Сравнительный анализ затрат заемщика в корпоративных кредитах Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Банковское дело

УДК 336.77.067

сравнительный анализ затрат заемщика в корпоративных кредитах

А.В. ЖЕВНЯК, кандидат физико-математических наук, директор — научный руководитель E-mail: alzhevnyak@yandex.ru Институт регионального экономического развития, г. Рязань

Г.А. ЖЕВНЯК, управляющий филиалом Юниаструм банка, г. Рязань E-mail: zhga62@yandex.ru

В статье представлен сравнительный анализ расходов заемщика на обслуживание распространенных кредитных схем с учетом корпоративных налогов. Установлены значения доходности бизнеса заемщика, при которых приобретение основных средств по кредиту выгоднее, чем их покупка полностью за собственные деньги без займа.

Ключевые слова: кредит, налоги, процентная ставка, ставка дисконта, реинвестирование

постановка задачи и основные параметры модели

Вопрос о целесообразности кредитования уже давно занимает одно из центральных мест в литературе по корпоративным финансам [1]. В общем контексте он связан со знаменитой теоремой Модильяни-Миллера (1958, 1963) о влиянии долгового финансирования на стоимость компании, которая в свое время породила вал публикаций (из недавних — работа [5]) и не утихающую уже десятки лет дискуссию. Фактически зависимость или независимость ценности компании от структуры ее капитала

(соотношение собственных и заемных средств) определяются неким списком достаточно жестких и в то же время весьма абстрактных условий. Между тем в повседневной практике менеджерам различного уровня приходится постоянно принимать решения по привлечению кредитов для приобретения основных средств в целях развития производства, ориентируясь исключительно на предстоящие затраты. Здесь для оценки приемлемости тех или иных доступных данному конкретному предприятию кредитов существуют два способа: расчет эффективной процентной ставки (ЭПС) кредитов или расчет прямого сопоставления затрат на их обслуживание.

В работах [2 — 4] было предложено и исследовано несколько способов построения ЭПС (инвестиционный, гомогенный, операционный) для кредитования без учета налогов, каждый из которых имеет свою экономическую интерпретацию. Также был приведен критический анализ методики расчета ЭПС (модернизированное название — полная стоимость кредита, ПСК), применяемой российскими банками по указанию Банка России, которая пост-

роена по принципу определения внутренней нормы доходности (IRR)1. В принципе, не составляет труда применить эти критерии эффективности, изначально предназначенные для потребительских кредитов (без учета налогов) к кредитам корпоративным с учетом эффекта налогового щита, состоящего в том, что амортизационные отчисления, налог на имущество и процентные платежи уменьшают налогооблагаемую прибыль предприятия (см., например, работу [6]). Однако заметим, что показатели эффективности, вычисляемые по методике ЭПС кредита, по сути, являются косвенными, поскольку построены на сопоставлении доходов/затрат реального кредита и некоего кредита сравнения (обычно это кредит с выплатой процентов и основного долга в конце срока). Косвенный характер ЭПС в качестве показателя эффективности кредита устраивает далеко не всех финансовых менеджеров, ориентирующихся на более простые и адекватные действительности критерии.

Один из таких более простых критериев целесообразности привлечения корпоративного кредита для реализации того или иного бизнес-проекта состоит в требовании, чтобы IRR принятого к финансированию проекта или часто применяемая для повышения надежности прогноза модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR) превышали номинальную годовую процентную ставку кредита (см., например, работу [1]). При этом доходы от реализации инвестиционного проекта будут покрывать затраты заемщика на обслуживание кредита. Понятно, что когда речь идет лишь о частичном обновлении основных средств действующего предприятия без изменения номенклатуры, качества и объема реализации продукции, вместо IRR или MIRR ориентируются на сложившийся показатель доходности, например, рентабельность продаж. Но в обоих случаях принятое таким образом суждение будет, однако, весьма поверхностным, составленным по качественным соображениям (больше — меньше).

Прямой расчет затрат в каждом доступном заемщику варианте кредита и последующее их сравнение

1 Прототипом российской ПСК (ЭПС) послужила так называемая Annual Percentage Rate, APR, т.е. годовая процентная ставка, включающая в себя различные комиссии и разовые выплаты, которая применяется в США, а ее аналоги — в Евросоюзе и в ряде других государств. Однако существуют и другие методики расчета ЭПС, используемые, например, на Украине и в Беларуси, которые в тех же условиях принимают более высокие значения и близки к упомянутой операционной ЭПС.

остается самым надежным способом обоснования целесообразности привлечения внешнего займа с наименьшей нагрузкой по его обслуживанию. Иногда этот расчет дополняют также расчетом затрат при прямой покупке того же имущества на свободные собственные средства, если таковые имеются. Именно этим вопросам и посвящено в основном представленное исследование, а целью является предоставление общих рекомендаций для выбора наименее затратных способов приобретения основных средств как за счет различных схем кредитования, так и за счет собственных средств. При этом эффект налогового щита на формирование затрат заемщика при кредите исследуется с самых общих позиций при учете одновременного влияния срока амортизации приобретаемого оборудования, срока кредита и объема собственных средств предприятия, используемых наряду с кредитными ресурсами.

Пусть 8 — номинальная сумма займа, {Н.. ] = 1, п } — денежный поток обслуживания кредита (в уплату основного долга и начисленных процентов), поступающий кредитору от заемщика, Rj— член потока, выплачиваемый в конце у-го расчетного периода (постнумерандо), п — срок кредита, исчисляемый числом расчетных периодов (например,

п

дней, недель, месяцев, кварталов, лет), Жп = ^ Rj .

]=1

При кредите каждый член потока RJ ^, 8т, п) является определенной функцией суммы займа S, процентной ставки расчетного периода 5т, срока кредита п и предопределяется выбранной схемой обслуживания займа. Примем, что 8т = 8/т, где 8 — номинальная (годовая) процентная ставка кредита, т — число платежей обслуживания в году.

На практике наибольшее распространение получили четыре вида кредита, отличающиеся по схеме обслуживания долга:

— кредит с равномерным гашением основного долга и начислением процентов на остаток ссудной задолженности, который называют также «кредитом с амортизацией долга, кредитом с дифференцированными платежами или классическим» (для краткости будем именовать его ординарным кредитом);

— кредит с регулярной уплатой процентов, начисляемых на сумму основного долга, и единовременным погашением основного долга в конце срока (по аналогии с купонной облигацией такой кредит мы будем называть «купонным»);

— кредит с единовременной уплатой основного долга и начисленных процентов в конце срока (шаровой кредит);

- кредит с одинаковыми по величине платежами обслуживания в виде постоянной ренты (аннуитетный кредит).

Далее все показатели рассматриваемых конкретных кредитов будем нумеровать (помещая соответствующий номер в верхнем индексе) в том порядке, в котором они перечислены ранее.

Обычно в потоке платежей обслуживания кредита, поступающих со стороны заемщика в адрес кредитора, выделяются две составляющие, направляемые, соответственно, на погашение основного долга и в уплату процентов за пользование займом

{р №5И,п), ] = Щ} и {р№Ът,п), ] = Щ} соответственно. Эти потоки взаимосвязаны (например, в случае, когда уменьшение текущей ссудной задолженности за счет частичного погашения основного долга снижает и сумму начисляемых в следующем периоде процентов). Конкретный вид функций Р ^, 5т, п) и Р] (S,5т,п) зависит от принятой схемы обслуживания кредита, причем во всех случаях должно выполняться условие возвратности займа:

^, 5т, п) = S .

3 =1

Математические модели названных ранее кредитов построены в работе [2], где приведены развернутые выражения для р ^, 5т, п), Р] ^, 5т, п) и R] ^, 5т, п). Там же получены выражения дисконтированных сумм этих платежей за весь срок кредитования:

п Р „ п Р

С ]р =у. Р

п ¿ш^ /1 ' п / V

зуются степенные дисконт-функции (Д-функции):

=1 (1 + е)3

=1 (1 + е)3

R,

1 (1 + е)3

-= Сп + Р .

пп

Здесь и далее «дуга» над тем или иным символом обозначает дисконтирование.

При изучении кредитов важную роль играют хо-

: S = !"

R,

рошо известное основное свойство: - .

3= (1 + 5т )3

а также доказанное в работе [3] одно новое свойство: 5тСп +вРп =5^ (для кредитов без отсрочки платежей, каковыми являются ординарный, купонный и аннуитетный кредиты).

В теории кредита, предложенной в работе [2] и развитой в работах [3; 4], существенно исполь-

Ф* (5т, п) = Ё"

3 *

— степени к и порядка п. Они 3=1 (1 + 5т )3

введены в научный оборот в работе [2, с. 11-107] и обладают рядом важных свойств, позволяющих существенно упростить аналитическое исследование финансовых операций.

Без учета налогообложения дисконтированная сумма платежей обслуживания Жп = Сп + Рп определяет уровень расходов денежных средств заемщика для обслуживания кредитов. В работе [2] проведен сравнительный анализ всех названных ранее кредитных схем без учета налогов по современной стоимости суммарных платежей и доказано, что при любых одинаковых суммах займа, процентных ставках, сроках кредитования и ставках дисконтирования справедливо выражение:

рр(2) > рр(4) > рр(1) ппп

Это означает, что при отсутствии налогов суммарные дисконтированные процентные платежи в купонном кредите будут большими, чем в аннуитетном, которые, в свою очередь, превышают процентные платежи в ординарном кредите. При ставках дисконта в<5т выполняется условие: Рп(3) > Р,(2), при в = 5т имеет место равенство: Рп(3) = Рп2), а затем, с ростом ставки дисконта современная стоимость процентных платежей шарового кредита сначала становится меньшей, чем в купонном кредите, а при дальнейшем росте ставки дисконта станет (и после этого будет оставаться) меньшей, чем аналогичная дисконтированная сумма процентных платежей ординарного кредита, а значит, и любого из рассмотренных кредитов при той же ставке дисконта. Теоретически вопрос состоит лишь в том, при какой ставке дисконта и при каких сроках кредитования это произойдет. Таким образом, при достаточно больших ставках дисконта в > 5т будет выполнено условие:

РР(2) > Рв(4) > РВ(1) > РВ(3) РпВ РпВ РпВ РпВ

Несколько иначе обстоит дело с суммарными платежами обслуживания. В работе [4] показано, что для в < 5т справедлива цепочка неравенств: 1(п3) > !(п2) > М(п4) > , кото -рая при в = 5т превращается в систему равенств:

1в=5„

В (4)

п о 1В=5т

1в=5_

1в=5_

а при в > 5т инвертируется к следующему виду:

>

>

>

Важно отметить, что при отсутствии налогов и при в < 8т для всех кредитов Жп > S, но, наоборот, при в > 8т выполняется условие: < S . Это значит, что при в < 8т приобретение имущества на сумму S за счет кредита более затратно, чем за собственные средства. Однако если существует возможность размещения свободных собственных средств в доходный бизнес по ставке в > 8т , то для целей приобретения имущества более выгодно использовать кредит, который будет обслуживаться из доходов этого бизнеса.

сравнительный анализ кредитов с учетом налогообложения

Выпишем расходы заемщика, возникающие при приобретении основных средств стоимостью S за счет кредита. Будем считать, что используется и часть собственных средств заемщика в размере А (аванс), а сумма займа составляет К = S—А. Тогда современная стоимость накопленных затрат заемщика за некоторый период времени, в котором они уплачиваются (пока он не определен), составит

Ё = А + аК + Жя + Мп + + ЖДС - МДС, (1) где А — сумма аванса;

аК — транзакционные расходы (комиссия кредитору, оплата услуг нотариуса и т.п.), обычно исчисляемые от суммы займа К; Nп и — дисконтированные суммы платежей по налогу на прибыль и имущество соответственно;

ШДС— единовременно уплаченный поставщику приобретаемого имущества налог на добавленную стоимость; NДС — сумма возмещенного НДС за весь срок реализации кредитного проекта. При этом аванс А и НДС Ж,ДС уплачиваются в начале первого расчетного периода и не дисконтируются.

Для налога на прибыль в той его части, которая непосредственно связана с привлеченным кредитом в момент завершения .-го расчетного периода, можно записать, что

N11 =- f (X. + Р2 + NИ) где / — ставка налогообложения прибыли;

X. — амортизационные отчисления на приобретенное по кредиту имущество (основные средства) в -м расчетном периоде; Р2 — часть процентных платежей, которую за-

конодательно разрешено относить на затраты; Nj — текущий имущественный налог. Если номинальная годовая ставка кредитования 5 меньше или равна ставке рефинансирования Банка России 5r , то PZ = PJ. В противном случае на затраты относятся (уменьшают налогооблагаемую прибыль) только процентные платежи, начисленные по ставке рефинансирования, увеличенной в kr раз, где kr > 1 — установленный нормативный коэффициент2 для случая, когда 5 > 5r .

Тогда, обозначая через na срок полезного использования приобретаемого имущества (нормативный срок амортизации), выраженный числом расчетных периодов, и при n0 = max (na; n) полу-

3

чим3:

na X n рZ

x = pZ = Y—L

na ^ (1 + s)j n j= (1 + s)j

j=l

na NИ

Nи = U-Nj

na

j =1 (1 + s)j"

По NП Nn = u iVj

Nn0 U (1 + s)j

= - f(X + PZ + NH)

na n na

где в — ставка дисконтирования.

Отрицательность текущих платежей по налогу на прибыль и их суммы отражает эффект налогового щита (снижение налога за счет уменьшения налогооблагаемой базы на величину имущественного налога, амортизации и части процентных платежей), но реально этот эффект проявляется в том случае, когда у предприятия образуется операционный доход.

Подставив в выражение (1) приведенные ранее выражения дисконтированных суммарных платежей по налогу на прибыль, процентных и имущественных платежей, а также амортизационных от-

2 Согласно ст. 269 Налогового кодекса РФ предельная величина процентов, признаваемых расходом в целях налогообложения, принимается равной ставке рефинансирования Банка России, увеличенной в 1,1 раза (для кредитов в рублях), и равной 15% (для кредитов в иностранной валюте). Это означает, что kr = 1,1 (для кредитов в рублях) и kr 5r = 0,15 (для кредитов в иностранной валюте).

3 При вычислении Nn верхний предел суммирования

n свой для различных составляющих потока {Njn|. Для налога на имущество и амортизации это na , для платежей по кредиту — n. В таких суммах накопление прекращается при j > n, если n < na = n0 = max (na; n) и при j > na, если na < n = n0 = max (na; n). Здесь n0 — время, в течение которого полностью завершаются обслуживание кредита и амортизация имущества. Динамика возмещения НДС не определена, и этот процесс не лимитирован во времени.

числений, можно записать развернутое выражение затрат заемщика при кредите, сформировавшихся к моменту завершения кредитного проекта:

Ъ О = А + аК + Ж -

пи п

-f (X„ + р2 + NИ^) + N1 + ЫДС -

(2)

Используя выражение (2), можно сравнивать затраты заемщика при различных кредитных схемах с учетом налогообложения. Будем проводить сравнение при одинаковых суммах займа, авансах, сроках кредитования, процентных ставках, ставках дисконтирования, идентичном режиме уплаты и возмещения НДС, одинаковой политике начисления амортизации. Примем также условие, что 5 < 5^ , когда на затраты относятся все уплаченные кредитору проценты (Рп2 = Рп). Тогда, требуя, например, выполнения следующего условия: Ъ^ > Ъо, получим:

Ь(4)

>

- / Р1

< / <

в(4)

- Р(1)

= 1

-р(1)

Ь(4)

= Л-

Применяя доказанное в работе [3] свойство: 5т(п + вРп = S5m (для кредитов без отсрочки платежей, каковыми являются ординарный, купонный

и аннуитетный кредиты), получим, что /и = 1--

(для 5т Ф 0). Следовательно, т

Ъ по > Ъ по <в< (1 - / )5т, Ъ по = Ъ по <в = (1 - / )5т, Ъпо <Ъп:0<в>(1 -Л5т . (3)

При /= 0 , что имеет место в отсутствии налога на прибыль, получим неравенство: в < 5т , которое было установлено ранее при отсутствии налогов как условие, обеспечивающее требование: Жп4) >Ж^ В настоящее время ставка налога на прибыль составляет / = 0,2. Поэтому при относительно малой доходности бизнеса, когда в < 0,85 , аннуитетный кредит будет более затратным по сравнению с ординарным кредитом. Наоборот, при в > 0,85т более затратным станет ординарный кредит, а при в = 0,85 аннуитетный и ординарный кредиты

одинаково затратны для заемщика. Таким образом, барьерное значение процентной ставки кредита, с которой надо сравнивать доходность бизнеса при принятии решения о целесообразности кредитования, понижается с 5 до (1 — /)5 .

тт

Совершенно аналогично, сравнивая купонный и аннуитетный кредиты, из требования: ЪпО > ЪпО, получим условие:

- /Рп(2) > Ж(п4) - /Рп(4) <

< / <

р(2) - р(4)

= 1 +

(2) - (4) р(2) _ р(4)

= / = 1 - — Л 1 5 '

т

ъ п^ъ п?» в<(1- / )5„

Ъ п2о( = Ъ п?« в = (1 - / )5„

(2) ■'пО

<Ъп4о)<=>в^(1-У)5и . (4)

В шаровом и купонном кредитах дисконтированные суммы выплат основного долга одинаковы:

(&пз) = О п2) = 5(1 + в)-и. По этому здесь

Ъс^Ъп? < Жпз) -Ж п2) >/(Рпз) - Рп2)) <

<

(рР) - Рп2) )(1 - /) > с < рпз) > рпг)

Ъпо > Ъ^ <в< 5т,

пО пО т'

5т,

Ъпи)<Ъ(п2)«в> 5т. (5)

.фгаграмма, отражающая иерархию кредитов по затратам заемщика и построенная по результатам, полученным в виде неравенств (3) — (5), представлена на рис. 1.

ЪС? < ъ® < Ъ(п0) < ъпо

в < 0,8 5

' п

Х? > Ъ® > Ъп4? > Ъпо

0,85 < в < 5 , Ъ( 30) > Ъ( О, Ъ( 2и < Ъ( и < Ъ(10

' т т' пО по э пО пО пО

рис. 1. Сравнительный анализ затратности кредитов:

а — без нштогов; б — с учетом нштогов

П

что выгоднее: покупать основные средства в кредит или за собственные средства?

Для сопоставления затратности при приобретении основных фондов по кредиту или полностью за собственные деньги необходимо сравнить затраты заемщика 1п0, вычисленные по формуле (2), и затраты собственных средств при отсутствии кредита:

Ё(псас) = s - /(хпа + N*) +N* + ждс - 1чдс.

па ^ V па па ' па

Требуя того, чтобы 1п0 > ^(сас) и освобождаясь от идентичных слагаемых в обеих частях неравенства, получим при отсутствии транзакционных расходов (а = 0) неравенство А + Ж п - /Рп2 > S . Полагая, как

где принято, что

(1 + 5. Г

и ранее,

= Pn, имеем Gn + (1 - /)Рп > S - A = K.

Для кредитов без отсрочки процентных платежей (где 5т(п + вРп = 5тк) при 5т * 0 следует, что Сп + (1 - /)Рп > К « » К-в5т:Рп + (1 - / )Рп > К « ^5т:Рп [(1 - / )5т -В]> 0 « ^В< (1 - / )5т .

Таким образом, для любых кредитов без отсрочки процентных платежей (ординарный, купонный и аннуитетный кредиты) справедливо следующее выражение:

Z„0 >ZC) ^s<(1 - f)Ът, Z „0 = Z ^) ^s = (1 - f )5т , Z„0 <Z„СС) ^s>(1 - f )5т ,

(6)

= K-

т.е. кредитование невыгодно, если доходность бизнеса ниже барьерного значения (1 — / )5т и, наоборот, выгодно в противном случае.

Налоговый щит, возникающий при кредитовании, расширяет область значений ставки реинвестирования в, в которой приобретение основных фондов по кредиту выгоднее, чем за собственные средства с в > 5т до в > (1 — /) 5т, где / < 1 (в настоящее время в России / = 0,2).

В шаровом кредите получим цепочку равносильных неравенств:

1 п0 > 1(сс)» А+к(1+5т)п - /Рп32) > S »

п0 па п п

(1 + в)

« <1+5тГ - (! + 5.)п-1 > 1 в

(1 + в)п (1 + в)п

» в< [(1 - /)(1 + 5т )п + /п - 1 = в(5т , /, п),

. РР(3) = K (1 + 5т У 1 = Р(3Z)

„ (1 + s)„ ' „ (1 + s)„ n .

Следовательно,

Z„3) >Z(СС) ^s<s(5m,/,n), ZS = ZС) ^s = s(5m , /, „),

Z S < Z ^) ^s>s(5m , /, „). (7)

При малых значениях 5 и s, используя линеаризацию (1 + x)n « 1 + nx, получим s (5m, f n) « « (1 — /)5 . При n = 1 справедливо, что s (5m, f n) = = (1 — /)5m, а при n ^ да будет выполнено условие: lim s(5m, /,n) = 5m . Функция s = s (5 f n) строго

n -^да

монотонно растет по n, т.е. s (5m, f, n2) > s (5m, f, nx) при n2 > ny Поэтому для шарового кредита сектор (1 — /)5 < s < 5 полностью заполняется (от ниж-

v J ' m m v

ней (s = (1 — / )5m) до верхней ( s = 5m ) его границы) расположенными друг над другом линиями s = s (5m, f, n) с возрастающими значениями n (рис. 2). Над этими линиями s = s (5m,f n) выполняется условие: Zn3,-1 < Z(C), под ними — Z(n30) > Z^^f), а на этих линиях — Z(3) = Z(CC)

n0 na

Отметим, что при f = 0 (т.е. при отсутствии налогообложения) из формул (6) и (7) следует, что

Z 0 >Z(СС) ^s<5 ,

n0 na m'

Z 0 = Z(СС) s = 5 ,

n0 na m'

Z 0 <Ъ(СС) ^s>5 ,

n0 na m

что соответствует результату для кредита без налогов.

Формулы (6) и (7) предоставляют качественное решение поставленной задачи, которое желательно

¿(3) < Zcc e > 5n

рис. 2. Сравнение затрат в шаровом кредите с затратами приобретения имущества на собственные средства

Z

дополнить количественными оценками, чтобы иметь представление о том, насколько затраты при кредите будут больше или меньше затрат заемщика на приобретение основных фондов за собственные деньги.

Такую оценку проще всего получить, принимая в формуле (2) для упрощения следующие условия: N ДС - NДС = О, Р2 = Рп (т.е. 5 < 5г) и а = О, предварительно вычислив дисконтированные платежи обслуживания кредита, выплаты по имущественному налогу и амортизационные отчисления.

Согласно работам [2; 3] сумма дисконтированных выплат в погашение основного долга Сп и процентных платежей Рп имеет вид:

(« = К Фо^ п), п

Рп:) = К5т [(п + 1)Фо(в,п)-Ф1(в,п)] =

K 5.

те

[n -фо(е,n)]

G(.2) = -

K

(1 + е)'

= K [1 -ефо(е, n)],

Ff = K 5ифо(е, n):

G(„3) = -

K

(1 + е)'

= K [1 -ефо(е, n)],

p(3) = K

(1 + 5m)n - 1 (1 + е)" :

((4) = K ^0(5m, n) -еФo(е, n) n (5m е)Фо (5m, n) '

рГ) = k5m фо(е,n)-фо(5т,n) ПрИеФ5т,

n m /о \ /о \ * m'

(5m е)фо (5m, n)

G(4)| = lim G(4) =-^-,

n ^=5m е^ "е (1 + 5m )n+1 ф0 (5m, n)

Налог на имущество вычисляется через остаточную стоимость имущества в .-м периоде с учетом того, что = S. Очевидно, что

^. = ^- X. , X. = S/па (при линейном способе начисления амортизации) и ^. = S (1 - ]/па). После этого можно вычислить налог на имущество в .-м расчетном периоде:

NИ = -• 1 m

i ^ ,-i + ^; Si

2

2m

1 - j-1 +1 -±

; \

Si 2nm

(2na +1 - 2 j),

где i — годовая ставка налога на имущество (в долях единицы);

т — число расчетных периодов в году. Далее вычислим дисконтированную сумму

па NИ

налога на имущество N1 = ^--—- и дисконти-

1 (1 + е)1

рованную сумму амортизации Xna = У

X,

= У 2na +1 - 2 j

na .„„Zj

1=

1 (1 + е)1

2na m 1=1 (1 + е)1

Si

[(2na + %0(^ na ) - 2ф1(^ na )] =

2па т

= Si 2па - (2 + в)Фо(в, па )

2пат в

S

Х па = ~Фо^ па ). па

Нетрудно установить, что > О, поскольку

2па

всегда Фо(в, па) <-, а это, в свою очередь, имеет

2 + в

место, так как справедлива верхняя оценка Д-фун-

2п„

кции нулевой степени [2]: ф0(е, na) <

2n

2n

= lim

^=5m е^5m

= K

[1 + (n + 1)5m ]фо (5m, n) - n 2 + е 2 + (n + 1)е

при n > 0. Предел:

2 + (n + 1)е

(1 + 5т )Фо(5т , п)

Здесь при упрощении выражения Рп(1) использована связь Д-функций первой и нулевой степени:

[1 + (п + 1)в]фо (в, п) - п

ф1 (в, п) = -—-- -1 ---, которая будет

в

применяться и в дальнейшем. Как было показано в работе [2], процентные платежи, вычисляемые по приведенным ранее для них формулам, во всех рассматриваемых кредитах (как и должно быть) растут с ростом процентной ставки и срока кредитования.

limN* =lim 2na -(2 + е)ф0(е,na) :

е^0 2n m е^0

е

——— lim 2nm е^0

ф0(е. na ) + (2 + е)

dф0(е, na ) d е

Si

■-1

2m

где использовано свойство Д-функций: d^fe na) = фl(е, na) . Предельная при е ^ 0 фор-

d е 1 + е

мула имущественного налога имеет вполне очевидный экономический смысл: N^a = lim N ^a = 0,5SiTa, где Ta = na/ m — срок амортизации, исчисленный в годах.

n

n

a

а

и

a

Производная

dnr,

Si (2 + в) па 1п(1 + в) + (1 + в)па -1 2тв п2

всегда положительна, следовательно, имущественный налог растет с ростом срока амортизации основных средств.

Очевидно, что Xпа > 0, так как ф0(в, па) > 0. Однако

dnr,

S

па 1п(1 + в) в(1 + в)па

-Ф0(В, па )

S (1 + в)па -1 - па 1п(1 + в)

в(1 + в)п

< 0,

поскольку

(1 + в)па -1 -па 1п(1 + в) >па [в- 1п(1 + в)]>0. Следовательно, дисконтированная сумма амортизационных отчислений будет уменьшаться с ростом срока амортизации, хотя при в = 0 выполнено

условие: Хпа = S .

Теперь можно записать выражения затрат при различных схемах кредитования. В частности, для ординарного кредита выражение будет иметь вид:

1 (1) А + К Ф (в п) Фа(^ па )

1п0 = А + — Фo(в,п) - У-

к

+(1 - /) <!—5т [п -Ф0(в, п)] + пв

+

+

iS 2па - (2 + в)Ф0(в па )

2 I (8)

2пат в

В случае приобретения основных средств за собственные деньги предприятия получим:

Ё П^с) = 5 - f X па + (1 - f )М ипа =

= 5 - fS

Ф0(^ Па )

+(1 " f)

18 2па - (2 + B)фo(8, Па )

2пат

Это выражение — 1(псас) — может быть непосредственно найдено по формуле (8) (при А = V и К = 0).

В пределе при в ^ 0 получим случай отсутствия дисконтирования, где ф0 (в, 0) = п , Ф(в, 0) = = 0,5п (п +1) и справедливо следующее выраже-

ние:

1о = (1 - /^ |1 + ^ 5т (п + 1) + п 2 2т

1псс) = (1 - / ^ |1+£ )

Далее на рис. 3 в форме графиков представлены результаты расчета удельных статических (т.е. на момент завершения всех выплат) затрат (Що = ^о/ V ) ординарного кредита в зависимости от срока кредитования (п = 3, 6, 9 ... 120) при различных значениях срока амортизации (па = 12, 60, 120), аванса (а = 0 и а = 1) и ставки дисконтирования в = 0 (слева) и в = 0,2 (справа) для процентной ставки 24% годовых (5 = 0,24; т = 12; 5т = 0,2). Там же приведены графики удельных затрат при прямой покупке (Щас) = ) ^) в виде прямых линий, поскольку здесь нет зависимости от срока кредита п.

В расчете использованы принятые налоговые ставки f= 0,2 и i = 0,022. Маркером (белый кружок) отмечены значения статических затрат для па = 60 (Т = па/ т = 5 лет) при сроках кредита п = 12 (1 год) и п = 120 (10 лет). Если имущество приобретается за собственные деньги предприятия (а = 1), то графики ЩпаС) — прямые линии, параллельные оси абсцисс (затраты не зависят от срока кредита, которого нет). При а = 0 (кредитование на полную сумму стоимости имущества) имеется выраженная зависимость от срока кредита. При промежуточных значениях аванса 0 < а < 1 соответствующие графики будут располагаться между линиями, построенными для а = 0 и а = 1.

При в < (1 - f )5т статические затраты в случае приобретения имуществ за собственный счет меньше, чем при использовании кредита, причем при кредите затраты растут с ростом его срока, что и отражено на графиках (рис. 3, а). Наоборот, при в > (1 - f )5т кредитование более выгодно, чем приобретение основных средств за собственный счет (рис. 3, б) и статические затраты уменьшаются с ростом срока кредита. Следовательно, для снижения затрат целесообразно использовать длинные кредиты.

Далее на рис. 4 в виде графиков представлены результаты расчета отношения 1п0 к 1(сас) для ординарного, купонного и аннуитетного кредитов 5в зависимости от годовой процентной ставки 5. Расчет проведен для кредитов без отсрочки процентных платежей (где справедливо выражение: 5тСп + вРп = 5т К) по следующей формуле:

2

п

а

2

а

п

а

п

п

а

П

а

1,3

1,2

1,1

0,9

ХХХХ-Х^Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х-Х

х 0,844* хххххххххххххо хюо< -х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х

0 12 24 36 а

48 60 72 84 96 108 120

Па = 60, —па= 120 при а = 0

• ••X" па = 12, хпа= 60, —па= 120 при а = 1

рис. 3. Статические затраты при ординарном кредите ^ на приобретение основных средств при 5т = 0,02: а — 8 = 0, б — 8 = 0,02 (от срока кредита)

:(СС)

= 1 -

1 - а - - (1 - f)Р„^

1(СС) I

па ~

= 1 -[8-(1 - / )5т }

:(СС)

па

чем простая покупка, на 4,6% от стоимости приобретаемого имущества (без НДС).

Сравнение свидетельс -твует о том, что в купонном и аннуитетном кредитах при 8 > (1 — /)5т преимущество кредитования перед простой покупкой основных средств более выражено, чем в ординарном кредите. При 8 < (1 —/)5т , наоборот, более сильно проявляется выгодность прямой покупки перед кредитованием. Причем в купонном кредите этот эффект более заметен, чем в аннуитетном, где он близок к ординарному.

Аналогично тому, как вычислялись отношения (1п0/)) затрат на приобретение основных средств по кредиту и за счет собственных средств предприятия, могут быть найдены отношения затрат при кредитовании (например,

0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120

(1)

Р

(СС) т па

S 5т^

(9)

137

?(2) /1(1) 1(4) /1(1) ) для количествен-

(при сроке кредитования Т = 2 (года), сроке амортизации Та = 5 (лет) и 12 расчетных периодах в году (т = 12) для двух вариантов доходности бизнеса приобретателя основных средств (8 = X 5 где X = 0,5; X = 1 ) и пяти вариантов размера аванса (а = 0; 0,1; 0,3; 0,5; 1). В расчете приняты значения ставки налога на прибыль /= 0,2 и ставки налога на имущество i = 0,022 в год. На всех графиках маркером отмечены значения 1(по /1СС при кредитовании по ставке 12% и 24% годовых.

Анализируя полученные расчетные данные, можно сделать вывод о том, что при а = 1 (кредитования нет), как и должно быть в данном случае,

^По/^СС . ПРи 8 = О^ хе. когда 8 < (1 — /)5т = = 0,8 5т, более выгодным будет приобретение основных средств за собственные деньги, что и было установлено теоретически. При 8 = 5т, т.е. когда 8 > 0,85 , более выгодным становится использование кредита. Например, при 8 = 5т и 5т = 24% годовых приобретение основных средств по ординарному кредиту (верхний ряд, справа) будет дешевле,

ип0 I ^пС 1п0/ ^п0

ной оценки выгодности той или иной кредитной схемы.

влияние сроков амортизации и кредитования

Дополним представленное исследование анализом зависимости отношения 1п0 к 1ПаС) от срока амортизации па и срока кредитования п, который проведем в общем виде.

влияние срока амортизации. Дифференцируя выражение удельных затрат при простой покупке, получим, что

i (2 + 8)"

-.(СС) о па

/+(1 - /)-

2т8

^ ( Фо(8, па ) ^

где

Ранее па 1П(1 + 8)

(1 - / )(2 + 8) + 2т8/ Фб^ па ) 1п(1 + 8)

2пат8 _ па 8(1 + 8)Иа

й ГФс^ па ) ^ 1 ( 1п(1 + 8) Фо(8, па ) 1

ёпа 1 па V па ^8(1 + 8)Иа па V

было

8(1 + 8)"

-Ф0(8, па ) < 0

п о к а з а н о , ч т о

й I(СС)

поэтому па— > 0, ёп„

0,8

0,9

0,8

0,7

0,7

п

0,6

0,6

п

а

а

1,12 1,1

1,08 1,06 1,04 1,02 1

0,98 0,96 0,94

1 07774 9

444

,04142 0 г..........

635 . ________

--~~

б

1,01 1

0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93

0,9741 ^•••гг

••••......

0,95365611 6

0%

12%

24%

36%

0%

12%

24%

36%

1,25 1,2 1,15 1,1 1,05 1

0,95

1,143799 4 22

1,07803 601 ^у^^0^ 'С.........

2

у?

б

1,02 1

0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88

0,95206692

5 С...........

0,91727578 9

б^

0%

12%

24%

36%

0%

12%

24%

36%

1,14 1,12 1,1

1,08 1,06 1,04 1,02 1

0,98

1,01 1

0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92

0,97313869 7

к

0,95045397 3

б

0%

12%

24%

36%

0%

12%

24%

36%

•а = 0

■а = 0.1

а =0.3

-а = 0.5

а = 1

Рис. 4. Соотношение (Жп0 / Ж^с)) стоимости затрат на приобретение основных средств в кредит и за счет собственных средств предприятия (верхний ряд — для ординарного кредита Ж®/Ж^0) , средний — для купонного кредита Ж®/Ж^) . нижний ряд — для аннуитетного кредита Ж^/Ж^) ) при 8 = 0,55 (слева) и 8 = 5 (справа)

т.е. удельные затраты ^ )при прямой покупке растут с ростом срока амортизации. Следовательно, согласно формуле (9)

_ё_

ёп„

1

7(СС) V"1 па V

= [8-(1 - I )5т ]

Р

й %

(СС) па

^) 1 ёпа т I ~ па I

К = Оп + 85т1Рп при 5т Ф 0 , на основании формулы (9) запишем:

ё_ ёп

ч 1(СС) , V па У

8- (1 -I )5„

S 5 %

т^па

(СС)

ёп

< 0, при 8 < (1 - /)5т; = 0, при 8 = (1 - /)5т; > 0, при 8 > (1 - /)5т,

и отношение 1п0к ) для кредитов без отсрочки процентных платежей при возрастании срока амортизации п монотонно растет при 8 > (1 — /)5 , но убывает при 8 < (1 —1)5 .

Таким образом, при 8 > (1 — I)5т, когда Хп0 < 1(<С) и наблюдается преимущество приобретения основных фондов по кредиту перед простой покупкой, выгодность кредитования становится более заметной, если приобретаются основные фонды с коротким сроком амортизации.

Значения изменений отношения Ъ^о к 1п«С), полученные в результате вычислительного эксперимента, проведенного для ординарного кредита по ставке 12% годовых сроком на Т = 2 года при возрастании срока амортизации приобретаемого имущества Та с 5 до 10 лет для долей аванса (а = 0; 0,1; 0,3; 0,5; 1) и ставок реинвестирования (дисконта) 6%, 12%, 24% годовых представлены в табл. 1. Изменение отношения 1п0 к 1п«С) относительно невелико, оно не превышает 0,92% при двукратном изменении срока амортизации. Однако такой вывод будет справедлив только для относительно малых сроков амортизации (до 10 лет). Производственные фонды (в том числе здания и сооружения) могут иметь гораздо более длинные сроки амортизации (до 50 лет и выше), когда этот фактор может иметь существенное значение и заметно снизить эффективность кредита перед прямой покупкой того же имущества.

Влияние срока кредитования. Для кре -дитов без отсрочки процентных платежей, где

Далее вычислим производные суммы дисконтированных процентных платежей по сроку кредита.

В ординарном кредите получим:

ё Р,(1) К5^ й

ёп К 5.

8 ёп

1 -

Ф0(8, п)

п8

Ф0(8, п) 1п(1 + 8) п 8(1 + 8)п

> 0.

Для купонного кредита ёРп2) = К5 ёФ0(8,п) = К5 1п(1 + 8) > 0

ёп т ёп т 8(1 + 8)п

В аннуитетном кредите при 8 Ф 5т получим следующее выражение:

ё^ = £5т Ф0 (8, п)' Фо(5т, п) - Ф0 (8, п)Ф0 (5т , п)' = ёп 5-8 ф2(5 ,п)

т т0 ^ т' '

= £5иФо(8, п) о(8, п) -о(5я, п)

Ф(5 ,п) 5 -8

0 т т

■> 0,

где с(8, п) =

1п(1 + 8)

(1 + 8)п - 1

Функция с(8,п) строго монотонно убывает по

Ф0 (8, п) 1п(1 + 8)

8, поскольку в силу условия: ' " ' ' <[2, с. 70] ее производная п

ёд(8,п) = (1 + 8)п 8фо(8,п) - п 1п(1 + 8) й 8

(1 + 8) [(1 + 8)п - 1]

< 0.

с(8,п) -с(5т,п) Л Получается, что —-—--—- > 0 для лю-

бых 8 Ф 5 .

5 -8

При 8 = 5 получим, что

>(4) п 1п(1 + 5т)-5иф0(5и,п) >0.

ёп

= S-

5т (1 + 5т )п+1 Ф2 (5т, п)

Таблица 1

Изменение отношения 1п0 к 1п«С) при увеличении срока амортизации с 5 до 10 лет (процентная ставка — 12% годовых, срок кредита — 2 года), %

п

п

Б

Ставка реинвестирования (доходность бизнеса), % годовых Доля аванса (собственных средств) в стоимости имущества без НДС

0 0,1 0,3 0,5 1

6 — 0,24 — 0,21 - 0,17 — 0,12 0,00

12 0,16 0,15 0,11 0,08 0,00

24 0,92 0,81 0,61 0,43 0,00

Таким образом, во всех рассмотренных креди-й Р

тах —— > 0 и сумма дисконтированных процен-

dn

тных платежей монотонно растет с ростом срока кредитования. Поэтому

А.

dn

(

\

П7(СС ) V ^па /

в- (1 - / )5Я

S 5 Е

т^па

(СС)

dn

> 0 при в< (1 - /)5т; = 0 при в = (1 - /)5т; < 0 при в > (1 - /)5т.

Следовательно,прив >(1 —/)5т,когда ¿п0 < ¿(С) и имеет смысл приобретение основных фондов по кредиту, выгодность кредитования перед простой покупкой растет при возрастании срока кредита.

Далее (табл. 2) приводятся значения изменений

, полученные в результате

отношения ¿По к ¿(<Са) вычислительного эксперимента, проведенного для случая покупки имущества (основных средств) со сроком амортизации 5 лет с помощью ординарного кредита по ставке 12% годовых при увеличении срока кредитования от Т = 2 до Т = 10 (лет) для различных долей аванса (а = 0; 0,1; 0,3; 0,5; 1) и ставок реинвестирования (дисконта) 6, 12 и 24% годовых, задающих доходность бизнеса заемщика.

Здесь влияние срока кредитования на отношение ¿По к ¿(П°аС) весьма существенно. Так, например, для бизнеса с доходностью 24% годовых увеличение срока ординарного кредита с 2 до 10 лет уменьшит отношение ¿По к ¿(СС) (т.е. увеличит выгодность кредита) на 31,25%.

Пример. Предприятие планирует приобретение основных средств для развития производства со сроком амортизации 10 лет. Рассматриваются два варианта: прямая покупка оборудования на собственные деньги и привлечение кредита. При кредитовании свободные собственные деньги могут быть направлены на пополнение оборотных средств в целях расширения объемов выпуска продукции. Если предприятие готово использовать при покупке

часть собственных денег (20% от стоимости имущества без НДС), то банк предлагает семилетний кредит по ставке 12% годовых. Если собственные средства предприятия не будут использоваться, то предлагается пятилетний кредит по ставке 15% годовых. Кредиты необходимо обслуживать ежемесячно. Доходность бизнеса предприятия — 18% годовых. Предполагается, что заем будет предоставлен в форме ординарного кредита (с равномерным гашением основного долга и начислением процентов на остаток ссудной задолженности). Требуется выбрать наиболее экономичный по затратам вариант приобретения имущества.

Решение. Формализуем условия примера для двух вариантов кредита.

Общие условия: па = 120; т = 12.

1-й вариант. Кредит без использования собственных средств:

а = 0; 5 = 0,15; п = 60; X = 0,18/0,15 = 1,2.

2-й вариант. Кредит с частичным использованием собственных средств:

а = 0,2; 5 = 0,12; п = 84; X = 0,18/0,12 = 1,5.

Расчет по формуле (9) дает следующие результаты: в первом случае ¿По/¿Па ) = 0,8806, во втором — ^По/С) = 0,8313 . В обоих вариантах кредитование более выгодно, чем использование собственных средств для единовременной оплаты

покупки, поскольку ¿П0/¿П^0) < 1. В первом варианте кредита (без использования собственных средств) экономия по сравнению с прямой покупкой за собственные деньги составит 11,94% , а во втором (с частичным использованием собственных средств) — 16,87% от стоимости приобретаемого имущества без НДС. Лучшим представляется вариант с частичным использованием собственных средств. Если предприятие без ущерба для производства имеет возможность отвлечь собственные деньги в объеме 20% от стоимости имущества без НДС, то следует принять именно этот вариант. Однако больший выигрыш здесь достигается не за счет частичного использования собственных средств, а

Таблица 2

Изменение отношения ¿п0 к ¿(°аС) при увеличении срока кредита с 2 до 10 лет (процентная ставка — 12 % годовых, срок амортизации — 5 лет)

п

Ставка реинвестирования (доходность бизнеса), % годовых Доля аванса (собственных средств) в стоимости имущества без НДС

0 0,1 0,3 0,5 1

6 12,59 11,37 8,92 6,42 0,00

12 -7,05 -6,33 -4,90 -3,48 0,00

24 -31,25 -27,68 -20,86 -14,46 0,00

за счет того, что ставка кредита снизилась с 15 до 12% годовых (срок кредитования увеличился с 5 до 7 лет). Положительный эффект от этих факторов в совокупности перекрыл негативное влияние от частичного использования собственных средств.

Заключение

1. В исследовании представлен сравнительный анализ кредитов с учетом налогообложения и установлена их иерархия по затратам заемщика по их обслуживанию. Показано, что при Е < (1 — /)5 наиболее затратным будет шаровой кредит и далее в порядке убывания затратности следуют купонный, аннуитетный и ординарный кредиты. Этот порядок изменяется на обратный при Е > (1 — /)5. Тогда уже наиболее затратным будет ординарный кредит и далее в порядке убывания затрат: аннуитетный, купонный и шаровой. Здесь, напомним, Е = 8т — это годовая ставка дисконта, т.е. годовая процентная ставка альтернативного размещения средств (доходность бизнеса).

2. В исследовании также предложена методика сравнительного анализа затрат на приобретение основных средств по кредиту и за счет прямой оплаты собственными деньгами предприятия. Показана выгодность кредитования, если доходность действующего бизнеса заемщика (например, рентабельность продаж) превышает барьерное значение (1 — /)5 (то же самое, что и при сравнении затрат по кредитам), поскольку тогда затраты по кредиту оказываются меньшими, чем затраты при прямой покупке основных фондов.

3. В исследовании изучена зависимость отношения затрат при кредите и при прямой покупке оборудования от объема частичного использования

собственных средств, сроков кредита и амортизации. Проведенные расчеты свидетельствуют о том, что с ростом срока амортизации приобретаемого оборудования преимущество кредита при в > (1 — Р$т перед прямой покупкой того же оборудования снижается (отсюда следует важность ускоренной амортизации для повышения эффективности кредитования). Однако увеличение продолжительности кредита увеличивает выгодность кредитования перед простой покупкой оборудования, так что стремление менеджеров к получению «длинных» кредитов вполне оправданно. Установлено также, что увеличение доли собственных средств предприятия (обычно в виде авансового платежа поставщику оборудования) снижает эффективность кредитования по сравнению с простой покупкой оборудования за счет собственных средств.

Список литературы

1. Брейли Ричард, Майерс Стюарт. Принципы корпоративных финансов. М.: Олимп-Бизнес. 2008. 1008 с.

2. Жевняк А.В. Математическая теория дисконтирования денежных потоков. Математическая теория кредита. Рязань: Ринфо. 2010. 384 с.

3. Жевняк А.В. Математические модели и общие свойства кредита // Финансы и кредит. 2012. № 15. С. 36-44.

4. Жевняк А.В. Математические модели и оценки эффективности кредита // Экономика и математические методы. 2012. № 2. С. 51-66.

5. Ибрагимов Р.Г. Структура капитала и ценность компании // Российский журнал менеджмента. 2009. Т. 7. № 4. С. 33-56.

6. КузнецовБ.Т. Инвестиции. М: Юнити-Дана. 2010. 623 с.

Banking

COMPARATIVE ANALYSIS OF BORROWER EXPENSES IN CORPORATE CREDITS

Aleksandr V. ZHEVNIAK, Grigorii A. ZHEVNIAK

Abstract

The article presents comparative analysis of borrower expenses on service of widespread credit schemes taking into account corporate taxes. The authors consider yield of borrower's business in which acquisition of

fixed assets loan is more profitable than buying for their own money without loan.

Keywords: credit, taxes, interest rate, discount rate, reinvestment

References

1. Brealey R., Myers S. Printsipy korporativnykh finansov [Principles of corporate finance]. Moscow, Olimp-Biznes Publ., 2008, 1008 p.

2. Zhevniak A.V. Matematicheskaia teoriia dis-kontirovaniia denezhnykh potokov. Matematicheskaia teoriia kredita [Mathematical theory of discounting of cash flows. Mathematical theory of credit]. Ryazan, Rinfo Publ., 2010, 384 p.

3. Zhevniak A.V. Matematicheskie modeli i obsh-chie svoistva kredita [Mathematical models and general properties of credit]. Finansy i kredit — Finance and credit, 2012, no. 15, pp. 36-44.

4. Zhevniak A.V. Matematicheskie modeli i ot-senki effektivnosti kredita [Mathematical models and estimates of credit efficiency]. Ekonomika i matematicheskie metody — Economy and mathematical methods, 2012, no. 2, pp. 51-66.

5. Ibragimov R.G. Struktura kapitala i tsennost' kompanii [Capital structure and company's value]. Rossiiskii zhurnal menedzhmenta — Russian journal of management, 2009, vol. 7, no. 4, pp. 33-56.

6. Kuznetsov B.T. Investitsii [Investment]. Moscow, Iuniti-Dana Publ., 2010, 623 p.

Aleksandr V. ZHEVNIAK

Institute of Regional Economic Development, Ryazan, Russian Federation alzhevnyak@yandex.ru Grigorii A. ZHEVNIAK Yuniastrum Bank (Branch), Ryazan, Russian Federation zhga62@yandex.ru