Сравнительный анализ результатов использования рекуррентных алгоритмов в задачах восстановления линейных операторов динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕМИНАР 15

ДОКЛАД НА СИМПОЗИУМЕ «НЕДЕЛЯ ГОРНЯКА - 99» МОСКВА, МГГУ, 25.01.99 - 29.01.99

А.В. Шаронов, проф., д.т.н., А.А. Королев, асп.,

МАИ МГГУ

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ В ЗАДАЧАХ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Сокращение сроков разработки технических систем в немалой степени зависит от эффективности процесса экспериментальных исследований, призванных подтвердить или опровергнуть принятую при проектировании математическую модель объекта. Для проведения таких экспериментов служат автоматизированные системы испытаний (АСИ), объединяющие в себе специальное стендовое оборудование, вычислительные машины разных классов и сопровождающее обеспечение: математическое, программное и организационно-методическое.

Схема эксперимента по оценке параметров динамических систем приведена на рис. 1. Представленная схема позволяет выделить основные задачи математического обеспечения АСИ[1]:

♦ Оценка идентифицируемости объекта исследования;

♦ Выбор рационального места закрепления датчиков информационно-измерительной системы (ИИС) на объекте исследования и определение оптимальных моментов времени проведения измерений при ограничении на их число;

♦ оценка векторов параметров и состояния объекта исследования;

♦ выбор оптимальных условий проведения испытаний;

♦ анализ влияния ошибок воспроизведения имитатором условий проведения испытаний на качество оценки вектора параметров.

Лишь некоторые из перечисленных задач математического обеспечения реализуются в блоке «Вычислительное устройство». Структурная схема вычислительного устройства представлена на рис.2. Разработка блока вычисления оценок параметров является одной из важнейших задач при проектировании вычислительного устройства. Эта задача связана с выбором подходящего алгоритма идентификации.

Достаточно хорошо развитая теория задач получения оценок параметров по результатам измерений объединяет лишь подходы, основанные на принципе совместной обработки результатов испытаний. Анализ и систематизация таких алгоритмов приведена в [2]. Алгоритмы, реализованные по этому принципу, не учитывают специфических особенностей организации процесса наблюдения за динамическим объектом в процессе испытаний и, как следствие, не позволяют получать оценки в реальном масштабе времени.

Свободными от указанного недостатка являются рекуррентные (адаптивные) алгоритмы, принадлежащие либо множеству абсолютно оптимальных, либо

множеству оптимальных на классах алгоритмов. В этой связи представляется целесообразным рассмотреть некоторые из них.

Работоспособность алгоритмов восстановления линейных операторов, включаемых в математическое обеспечение АСИ, определяется несколькими основными факторами: скоростью сходимости, устойчивостью к малым изменениям априорной информации и затратами на реализацию.

Поскольку адаптивные алгоритмы обладают как правило асимптотическими свойствами, а их перенос на ограниченные промежутки времени, определяемые длительностью испытаний, связан с разработкой конструктивных математических методов, то необходимо по крайней мере осуществить простейший анализ, основанный на сравнении результатов численного моделирования. Итак, сравнительный анализ алгоритмов решения задачи восстановления линейного оператора проводится для математической модели динамического объекта вида

у = A • у + B • X +n, y(t=0)=y(0), (1)

где yT=(y1, ..., yn) - вектор состояния математической модели,

А (a2 11

A = ^ oj - матрица восстанавливаемого линей-

ного оператора, BT=(b2, b1) - векторный коэффициент усиления, который может быть так же неизвестен, x(t) - скалярная модель условий проведения испытаний, n(t) - гауссовский вектор ошибок в канале управления с известными числовыми характеристиками. Результаты наблюдения имеют вид

~(t) = с • у + £,

где С=(1, 0), Е, - гауссовская ошибка наблюдений с известными характеристиками.

Примем для определенности te[0, 20],

yT(t=0)=(0,0), а истинные значения оцениваемых параметров aT=(-3, -1), BT=(3, 2),

M§(t)=0, M|(t)|(s)=0.015(t-s), Mn(t)=0,

Mn(t)n(s)=10-4 5(t-s), M|(t)n(t)=0. x (t) є {x : exp{- 0.5 • t},Sin(2 • t),0.5 • S int + Sin2t}

При решении указанной задачи будем использовать три адаптивных алгоритма: алгоритм Калмана, адаптивный алгоритм метода наименьших квадратов (РМНК) и алгоритм Крезелмейера, которые при своей реализации на ЦВМ порождают соответствующие

Рис. 1 Схема эксперимента по оценке параметров динамических систем

1

Управление

измерениями

Рис. 2 Структура вычислительного устройства

рекуррентные процедуры вычисления оценок. В дальнейшем везде будем принимать а10=-2, а2о=-4, Ъю=2, Ь20=3, Д1=10-3 - шаг интегрирования.

Заметим, что применение алгоритма Калмана в задаче восстановления линейного оператора предполагает расширение вектора состояния исходной модели

(1). Полученная таким способом модель нелинейна относительно расширенного вектора состояния и поэтому построение алгоритма Калмана может осуществляться по двум направлениям. Первое направление: построение алгоритма Калмана для нелинейной модели и связанная с этим необходимость анализа достаточно тонких математических вопросов нелинейной теории фильтрации гауссовских последовательностей или процессов.

Второе направление использует гипотезу о допустимости линеаризации математической модели относительно оценок, полученных на предыдущих шагах, и, следовательно, приводит к построению алгоритма Калмана, использующего аппроксимацию первого порядка. Именно этот подход, реализованный по схеме

(2) применялся для решения сформулированной зада-

4 і 1999

чи восстановления линейного оператора, блок-схема которого представлена на рис. 3.

у = A • у + K (t) • (~ - С • у), y(t = 0) = у(0),

K(t) = P(t) • Ст • R-l(t),

P = A • P -P • AT -P • Ст • R-1 • С • P + Q, P (t = 0) = P (0),

(2)

где Q - неотрицательно определенная матрица, характеризующая свойства ошибки в модели объекта, R - положительная матрица, характеризующая свойства ошибки наблюдения.

Результаты решения задачи для различных условий проведения испытаний x(t) представлены на рис. 4 и рис. 5, при этом в программе принималось P(0)=E. Их анализ показывает, что скорость сходимости ошибок оценок не слишком велика, что связано с использованием аппроксимации первого порядка. Выигрыш в скорости сходимости может быть достигнут за счет применения аппроксимации второго порядка с не всегда приемлемой ценой значительного усложнения вычислительных процедур и необходимостью проведения дополнительных теоретических исследований сходимости.

Пусть теперь для восстановления линейного оператора используется алгоритм Кре-зелмейера, реализованный по схеме

р = G •$• (~-фт • р\ p(t = 0) = 0,

<p(t) = LT • Ст, (3)

L = A0 • L + E[~(t): x(t)] L (t = 0) = 0,

где A0 - гурвицева матрица, образуемая матрицей А модели (1) при задании соответствующих априорных значений неизвестных параметров, р - вектор оценки неизвестных параметров математической модели объекта, G - положительно определенная матрица усиления.

Блок-схема алгоритма приведена на рис. 6.

При математическом моделировании процесса решения предполагалось, что условиям проведения испытаний x(t)=exp{-0.5t} соответствует диагональная матрица G=diag(6, 10, 25, 25); x(t)=Sin2t соответствует G=diag(6, 8, 35, 30), а x(t)=0.5Sint+Sin2t соответствует G=diag(8, 9, 35, 31).

Результаты решения, так же как и в предыдущем случае, представлены зависимостями изменения абсолютных значений ошибок оценок неизвестных параметров и приведены на рис. 7, рис. 8.

Сравнение характера поведения на конечных промежутках времени ошибок оценок алгоритма Крезелмейе-ра указывает на существование связи между скоростью

109

сходимости и условиями проведения испытаний, задаваемых своими математическими моделями x(t).

И, наконец, пусть восстановление линейного оператора проводится с использованием алгоритма РМНК:

S0(k) = Q -1 (k) • [(k -1) • [(k -1) + HT (k) • z * (k)], ](0) = 0, Q(k) = Q(k -1) + HT (k) • H (k), Q(0) * 0,

d$(k)

H (k) = С •^^-, H (0) = 0.

SO(k)

(4)

где Sd - отклонение вектора неизвестных параметров от истинного значения.

Блок-схема алгоритма приведена на рис. 9, результаты решения на рис. 10, рис. 11.

Моделирование проводилось в среде MathCad 6.0 Professional Edition.

При графическом отображении результатов моделирования были использованы следующие обозначения:

........................... - для результатов, полученных при x(t) = exp{-0.5t},

--------------------------- - при x(t) = Sin2t,

--------------------------- - при x(t) = 0.5Sint+Sin2t.

Итак, сравнение результатов решения модельной задачи восстановления линейного оператора, полученных различными адаптивными алгоритмами, работающими в реальном масштабе времени, показывает, что:

♦ скорость сходимости расширенного адаптивного алгоритма Калмана получилась неудовлетворительной. Этот результат может объяснятся использованием для линеаризации расширенной модели операции аппроксимации первого порядка,

♦ скорость сходимости рекуррентного алгоритма метода наименьших квадратов несколько выше,

♦ наиболее приемлемым с точки зрения скорости сходимости оценок является алгоритм адаптивного наблюдателя,

♦ скорость сходимости адаптивных алгоритмов может изменяться в зависимости от условий проведения испытаний, задаваемых моделью х(1),

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации. М: Наука, 1995.

2. Шаронов А.В. Синтез квазиоптимального воздействия при параметрической идентификации динамических систем в процессе экспериментальных исследований //АН СССР, Вопросы кибернетики, Управление движущимися объектами, 1985.

3. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. Детерминированное наблюдение и стохастическая фильтрация. М: Наука, 1982.

4. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М: Мир, 1973.

© А.В. Шаронов, А.А. Королев

4 è 1999

109

110

ГИАБ

Файл:

Каталог:

Шаблон:

Заголовок:

Содержание:

Автор:

Ключевые слова: Заметки:

Дата создания:

Число сохранений: Дата сохранения: Сохранил:

Полное время правки: Дата печати:

При последней печати страниц: слов: знаков:

КОРОЛЕВ

в:\С диска по работе в универе\01АВ_99\01АБ4_99\Все С:\и8еге\Таня\АррБа1а\Коат1^\М1сго80й\ШаблоныШогта1Ло1т

2

Гитис Л.Х.

16.06.1999 7:49:00

3

16.06.1999 8:08:00 Гитис Л.Х.

17 мин.

14.12.2008 20:27:00 5

1 396 (прибл.)

7 960 (прибл.)