CC BY
47
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
DOI: 10.24143/2072-9502-2019-1-119-128 УДК 519.23
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ СТРУКТУРНОЙ СТАБИЛЬНОСТИ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ ИХ ВРЕМЕННЫ1Х РЯДОВ1
Л. А. Ландман, А. В. Фаддеенков
Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Российская Федерация
Понятие структуры используется для обозначения совокупности устойчивых связей между основными частями объекта, в которых отражается его целостность и тождественность самому себе, т. е. сохранение основных свойств для широкого спектра внешних и внутренних изменений. Оно обычно соотносится с понятиями системы и организации. Структура выражает то, что остается устойчивым, относительно неизменным при различных преобразованиях системы. С течением времени происходят структурные изменения вследствие активной экономической политики либо в результате самопроизвольных, неуправляемых процессов. Поэтому желание выяснить, имели ли место на периоде наблюдения структурные изменения, и найти им отражение в спецификации модели выглядит вполне естественным. Рассматриваются основные идеи методов определения наличия структурных изменений в динамике временного ряда, таких как критерий Чоу, критерий Гуджарати, метод Пуарье. Исследование мощности проводилось для трех возможных случаев изменения тенденции временного ряда. При моделировании случайная ошибка моделировалась по стандартному нормальному закону распределения. В качестве модели временного ряда использовалась линейная модель множественной регрессии с тремя независимыми переменными. Оценивание вектора неизвестных параметров модели производилось методом наименьших квадратов. Для каждого из трех критериев проверка нулевой гипотезы о нестабильности временного ряда осуществлялась с применением ^-критерия, который предполагает нахождение остаточной суммы квадратов регрессионной модели и анализ соотношения между ее снижением и потерей числа степеней свободы. Также можно отметить, что уравнения Гуджарати и Пуарье имеют более сложную структуру, чем уравнения критерия Чоу, однако при использовании критерия Чоу приходится оценивать параметры трех уравнений регрессии.
Ключевые слова: временной ряд, тенденция, структурные изменения, критерий Чоу, критерий Гуджарати, метод Пуарье, мощность критерия, кусочная модель, критерий Фишера, сплайн.
Для цитирования: Ландман Л. А., Фаддеенков А. В. Сравнительный анализ различных методов оценки структурной стабильности объектов на основе их временных рядов // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 1. С. 119-128. DOI: 10.24143/2072-95022019-1-119-128.
Введение
Значения временного ряда формируются под воздействием большого количества различных показателей. Кроме факторов, определяющих долгосрочные тенденции, циклические и сезонные колебания, на динамику изучаемого признака могут оказывать влияние единовременные
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по государственному заданию (проект 2.7996.2017/8.9).
качественные изменения экономической ситуации, которые обычно вызваны событиями глобального характера, а также изменениями рыночной ситуации. Они приводят к изменению параметров
ТЛ *
тренда, описывающего эту динамику. В момент времени t значительно изменяется влияние ряда факторов на изучаемый показатель. Возникает вопрос о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер тенденции изменения изучаемого показателя [1-4]. Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т. е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t и после него) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии. Если структурные изменения незначительно влияли на характер тенденции ряда, то ее можно описать с помощью уравнения, единого для всей совокупности данных.
Основная цель анализа структурных изменений во временных рядах заключается в обосновании выбора между единой моделью, построенной на всем рассматриваемом промежутке времени, и кусочной моделью, составленной из двух отдельных моделей, построенных на промежутках времени до t и после. Каждая из представленных моделей обладает своими характерными особенностями. Очевидным преимуществом кусочной модели является ее большая гибкость, позволяющая более точно описывать исходные данные. Для простоты изложения предположим, что временной ряд не подвержен влиянию сезонных и циклических воздействий или их воздействие каким-либо образом оценено, а соответствующие компоненты исключены из временного ряда.
Критерий Чоу
Основные идеи этого критерия состоят в следующем. Пусть T(t) - единая модель временного ряда. Предположим, что с момента времени t наблюдаются структурные изменения в рассматриваемой экономической ситуации.
Кусочная модель в этом случае может быть записана в следующем виде:
[71(0, t < t';
T1+2(t) = J s *'
[ад, t fc t,
где T1(t) - модель временного ряда, построенная на промежутке до t; T2(t) - модель временного
*
ряда, построенная на промежутке после t .
Будем считать, что модели T(t), T1(t) и T2(t) имеют одинаковую структуру и поэтому характеризуются одним и тем же числом параметров k, N, N1, N2 - количество наблюдений, использованное для построения моделей T(t), T1(t), T2(t) соответственно [1].
Использование критерия Чоу предполагает нахождение остаточной суммы квадратов, соответствующей кусочной модели, и остаточной суммы квадратов, соответствующей единой модели.
Остаточная сумма квадратов, соответствующая кусочной модели, определяется следующим образом:
ESS1+2 = ESS1 + ESS2,
где ESS1 - остаточная сумма квадратов, соответствующая первой модели; ESS2 - остаточная сумма квадратов, соответствующая второй модели.
Сокращение остаточной суммы квадратов при переходе от единой модели к кусочной может быть найдено как разность:
AESS = ESS - ESS1+2.
Проверка гипотезы о структурной стабильности проводится с помощью статистики Фишера F = (AESS / k) / (ESS1+2 / (N - 2k)) = ((N - 2k) / k)(AESS / ESS1+2). (1)
Если предполагается, что случайные ошибки независимы и распределены по нормальному закону, то статистика (1) распределена по закону Фишера с числами степеней свободы
v1 = k и v2 = N - 2k.
Если F > FKp (a, v1, v2), где FKp (a, v1, v2) - критическое значение распределения Фишера для заданной вероятности ошибки а, то гипотеза не отвергается и для моделирования следует использовать кусочную модель. При F < FKp(a, v1, v2) гипотеза отвергается и следует предпочесть единую модель.
Критерий Гуджарати
Предположим, что с момента времени t наблюдаются изменения характера тенденции временного ряда. Будем предполагать, что структура моделей T1(t) и T2(t) одинакова, т. е.
Tl(t) = е01) +Q(1)fl(t) +... + Qffk (t); T2(t) = е02) + е(2)/1(о + ... + е£2)/к (t),
где f(t) - известные регрессионные функции времени; е01}, ...,е®,е02),...,ек2) - неизвестные параметры [1, 5].
Проверка гипотезы о структурной стабильности основана на построении вспомогательного регрессионного уравнения Гуджарати
x(t) = е01) +е0г) z (t)+е(1)^/lct)+е(1:,/де(о + ... +е£1)/к (t)+е£1)/к (t)z(t)+e(t), (2)
io, t < t*;
где Z (t) = J
[1, t > t*.
Очевидно, что уравнение (2) при t < t преобразуется к виду
x(t) = еО0 + е^/^) +... + е™/£ (t) + e(t) = T1(t) + e(t), а при t > t будет иметь вид
x (t) = (еО0 + е0г >) + (е« + е(г>) /1(t) +... + (е« + е£г>) /к (t) + e(t).
Проведя элементарные сопоставления параметров, получим
е0г 5 =е02) -е0°; е( г 5 =е(2) -е(1); ... ; е£г 5 =е£2) -е®.
Следовательно, функции T1(t) и T2(t) не будут отличаться только в том случае, если
е02> = 0; е(2) = 0; ... ;е£2) = 0 .
Таким образом, необходимо проверить гипотезы о значимости данных параметров, используя стандартные средства регрессионного анализа.
Уровень значимости регрессора j можно проверить с помощью F-критерия, основанного на том, что статистика
Fj = (RSSj / ESS)(N - m).
Вычисление RRSj производится следующим образом:
RSSj = ESS(j) - ESS,
где ESS(j) - остаточная сумма квадратов вспомогательной регрессионной модели, которая отличается от исходной только отсутствием в ней независимой переменной f (t).
Вычисление ESS осуществляется по формуле
N
ESS = £(y - yt)2.
1=1
Если хотя бы один параметров 90z),0(2), ..., ) окажется значимым, то гипотеза о структурной стабильности отвергается.
Критерий Пуарье
Критерий Пуарье основан на подходе сплайновой регрессии, набирающем популярность в последнее время [6-12]. В этом методе вводится понятие сетки. Сеткой называется произвольное
множество точек абсцисс А = {t*, t*, ..., t*} , где t* < t* <... < t*. При этом точки t*, t*, ..., t* называют узлами. Говорят, что y является линейным сплайном Sд (t) над А тогда и только тогда, когда y - непрерывная кусочно-линейная функция от t, график которой состоит из (k + 1) прямолинейных отрезков, расположенных над (k + 1) интервалами (—<*>; t*], [t*, t*], ..., [t*; <x>) соответственно [13].
Пусть изначально мы имеем модель вида
n
T(t) = e0 +YJQji (t) + s(t).
t=1
Теперь предположим, что в модели имеется k структурных изменений. Тогда наша модель примет вид
k+1
T2(t) = 7j(t) + Р11 + XPj « j (t), (3)
j=2
где ш j (t) =
* *
t-1. ,, t > t. ,; j-i' j-i'
0, t < t.
j -i
Коэффициент Р] представляет собой угловой коэффициент сплайна над первым интервалом, а каждый из следующих коэффициентов Р;- (/ = 2, 3, ..., k + 1) дает изменение углового коэффициента при переходе от интервала (/ - 1) к интервалу] соответственно.
Если = 0, то коэффициенты наклона над (/ - 1) и ] интервалами одинаковы, и тот факт,
что р; ф 0, вполне согласуется с представлением о том, что в точке tjпроисходит структурное изменение.
Таким образом, проверка гипотезы о структурной стабильности сводится к проверке на равенство нулю параметров Р;- уравнения (3). Фактически необходимо проверить гипотезы о значимости данных параметров, используя ^-критерий.
Результаты вычислительных экспериментов
Исследование мощности проводилось на основе методики Монте-Карло, активно используемой при решении аналогичных задач [14-19].
Мощность критерия относительно определенной альтернативы есть вероятность непринятия нулевой гипотезы в случае, когда на самом деле верна альтернативная гипотеза.
В нашем случае гипотеза о структурной стабильности имеет вид
Н0: {временной ряд структурно нестабилен}.
Алгоритм вычисления мощности критериев методом Монте-Карло:
1. Установить критическое значение Га для заданного уровня значимости а.
2. Установить т = 0.
3. Сгенерировать выборку Yn при верной гипотезе Но.
4. Вычислить значение ^п).
5. Если 5 ^п) попадает в критическую область Wa с заданным уровнем значимости а, то т = т + 1.
6. Повторять шаги 3-5 N раз.
Так как критерий Фишера является правосторонним, то мощность равна тШ.
Рассмотрим 3 варианта того, как может измениться тенденция временного ряда и как в этом случае будет выглядеть кусочная модель.
В первом случае моделирование данных происходило таким образом, чтобы график второй модели получался путем сдвига графика первой модели вдоль оси OY. Этот случай представлен на рис. 1 (в данном случае Л0 будет означать величину сдвига).
2 4 6 8 О 2 4 э о о ооооо
0 50 100 150 200 250 300
Моменты времени, Г
Рис. 1. Характер тенденции временного ряда 1 типа
Во втором случае моделирование данных происходило таким образом, чтобы график второй модели получался путем изменения тенденции первой модели на некоторый угол Л0. Этот случай представлен на рис. 2.
70 — —1—1—
60
50 40
30
20 1 * \
10
0
0 50 100 150 200 250 300
Моменты времени, Г
Рис. 2. Характер тенденции временного ряда 2 типа
В третьем случае моделирование происходило так, чтобы график второй модели получался путем изменения тенденции первой модели на некоторый угол Л0 и одновременно с этим происходил параллельный сдвиг графика первой модели вдоль оси О^ Этот случай представлен на рис. 3.
Рис. 3. Характер тенденции временного ряда 3 типа
При моделировании случайная ошибка моделировалась по стандартному нормальному закону распределения.
Проанализировав мощности критериев для трех случаев, мы видим, что в первом случае наиболее высокой мощностью обладает критерий Чоу, однако критерий Гуджарати лишь немного уступает в мощности (рис. 4).
а
(D
и &
Л
Н О
о и Ei
о
1,2 1
0,8 0,6 0,4 0,2 0
1
11
16
1*- «ч-
•1 ( —
■ 1 /
1 /
ц
1
1
1
t -
21
Критерий Чоу Критерий Гуджарати Критерий Пуарье
Л0
6
Рис. 4. Мощность критериев для тенденции 1 типа
Во втором случае наиболее мощным оказался критерий Пуарье, а критерий Чоу, наоборот, показал самую низкую мощность (рис. 5).
1,2
s 1 а
<и
к 0,8
н 0,6
о
о
к 0 4
Ei 0,4
о
2 0,2 0
It
0,5
1 , 5
де
- Критерий Чоу ■ Критерий Гуджарати Критерий Пуарье
Рис. 5. Мощность критериев для тенденции 2 типа
1
2
В третьем случае наибольшую мощность также показал критерий Пуарье (рис. 6).
а <и н
5
6
Л
н о о X
а
о
2 0,2
1,2 1 0,8 0,6 0,4
2
де
Критерий Чоу Критерий Гуджарати Критерий Пуарье
0
0
1
3
4
Рис. 6. Мощность критериев для тенденции 3 типа
Все оценки мощности критериев вычислялись при количестве повторений метода Монте-Карло, равном 1 000 итераций.
Заключение
В ходе работы были рассмотрены критерии Чоу, Гуджарати и Пуарье, проведено исследование мощности данных критериев. В результате сравнения мощности критериев пришли к выводу, что в первом случае наиболее высокой мощностью обладает критерий Чоу, однако критерий Гуджарати лишь незначительно уступает в мощности. В двух других случаях изменения тенденции временного ряда наиболее мощным оказался критерий Пуарье.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Тимофеев В. С., Фаддеенков А. В., Щеколдин В. Ю. Эконометрика. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. C. 163-170.
2. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: Юнити, 2001. Т. 2. 432 с.
3. Бабешко Л. О. Основы эконометрического моделирования. М.: КомКнига, 2006. 432 с.
4. Green W. H. Econometric analysis: 6th ed. Prentice Hall, 2007. 1216 p.
5. Gujarati D. N. Basic econometrics: 3rd ed. McGraw-Hill, 1995. 1003 p.
6. Denisov V. I., Faddeenkov A. V. Spline regression with variable penalty coefficients // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2015. V. 51. Iss. 3. P. 213-219.
7. Фаддеенков А. В. Оценивание параметров регрессионных моделей в условиях гетероскедастичности неизвестной формы // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2014. № 2 (55). С. 67-76.
8. Денисов В. И., Тимофеев В. С., Фаддеенков А. В. Исследование алгоритмов выбора оптимальных координат узловых точек в полупараметрических моделях штрафных сплайнов // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2013. № 2. С. 35-44.
9. Horowitz J. L. Semiparametric and Nonparametric Methods in Econometrics. New York: Springer, 2009. 286 p.
10. Ichimura H., Todd P. E. Implementing nonparametric and semiparametric estimators. Handbook of Econometrics. Elsevier Science. 2007. V. 6. Part B. P. 5369-5468.
11. Ruppert D., Wand M. P., Carroll R. J. Semiparametric Regression. New York: Cambridge university press, 2003. 404 p.
12 Денисов В. И., Тимофеев В. С., Бузмакова О. И. Штрафные сплайны в задаче идентификации полупараметрической регрессии // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2011. № 4 (45). С. 11-24.
13. Пуарье Д. Эконометрия структурных изменений (с применением сплайн-функций). М.: Финансы и статистика, 1981. 183 с.
14. Лемешко Б. Ю., Лемешко С. Б. и др. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. 560 с.
15. Лемешко Б. Ю., Веретельникова И. В. Мощность к-выборочных критериев проверки однородности // Измерительная техника. 2018. № 7. С. 3-7.
16. Лемешко Б. Ю., Новикова А. Ю. О критериях Миллера и Лайарда и мощности критериев однородности дисперсий // Обработка информации и математическое моделирование: материалы Рос. науч.-техн. конф. (Новосибирск, 26-27 апреля 2018 г.). Новосибирск: Изд-во СибГУТИ, 2018. С. 60-69.
17. Лемешко Б. Ю., Сатаева Т. С. Применение и мощность параметрических критериев проверки однородности дисперсий. Ч. 3 // Измерительная техника. 2017. № 1. С. 8-13.
18. Лемешко Б. Ю., Сатаева Т. С. Применение и мощность параметрических критериев проверки однородности дисперсий. Ч. 4 // Измерительная техника. 2017. № 5. С. 12-17.
19. Лемешко Б. Ю., Блинов П. Ю. Сравнительный анализ критериев проверки гипотезы о равномерности закона // Измерительная техника. 2016. № 10. С. 9-15.
Статья поступила в редакцию 08.11.2018
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Ландман Лилия Андреевна — Россия, 630073, Новосибирск; Новосибирский государственный технический университет; аспирант кафедры теоретической и прикладной информатики; faddeenkov@corp.nstu.ru.
Фаддеенков Андрей Владимирович - Россия, 630073, Новосибирск; Новосибирский государственный технический университет; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры теоретической и прикладной информатики; faddeenkov@corp.nstu.ru.
COMPARATIVE ANALYSIS OF DIFFERENT CRITERIA OF SITE STRUCTURAL STABILITY IN THE TIME SERIES
L. A. Landman, A. V. Faddeenkov
Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russian Federation
Abstract. The concept of structure is used to describe a set of stable relations between the main parts of the object, which describe its integrity and identity, i.e, preserving the basic properties for a wide range of internal and external changes. This concept usually relates to the concepts of system and organization. The structure expresses a stable part of the system that is slightly changed during different reforms. Over the years structural changes take place because of active economic policy or as a result of spontaneous, uncontrollable processes. Therefore, it seems to be quite natural to find out whether there have been structural changes in the observation period, and to find them reflected in the specification of the model. The basic ideas of methods for determining structural changes in the time series dynamics have been considered, such as Chow test, Gujarati test and Poirier method. The power study was conducted for the three possible cases of change in time series trends. The random error was modeled according to the standard normal distribution. A linear multiple regression model with three independent variables was used as a time series model. Estimation of the vector of unknown parameters of the model was conducted using least squares method. For each of the three criteria the of test the null hypothesis about time series instability was carried out using the F-criterion, which involves finding the residual sum of squares of a regression model and analysis of correlation between its decline and the loss of degrees of freedom. It can be noted that Gujarati and Poirier equations have a more complex structure than equation of Chow test; however, using Chow test assumes estimation of the parameters of the three regression equations.
Key words: time series, trend, structural changes, Chow test, Gujarati test, Poirier method, power of test, piecewise model, Fisher test, spline.
For citation: Landman L. A., Faddeenkov A. V. Comparative analysis of different criteria of site structural stability in the time series. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, Computer Science and Informatics. 2019;1:119-128. (In Russ.) DOI: 10.24143/2072-9502-2019-1-119-128.
REFERENSES
1. Timofeev V. S., Faddeenkov A. V., Shchekoldin V. Iu. Ekonometrika [Econometrics]. Novosibirsk, Izd-vo NGTU, 2013. Pp. 163-170.
2. Aivazian S. A., Mkhitarian V. S. Prikladnaia statistika i osnovy ekonometriki [Applied statistics and principles of econometrics]. Moscow, Iuniti Publ., 2001. Vol. 2. 432 p.
3. Babeshko L. O. Osnovy ekonometricheskogo modelirovaniia [Introduction into econometric modelling]. Moscow, KomKniga Publ., 2006. 432 p.
4. Green W. H. Econometric analysis. 6th edition. Prentice Hall, 2007. 1216 p.
5. Gujarati D. N. Basic econometrics. 3rd edition. McGraw-Hill, 1995. 1003 p.
6. Denisov V. I., Faddeenkov A. V. Spline regression with variable penalty coefficients. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2015, vol. 51, iss. 3, pp. 213-219.
7. Faddeenkov A. V. Otsenivanie parametrov regressionnykh modelei v usloviiakh geteroskedastichnosti neizvestnoi formy [Evaluating parameters of regression models in terms of unknown form of heteroscedasticity]. Nauchnyi vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2014, no. 2 (55), pp. 67-76.
8. Denisov V. I., Timofeev V. S., Faddeenkov A. V. Issledovanie algoritmov vybora optimal'nykh koordinat uzlovykh tochek v poluparametricheskikh modeliakh shtrafnykh splainov [Study of algorithms of choosing optimal coordinates of nodes in semi parametric models of penalty splines]. Nauchnyi vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2013, no. 2, pp. 35-44.
9. Horowitz J. L. Semiparametric andNonparametric Methods in Econometrics. New York, Springer, 2009. 286 p.
10. Ichimura H., Todd P. E. Implementing nonparametric and semiparametric estimators. Handbook of Econometrics. Elsevier Science, 2007. Vol. 6, part B. Pp. 5369-5468.
11. Ruppert D., Wand M. P., Carroll R. J. Semiparametric Regression. New York, Cambridge university press, 2003. 404 p.
12 Denisov V. I., Timofeev V. S., Buzmakova O. I. Shtrafnye splainy v zadache identifikatsii polupara-metricheskoi regressii [P-splines in semi-parametric regression identification problem]. Nauchnyi vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2011, no. 4 (45), pp. 11-24.
13. Puar'e D. Ekonometriia strukturnykh izmenenii (s primeneniem splain-funktsii) [Econometrics of structural changes (using spline-functions)]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1981. 183 p.
14. Lemeshko B. Iu., Lemeshko S. B. i dr. Statisticheskii analiz dannykh, modelirovanie i issledovanie veroiatnostnykh zakonomernostei. Komp'iuternyi podkhod [Statistical analysis of data, modelling and study of probabilistic regularities. Computer approach]. Novosibirsk, Izd-vo NGTU, 2011. 560 p.
15. Lemeshko B. Iu., Veretel'nikova I. V. Moshchnost' k-vyborochnykh kriteriev proverki odnorodnosti [Power of k-selective tests for homoheneity]. Izmeritel'naia tekhnika, 2018, no. 7, pp. 3-7.
16. Lemeshko B. Iu., Novikova A. Iu. O kriteriiakh Millera i Laiarda i moshchnosti kriteriev odnorodnosti dispersii [On Miller and Layard tests and power of criteria of homogeneity of variance]. Obrabotka informatsii i matematicheskoe modelirovanie: materialy Rossiiskoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii (Novosibirsk, 26-27 aprelia 2018 g.). Novosibirsk, Izd-vo SibGUTI, 2018. Pp. 60-69.
17. Lemeshko B. Iu., Sataeva T. S. Primenenie i moshchnost' parametricheskikh kriteriev proverki odnorodnosti dispersii. Chast' 3 [Application and power of parametric criteria of testing homogeneity variance. Part III]. Izmeritel'naia tekhnika, 2017, no. 1, pp. 8-13.
18. Lemeshko B. Iu., Sataeva T. S. Primenenie i moshchnost' parametricheskikh kriteriev proverki odnorodnosti dispersii. Chast' 4 [Application and power of parametric criteria of testing homogeneity variance. Part IV]. Izmeritel'naia tekhnika, 2017, no. 5, pp. 12-17.
19. Lemeshko B. Iu., Blinov P. Iu. Sravnitel'nyi analiz kriteriev proverki gipotezy o ravnomernosti zakona [Comparative analysis of criteria for testing hypothesis of homogeneity of law]. Izmeritel'naia tekhnika, 2016, no. 10, pp. 9-15.
The article submitted to the editors 08.11.2018
INFORMATION ABOÜT THE AUTHORS
Landman Liliya Andreevna — Russia, 630073, Novosibirsk; Novosibirsk State Technical University; Postgraduate Student of the Department of Theoretical and Applied Computer Science; faddeenkov@corp.nstu.ru.
Faddeenkov Andrei Vladimirovich — Russia, 630073, Novosibirsk; Novosibirsk State Technical University; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Theoretical and Applied Computer Science; fadd eenkov @corp .nstu.ru.
