CC BY
30
УДК 621.83.06
М. Е. Лустенков, И. И. Маковецкий, Е. С. Лустенкова, Ю. В. Машин, В. Л. Комар
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ЦЕНТРОВЫХ КРИВЫХ КУЛАЧКОВЫХ ПРОФИЛЕЙ СФЕРИЧЕСКИХ РОЛИКОВЫХ ПЕРЕДАЧ
UDC 621.83.06
M. E. Lustenkov, 1.1. Makovetsky, E. S. Lustenkova, Y. V. Mashin, V. L. Komar
COMPARATIVE ANALYSIS OF VARIOUS TYPES OF CENTER CURVES OF CAM PROFILES IN SPHERICAL ROLLER TRANSMISSIONS
Аннотация
Рассмотрены вопросы проектирования механических передач с промежуточными телами качения (роликами). Траектории центров масс роликов располагаются на сферических поверхностях. Получены уравнения координат точек центровых кривых кулачковых профилей для изготовления сферических кулачков, образующих многопериодную беговую дорожку. Разработаны компьютерные модели передач с разными типами центровых кривых. Приведены результаты сравнительного анализа кинематических характеристик редуктор-ных механизмов по критерию минимальной кинематической погрешности.
Ключевые слова:
сферический механизм, механическая передача, редуктор, ролик, кулачок.
Abstract
The paper deals with the design of mechanical transmissions with intermediate rolling elements (rollers). The trajectories of centers of mass of the rollers are arranged on a spherical surface. The equations for the coordinates of points of center curves of cam profiles were obtained to manufacture spherical cams, forming a multi-period racetrack. Computer models of transmissions with different types of center curves were developed. The results of a comparative analysis of kinematic characteristics of reducing mechanisms according to the minimum kinematic error criterion are given.
Key words:
spherical mechanism, mechanical transmission, speed reducer, roller, cam.
Введение и постановка задачи
Разработка малогабаритных и энергоэффективных редукторных узлов позволяет снизить материалоемкость привода, его размеры и энергопотребление. В качестве соосных встраиваемых редукторных модулей в приводах технологического оборудования и робототех-нических комплексов широко используют планетарные зубчатые передачи, сконструированные по схеме 2К-И с тремя или четырьмя сателлитами [1]. В Белорусско-Российском университете разрабатываются сферические ролико-
вые передачи (СРП) как разновидность механизмов из класса передач с промежуточными телами качения (ППТК) [2]. В СРП центры масс тел качения (роликов) в процессе работы передачи перемещаются по траекториям, расположенным на сферических поверхностях. Передача мощности по множеству параллельных потоков и замена скольжения качением позволяют рассматривать СРП как потенциально перспективные элементы механических приводов. Для внедрения в промышленность необходимо разработать теоретические основы расчета и проектирования данных передач.
© Лустенков М. Е., Маковецкий И. И., Лустенкова Е. С., Машин Ю. В., Комар В. Л., 2017
В СРП ролики, установленные в одном из звеньев передачи - генераторе, своими концами сферической формы взаимодействуют с пространственной замкнутой периодической беговой дорожкой. Беговая дорожка образуется рабочими поверхностями двух сферических торцовых кулачков, закрепленных в корпусе редуктора. Кулачковый профиль изготавливается на станках с ЧПУ сферической фрезой, центр которой перемещается по кривой, называемой центровой кривой кулачковых профилей. Определение параметров центровых кривых для СРП является важной задачей в теории ППТК,
Модель передачи и вывод уравнений центровых кривых
Рассмотрим модель сферической передачи, приведенную на рис. 1. Ее
прототипом является синусошариковая передача [3], в которой траектории центров масс шариков расположены на цилиндрических поверхностях. Тела качения при этом не закреплены на общем основании. Предположим существование трех сферических поверхностей с одинаковым радиусом Я, одна из которых связана с ведущим валом передачи и содержит кривую 1, вторая связана с ведомым валом и содержит кривые 2, а третья связана с корпусом и содержит кривую 3. Точки пересечения кривых 1 и 3 первой группы [3] обозначены Р
На рис. 1 параметр А' - это проекция амплитуды центровых кривых на плоскость, касательную к сферической поверхности и параллельную оси 02. Сама амплитуда определяется как А = Я-0.
Рис. 1. Модель сферической ППТК: 1 - однопериодная центровая кривая; 2 - траектории центров масс тел качения относительно сепаратора; 3 - многопериодная центровая кривая
Ранее были получены параметрические уравнения семейства центро-
вых кривых [4]
X
(ф)=
Я • соб (©)• соб (ф)
(1)
у](Ф)=
(ф) =
Я • соб (©)• Бт (ф)
Я • Бт (©)• Бт (ZJ -ф)
(2)
(3)
где ] - индекс принадлежности параметра беговой дорожке, образованной внутренними (1) или наружными (3) кулачками; ф - центральный угол, отсчитываемый в экваториальной плоскости (хОу) основной сферической поверхности, ф = 0.,.2-п; Zj - числа периодов центровой кривой; 0 - постоянный коэффициент, 0 = А/Я.
При данном виде центровых кривых ведущее звено передачи имеет беговую дорожку в форме кольцевой канавки, а центровая кривая кулачковых профилей - окружность.
Беговые дорожки, изготовленные по центровым кривым, описываемым уравнениями (1)-(3), не обеспечивают постоянства мгновенного передаточного отношения сферических ППТК. Возникает погрешность, которая компенсируется увеличенными зазорами в зацеплении. Эта погрешность растет с увеличением параметра 0 [5]. В связи с этим была предпринята попытка получить уравнения центровой кривой, взаимодействующей с центровой кривой в виде окружности, т. н. «механическим» методом. Метод предполагает вращение с заданным шагом однопериодной кривой (окружности), наклоненной к
оси 02, вокруг этой оси. Одновременно производится наблюдение за траекторией движения одной из точек, принадлежащей этой окружности. При этом на параметры движения исследуемой точки налагаются геометрические и кинематические зависимости, связанные с вращением ведомого звена механизма. Схожий метод без математического обоснования описан в [6].
Координаты окружности 1, лежащей в плоскости хОу, с центром в точке О описываются параметрическими уравнениями, которые представлены в виде матрицы
С (ф ) =
^ Я •соб(ф ) Я • Бт (ф ) 0
(4)
При этом центральный угол изменяется в диапазоне ф = 0.2-п. Однопе-риодная центровая кривая, рассматриваемая в начальный момент времени, представляет собой окружность, лежащую в плоскости, образующую с осью Оу угол 0. Оператор поворота окружности на данный угол описывается матрицей
М (х, у, 2, ©) =
соб (
(©) + (! - СОБ (©))• х2 (1 - СОБ (©))• X • у - ЯП (©)• 2 (1 - СОБ (©))• X • 2 + БШ (©) • у
(1 - соб (©)) • у • X+БШ (©) • 2 соб (©) + (1 - соб (©))• у2 (1 - соб (©))• у • 2 - Бт (©) • X (1 - соб (©))• 2 • X - Бт (©)• у (1 - соб (©))• 2 • у + ЯП (©)• X соб (©) + (1 - соб (©))• 22
г
Ось поворота задается ее ортом (вектором единичной длины), направленным вдоль оси, относительно которой осуществляется поворот против хода часовой стрелки. Чтобы получить
уравнения окружности, повернутой относительно оси Ох на угол 0, воздействуем оператором М на матрицу С. Получим
С (ф, 0)= М (1,0,0,0)С (ф ) =
Я•соэ(ф) Я • соэ (0) эт(ф) Я • эт (0) эт (ф)
(6)
Рассмотрим некоторую точку на наклоненной окружности (например, Рз) на рис. 1. При повороте сферической поверхности, связанной с ведущим валом передачи, с расположенной на ней окружностью на некоторый угол ф1 относительно оси 02 рассматриваемая точка Рз (назовем ее задающей точкой) переместится таким образом, что проекция отрезка, соединяющая ее с началом координат в плоскости, перпендикулярной оси 02, также будет составлять с осью 0х угол ф1. Искомая точка, принадлежащая сферической поверхности, связанной с ведомым валом, в
плоскости хОу должна переместиться на угол ф2 = ф1/, т. е. отстать от задающей ее точки на угол (1 - 1/ )ф1,
но при этом остаться на окружности (однопериодной кривой).
Чтобы найти уравнения многопе-риодной беговой дорожки, связанной с неподвижной сферической поверхностью, необходимо рассмотреть точку, имеющую угловую координату (1 - 1/ )ф1, и затем переместить ее
относительно оси 02 с помощью оператора поворота М на угол ф, т. е.
(7)
С2 (ф, 43), 0)=М (1,0,0,0)С
Г (
1 -
,(3)
ф, 0
V V '12
В результате вычислений по формуле (7) получаем матрицу С2 с координатами траектории центра тела качения при многопериодной кривой, взаимодействующей с кривой в виде окружно-
сти, обеспечивающей постоянство мгновенного передаточного отношения. Эти координаты определяются по следующим формулам:
(г
х
(ф ) = Я •
соэ
1
1 -
чч 12 у
Л Л • ф
соэ
(ф)+
Б1П
у
"1 -1-Л
1 7(3) чч 12 у
• ф
соэ (0) э1п (ф )
(8)
у (ф ) = Я •
Г ^ 1 Л Л
соэ
1 -
_•( 3)
• ф
• э1п (ф )- э1п
((
V чч '12 у у
1-
Ж
Л
У
• ф
чч '12 У У Л Л
соэ (0) соэ (ф )
2 (ф) = -Я ^
эт
У (3)
•ф
•эт (0) .
(9)
(10)
чч '12 у
При изменении угла ф от 0 до 2п однопериодная кривая совершит полный оборот вокруг оси О2. При этом положение центра масс тела качения Р3 на многопериодной кривой будет определяться центральным углом, равным
2 п/. Для получения параметрических уравнений многопериодной кри-
вой, а точнее - семейства кривых, необходимо в формулы (8)-(10) вместо ф
•(3) О
подставить /{2 ф. В результате с учетом зависимости для первой кинематической схемы передачи = 1 + Zз [4] получим
X(ф) = Я•(соб( • ф)• СОБ((3 +1)-ф) + Бт(3 • ф)• Бт((3 +1)-ф)• СОБ(©)); (11) у (ф) = Я •(соб (3 • ф)• Бт ((3 + !)• ф)- Бт (3 • ф)• соб ((3 +1) ф)• соб (©)); (12)
2 (ф) = Я • Бт (Z3 • ф) • Бт (©).
На рис. 2 показаны сферические центровые кривые со следующими параметрами: Я = 40 мм, А = 12 мм, Zl = 1, Zз = 5. Установлено, что для четных зна-
(13)
чений передаточных отношений и чисел тел качения соответственно полученные траектории обладают центральной симметрией (относительно точки О).
Рис. 2. Сферические центровые кривые: 1 - основная сфера; 2 - однопериодная центровая кривая (окружность); 3 - центровая кривая, построенная про уравнениям (11)—(13); 4 - центровая кривая, построенная по уравнениям (1)-(3)
Сравнительный анализ двух типов центровых кривых
Исследуем, как изменяется расстояние между центрами масс роликов двух типов сферических кривых с указанными выше параметрами. Для этого у обоих типов кривых рассматривались точки пересечения с индексами m = 0 и m = 1. Параметр ф заменялся на параметр ф - 2пт/п, где m - номер тела качения (0 и 1), п - число тел качения в передаче, равное передаточному отно-
шению. При перемещении двух точек по многопериодной кривой (изменении угла ф от 0 до 2 п) центральный угол между ними в плоскости х0у оставался постоянным и равным 2п/п. Таким образом, в модели изначально обеспечивалось постоянство мгновенного передаточного отношения. При этом использовались уравнения (11)—(13) для одной кривой с указанными выше параметрами и уравнения (1)-(3). Вычислялось расстояние d между соседними точками пересечения кривых по формуле
dl
(ф ) = >/(
^0 - хи ) + (Ук0 - УИ ) +(0 - % )
(14)
где к - вид кривой: 1 - кривые по уравнениям (1)-(3); 2 - кривые по уравнениям (11)-(13).
Результаты расчетов показаны на рис. 3.
Рис. 3. Расстояние между центрами масс соседних тел качения: 1 - ¿ь 2 - ё2
Установлено, что расстояние между двумя точками пересечения центровых кривых (окружности и кривой, построенной по уравнениям (11)—(13))
остается постоянным при любом числе тел качения (четном и нечетном).
Компьютерное моделирование передач проводилось в системе КХ [7].
устранения интерференции контактирующих тел в основном для компенсации неточностей положения роликов при установке их в сборку из-за округления значений координат. Наружный диаметр внутреннего кулачка Л2 = 78 мм, внутренний диаметр наружного кулачка Д31 = 82 мм (стенка сепаратора имела толщину 2 мм).
Рис. 4. Общий вид параметрической модели сферической трехзвенной передачи: 1 - внутренний кулачок (сделан прозрачным); 2 - сепаратор; 3 - наружный кулачок; 4 - тела качения (шарики); 5 - однопериодная беговая дорожка; 6 - многопериодная беговая дорожка; 7 - меридиональные пазы сепаратора
Сравниваемые модели передач (рис. 4) имели одинаковые параметры: R = 40 мм,
A = 5 мм, Zi = 1, Z3 = 5, = 6,
rs = 2,99 мм (радиус профиля беговой дорожки). Беговые дорожки формировались в системе NX в блоке Modelling инструментом Tube с наружным радиусом rp = 3 мм. Зазор Ars = 0,01 мм на радиус тела качения (0,02 мм на диаметр) был смоделирован для
В модуле системы NX Motion simulation ведущему элементу с однопе-риодной беговой дорожкой сообщалось вращение с постоянной частотой вращения Ю1 = 6 с-1. Контакт тел качения и поверхностей основных элементов передачи моделировался с помощью инструмента 3D-Contact c одинаковыми параметрами для обеих передач для всех деталей: коэффициент жесткости c = 100 000 H/мм, экспоненциальный показатель жесткости ne = 2, коэффици-
ент демпфирования материала ц = 10 H c/мм. Кулоновское трение в контактах не учитывалось.
Обе модели механизмов имели 37 степеней подвижности с учетом дублирующих связей (Gruebler count = 37). Для расчета использовался решатель Re-curDyn, время расчета - 1 с, число шагов - 1200. Наблюдаемым параметром являлась мгновенная угловая скорость (частота вращения) ведомого вала (сепаратора) Ю2. Результаты для двух
передач в виде графиков в сопоставимом масштабе показаны на рис. 5. Колебания мгновенных значений угловых скоростей Ю2 обусловлены наличием зазоров, устанавливаемых в модели, мо-
делированием физических свойств материалов тел (упругость, жесткость), алгоритмом вычислений, предполагающих многочисленные итерации на каждом из шагов вычислений.
а)
8,0 мин-1 6,0
га, 4,0
2,0
0,20 0,40 0,60 Г --
б)
8,0
мин 1 6,0
Щ 4,0 2,0
0,20
0,40
0,60
Ш1
(02 /
.........
0,80 с 1,00
С01
С02 /
0,80
1,00
Рис. 5. Изменение угловой скорости ведомого вала Ю2 для моделей СРП: а - с центровыми кривыми, описываемыми уравнениями (1)-(3); б - с центровыми кривыми, описываемыми уравнениями (11)-(13)
Выводы
Получены параметрические уравнения кривых, обеспечивающих постоянство мгновенного передаточного отношения и расстояний между центрами масс тел качения при работе передачи. Это означает, что от трехзвенной конструкции, включающей сепаратор, можно перейти к двухзвенной конструкции СРП, обладающей боль-
шей жесткостью и надежностью. При этом центры масс тел качения будут располагаться с равным шагом на окружности, наклоненной к оси 02 под углом 0, а сами тела качения (ролики) будут закреплены на одном из элементов СРП - генераторе. По структуре СРП приближаются к планетарным прецессионным передачам, обеспечивающим, однако, геометрическое замы-
кание высших кинематических пар и повышенную нагрузочную способность.
Результаты компьютерного моделирования показали более высокую стабильность мгновенного передаточного
отношения, чем в передаче с беговыми дорожками с центровыми кривыми по уравнениям, полученным ранее [4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Планетарные передачи : справочник / Под ред. В. Н. Кудрявцева, Ю. Н. Кирдяшева. - Ленинград : Машиностроение, 1977. - 536 с.
2. Становской, В. В. Передачи со свободными телами качения, обзор патентной литературы / В. В. Становской, Т. А. Ремнева, С. М. Казакявичус // Прогрессивные зубчатые передачи : сб. науч. тр. / Новоурал. гос. технол. ин-т ; редкол.: А. Е. Беляев [и др.]. - Новоуральск, 2003. - С. 61-94.
3. Игнатищев, Р. М. Синусошариковые редукторы : монография / Р. М. Игнатищев. - Минск : Вышэйшая школа, 1983. - 107 с.
4. Лустенков, М. Е. Передачи с промежуточными телами качения: определение и минимизации потерь мощности : монография / М. Е. Лустенков. - Могилев : Белорус.-Рос. ун-т, 2010. - 274 с.
5. Фитцова, Е. С. Оценка уравновешенности сферических передач с промежуточными телами качения / Е. С. Фитцова // Новые материалы, оборудование и технологии в промышленности : материалы Междунар. науч.-техн. конф. молодых ученых, Могилев, 30-31 окт. 2013 г. / Белорус.-Рос. ун-т ; редкол. : И. С. Сазонов [и др.]. - Могилев, 2013. - С. 49.
6. Сфероидный зубчато-винтовой механизм : пат. 109419 СССР : МПК 47h,6, 47h,7 / Д. С. Рабинович. - Опубл. 24.04.1951.
7. NX для проектирования [Электронный ресурс]: официальный сайт компании Siemens PLM Software. - Режим доступа: http://www.plm.automation.siemens.com/ru_ru/products/nx/for-design/index.shtml. -Дата доступа: 01.02.2017.
Статья сдана в редакцию 19 июня 2017 года
Михаил Евгеньевич Лустенков, д-р техн. наук, проф., Белорусско-Российский университет. E-mail: lustenkov@yandex.ru.
Илья Иванович Маковецкий, канд. физ.-мат. наук, доц., Белорусско-Российский университет. E-mail: i_makz@mail.ru.
Екатерина Сергеевна Лустенкова, маркетолог, Белорусско-Российский университет. E-mail: fittsova@gmail.com
Юрий Викторович Машин, канд. техн. наук, Белорусско-Российский университет. E-mail: xneon@mail.ru.
Виктор Леонидович Комар, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет.
Mikhail Evgenyevich Lustenkov, DSc (Engineering), Prof., Belarusian-Russian University. E-mail: lustenkov@yandex.ru
Ilya Ivanovich Makovetsky, PhD (Physics & Mathematics), Associate Prof., Belarusian-Russian University. E-mail: i_makz@mail.ru.
Ekaterina Sergeyevna Lustenkova, marketeer, Belarusian-Russian University. E-mail: fittsova@gmail.com. Yury Victorovich Mashin, PhD, Belarusian-Russian University. E-mail: xneon@mail.ru. Victor Vladimirovich Komar, PhD, Associate Prof., Belarusian-Russian University.
