CC BY
21
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Стабилизация билинейных систем третьего порядка
в классе постоянных управлений
# 07, июль 2014
Б01:10.7463/0714.0717640
Голубев А. Е.1,а
УДК 519.71
1Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана
ау-а1йо1и@ДюйпаЛ. сот
Предложено решение задачи стабилизации нулевого положения равновесия билинейных систем третьего порядка в классе постоянный управлений. Получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости билинейных систем третьего порядка в классе постоянный управлений. Исследована возможность стабилизации нулевого положения равновесия в зависимости от значений параметров системы. Полученные теоретические результаты могут найти применение в задачах автоматического управления техническими системами, например беспилотными летательными аппаратами и мобильными роботами.
Ключевые слова: стабилизация; нерегулярные системы; билинейные системы; необходимые и достаточные условия стабилизируемости
Введение и постановка задачи
Рассматривается задача стабилизации нулевого положения равновесия билинейных динамических систем со скалярным управлением. Билинейной называют динамическую систему, имеющую вид
х = Ах + иВх, (1)
где х € — вектор состояния системы; и е К — управление; А е Егахга и В е Егахга — некоторые постоянные матрицы.
В точках множества N = {х е Вх = 0} правая часть системы (1) не зависит от и, что существенно усложняет решение задач управления для билинейнык систем. Если В = 0, то множество N представляет собой линейное подпространство фазового пространства системы размерности п — г, где г = В — ранг матрицы В.
Один из подходов к решению задачи стабилизации билинейных систем основан на использовании постоянный или кусочно постоянный управлений. Стабилизация билинейных систем второго порядка рассмотрена, например, в работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. В случае п = 2
известны различные необходимые и достаточные условия стабилизируемости нулевого положения равновесия билинейных динамических систем при помощи постоянных [1, 3, 5, 6, 7] и кусочно постоянных [1, 2, 3, 4] управлений.
Отметим, что необходимые условия стабилизируемости нулевого положения равновесия билинейных систем произвольного порядка приведены в работах [5, 6, 8, 9]. В [8, 9] также получены достаточные условия стабилизируемости билинейных систем произвольного порядка в классе кусочно постоянных периодических функций.
В настоящей работе исследуется задача стабилизации нулевого положения равновесия билинейных систем третьего порядка, записанных в виде
y(3) + «2у + ^y + aoy = (y - /oy - /iy)u, (2)
где y = (y, y, y) Е R3 — вектор состояния системы; u Е R — управление; а0, а1, а2, /0, /1 — некоторые действительные коэффициенты. Решение задачи стабилизации ищется в классе постоянных управлений.
В разд. 1 приводится общий критерий стабилизируемости рассматриваемых билинейных систем при помощи постоянных управлений. В разд. 2 доказываются необходимые и достаточные условия стабилизируемости билинейных систем вида (2) c неравными нулю коэффициентами /0 и /1. В разд. 3 рассмотрен случай, когда один или оба коэффициента /0, /1 обращаются в ноль.
1. Общий критерий стабилизируемости в классе постоянных управлений
При постоянном управлении u = u* = const система (2) запишется как
y(3) + («2 - u*)y + (й1 + /1U*)y + (й0 + /0U*)y = 0. (3)
Применив критерий Рауса — Гурвица, получим следующие необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия y = 0 системы (3):
й2 — u* > 0, й1 + /1u* > 0, й0 + /0u* > 0, (4)
/1u* — («2/1 — «1 — /0)u* — («2«1 — «0) < 0. (5)
Пусть
/0 = {u* Е R: Й0 + /0u* > 0} , /1 = {u* Е R: Й1 + ^u* > 0} , /2 = {u* Е R: Й2 — u* > 0} .
Обозначим через / множество решений неравенства (5) относительно u*. Тогда множество решений системы неравенств (4), (5) имеет вид / = /0 П /1 П /2 П /. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. 1. Постоянное управление, являющееся решением задачи глобальной стабилизации положения равновесия y = 0 системы (2), существует тогда и только тогда, когда множество / не пусто.
2. Для того чтобы управление u = u* = const глобально стабилизировало положение равновесия y = 0 системы (2), необходимо и достаточно выполнения условия u* Е / .
2. Стабилизация при 10 = 0 и = 0
Рассмотрим случай, когда /0 = 0, ^ = 0. Обозначим через f (и*) квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства (5):
f (и*) = ^и* — (02/1 — «1 — /о)и* — (й2«1 — «о). Найдем его значения в точках и* = а2, и* = —а1//1 и и* = — а0//0:
f (02) = «2/0 + Оо, (6)
_ ао/1 — а1/о
•Ч—ц; = /1 , (7)
w _А _ («2^° + a°)(a°/i - Qilo) _ / («2)/(_ai/¿i)/i (8)
/ ¿2 I?
Вычислим также дискриминант квадратного трехчлена /(и*):
D _ (a?1i _ «1 _ 1°)2 + 4/i(a?ai _ a°) _ («2^1 + ai _ 1°)2 _ 4(a°/i _ ai/°).
Если D > 0, то корнями рассматриваемого квадратного трехчлена являются значения и* _ 0i и и* _ 02, где
a^/i _ ai _ 1° _ ^fD п «2li _ ai _ 1° + \/~D
0i _-2Zi-' 02 _--. (9)
При D < 0 квадратный трехчлен /(и*) не имеет действительных корней.
Случай 10 < 0,1х < 0. Пусть е _ min {a2, _ai//i, _a°/1°}. Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть < 0 и Zi < 0. Тогда:
1) постоянное управление, являющееся решением задачи глобальной стабилизации положения равновесия y _ 0 системы (2), существует при любых значениях параметров a°, ai
И a2;
2) управление и _ и* _ const глобально стабилизирует положение равновесия y _ 0 системы (2) тогда и только тогда, когда
а) и* е е), если D < 0;
б) и* е min{e, 02}), если D > 0 и 0i > е;
в) и* е 02) U (0Ь е), если D > 0 и 0i < е.
Доказательство. При 1° < 0 и Zi < 0 справедливы равенства 1° _ _a°/1°),
1i _ _ai/1i), /2 _ «2) и 1° П 1i П /2 _ е).
Если D < 0, то / _ и множество / _ /° П /i П /2 П / решений системы
неравенств (4), (5) совпадает с интервалом е).
Если D > 0, то квадратный трехчлен /(и*) имеет корни (9), причем 02 < 0i. Поскольку 1i < 0, то справедливо равенство / _ 02) U (0i; Множество решений неравенств (4) и (5) запишется как / _ min {е, 02}), если 0i > е, и / _ 02) U (0i, е) в случае
0i < е (рис. 1).
Io П11Ш2
"7777777777777777777777777777777777777777777777777777777?.
u*
I I
777777777777777777777777777777777777771-fe77777777777777777777777777777777777.7~*-
в2 Q\ u„
Рис. 1. Множества решений неравенств (4) и (5) при 10 < 0,11 < 0, D > 0 и в1 > е
Таким образом, при любых значениях параметров а0, «ъ «2 и /0 < 0, /1 < 0 множество
I не является пустым. В силу теоремы 1 при управлении u = u* = const система (2) асимптотически устойчива в целом в точке y = 0 тогда и только тогда, когда u* £ I . Теорема доказана.
Случай 10 > 0, 11 > 0. Введем обозначение v = max{-а0//0, —а1//1}. Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть /0 > 0 и /1 > 0. Тогда:
1) постоянное управление, являющееся решением задачи глобальной стабилизации положения равновесия y = 0 системы (2), существует тогда и только тогда, когда справедливы неравенства
D > 0, v < #2 < (10)
2) для того чтобы управление u = u* = const глобально стабилизировало положение равновесия y = 0 системы (2) в случае справедливости неравенств (10), необходимо и достаточно выполнения условия u* £ (max {v, #1}, #2).
Доказательство. Если D < 0, то при /1 > 0 множество I равно пустому множеству и система неравенств (4), (5) не имеет решений.
Рассмотрим случай D > 0. При /0 > 0 и /1 > 0 верны равенства 10 = (—а0//0,
II = (—а1//1, 12 = (—то, а2). Множество 10 П 11 П 12 не пусто тогда и только тогда, когда выполнено условие v < а2. В этом случае имеет место равенство 10 П11 П12 = (v, а2). Поскольку /1 > 0 и D > 0, то I = (#1, #2). Найдем I = (v, а2) П (#1, #2).
В силу соотношений (6), /0 > 0 и —а0//0 < v < а2 справедливо неравенство f (а2) > 0. Тогда для непустоты множества I необходимо и достаточно выполнения условия v < < а2 (рис. 2).
Отметим, что рис. 2 соответствует случаю < v. Рассмотрим различные возможные положения точек u* = и u* = v на действительной оси. C учетом соотношений (7),
loW^
-te77777777777777777777777777777777.И-
«2
I
--
0! U* Рис. 2. Множества решений неравенств (4) и (5) при 10 > 0,11 > 0, D > 0 и в1 < v < в2 < a2
(8), (10) и условий ¿0 > 0, ¿1 > 0 получим, что: 1) при —«i/ii < —a0/10 справедливы неравенства f (v) < 0 и < v; 2) в случае —а1//1 > — а0//0 имеем f (v) > 0 и > v; 3) если —а0//0 = —а1//1, то f (v) = 0 и = v.
Таким образом, при любых значениях параметров а0, а1, а2 и ¿0 > 0, ¿1 > 0, удовлетворяющих условиям (10), выполнено / = (max{v, 01}, 02) = 0. Следовательно, согласно теореме 1, при управлении u = u* = const система (2) асимптотически устойчива в целом в точке y = 0 тогда и только тогда, когда u* е (max {v, 01}, 02). Теорема доказана.
Покажем, что существует билинейная система вида (2), для которой выполняются условия (10). Например, при
— ^/¿1 < — ^/¿0 <«2 (11)
условия (10) выполнены, так как в этом случае в силу соотношений (6)-(8) и ¿0 > 0, ¿1 > 0 имеют место неравенства f (v) < 0 и f (а2) > 0. Отметим, что всегда найдутся такие значения параметров а0, а1, а2 и ¿0 > 0, ¿1 > 0 системы (2), что справедливо неравенство (11).
Случай 10 > 0, 11 < 0. Пусть ß = min {—а1//1, а2}. Докажем следующую теорему.
Теорема 4. Пусть ¿0 > 0 и ¿1 < 0. Тогда:
1) постоянное управление, являющееся решением задачи глобальной стабилизации положения равновесия y = 0 системы (2), существует тогда и только тогда, когда справедливо неравенство
— <20/10 < ß; (12)
2) для того чтобы управление u = u* = const глобально стабилизировало положение равновесия y = 0 системы (2) в случае справедливости неравенства (12), необходимо и достаточно выполнения условия u* е (—а0//0, 02).
Доказательство. При ¿0 > 0, ¿1 < 0 справедливы равенства /0 = (—а0//0, +то), 11 = (—то, — а1//1) и /2 = (—то, а2). Следовательно, для непустоты множества /0 П 11 П /2 необходимо и достаточно выполнения условия (12). Тогда имеет место соотношение /0 П
/1 П /2 = (—^/¿0, ß).
Далее, из неравенств ¿0 > 0, — а0//0 < ß < а2, ¿1 < 0 и — а0//0 < ß < —а1//1 с учетом выражений (6)-(8) вытекает, что D > 0, f (ß) > 0 и f (—а0//0) < 0. Поэтому справедливо неравенство — а0//0 < 02 < ß < и множество / = /0 П /1 П /2 П / не является пустым (рис. 3), причем / = (—а0//0, 02).
Iani1m2
477777777777777777777777777777777777.
-a0/l0 ß
I I
—7777777777777777777777777777777777.7I-177777777777777777777777777777777777^
вг вх
и
и
Рис. 3. Множества решений неравенств (4) и (5) при 10 > 0,11 < 0 и —a0/10 < ß
Следовательно, в силу теоремы 1 при любых значениях параметров а0, «ъ «2 и /0 > 0, /i < 0, удовлетворяющих условию (12), система (2) с управлением u = u* = const асимптотически устойчива в целом в точке y = 0 тогда и только тогда, когда u* £ (—а0//0, 02). Теорема доказана.
Случай 10 < 0, 11 > 0. Введем обозначение n = min{—«0//0, а2}. Справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Пусть /0 < 0 и /1 > 0. Тогда:
1) постоянное управление, являющееся решением задачи глобальной стабилизации положения равновесия y = 0 системы (2), существует тогда и только тогда, когда справедливы неравенства
D > 0, —«i/li <0i < n; (13)
2) для того чтобы управление u = u* = const глобально стабилизировало положение равновесия y = 0 системы (2) в случае справедливости неравенств (13), необходимо и достаточно выполнения условия u* £ (01, min {n, 02}).
Доказательство. Заметим, что при /0 < 0 и /1 > 0 справедливы равенства /0 = = (—то, —а0//0), 11 = (—а1//1, +то) и /2 = (—то, а2). Множество /0 П 11 П /2 не пусто тогда и только тогда, когда выполнено условие — а1//1 < n. При этом имеет место равенство /0 П /1 П /2 = (—«1//1, n).
С учетом неравенства /1 > 0 необходимым и достаточным условием непустоты множества / является неравенство D > 0. В этом случае / = (01, 02), где и 02 имеют вид (9). Найдем /= (—а1//1, n) П (0Ь 02).
Поскольку /0 < 0, /1 > 0 и —а1//1 < n < —«0//0, то из равенства (7) следует, что f (—а1//1) > 0. Тогда множество / не равно пустому множеству тогда и только тогда, когда справедливо неравенство —а1//1 < < n (рис. 4).
Iani1m2
-V777777777777777777777777777777777?.И-
~ai/h V U*
I
-^7777777777777777777777777777777777771-
ö в2 U*
Рис. 4. Множества решений неравенств (4) и (5) при 10 < 0,11 > 0, D > 0 и —a1/11 < <п <02
Отметим, что рис. 4 соответствует случаю 02 > n. Рассмотрим различные возможные положения точек u* = 02 и u* = n на действительной оси. В силу соотношений (6), (8), (13) и /0 < 0, /1 > 0 имеем: 1) в случае a2 > — а0//0 справедливы неравенства f (n) < 0 и 02 > n; 2) при a2 < —а0//0 выполнено f (n) > 0 и 02 < n; 3) если a2 = —а0//0, то f (n) = 0 и 02 = n.
Следовательно, при любых значениях параметров a0, а1, а2 и /0 < 0, /1 > 0, удовлетворяющих условиям (13), имеем / = (01, min {n, 02}) = 0. Далее, согласно теореме 1 при
управлении u = u* = const система (2) асимптотически устойчива в целом в точке y = 0 тогда и только тогда, когда u* е (01, min {п, 02}). Теорема доказана.
Рассмотрим вопрос о существовании такой билинейной системы вида (2), что выполняются условия (13). Заметим, что всегда найдутся значения параметров а0, а1, а2 и 10 < 0, ¿1 > 0, удовлетворяющие неравенству (11). Тогда в случае справедливости неравенства (11) условия (13) выполнены, так как с учетом соотношений (6)-(8) и 10 < 0, ¿1 > 0 имеют место неравенства f (п) < 0 и f (—а1//1) > 0.
3. Стабилизация при 10 = 0 и/или 11 = 0
Случай 10 = 0,11 = 0. Имеет место следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть 10 = 0 и ¿1 = 0. Тогда:
1) постоянное управление, являющееся решением задачи глобальной стабилизации положения равновесия y = 0 системы (2), существует тогда и только тогда, когда а0 > 0 и, если ¿1 > 0, то справедливы неравенства
D > 0, —а1//1 < «2; (14)
2) для того чтобы управление u = u* = const глобально стабилизировало положение равновесия y = 0 системы (2), необходимо и достаточно выполнения условий:
а) u* е (01, 02), если а0 > 0,11 > 0 и справедливы неравенства (14);
б) u* е (—то, 02), если а0 > 0 и 11 < 0.
Доказательство. Если а0 < 0, то при 10 = 0 множество /0 равно пустому множеству и система неравенств (4), (5) не имеет решений.
Рассмотрим случай а0 > 0. Поскольку 10 = 0, то справедливы равенства /0 = (—то, +то) и /0 П /1 П /2 = /1 П /2. Возможны два различных случая: 11 > 0 и 11 < 0.
1. Пусть 11 > 0. Тогда/1 = (—а1/11, +то), /2 = (—то,а2). Множество/1П/2 непустотогда и только тогда, когда —а1/11 < а2. В этом случае справедливо равенство /1П/2 = (—а1 /11,а2). Для непустоты множества / при 11 > 0 необходимо и достаточно выполнения условия D > 0. При этом имеет место равенство / = (01, 02). Найдем / = (—а1/11, а2) П (01, 02).
Заметим, что в силу выражений (6) и (7) при 10 = 0 выполняется соотношение
f (а2) = f (—а1 /11) = а0 > 0. (15)
Следовательно, множество / не пусто и имеет вид / = / = (01, 02) (рис. 5), причем тогда и только тогда, когда а0 > 0, —а1/11 < а2 и D > 0.
2. Пусть 11 < 0. Тогда справедливы равенства /1 = (—то, —а1/11), /2 = (—то, а2) и /1 П П/2 = (—то, min {а2, —а1/11}). Далее, с учетом соотношений (15) имеют место неравенства D > 0, 02 < min {а2, —а1/11} < max {а2, —а1/11} < и множество / = /0 П /1 П /2 П / решений системы неравенств (4), (5) не является пустым (рис. 6), причем / = (—то, 02).
7777777777777777777777777777777777777777777777777?.
~a\ß\ a2
I
-b.7777777777777777777777777777777777?.И-
u.
u,
Рис. 5. Множества решений неравенств (4) и (5) при 10 = 0, 11 > 0, а0 > 0, —а\Ц\ < а2 и D > 0
Iani1m2
7777777777777777777777777777777777777777777?.тЬ
-ai/li a2
u.
I
-!7777777777777777777777777777777777777777
в2 в1 u*
Рис. 6. Множества решений неравенств (4) и (5) при 10 = 0,11 < 0, а0 > 0 и —а1/11 < a2
Таким образом, согласно теореме 1 при управлении u = u* = const система (2) асимптотически устойчива в целом в точке y = 0 тогда и только тогда, когда u* £ I. Теорема доказана.
Случай 10 = 0,= 0. Пусть b = (a2a1 — ao)/(a1 + /о). Докажем следующую теорему.
Теорема 7. Пусть /0 = 0 и /1 = 0. Тогда:
1) постоянное управление, являющееся решением задачи глобальной стабилизации положения равновесия y = 0 системы (2), существует тогда и только тогда, когда
a1 > 0, /0 > 0, — a0//0 < min (a2, b} (16)
или
или
или
a1 > 0, /0 < 0, a1 + /0 > 0 (17)
a1 > 0, /0 < 0, a1 + /0 < 0, b< min {a2, —a0//0} (18)
a1 > 0, /0 = —a1, a2a1 — a0 > 0; (19)
2) для того чтобы управление u = u* = const глобально стабилизировало положение равновесия y = 0 системы (2), необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
а) u* £ (—a0//0, min {a2, b}), если справедливы неравенства (16);
б) u* £ (—то, min {a2, —a0//0, b}), если имеют место неравенства (17);
в) u* £ (b, min {a2, —a0//0}), если выполнены условия (18);
г) u* £ (—то, min {a2, —a0//0}), если имеют место соотношения (19).
Доказательство. Необходимым и достаточным условием непустоты множества 11 при /1 = 0 является условие a1 > 0. В этом случае справедливы равенства 11 = (—то, +то) и /0 П /1 П /2 = /0 П /2.
9
9
2
Если 10 > 0, то /0 = (—а0/10, +то), /2 = (—то, а2) и / = (—то, b). Множество / = /0 П /1 П /2 П / решений системы неравенств (4), (5) не пусто тогда и только тогда, когда —а0/10 < min {а2, b}. В этом случае справедливо равенство /= (—а0/10, min {а2, b}).
Если 10 < 0, то имеют место равенства /0 = (—то, —а0/10), /2 = (—то, а2), / = (—то, b) в случае а1 +10 > 0 и / = (b, +то) при а1 +10 < 0. Тогда / = (—то, min {а2, —а0/10, b}) = 0, если а1 + 10 > 0. В случае а1 + 10 < 0 для непустоты множества множества / необходимо и достаточно выполнения условия b < min {а2, —а0/10}. При этом справедливо равенство /= (b, min {а2, —а0/10}).
Заметим, что в случае 10 = —а1 множество / не пусто тогда и только тогда, когда а2а1 — а0 > 0. При этом справедливы равенства / = (—то, +то) и / = /0 П /2 = = (—то, min{а2, —а0/10}).
Следовательно, согласно теореме 1 система (2) с управлением u = u* = const асимптотически устойчива в целом в точке y = 0 тогда и только тогда, когда u* е /. Теорема доказана.
Случай 10 = 0,11 = 0. Имеет место следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть 10 = 0 и 11 = 0. Тогда:
1) постоянное управление, являющееся решением задачи глобальной стабилизации положения равновесия y = 0 системы (2), существует тогда и только тогда, когда справедливы неравенства а0 > 0 и а1 > 0;
2) для того чтобы управление u = u* = const глобально стабилизировало положение равновесия y = 0 системы (2) при а0 > 0 и а1 > 0, необходимо и достаточно выполнения условия u* е (—то, min {а2, (а2а1 — а0)/а1}).
Доказательство. При 10 = 0,11 = 0 множества /0 и /1 не равны пустому множеству тогда и только тогда, когда а0 > 0 и а1 > 0 соответственно. В этом случае имеют место соотношения /0 = /1 = (—то, +то) и /0 П /1 П /2 = /2.
С учетом равенств /2 = (—то, а2) и / = (—то, (а2а1 — а0)/а1) множество / решений системы неравенств (4), (5) запишется как / = /2 П / = (—то, min {а2, (а2а1 — а0)/а1}).
Таким образом, при любых значениях параметров а0 > 0, а1 > 0, а2 в случае 10 = 0 и 11 = 0 множество / не является пустым. Тогда в силу теоремы 1 при управлении u = u* = = const система (2) асимптотически устойчива в целом в точке y = 0 тогда и только тогда, когда u* е (—то, min {а2, (а2а1 — а0)/а1}). Теорема доказана.
Заключение
В настоящей работе решена задача стабилизации нулевого положения равновесия билинейных систем третьего порядка, имеющих вид (2). Решение задачи стабилизации найдено в классе постоянных управлений. Получены необходимые и достаточные условия стабили-зируемости билинейных систем третьего порядка при помощи постоянных управлений.
Отметим, что в случае билинейной системы третьего порядка, имеющей вид (1), необходимые и достаточные условия существования замены переменных, преобразующей систему к виду (2), можно найти, например, в монографии [10].
Дальнейшие исследования могут быть связаны с обобщением полученных в работе результатов на случай n > 3, а также с решением рассматриваемой задачи стабилизации в тех случаях, когда постоянного управления не существует.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (14-01-00424, 14-07-00813) и Программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (НШ-53.2014.1).
Список литературы
1. Емельянов С.В., Коровин С.К., Шепитько А.С. Стабилизация билинейных систем на плоскости посредством постоянных и релейных управлений // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, №8. С. 1021-1028.
2. Фомичев В.В., Шепитько А.С. Метод вращающих функций Ляпунова в задаче стабилизации двумерных билинейных систем // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 8. С. 1136-1138.
3. Леонов Г. А. Стабилизационная проблема Брокетта // Автоматика и телемеханика. 2001. №5. С. 190-193.
4. Bo Hu., Zhai G., Michel A.N. Stabilization of two-dimensional single-input bilinear systems with a finite number of constant feedback controllers // Proc. of the 2002 American Control Conference. Vol. 3. IEEE, 2002. P. 1874-1879. DOI: 10.1109/ACC.2002.1023906
5. Емельянов С.В., Крищенко А.П. Стабилизация нерегулярных систем // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 11. С. 1515-1524.
6. Емельянов С.В., Крищенко А.П. Стабилизируемость билинейных систем канонического вида // Докл. РАН. 2012. Т. 445, № 6. С. 636-639.
7. Lin T. On stabilization of continuous-time and discrete-time symmetric bilinear systems by constant controls // 2013 9th Asian Control Conference (ASCC). IEEE, 2013. P. 1-6. DOI: 10.1109/ASCC.2013.6606375
8. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Вибрационная стабилизация и проблема Брокетта // Дифференциальные уравнения и процессы управления: электронный журнал. 2011. №4. Режим доступа: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/RU/numbers/2011.4/article.1.1.html (дата обращения 01.06.2014).
9. Leonov G.A., Shumafov M.M. Stabilization of linear systems. Cambridge Scientific Publishers, 2011. 430 p.
10. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 с.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Stabilization of third-order bilinear systems
using constant controls
# 07, July 2014
DOI: 10.7463/0714.0717640
GolubevA. E.1a
1Bauman Moscow State Technical University Moscow, Russian Federation
av-algolu@hotmail. com
Keywords: stabilization, nonregular systems, bilinear systems, necessary and sufficient stabi-lizability conditions
This paper deals with the zero equilibrium stabilization for dynamical systems that have control input singularities. A dynamical system with scalar control input is called nonregular if the coefficient of input becomes null on a subset of the phase space that contains the origin. One of the classes of nonregular dynamical systems is represented by bilinear systems. In case of second-order bilinear systems the necessary and sufficient conditions for the zero equilibrium stabilizability are known in the literature. However, in general case the stabilization problem in the presence of control input singularities has not been solved yet.
In this note we solve the problem of the zero equilibrium stabilization for the third-order bilinear dynamical systems given in a canonical form. The solution is found in the class of constant controls. The necessary and sufficient conditions are obtained for the zero equilibrium stabilizability of the bilinear systems in question.
The dependence of the zero equilibrium stabilizability on system parameter values is analyzed. The general criteria of stabilizability by means of constant controls are given for the bilinear systems in question. In case when all the system parameters have nonzero values the necessary and sufficient stabilizability conditions are proved. The case when some of the parameters are equal to zero is also considered.
Further research can be focused on extending the obtained results to a higher-order case of bilinear and affine dynamical systems. The solution of the considered stabilization problem should also be found not only within constant controls but also in a class of state feedbacks, particularly, in the case when stabilizing constant control does not exist.
One of the potential application areas for the obtained theoretical results is automatic control of technical plants like unmanned aerial vehicles and mobile robots.
References
1. Emel'ianov S.V., Korovin S.K., Shepit'ko A.S. [Stabilization of bilinear systems on the plane by constant and relay controls]. Differentsial'nye uravneniia, 2000, vol. 36, no.8, pp. 10211028. (English translation: Differential Equations, 2000, vol.36, iss. 8, pp. 1131-1138. DOI: 10.1007/BF02754180).
2. Fomichev V.V., Shepit'ko A.S. [The method of rotating lyapunov functions in the stabilization problem for two-dimensional bilinear systems]. Differentsial'nye uravneniia, 2000, vol. 36, no. 8, pp. 1136-1138. (English translation: Differential Equations, 2000, vol. 36, iss. 8, pp. 1262-1265. DOI: 10.1007/BF02754198).
3. Leonov G.A. [The Brocket Stabilization Problem]. Avtomatika i telemekhanika, 2001, no. 5, pp. 190-193. (English translation: Automation and Remote Control, 2001, vol.62, iss. 5, pp. 847-849. DOI: 10.1023/A:1010291327649).
4. Bo Hu., Zhai G., Michel A.N. Stabilization of two-dimensional single-input bilinear systems with a finite number of constant feedback controllers. Proc. of the 2002 American Control Conference. Vol. 3. IEEE, 2002, pp. 1874-1879. DOI: 10.1109/ACC.2002.1023906
5. Emel'ianov S.V., Krishchenko A.P. [Stabilization of irregular systems]. Differentsial'nye uravneniia, 2012, vol.48, no. 11, pp. 1515-1524. (English translation: Differential Equations, 2012, vol. 48, iss. 11, pp. 1492-1501. DOI: 10.1134/S0012266112110079).
6. Emel'ianov S.V., Krishchenko A.P. [Stabilizability of bilinear systems of canonical form]. Doklady akademii nauk, 2012, vol.445, no. 6, pp. 636-639. (English translation: Doklady Mathematics, 2012, vol. 86, iss. 1, pp. 591-594. DOI: 10.1134/S1064562412040400).
7. Lin Tie. On stabilization of continuous-time and discrete-time symmetric bilinear systems by constant controls. 2013 9th Asian Control Conference (ASCC). IEEE, 2013, pp. 1-6. DOI: 10.1109/ASCC.2013.6606375
8. Leonov G.A., Shumafov M.M. [Vibrational stabilization and Brockett problem]. Differentsial'nye uravneniia i protsessy upravleniia — Journal Differential Equations and Control Processes, 2011, no. 4. Available at: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/EN/numbers/ 2011.4/article.1.1.html, accessed 01.06.2014. (in Russian).
9. Leonov G.A., Shumafov M.M. Stabilization of linear systems. Cambridge Scientific Publishers, 2011. 430 p.
10. Krasnoshchechenko V.I., Krishchenko A.P. Nelineinye sistemy: geometricheskie metody analiza i sinteza [Nonlinear systems: geometrical methods of analysis and synthesis]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2005. 520 p. (in Russian).
