CC BY
54
Левин Л.Ю., Семин М.А., Плехов О.А. Сравнительный анализ существующих методов расчета толщины ледопородного ограждения строящихся шахтных стволов // Вестник ПНИПУ. Строительство и архитектура. - 2018. - Т. 9, № 4. - С. 93-103. DOI: 10.15593/2224-9826/2018.4.09
Levin L.Yu., Semin M.A., Plekhov O.A. Comparative analysis of existing methods for calculating frozen wall thickness for mine shafts under construction. Bulletin of PNRPU. Construction and Architecture. 2018. Vol. 9. No. 4. Pp. 93-103. DOI: 10.15593/2224-9826/2018.4.09
ВЕСТНИК ПНИПУ. СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА Т. 9, № 4, 2018 PNRPU BULLETIN. CONSTRUCTION AND ARCHITECTURE http://vestnik.pstu. ru/arhit/about/inf/
Б01: 10.15593/2224-9826/2018.4.09 УДК 622.253.3, 624.13
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ТОЛЩИНЫ ЛЕДОПОРОДНОГО ОГРАЖДЕНИЯ СТРОЯЩИХСЯ ШАХТНЫХ СТВОЛОВ
Л.Ю. Левин1, М.А. Семин1, О.А. Плехов2
Горный институт Уральского отделения РАН, Пермь, Россия
2
Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН, Пермь, Россия
О СТАТЬЕ
АННОТАЦИЯ
Получена: 4 июля 2018 Принята: 24 сентября 2018 Опубликована: 28 декабря 2018
Ключевые слова:
ледопородное ограждение, искусственное замораживание грунтов, расчет прочности, статический анализ, критерий Кулона - Мора, сравнительный анализ
Проведен обзор существующих методов расчета толщины ледопородного ограждения строящихся шахтных стволов. Проанализированы гипотезы и допущения, используемые различными авторами для вывода формул расчета толщины ледопородного ограждения. Сделана классификация существующих в литературе формул по двум критериям - предельному напряженному состоянию (расчет на прочность) и предельным деформациям (расчет на ползучесть). Проведено количественное сравнение различных формул для расчета толщины ледопородного ограждения по предельному напряженному состоянию для упругопластического слоя глины при различных глубинах залегания. Получено, что формула Ламе в рассматриваемом случае дает завышенные значения толщин ледопородного ограждения и применима только для глубин до 100 м, формула Домке применима при глубинах до 200 м. Формула Вялова для проектной толщины, рассчитанной по предельному напряженному состоянию, имеет более пологий вид и применима для больших глубин. Формулы Янга и Чжана позволяют снизить проектное значение толщины, рассчитанной по формуле Вялова, на 30-40 % за счет рассмотрения упругопластического деформирования талого грунта и также применимы при больших глубинах. Показано, что проектная толщина ледопородного ограждения, рассчитываемая по формуле Вялова для предельных деформаций, может оказаться существенно выше проектной толщины, рассчитанной по предельным напряжениям, в случае, когда у пород ярко выражена ползучесть. Представлен практический пример расчета толщины ледопородного ограждения по предельным напряжениям и предельным деформациям для строящихся стволов рудника ОАО «Беларуськалий».
©ПНИПУ
© Левин Лев Юрьевич - доктор технических наук, e-mail: [email protected].
Семин Михаил Александрович - кандидат технических наук, e-mail: [email protected].
Плехов Олег Анатольевич - доктор физико-математических наук, e-mail: [email protected].
Lev Iu. Levin - Doctor of Technical Sciences, e-mail: [email protected]. Mikhail A. Semin - Ph.D. in Technical Sciences, e-mail: [email protected]. Oleg A. Plekhov - Doctor of Physics and Mathematics Sciences, e-mail: [email protected].
COMPARATIVE ANALYSIS OF EXISTING METHODS FOR CALCULATING FROZEN WALL THICKNESS FOR MINE SHAFTS UNDER CONSTRUCTION
L.Yu. Levin1, M.A. Semin1, O.A. Plekhov2
Mining Institute of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Perm, Russian Federation 2 Institute of Continuous Media Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Perm, Russian Federation
ABSTRACT
The article reviews the existing methods for calculating the frozen wall thickness for mine shafts under construction. The hypotheses and assumptions used by different authors for deriving formulas for calculating the frozen wall thickness are analyzed. The classification of existing formulas is made according to two criteria: the boundary state of stress (calculation for strength) and boundary state of deformation (calculation for creep). A quantitative comparison of various formulas for calculating the frozen wall thickness in the boundary state of stress for an elastic-plastic layer of clay is made. It is found that the Lame formula in this case gives an overestimated frozen wall thickness and is applicable only for depths up to 100 m. The Domke formula is applicable at depths up to 200 m. The Vyalov's formula for the design frozen wall thickness calculated from the boundary state of stress is gently sloping with the increase of depth and applicable for large depths. The formulas of Yang and Zhang allow us to reduce the design value of the thickness, calculated by the Vyalov formula, by 30-40% due to the consideration of elastoplastic deformation of thawed soil and also applicable for large depths. It is shown that the design frozen wall thickness, calculated according to the Vyalov formula for boundary state of deformation, can be significantly higher than the thickness calculated from the boundary state of stress, in the case when the soils have pronounced creep. A practical example is given for calculating the thickness of the frozen wall for boundary state of stress and deformation for the constructed shafts for a mine of Belaruskali company.
© PNRPU
Введение
Согласно инструкции ВСН 189-78, действующей на территории Российской Федерации, сложные инженерно-геологические и гидрогеологические условия строительства подземных сооружений требуют применения специальных способов производства работ, в частности искусственного замораживания грунтов. Применительно к строительству шахтных стволов искусственное замораживание грунтов и горных пород используется для создания ледопородного ограждения (ледопородной завесы, ледопородного цилиндра) вокруг запроектированной горной выработки (рис. 1). Для этого по контуру запроектированной к проходке выработки бурятся скважины, в которые опускаются замораживающие колонки. За счет работы холодильных станций по колонкам осуществляется циркуляция хладоносите-ля (рассола) с поддерживаемой температурой до -50 °С [1]. В результате циркуляции охлаждающего рассола в замораживающей колонке окружающий ее породный массив постепенно охлаждается, а содержащаяся в массиве вода кристаллизуется. По истечении некоторого времени вокруг замораживающих колонок образуются одиночные ледопородные цилиндры, которые в дальнейшем смыкаются, образуя сплошное ледопородное ограждение, предотвращающее попадание грунтовых вод в строящуюся горную выработку [2].
Расчеты ледопородного ограждения сводятся к статическим, определяющим необходимую толщину ледопородного ограждения из условий прочности, устойчивости или по предельно допустимым деформациям, и к теплотехническим, на основании которых определяются холодопроизводительность замораживающей установки, режим и время замораживания, температурное поле слоев грунтов и горных пород [3].
ARTICLE INFO
Received: 4 Juye 2018 Accepted: 24 September 2018 Published: 28 December 2018
Keywords:
frozen wall, artificial ground freezing, strength calculation, structural analysis, Mohr-Coulomb criterion, comparative analysis
Вопросы, относящиеся к теплотехническим расчетам, освещены в классических трудах советских ученых [4, 5] и более новых трудах российских [6-8] и зарубежных [9-11] исследователей. В данной работе рассмотрены вопросы статических расчетов ледопород-ного ограждения.
Обзор статических расчетов ледопородного ограждения
Статический расчет защитных завес из замороженных грунтов должен производиться по двум предельным состояниям - по предельному напряженному состоянию (расчет на прочность) и предельным деформациям (расчет на ползучесть) [3].
На сегодняшний день в литературе представлены в основном методы расчета по предельному напряженному состоянию [3, 12-15]. Они сводятся к определению такой толщины ледопородного цилиндра, при которой действующие в заданный момент времени напряжения не превосходили бы предельного сопротивления сдвигу замороженных пород в этот же момент времени. Как правило, рассматривается стандартный набор гипотез, позволяющих получить аналитическое выражение для толщины ледопородного ограждения:
1. Замороженные породы цилиндра принимаются изотропным материалом с однородным распределением температуры и однородно распределенными прочностными характеристиками.
2. Объемные деформирования замороженной породы предельны.
3. При расчете по предельным деформациям влияние фактора времени на механические свойства замороженных пород учитывается в параметрической форме.
В литературе, как правило, рассматривается случай ледопородного ограждения бесконечной протяженности в вертикальном направлении, что позволяет рассматривать двухмерную задачу в рамках гипотезы о плоском деформированном состоянии (рис. 1).
Рис. 1. Горизонтальный разрез ледопородного ограждения (расчетная область): 1 - замороженный грунт (ледопородное ограждение); 2 - талый грунт; 3 - внутренний объем горной выработки Fig. 1. Horizontal section of the frozen wall: 1 - frozen wall; 2 - unfrozen soil; 3 - interior of the excavation
A
На внешней границе ледопородного ограждения задается равномерно распределенная нагрузка P - боковое давление грунта, зависящее от глубины залегания и гидростатического давления грунтовых вод. На внутренней стенке ледопородного ограждения задается свободная поверхность с нулевым давлением.
В действующей инструкции ВСН 189-78 для определения толщины E стенки ледопородного ограждения применяется известная формула сопротивления материалов для расчета толстостенных труб (получаемая из формулы Ляме)
E = R
Л
Ч,адоп - 2P
-1
(1)
или эмпирическая формула Домке
E = R
0,29
P
+ 2,3
f P V
Vе сж J
(2)
где Я - внутренний радиус ледопородного цилиндра, м; Р - максимальное давление на внешнюю поверхность цилиндра, Па; асж - предел прочности замороженного грунта на
сжатие, Па; адоп - допускаемое напряжение на сжатие для замороженного грунта, Па,
а =(0,2^0,4)ст .
доп V ' ' / сж
В целом расчеты по приведенным формулам дают излишний запас прочности и с большим приближением могут быть применены для неглубоких выработок, когда горное давление невелико [3].
В монографии [3] предложена формула для расчета толщины ледопородного ограждения неограниченной высоты для предельного напряженного состояния замороженного грунта, описываемого линейным законом Кулона - Мора
E = R
А,
Л,-1
(3)
где
А = tan2
я Ф,
А = -2Су tan
4 2
v 4 2 J
(4)
(5)
где Лу , ^ - коэффициенты в законе Кулона - Мора, записанном в главных напряжениях; Су - сцепление замороженного грунта, Па; фу - угол внутреннего трения замороженного грунта, рад.
В работе [15], опубликованной позднее, получена формула, совпадающая с (3). В работе [12] формула (3) уточнена на предмет учета упругопластических деформаций талого грунта, окружающего ледопородное ограждение:
E = R
иР (Л f-1)( 2-Л, ) Л / (Л, +1)
где
Л = tan2
Л = +2С„ tan
4 2
(7)
(8)
где Лм, Лм - коэффициенты в законе Кулона - Мора, записанного в главных напряжениях для талого грунта.
В работе [13] формула (6) уточнена с учетом изменения толщины ледопородного ограждения вследствие его деформирования после проходки горной выработки. Рассчитана толщина Е' ледопородного ограждения до его деформирования:
E ' = ■
E
1 - q / 2G,
- 1 - E2 + -
E2
(1 - q/2G, )2
где
q =
л, +Ли -1
Л..+1
(9)
(10)
где ^ - модуль сдвига талого грунта, Па; Е - толщина ледопородного ограждения, рассчитанная из (6), м.
Методы расчета толщины стенки ледопородного ограждения по предельным деформациям в литературе представлены слабо. Единственным известным и широко применяемым на практике является метод, предложенный в монографии [3]. В данном методе в качестве критерия разрушения выступает предельное радиальное перемещение внутренней поверхности ледопородного ограждения Дот , а сам критерий формулируется следующим образом:
Л<Л„
(11)
С механической точки соотношение (11) определяет такой размер ледопородного ограждения, при котором развивающаяся за заданный период времени деформация ползучести не приводила бы к запредельному радиальному перемещению внутренней поверхности ледопородного ограждения.
g = A(t )sm, (12)
где а - напряжение, Па; s - деформация; A = A(t ) - коэффициент пропорциональности, Па. Толщина E стенки ледопородного ограждения конечной протяженности [3]
E = R
1 +
(1 - m)P „J h Tm ( R
A
('-«ihj n
1
1-m
(13)
где т - коэффициент упрочнения замороженного грунта; Н - высота ледопородного цилиндра, м; 2, - параметр, характеризующий защемление торцов цилиндра. При выводе формулы (13)
использовалась гипотеза о том, что касательное напряжение хг2 вблизи торцов ледопородного
цилиндра ограниченной толщины зависит от вертикальной координаты Z линейно.
В [3] также получена толщина E стенки ледопородного ограждения неограниченной высоты:
При выводе (14) принималось, что касательное напряжение хг2 во всем объеме цилиндра равно нулю.
В ГОСТ 12248-2010 «Грунты. Методы лабораторного определения характеристик прочности и деформируемости» представлена методика определения нелинейных характеристик деформируемости мерзлого грунта по результатам испытания методом одноосного сжатия. Временная зависимость коэффициента нелинейной деформации замороженного грунта при этом имеет степенной вид:
где А - коэффициент нелинейной деформации замороженного грунта, рассчитанный для времени нагружения , равного 1 ч, Па.
Сравнительный анализ статических расчетов ледопородного ограждения
Для сравнения различных формул расчета толщины ледопородного ограждения рассмотрим слой глины с механическими свойствами, представленными в табл. 1. Использование формулы для расчета по предельным деформациям наряду с дополнительными материальными константами, описывающими процесс ползучести материала, требует задания условий строительства ледопородного ограждения (таких как допустимая высота неподкрепленного участка ледопородного ограждения, предельные деформации), условий взаимодействия незакрепленного участка ледопородного ограждения с подстилающим грунтом и конструкциями шахтного ствола. В силу этого является логичным отдельно провести сравнение формул, полученных из условия предельного напряженного состояния, и затем дополнительно сравнить результаты расчета с оценкой по предельным деформациям в конкретном технологическом процессе.
На рис. 2 представлены зависимости проектных толщин ледопородного ограждения для рассматриваемого слоя глины от глубины его залегания. Проектные толщины рассчитывались по формулам (1)-(3), (6), (9).
Из рис. 2 видно, что формула Ламе (1) дает наиболее завышенные значения и применима в данном случае только для глубин до 100 м. Формула Домке (2) дает хорошие результаты для глубин до 200 м, а после 300 м дает существенно завышенные результаты. Формула Вялова для условия предельного напряженного состояния (3) дает более высокие
(14)
(15)
значения толщины ледопородного ограждения, чем формула Домке для глубин до 170 м, в то время как при больших глубинах имеет более пологий вид и позволяет получить более адекватные значения для толщины ледопородного ограждения. Формула Янга (6), учитывающая деформируемость талого грунта, позволяет уменьшить проектную толщину ледопородного ограждения, рассчитанную по формуле Вялова, в среднем на 30-40 %. Формула Чжана (9), дополнительно учитывающая изменение толщины ледопородного ограждения вследствие его деформирования после проходки горной выработки, позволяет снизить проектную толщину ледопородного ограждения еще на 3-5 %.
Таблица 1
Прочностные свойства модельного слоя глины
Table 1
Strength properties of the model clay layer
Свойства Значения
Сцепление замороженного грунта, МПа 4,0
Угол внутреннего трения замороженного грунта, рад 8
Сцепление талого грунта, МПа 0,3
Угол внутреннего трения талого грунта, рад 15
Модуль сдвига талого грунта, МПа 38,5
Предел прочности замороженного грунта на сжатие, Па 8
Радиус ствола, м 5
Повышение давления бокового распора с увеличением глубины на 1 м, МПа 0,013
I, I / / / /
/ / / / /
/ / / / /
.'У / / .■■'
/ X / ' ' j/T, ^ ^ / V
100
200
300 /j, м
-Ламе, 1852
----Домке, 1915
Вялов, 1962
------Янг, 2013
--Чжан, 2018
400
500
600
Рис. 2. Зависимость различных формул для расчета толщины ледопородного ограждения по предельному напряженному состоянию Fig. 2. Various formulas for calculating the thickness of the frozen wall for the boundary state of stress
Сравнительный анализ формул (13) и (14) по предельным деформациям и формул (1) и (2) по предельным напряжениям проводился для условий строящегося рудника ОАО «Беларуськалий». На рис. 3 представлены расчетные толщины ледопородного огра-
ждения для 7 обводненных слоев горных пород на глубинах от 0 до 275 м. Формулы (3), (6) и (9) в данном случае не анализировались по причине отсутствия надежных экспериментальных значений для сцепления и угла внутреннего трения замороженных пород.
6
5
s 4 О
1. Глина 2. Алевриты 3. Песок 4. Мел 5. Песчаник 6. Глинистый 7. Аргиллитовая
песок глина
■ Ламе, 1852 "Домке, 1915 "Вялов, 1962 (огр. высота) ■ Вялов, 1962 (неогр. высота)
Рис. 3. Расчет проектной толщины ледопородного ограждения для строящихся
стволов рудника ОАО «Беларуськалий» Fig. 3. Calculation of the design thickness of the frozen wall for the constructed shafts
of the "Belaruskali" Company
Использованные при расчете прочностные свойства обводненных слоев горных пород представлены в табл. 2.
Таблица 2
Прочностные свойства обводненных слоев пород
Table. 2
Strength properties of water-saturated rock layers
Слой Глубина кровли, м Длительная прочность на сжатие (24 ч), МПа Коэффициент нелинейной деформации, МПа Коэффициент упрочнения
Глина 23,2 1,4 2,2 0,37
Алевриты 58,0 2,3 3,9 0,33
Песок 85,0 4,8 5,5 0,29
Мел 136,0 6,5 6,9 0,18
Песчаник 146,0 7,3 7,7 0,27
Глинистый песок 255,8 5,1 8,2 0,25
Аргиллитовая глина 275,0 8,6 9,8 0,14
Допустимое перемещение внутренней стенки ледопородного ограждения принималось равным 10 см. Внутренний радиус ледопородного ограждения равен 5,25 м.
Как видно из рис. 3, проектная толщина, рассчитанная по формуле Ламе, как и ранее, дает существенно завышенные значения для слоев горных пород начиная со 2-го.
Проектная толщина, рассчитанная по формулам (13) и (14) по предельным деформациям, выше толщины (2), рассчитанной по предельным напряжениям, на 25-220 %. Наибольшие расхождения наблюдаются для слоев горных пород с более выраженной ползучестью - глина и влагонасыщенный песок. При этом формулы расчета проектной толщины ледопородного ограждения по предельному напряженному состоянию не учитывают реологические свойства горных пород, которые заложены в уравнении состояния.
Заключение
В работе проведен анализ существующих методов расчета проектной толщины ледо-породного ограждения для шахтных стволов. Проведено количественное сравнение формул для расчета толщины ледопородного ограждения по критерию предельного напряжения. Показано, что:
1. Формула Ламе в рассматриваемом случае дает завышенные значения толщин ледо-породного ограждения и применима только для глубин до 100 м.
2. Формула Домке применима при глубинах до 200 м.
3. Формула Вялова по предельному напряженному состоянию имеет более пологий вид для глубин более 200 м по сравнению с формулами Домке и Ламе и применима для больших глубин.
4. Учет дополнительных факторов в формулах Янга и Чжана (действительных деформационных характеристик талого грунта, деформированного состояния системы до проходки ствола) позволяет снизить проектную толщину ледопородного ограждения еще на 32-43 %.
5. В случае ярко выраженной ползучести породы расчетная толщина ледопородного ограждения по предельным деформациям может существенно превышать расчетную толщину по предельным напряжениям. Это подтверждает вывод, сформулированный ранее в [4], что статический расчет защитных завес из замороженных грунтов должен производиться по двум предельным состояниям - предельному напряженному состоянию и предельным деформациям, а в процессе проектирования принимается во внимание наибольшее полученное значение. Расчет по предельным деформациям может быть произведен по формуле Вялова (12).
Благодарности
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда в рамках научного проекта № 17-11-01204.
Библиографический список
1. Чубик И.А., Маслов А.М. Справочник по теплофизическим характеристикам пищевых продуктов и полуфабрикатов. - М.: Пищевая промышленность, 1970. - 184 с.
2. Harris J.S. Ground Freezing in Practice. - Thomas Telford Limited, 1995. - 290 p.
3. Вялов С.С. Прочность и ползучесть мерзлых грунтов, и расчеты ледогрунтовых ограждений. - М.: Изд-во Академии наук СССР, 1962. - 253 с.
4. Трупак Н.Г. Замораживание горных пород при проходке стволов. - М.: Углетехиз-дат, 1954. - 896 с.
5. Маньковский Г.И. Специальные способы проходки горных выработок. - М.: Угле-техиздат, 1958. - 454 с.
6. Амосов П.В., Лукичев С.В., Наговицын О.В. Влияние пористости породного массива и температуры хладоносителя на скорость создания сплошного ледопородного ограждения // Вестник Кольского научного центра РАН. - 2016. - № 4 (27). - С. 43-50.
7. Левин Л.Ю., Семин М.А., Паршаков О.С. Математическое прогнозирование толщины ледопородного ограждения при проходке стволов // ФТПРПИ. - 2017. - № 5. - С. 154-161.
8. Левин Л.Ю., Семин М.А., Зайцев А.В. Решение обратной задачи Стефана при анализе замораживания грунтовых вод в породном массиве // Инженерно-физический журнал. -2018. - Т. 91, № 3.
9. Modeling heat transfer between a freeze pipe and the surrounding ground during artificial ground freezing activities / M. Vitel, A. Rouabhi, M. Tijani, F. Guerin // Computers and Geotechnics. - 2015. - Vol. 63. - P. 99-111.
10. Andersland O.B., Ladanyi B. An introduction to frozen ground engineering. - Springer US, 1994. - 352 p.
11. Finite Element Modeling and Analysis for Artificial Ground Freezing in Egress Shafts / Y.S. Kim, J.-M. Kang, J. Lee, S.-S. Hong, K.-J. Kim // KSCE Journal of Civil Engineering. -2012. - Vol. 16, no. 6. - P. 925-932.
12. Plastic design theory of frozen soil wall based on interaction between frozen soil wall and surrounding rock / W.-H. Yang, Z.-B. Du, Z.-J. Yang, D.-L. Bo // Chinese Journal of Ge-otechnical Engineering. - 2013. - Vol. 35, no. 10. - P. 1857-1862.
13. Zhang B., Yang W., Wang B. Plastic Design Theory of Frozen Wall Thickness in an Ultradeep Soil Layer Considering Large Deformation Characteristics // Mathematical Problems in Engineering. - 2018. - 10 p.
14. Wang Y.S., Yang Z., Yang W. Viscoelastic analysis of interaction between freezing wall and outer shaft wall in freeze sinking // The 6th International Conference on Mining Science & Technology. - 2009. - P. 612-620.
15. Sanger F.J., Sayles F.H. Thermal and rheological computations for artificially frozen ground construction // Engineering Geology. - 1979. - Vol. 13. - P. 311-337 DOI: 10.1016/0013 -7952(79)90040-1
References
1. Chubik I. A., Maslov A. M. Spravochnik po teplofizicheskim harakteristikam pishchevyh produktov i polufabrikatov [Reference book on thermophysical characteristics of food products and semi-finished products]. Moscow, Pishchevaya promyshlennost', 1970, 184 p.
2. Harris J.S. Ground Freezing in Practice. Thomas Telford Limited, 1995, 290 p.
3. Vyalov S.S. Prochnost' i polzuchest' merzlyh gruntov, i raschety ledogruntovyh ograzhdenij [Strength and creep of frozen soils, and calculations of ice-ground fences]. Moscow, Akademiia nauk SSSR, 1962, 253 p.
4. Trupak N.G. Zamorazhivanie gornyh porod pri prohodke stvolov [The freezing of rocks in the shaft sinking]. Moscow, Ugletekhizdat, 1954, 896 p.
5. Man'kovskij G.I. Special'nye sposoby prohodki gornyh vyrabotok [Special methods of excavation]. Moscow, Ugletekhizdat, 1958, 454 p.
6. Amosov P.V., Lukichev S.V., Nagovicyn O.V. Vliyanie poristosti porodnogo massiva i temperatury hladonositelya na skorost' sozdaniya sploshnogo ledoporodnogo ograzhdeniya [The influence of porosity of rock mass and coolant temperature on the rate of creation of a solid ice barrier]. Vestnik Kol'skogo nauchnogo centra RAN, 2016, no. 4 (27), pp. 43-50.
7. Levin L.Yu., Semin M.A., Parshakov O.S. Mathematical prediction of frozen wall thickness in shaft sinking. Journal of Mining Science, 2017, vol. 53, no. 5, pp. 154-161.
8. Levin L.Yu., Semin M.A., Zaitsev A.V. Solution of an inverse Stefan problem in analyzing the freezing of groundwater in a rock mass. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2018, vol. 91, no. 3, pp. 611-618.
9. Vitel M., Rouabhi A., Tijani M., Guerin F. Modeling heat transfer between a freeze pipe and the surrounding ground during artificial ground freezing activities. Computers and Geotechnics, 2015, vol. 63, pp. 99-111.
10. Andersland O.B., Ladanyi B. An introduction to frozen ground engineering. Springer US, 1994, 352 p.
11. Kim Y.S., Kang J.-M., Lee J., Hong S.-S., Kim K.-J. Finite Element Modeling and Analysis for Artificial Ground Freezing in Egress Shafts. KSCE Journal of Civil Engineering, 2012, vol. 16, no. 6, pp. 925-932.
12. Yang W.-H., Du Z.-B., Yang Z.-J., Bo D.-L. Plastic design theory of frozen soil wall based on interaction between frozen soil wall and surrounding. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, vol. 35, no. 10, pp. 1857-1862.
13. Zhang B., Yang W., Wang B. Plastic design theory of frozen wall thickness in an ultradeep soil layer considering large deformation characteristics. Mathematical Problems in Engineering, 2018, 10 p.
14. Wang Y.S., Yang Z., Yang W. Viscoelastic analysis of interaction between freezing wall and outer shaft wall in freeze sinking. The 6th International Conference on Mining Science & Technology, 2009, pp. 612-620.
15. Sanger F.J., Sayles F.H. Thermal and rheological computations for artificially frozen ground construction. Engineering Geology, 1979, vol. 13, pp. 311-337. DOI: 10.1016/0013-7952(79)90040-1.
