CC BY
10УДК 66.
Anna B. Kapranova, Ivan I. Verloka, Daria D. Bahaeva
COMPARATIVE STOCHASTIC ANALYSIS OF MOVEMENT OF BULK MATERIALS IN A GRAVITATIONAL TYPE MIXER
Yaroslavl State Technical University, 88, Moskovskiy Pr-t, Yaroslavl, 150023, Russia.e-mail: [email protected]
On the basis of the stochastic models proposed by the authors eariier, the calculation of the differential distribution functions of the number of particles of the mixed components over dffferent characteristic angles was performed. These models describe the formation of rarefied flows in a gravity mixer with additional mixing elements in the form of rotating drums with brushes and inclined baffling surfaces. A comparative analysis of the behavior of bulk components with different physicomechanical properties during the formation of rarefied flows in a gravitational mixer has been carried out. The results can be used as recommendations in the engineering methodology for calculating the m 'xer.
Keywords: gravity mixer, loose components, brush elements, distribution functions, process parameters.
001 10.36807/1998-9849-2020-52-78-98-103
Введение
Исследование поведения сыпучих компонентов при их смешивании представляет особый интерес на этапе разработки теоретических основ проектирования смесительного оборудования для нужд широкого спектра промышленных отраслей и сельского хозяйства. Одним из способов преодоления предпосылок для возникновения эффекта сегрегации, характерного для режимов работы многих аппаратов указанного назначения, является конструктивная организация скрещивания разреженных потоков смешиваемых сыпучих компонентов в рабочем объеме смесителя [1, 2]. При решении конкретных технологических задач требуется учитывать комплексный набор параметров изучаемого процесса, к которым относятся не только регламентные показатели операции смешивания и ее конструктивно-режимные параметры, но и физико-механические характеристики сыпучих материалов. Анализ поведения сыпучих компонентов в описанных условиях зачастую осложняется невозможностью выполнения модельных экспериментов в связи с токсичными свойствами рабочих сред. В этом случае целесообразен подбор безопасных заменителей составов требуемой смеси с заданными схожими физико-механическими свойствами, чтобы выполнить «настройки» инженерной методики расчета основных параметров смесителя. При этом требуется выполнение теоретических исследований по апробации такой
022.54
Капранова А.Б., Верлока, И.И., Бахаева Д. Д.
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ
СТОХАСТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ В СМЕСИТЕЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ТИПА
Ярославский государственный технический университет, Московский пр-т, 88, г. Ярославль, 150023, Россия. e-mail: [email protected]
Выполнен расчет дифференциальных функций распределения числа частиц смешиваемых компонентов по различным характеристическим углам на основе стохастических моделей, предложенных авторами ранее, Указанные модели описывают образование разреженных потоков в гравитационном смесителе с дополнительными смесительными элементами в виде вращающихся барабанов со щетками и наклонных отбойных поверхностей. В работе проведен сравнительный анализ поведения сыпучих компонентов с различными физико-механическими свойствами при образовании разреженных потоков в гравитационном смесителе. Результаты могут быть использованы в качестве рекомендаций в инженерной методике его расчета.
Ключевые слова: гравитационный смеситель, сыпучие компоненты, щеточные элементы, функции распределения, параметры процесса.
Дата поступления - 30 ноября 2019 года
замены токсичных рабочих веществ модельными средами с помощью анализа соответствующих результатов стохастического моделирования [1]. Целью данной работы является обоснование целесообразности использования щеточных элементов при смешивании зернистых компонентов с различными физико-механическими свойствами на основе сравнительного анализа их поведения при образовании разреженных потоков в гравитационном смесителе с помощью выявленного в [3, 4] условия эффективного смешивания.
Стохастический анализ процесса смешивания зернистых материалов щеточными элементами
В аппарате гравитационного типа для повышения эффективности процесса смешивания неувлажненных сыпучих компонентов, относящихся к I-III классам сыпучести по методике Керра с размерами частиц в пределах (1,5-6,5)10-4 м, предложено использовать дополнительные смесительные элементы. Последние представляют собой барабаны с закрепленными на их поверхности щеточными элементами вдоль винтовых линий противоположного направления с обоих торцов барабанов. Данные щетки применяются для формирования разреженных потоков из смешиваемых сыпучих компонентов, которые поступают с лотков
гравитационного аппарата. В работах [3, 4] исследован указанный процесс для материалов с размерами частиц (1,5-4,0у10-4 м сравнимой плотности. При этом выявлены основные конструктивно-режимные параметры процесса смешивания, оказывающие наиболее значимое влияние на эффективность получения качественной смеси с регламентным соотношением компонентов 1:10 и более. Кроме того, на основе стохастического подхода [1] теоретически описаны условия достижения данной эффективности [3, 4], подтвержденные данными экспериментов [5]. Таким образом, для сравнения с ранее полученными результатами из [3, 4] представляет интерес изучение поведения сыпучих компонентов, близких по значению плотности:
-в более расширенном диапазоне изменения размеров зерен, в том числе до 6,5 10-4 м;
-из токсичных веществ, проведение экспериментальных исследований с которыми затруднительно.
Учитывая широкий спектр назначения получаемых в гравитационном аппарате сыпучих смесей (от пищевых и минеральных составов до строительных и химических), в качестве рабочих веществ выбраны отсев мелкого щебеня ГОСТ 8267-93 Марка М300 и сода кальцинированная техническая в гранулах ГОСТ 5100-85 Марка А (ОКП 21 3111 0200) в дополнение к ранее рассмотренным природному песку ГОСТ 8736-93 и манной крупе ГОСТ 7022-97. В частности, мелкий щебень применяется для производства бетона, стекла, полиграфических материалов; кальцинированная сода (карбонат натрия №2С03) - при получении стекла, бумаги, мыла, чугуна, лакокрасочных материалов и т.д. Заметим, что кальцинированная сода является веществом 3-го класса опасности в соответствии с ГОСТ 12.1.007. В таблице 1 приведены насыпные плотности и размеры частиц соответствующих сыпучих материалов.
Особенности процесса смешивания дополнительными с месительными элементами
В соответствии с выполненным анализом литературных источников описание механики поведения частиц сыпучего материала в образующихся разреженных потоках целесообразно проводить на основе стохастического подхода [6, 7] вследствие непредсказуемости траекторий их движения. При этом из всего многообразия стохастических методов, в том числе задействованных при построении информационно-управленческих [8] и ячеечных [9-11] моделей, описаний с временными рядами [12] и с анализом энергетического состояния одиночной микросистемы [13], предлагается выделить энергетический способ моделирования.
Данный выбор объясняется возможностью учета в определяемом законе распределения числа частиц в образующемся разреженном потоке по заданным параметрам процесса смешивания ряда характерных факторов движения самих частиц, например, их вращений, взаимодействий как со смесительными элементами, так и при столкновениях между собой и т.п. Применение указанного энергетического способа, изложенного в монографии Климонтовича Л.Ю. [6], для теории технологических
процессов не относится к числу достаточно развитых [14, 15], однако данный способ успешно апробирован при изучении ударных взаимодействий в дисперсно-пленочных системах [13] и технологической операции измельчения [16]. Проблема моделирования процесса образования разреженных потоков сыпучих компонентов не теряет своей актуальности [17, 18], т.к. данный процесс является составляющей многих технологических операций химических технологий [19].
Таблица. Физико-механические характеристики _сыпучих компонентов
Название Насыпная Усреднен-
сыпучего материала, марка плотность, х103 кг/м3 ный по фракциям размер частиц, х10-4 м
Природный песок ГОСТ 8736-93 [2-3] 1,525 1,5
Манная крупа ГОСТ 7022-97 [2-3] 1,440 4,0
Сода кальцинированная 1,080 1,75
техническая в гранулах ГОСТ 5100-85 Марка А
(ОКП 21 3111 0200)
Отсев мелкого щебеня 1,600 5,75
ГОСТ 8267-93 Марка М300
Согласно стохастическому моделированию процесса формирования разреженных потоков зернистых сред, описанному в работах [3, 4], построенная дифференциальная функция
распределения числа частиц для сыпучих
компонентов 1=1, 2 по углу разбрасывания ^ барабаном со щетками в зависимости от номера деформированного щеточного элемента ]=1, 2, 3 имеет вид
Х]( и]) = КЦ{ ехР [ " МоЦ + ФчЙ^Кч)]2 / к^ко ¡] (е гГ{ цц( а5Ц) х [ 1
+ к0к3 ,( а+Фч)]2/к3 ,} 1)
-ег^ Цц( а^)/ к 3 ¡) ] }/ [ цц( а5Ц)] , где = 1,4 - коэффициенты, зависящие от
набора входных параметров модели; -
характеристические углы движения частиц в поперечных сечениях барабана для каждого щеточного элемента. Функция Хц (а) в (1) получена при задании - энергии стохастического движения одиночной сферической частицы компонента I = 1, 2 с учетом их поступательного движения, случайного характера их моментов импульсов и упругого взаимодействия с деформируемым щеточным элементом ] = 1, 2, 3. При этом элемент фазового пространства определяется полярными
координатами данной частицы относительно оси вращения смесительного барабана в плоскости его сечения для каждого деформированного щеточного элемента
а Пц-= сЬ^Ууц = оо 2г^ гцс1 е ц ,
2)
где ш - угловая скорость вращения барабана; гч и еч,-радиальная и угловая координаты для точек срыва сыпучих материалов I = 1, 2. Заметим, что (1) -стационарное решение энергетического представления уравнения Фоккера-Планка, которое, в частности, при
наличии макромасштабных флуктуаций состояний систем частиц каждого компонента, как столкновений их элементов, имеет следующую форму
Хц = А„ ехр [ - Е„/Е01) + Щ / ( 2 Е^ ) ] , 3)
где £0 у и £уу - энергетические параметры модели.
Полученные результаты для функции Хц () из выражения (1) для кальцинированной соды ГОСТ 510085 Марка А и отсева мелкого щебня ГОСТ 8267-93 Марка М300 (табл.) отражены на рис. 1 и 2 соответственно. Кроме того, указанные результаты позволяют апробировать данную модель [3] с учетом столкновений между частицами смешиваемых компонентов, отбрасываемыми щеточными элементами с винтовых навивок противоположных направлений, для более широкого класса сыпучих материалов, чем для рассмотренных в работах [3, 4].
Результаты моделирования процесса смешивания зернистых компонентов
Анализ данных результатов выполнен в зависимости от выявленных в работах [3, 4] основных факторов, оказывающих наибольшее влияние на качество смеси на данном этапе изучаемого процесса: угловой скорости вращения барабана ш; степени
деформации щеточных элементов А (как отношения длины била к высоте зазора между лотком аппарата и
барабаном); шага навивки щеточных элементов
согласно выбору набора конструктивных и режимных параметров [20] изучаемого процесса. Представленные поверхности (рис. 1, а-г) иллюстрируют обеспечение предполагаемого условия эффективного смешивания в виде стремления к сближению значений экстремумов для углов разбрасывания частиц сыпучих компонентов I = 1, 2, которое особенно ярко наблюдается для случая ] = 3 при сравнении поверхностей 3 на рис. 1, а, в или 1, б, г. Более того, вид этих поверхностей также стремится к совпадению для смешиваемых зернистых сред. Данные результаты подтверждают выводы, изложенные в работе [3] для смешивания других зернистых материалов - природного песка ГОСТ 873693 и манной крупы ГОСТ 7022-97 (см. табл., рис. 2, а, б) для полных дифференциальных функций распределения, вычисляемых согласно выражению
Ч «¡) = П£г3Хц( «>)'
с учетом (1)-(3).
4)
в г
Рисунок 1. Зависимости х, = ( а,) для номера j деформированного щеточного элемента: а, б - кальцинированная сода ГОСТ5100-85 Марка А ( = 1); в, г - отсева мелкого щебня ГОСТ8267-93 Марка М300 (I = 2); а, в = ( ар ш), А = 1,5;
б, г -хц = ( а,-, Д), ш = 52,36 с1; ] = 1 (1); ] = 2 (2); ] = 3 (3); ^ =1,6 -10~2 м
а
а б
Рисунок 2. Зависимости Ф; = ( а,) для кальцинированной соды/ ГОСТ5100-85 Марка А (поверхность 1; / = 1) и отсева мелкого щебня ГОСТ8267-93 Марка М300 (поверхность 2; / = 2): а - Ф; ( а,-, ш), Д = 1,5 ; б - Ф1 ( а,-, Д) , ш = 52,36 с1; = 1,6.102 м
Сопоставление теоретических расчетов и экспериментальных данных зависимости ( ) отсева мелкого щебня ГОСТ 8267-93 Марка М300 (I = 2), представленное на рис. 3, имеет удовлетворительное согласие с относительной погрешностью, не превышающей 10 %. Заметим, что при проведении опытов вблизи вращающегося барабана с закрепленными щетками описанным ранее способом была установлена вертикальная ловушка с ячейками для частиц исследуемого сыпучего компонента. В сравнении с данными из работы [3] для указанного рабочего материала сохраняется общий характер изменения полной дифференциальной функции распределения числа его частиц ( ) по углу разбрасывания из (4) при образовании
разреженного потока вследствие взаимодействия со щеточными элементами как для теоретических, так и для опытных данных. На рис. 3 более наглядно, чем на рис. 2, представлена тенденция к сближению значений экстремумов для и - углов
разбрасывания частиц сыпучих компонентов 1=1, 2, отражающая условие эффективного смешивания сыпучих компонентов.
0 1 ауеха2М 2 а,.рад
Рисунок3. ЗависимостиД = 1,5; со = 52,36с1;
= 1,6 • 10 2 м; 1 - кальцинированная сода ГОСТ 5100-85 Марка А (/ = 1); 2 - отсев мелкого щебня ГОСТ8267-93 Марка М300 (/ = 2); линии - теория; точки -экспериментальные данные для отсева мелкого щебня ГОСТ 8267-93 Марка М300 (/ = 2)
Заключение
Таким образом, выполненный стохастический анализ поведения различных сыпучих компонентов при образовании разреженных потоков в гравитационном смесителе подтверждает
целесообразность применения щеточных элементов и возможность реализации с их помощью выявленного
ранее [3, 4] условия эффективного смешивания. Указанные факторы существенным образом влияют на оценку качества смеси [5] и формирование инженерной методики расчета конструктивно-режимных параметров, проектируемого нового гравитационного аппарата. Кроме того, проиллюстрирована целесообразность применения энергетического подхода при стохастическом моделировании процесса смешивания сыпучих компонентов наряду с наиболее распространенными информационно-управленческим [8] и ячеечным методами [9-11] при анализе степени однородности получаемой смеси. Использование энергетического подхода [6] для расчетов специального назначения [5] в области химических технологий можно рассматривать, как развитие их теоретических основ.
Литература
1. Kapranova A.B., Verloka I.I, Lebedev A.E, Zaitzev A.I. The model of dispersion of particles during their flow from chipping the surface // Czasopismo techniczne. Mechanika. Krakov, Poland, 2016. V. 113, № 2. P. 145-150.
2. Капранова А.Б., Бакин М.Н., Верлока И.И. Моделирование критерия качества смеси в объеме барабанно-ленточного устройства // Хим. и нефтегаз. машиностроение. 2018. Т.54. № 5. С. 3-9
3. Капранова А.Б., Верлока И.И. Стохастическое описание процесса формирования потоков сыпучих компонентов в аппаратах со щеточными элементами // Теор. основы хим. технологии. 2018. Т. 52, № 6. C. 707-721
4. Verloka I,, Kapranova A., Tarshis M, Cherpttsky S. Stochastic modeling of bulk components batch mixing process in gravity apparatus // International Journal of Mechanical Engineering & Technology (IJMET), 2018. V. 9. Is. 2 P. 438-444; Article ID: JMET_09_02_045 Available online at http: //www. iaeme.com/IJ MET/issues.asp?JType=IJMET&VTy pe =9&IType=2, ISSN Print: 0976-6340 and ISSN Online: 0976-6359 (дата обращения: 19.04.2018).
5. Капранова А.Б., Верлока И.И,, Яковлев П.А., Бахаева Д.Д. Исследование качества смеси на первой стадии работы аппарата гравитационного типа // Рус. химический журн. (Журн. хим. общества им. Д.И. Менделеева). 2018. Т. 62. № 4. С. 48-50.
6. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем. М.: ЛЕНАНД, 2014. 328 с.
7. Протодьяконов Н.О, Богданов С.Р. Статистическая теория явлений переноса в процессах химических технологии. Л.: Химия, 1983. 400 с.
8. Бородулин Д.М. Повышение эффективности процесса смешивания при получении комбинированных продуктов в смесительных агрегатах центробежного типа: автореф. дис. ... д-ра техн. наук. Кемерово, 2013. 38 с.
9. Дурнев А.С., Першин В.Ф. Применение теории цепей Маркова к моделированию процесса смешивания в гладком вращающемся барабане // Вестник Тамб. гос.техн. ун-та, 2013. Т. 19. № 4. С. 783-792.
10. Балагуров И.А. Мизонов В.Е, Berthiaux H, Gatumel C. Моделирование кинетики смешивания разнородных сыпучих материалов // Вестник ИГЭУ. 2014. № 6. С. 1-5.
11. Жуков В.П, Беляков А.Н. Моделирование совмещенных гетерогенных процессов на основе дискретных моделей уравнения Больцмана // Теор. основы хим. технологии. 2017. Т. 51. № 1. С. 78-84.
12. Кендалл М, Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды: монография. М. : Наука, 1976. 736 с.
13. Зайцев А.И., Бытев Д.О. Ударные процессы в дисперсно-пленочных системах. М.: Химия, 1994. 196 с.
14. Sreelakshmi Lingineni, Srinivasaraghavan S. Stochastic Analysis of Transmission of Diabetic Threshold Using Particular Distribution // International Journal of Civil Engineering and Technology. 2017. 8(11). P. 492499.
15. Akhmadiev F.G., Nazipov I.T. Stochastic modeling of the kinetics of processing of heterogeneous systems // Theor. Found. Chem. Eng. 2013. V. 47. № 2. P. 136.
16. Zemskov E.P. Time-dependent particle-size distribution in comminution. Powder Technology. 1998. № 7. P. 71-74.
17. Metzger MJ, Remy B, G/asser B.J. All the Brazil nuts are not on top Vibration induced gran-ular size segregation of binary, ternary and multi-sized mixtures // Powder Technology. 2011. No. 205. P. 42-51.
18. Anchal J, Matthew J. M, Benjamin J. G. Effect of particle size distribution on segregation in vibrated systems // Powder Technology. 2013. No. 237. P. 543-553.
19. Dehiing H.G., Gottscha/k T, Hoffmann A.C. Stochastic Modeling in Process Technology. London, Elsevier Science, 2007. 279 p.
20. Kapranova A.B., Verioka I.I, Bahaeva D.D. About Preparation of the Analytical Platform for Creationof a Cyber-Physical System of Industrial Mixture of Loose Components // A. G. Kravets et al. (eds.),Cyber-Physical Systems: Advancesin Design & Modelling, Studies in Systems, Decision and Control (259). Springer Nature Switzerland AG. 2020. P. 81-91. https://doi.org/10.1007/978-3-030-32579-4_7
Reference
1. Kapranova A.B, Verioka I.I, Lebedev A.E, Zaitzev A.I. The model of dispersion of particles during their flow from chipping the surface // Czasopismo techniczne. Mechanika. Krakov, Poland, 2016. V. 113. № 2. P. 145-150.
2. Kapranova, A.B., Bakin M.N, Verioka I.I. Simulation of the Quality Criterion of a Mixture in a Drum-Belt Apparatu. // Chemical and Petroleum Engineering. 2018. Vol. 54. No. 5-6, 2. P. 287-297. https://doi.org/10.1007/s10556-018-0477-0. More about changing the spelling of the author's name: 2018. Vol. 54. No. 7-8. P. 618. https://doi.org/10.1007/s10556-018-0524-x]
3. Kapranova, A.B., Verioka, I.I. Stochastic Description of the Formation of Flows of Particulate Components in Apparatuses with Brush Elements // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2016. Vol. 52. No. 6. P. 1004-1018. https://doi.org/10.1134/S0040579518050330
4. Verioka I, Kapranova A, Tarshis M, Cherpitsky S. Stochastic modeling of bulk components batch mixing process in gravity apparatus // International Journal of Mechanical Engineering & Technology (IJMET), 2018. V. 9. Is. 2 P. 438-444; Article ID: IJMET_09_02_045 Available online at http: //www. iaeme.com/IJ MET/issues.asp?JType=DMET&VTy pe =9&IType=2, ISSN Print: 0976-6340 and ISSN Online: 0976-6359.
5. Kapranova A.B., Verioka I.I, Yakoviev P.A., Bakhayeva D.D. Issledovaniye kachestva smesi na pervoy stadii raboty apparata gravitatsionnogo tipa // RKHZH (Zhurn. khim. obshchestva im. D.I. Mendeleyeva). 2018. T. 62. № 4. C. 48-50.
6. Kiimontovich YU.L. Turbulentnoye dvizheniye i struktura khaosa: Novyy podkhod k statisticheskoy teorii otkrytykh sistem. M.: LENAND, 2014. 328 s.
7. Protod'yakonov N.O, Bogdanov S.R. Statisticheskaya teoriya yavleniy perenosa v protsessakh khimicheskikh tekhnologii. L.: Khimiya, 1983. 400 s.
8. Boroduiin D.M. Povysheniye effektivnosti protsessa smeshivaniya pri poluchenii kombini-rovannykh produktov v smesitel'nykh agregatakh tsentrobezhnogo tipa. Avtoref. dis. ... dokt. tekhn. nauk. Kemerovo, 2013. 38 s.
9. Durnev A.S., Pershin V.F. Primeneniye teorii tsepey Markova k modelirovaniyu protsessa smeshivaniya v gladkom vrashchayushchemsya barabane // Vestnik Tamb. gos.tekhn. un-ta, 2013. T. 19, № 4. S. 783-792.
10. Baiagurov I.A. Mizonov V. Ye, Berthiaux H, Gatumei C. Modelirovaniye kinetiki smeshivaniya raznorodnykh sypuchikh materialov // Vestnik IGEU. 2014. № 6. S. 1-5.
11. Zhukov V.P, Beiyakov A.N. Modelirovaniye sovmeshchennykh geterogennykh protsessov na osnove diskretnykh modeley uravneniya Bol'tsmana // Teor. osnovy khim. tekhnologii. 2017. T. 51. № 1. S. 78-84.
12. Kendaii M, St'yuart A. Mnogomernyy statisticheskiy analiz i vremennyye ryady: monografiya. M. : Nauka, 1976. 736 s.
13. Zaytsev A.I, Bytev D.O. Udarnyye protsessy v dispersno-plenochnykh sistemakh. M.: Khimiya, 1994. 196 s.
14. Sreeiakshmi Lingineni, Srinivasaraghavan S. Stochastic Analysis of Transmission of Diabetic Threshold Using Particular Distribution // International Journal of Civil Engineering and Technology. 2017. 8(11). P. 492499.
15. Akhmadiev F.G, Nazipov I.T. Stochastic modeling of the kinetics of processing of heterogeneous systems // Theor. Found. Chem. Eng. 2013. V. 47. № 2. P. 136.
16. Zemskov E.P. Time-dependent particle-size distribution in comminution. Powder Technology. 1998. № 7. P. 71-74.
17. Metzger M.J., Remy B, G/asser B.J. All the Brazil nuts are not on top Vibration induced gran-ular size segregation of binary, ternary and multi-sized mixtures // Powder Technology. 2011. No. 205. P. 42-51.
18. Anchal J,, Matthew J. M, Benjamin J. G. Effect of particle size distribution on segregation in vibrated systems // Powder Technology. 2013. No. 237. P. 543-553.
19. Dehiing H.G., Gottschak T,, Hoffmann A.C. Stochastic Modeling in Process Technology. London, Elsevier Science, 2007. 279 p.
20. Kapranova A.B., Verloka I.I., Bahaeva D.D. About Preparation of the Analytical Platform for Creationof a Cyber-Physical System of Industrial Mixture of Loose Components // A. G. Kravets et al. (eds.),Cyber-Physical Systems: Advancesin Design & Modelling, Studies in Systems, Decision and Control (259). Springer Nature Switzerland AG. 2020. P. 81-91. https://doi.org/10.1007/978-3-030-32579-4_7
Сведения об авторах:
Капранова Анна Борисовна, д-р физ.-мат. наук, заведующий каф. «Теоретическая механика и сопротивление материалов»; Anna B. Kapranova, Dr Sci. (Phys.-Math.), Head of the Department «Theoretical Mechanics and Resistance of Materials», e-mail: [email protected]
Верлока Иван Игоревич, канд. техн. наук, мл. науч. сотр.; Verloka Ivan I., Ph.D. (Eng.), Junior Researcher, e-mail: [email protected]
Бахаева Дарья Дмитриевна, ассистент; Bahaeva Daria D, assistant, e-mail: [email protected]
