини использовалась для синтеза управления высокоточным прокатом металла. Для большей эффективности управления следует учитывать имеющиеся в этой системе ограничения, в результате которых система становится нелинейной. Разработанная в статье теория может быть применена для этих целей.
Другое направление связано с синтезом управления в системах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных типа Гурса-Дарбу [1, 7, 10], с использованием дискретных аппроксимаций. Дискретная аппроксимация этих уравнений приводит к уравнениям типа Форназини-Маркезини. Результаты статьи здесь также могут быть эффективно применены.
Литература
1. ПЛОТНИКОВ В.И., СУМИН В.И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Дифференциальные уравнения. - 1972. - Том VII, вып. 5. - C. 845-856.
2. BYRNES C., ISIDORI A., WILLEMS J. Passivity, feedback equivalence and the global stabilization of minimun phase nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1991. -Vol. 36. - P. 1228-1240.
3. DU C., XIE L. Stability analysis and stabilization of uncertain two-dimensional discrete systems: an LMI approach // IEEE Trans. on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. - 1999. - Vol. 46. - P. 1371-1374.
4. EMELIANOVA J., PAKSHIN P., GAIKOWSKI K., ROGERS E. Vector Lyapunov function based stability of a class of applications relevant 2D nonlinear systems // IFAC Proceedings Volumes (IFACPapersOnLine) - 2014. - Vol. 47, Issue 3. - P. 8247-8252.
5. EMELIANOVA J., PAKSHIN P., GAIKOWSKI K., ROGERS E. Stability of nonlinear discrete repetitive processes with Markovian switching // Systems & Control Letters. - 2015. - Vol. 75. - P. 108-116.
6. EMELIANOVA J., PAKSHIN P., GAIKOWSKI K., ROGERS E. Stability of nonlinear 2D systems described by the continuous-time Roesser model // Automation and Remote Control. - 2014. - Vol. 7. - P. 845-858.
7. DYMKOV M., GALKOWSKI K., ROGERS E., DYMKOU V., DYMKOU S. Modeling and Control of a Sorption Process using 2D Systems Theory // Proc. 7th Int. Worskop on Multidimensional Systems (NDS'11). - 2011. -P. 1-6.
8. FORNASINI E., MARCHESINI G. Doubly indexed dynamical systems: state models and structural properties // Mathematical Systems Theory. - 1978. - Vol. 12. - P. 59-72.
9. FRADKOV A., HILL D. Exponential feedback passivity and stabilizability of nonlinear systems // Automatica. - 1998. -Vol. 34. - P. 697-703.
10. HMAMED A., MESQUINE F., TADEO F., BENHAYOUN M., BENZAOUIA A. Stabilization of 2D saturated systems by state feedback control // Multidimensional Systems and Signal Processing. - 2010. -Vol. 21. - P. 277-292.
11. HLADOWSKI L., GALKOWSKI K., CAI Z., ROGERS E., FREEMAN C.T., LEWIN P.L. Experimentally supported 2D systems based iterative learning control law design for error convergence and performance // Control Engineering Practice. - 2010. - Vol. 18(4). - P. 339-348.
12. KHALIL H. Nonlinear Systems. Third Edition. - New Jersey: Prentice Hall, 2002.
13. KUREK J. Stability of nonlinear time-varying digital 2-D Fornasini- Marchesini system // Multidimensional Systems and Signal Processing, vol. open access at Springerlink.com -2012. - P. 1-10.
14. KUREK J.E., ZAREMBA M.B. Iterative learning control synthesis based on 2D system theory // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1993. - Vol. 38. - P. 121-125.
15. LIU D. Lyapunov stability of two-dimensional digital filters with overflow nonlinearities // IEEE Trans. on Circuits and SystemsI: Fundamental Theory and Applications. - 1998. -Vol. 45. - P. 574-577.
16. PANDOLFI L. Exponential stability of 2D systems // Systems & Control Letters. - 1984. - Vol. 4. - P. 381-385.
17. PAKSHIN P., GAIKOWSKI K., ROGER E. Stability and stabilization of systems modeled by 2D nonlinear stochastic Roesser models // Proc. 7th Int. Workshop on Multidimensional (nD) systems. - 2011. - P. 1—6.
18. PASZKE W., ROGERS E., GALKOWSKI K., CAI Z. Robust finite frequency range iterative learning control design and experimental verification // Control Engineering Practice. -2013. - Vol. 21. - P. 1310-1320.
19. ROESSER R.P. A discrete state-space model for linear image processing // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1975. -Vol. AC-20(1). - P. 1-10.
20. ROGERS E., GALKOWSKI K., OWENS D.H. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes // Lecture Notes in Control and Information Sciences. - Springer-Verlag, Berlin. - 2007. - Vol. 349.
21. SAMMONS P.M., BRISTOW D.A., LANDERS R.G. Iterative learning control of bead morphology in laser metal deposition processes // Proc. American Control Conference. -2013. - P. 5962-5967.
22. SAMMONS P.M., BRISTOW D.A., LANDERS R.G. Height dependent laser metal deposition process modeling // Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 2013. -Vol. 135, No. 5. - P. 1-7.
23. WILLEMS J. Dissipative dynamical systems part I: General theory // Arch. Rational Mech. Analysis. - 1972. - Vol. 45. -P. 325-351.
24. YAMADA M., XU L., SAITO O. 2D Model-Following Servo System // Multidimensional Systems and Signal Processing. -1999. - Vol. 10. - P. 71-91.
25. YEGANEFAR N., YEGANEFAR N., GHAMGUI M., MOULAY E. Lyapunov theory for 2D nonlinear Roesser models: Application to asymptotic and exponential stability // IEEE Trans. on Automatic Control. - 2013. - Vol. 58. -P. 1299-1304.
STABILIZATION OF NONLINEAR 2D- FORNASINI-MARCHESINI SYSTEM
Julia Emelianova, Arzamas Polytechnic Institute of R.E. Alekseev Nizhny Novgorod State Technical University, assistant professor ([email protected]).
Abstract: The paper considers nonlinear 2D-system described by Fornasini-Marchesini state-space model. Sufficient conditions for the property of exponential stability are developed in terms of vector Lyapunov functions and a converse stability theorem is proved. A form of passivity, termed exponential passivity, is defined and used together with a vector storage function. This technique makes it possible to develop a new control law design algorithm to guarantee exponential stability of the system. As an example the algorithm is applied to a physically relevant case of systems with nonlinear actuator dynamics. Further research will focus on two directions. In earlier work linear Fornasini-Marchesini model was applied to a high-precision rolling system. The results of this paper can be useful to devise a nonlinear control system that will improve the efficiency. Other possible application is related to discrete approximation of Darboux differential equations systems which leads to Fornasini-Marchesini equations. Our results can be applied to problems of this sort.
Keywords: 2D-systems, Fornasini-Marchesini model, exponential stability, Lyapunov function, stabilizing control, linear matrix inequality (LMI).
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Б. Р. Андриевским.
Поступила в редакцию 30.07.2016. Дата опубликования 30.11.2016.
