CC BY
23
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРИБЛИЖЕНИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ И ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
П. К. Корнеев, Е. Н. Гончарова, И. А. Журавлева, Е. В. Непретимова
COMPARATIVE ANALYSIS OF ELEMENTARY FUNCTIONS' APPROXIMATION BY POLYNOMIALS AND CONTINUED FRACTIONS
Korneev P. K., Goncharova E. N.,
Zhuravleva I. A., Nepretimova E. V.
The article contains the comparative analysis of functions' approximation by polynomials and continued fractions. All the results have been obtained on the basis of computational experiment.
В статье проведен сравнительный анализ приближения функций полиномами и цепны/ми дробями. Все результатыI полученыI на основе вычислительного эксперимента.
Нлючевыэ/е слова: приближение функций, цепные дроби, тейлоровские многочлены , равномерное приближение, вы -числительный эксперимент.
УДК 519.651
Основными методами для вычисления функций на компьютере являются следующие: степенные разложения, многочленные и рациональные приближения, разложения в цепные дроби, итеративные процессы.
Мы остановимся на трех методах приближения функций: тейлоровские многочлены, многочлены наилучшего равномерного приближения и подходящие дроби функциональных цепных дробей.
Одну и ту же функцию на одном и том же отрезке будем приближать указанными выше аппроксимантами. О качестве приближения будем судить по оценке величины остаточного члена. Так как теоретические остаточные члены (или их оценки) трудны для приложений, то мы будем рассматривать сеточную нормы погрешности, полученную экспериментальным путем.
Для проведения вычислительного эксперимента возьмем функцию у = Щ х .
Приведем соответствующие разложения функции у = tg х в тейлоровский ряд и функциональную цепную дробь [2]:
2
tgx = Z 2 k=1
2 •k (2 2 •k -1)
B
2k
2k-1
(2k )
здесь B2k - числа Бернулли;
I 1 p x < — 2
(1)
tgx =
x x2 x2 1 - 3 - 5 -
x
7 -
- 2k +1 -
x < —, k=1, 2, 3, 2
2
x
Можно показать справедливость следующих положений: частичные суммы ряда (1)
I I п
(многочлены Тейлора) и подходящие дроби цепной дроби (2) при |х| < — есть возрастающие
функции; частичные суммы ряда (1) (многочлены Тейлора) и подходящие дроби цепной дроби
I I Р
(2) при |х| < — имеют единственный ноль х = 0; нули знаменателей подходящих дробей не
I I Р
принадлежат отрезку х £ —. Эти утверждения сделают обоснованными выводы, которые бу-
1 1 4
дут получены в процессе проведения вычислительного эксперимента, о качестве приближения функции у = tg х полиномами и подходящими дробями цепной дроби (2). Все вычисления будем проводить в среде MathCad на сетке
Р
Н =' х =
(Ок х! =--7, 7 = 0,1,2, • (3)
40
1. Возьмем приближения
Р3(х) = х + 3 х3, (1.1)
¿2(х) = —— (1.2)
У ; 1 - 3
и найдем приближенные значения функции у = tg х при помощи представлений (1.1) и (1.2) на сетке узлов (н .
_Приведем программу вычислений._
Р х3 х
Р := 4 * а tan(l) Н :=— р(х):= х + — ¿(х):=-- 7 := 0,1.10 х. := 7 • Н
40 3 1 - х^ 7
3
Рг := Р(хг ) ¿г := Л(хг ) У! := ^(хг ) ГР, := I Уi - Рг \ ^, := |У7 - 4 |_
Здесь pi, di, у{, тр{, rdi (7 := 0,1,...,10) - сеточные функции на сетке (ОН, а именно: р1 -таблица значений полинома (1.1), di - таблица значений подходящей дроби (1.2), у{ - таблица точных значений функции tg х, гр7 - таблица значений |у7 -Р7| , rdi - таблица значений |у7 - . Результаты вычислений представлены в таблицах 1, 2.
Таблица 1
7 х7 Р7 У7 ГР
0 0 0 0 0
1 0.07854 0.078701 0.078702 3.994605-10-7
2 0.15708 0.158372 0.158384 1.287945-10-5
3 0.235619 0.23998 0.240079 9.90524-10-5
4 0.314159 0.324495 0.32492 4.250053-10-4
5 0.392699 0.412885 0.414214 1.328103-10-3
6 0.471239 0.506121 0.509525 3.40449-10-3
7 0.549779 0.60517 0.612801 7.630652-10-3
8 0.628319 0.711002 0.726543 0.015541
9 0.706858 0.0824585 0.854081 0.029495
10 0.785398 0.946889 1 0.053111
Таблица 2
г х1 й1 Уг
0 0 0 0 0
1 0.07854 0.078702 0.078702 6.672373-10-8
2 0.15708 0.158382 0.158384 2.165649-10-6
3 0.235619 0.240062 0.240079 1.684228-10-5
4 0.314159 0.324846 0.32492 7.341664-10-5
5 0.392699 0.413979 0.414214 2.342074-10-4
6 0.471239 0.508909 0.509525 6.160425-10-4
7 0.549779 0.611376 0.612801 1.424567-10-3
8 0.628319 0.723531 0.726543 3.011074-10-3
9 0.706858 0.848111 0.854081 5.969838-10-3
10 0.785398 0.988689 1 0.011311
Выводы:
-2
- в случае приближения (1.1) - р3(х)||сг * 1 < 5.4 10
- в случае приближения (1.2) ||tg х - й2(х)|с*< 1.2-10 2. Возьмем приближения
р5(х) = х + - х3 + — х5,
2
х + -х + — х , (2.1)
3 15
2 2
ё3(х) = — —— (2.2)
1 - 3 - 5
и найдем приближенные значения функции у = tg х при помощи представлений (2.1) и (2.2) на сетке узлов Сдк.
Результаты вычислений представлены в таблицах 3, 4.
Таблица 3
г хг Рг Уг тРг
0 0 0 0 0
1 0.07853981634 0.078701705827 0.078701706825 9.98-10"10
2 0.157079632679 0.158384311695 0.158384440325 1.29-10"7
3 0.235619449019 0.240076533218 0.24007875908 2.23-10"6
4 0.314159265359 0.324902717165 0.324919696233 1.70-10"5
5 0.392699081699 0.414130657031 0.414213562373 8.30-10"5
6 0.471238898038 0.509219408612 0.509525449494 3.07-10"4
7 0.549778714378 0.611867105586 0.61280078814 9.34-10"4
8 0.628318530718 0.724058775083 0.726542528005 2.49-10"3
9 0.706858347058 0.848114153264 0.854080685463 5.97-10"3
10 0.785398163397 0.986735500897 1 0.02
Таблица 4
7 х1 уг гЛ^
0 0 0 0 0
1 0.07853981634 0.078701706813 0.078701706825 1.18-10-11
2 0.157079632679 0.158384438795 0.158384440325 1.53-10-9
3 0.235619449019 0.24007873224 0.24007875908 2.69-10-8
4 0.314159265359 0.324919487461 0.324919696233 2.09-10-7
5 0.392699081699 0.414212516567 0.414213562373 1.05-10-6
6 0.471238898038 0.509521463273 0.509525449494 3.99-10-6
7 0.549778714378 0.612788142865 0.61280078814 1.27-10-5
8 0.628318530718 0.726507281178 0.726542528005 3.53-10-5
9 0.706858347058 0.853991200813 0.854080685463 8.95-10-5
10 0.785398163397 0.999787680915 1 2.13-10-4
2 .
Выводы:
- в случае приближения (2.1) ^ х - Р5(х)|с2 • 10
- в случае приближения (2.2) ^ х - Л3(х)||сг я] < 2.13 • 10
'4
4
3. Рассмотрим приближения
Р7(х) = х +1 х3 + — х5 + — х7, (3.1)
3 15 315
2 2 2 х х х х
Л 4(х ) =--------(3.2)
1 - 3 - 5- 7
и найдем приближенные значения функции у = tg х при помощи представлений (3.1) и (3.2) на сетке узлов (дн.
Результаты вычислений представлены в таблицах 5, 6.
Таблица 5
7 х1 Р7 у7 ГР
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0,078701706822125 0.078701706824618 2.50-10-12
2 0.15707963267949 0.158384439038414 0.158384440324536 1.29-10-9
3 0.235619449019234 0.240078709005003 0.240078759080116 5.01-10-8
4 0.314159265358979 0.324919017160657 0.324919696232906 6.80-10-7
5 0.392699081698724 0.414208381464778 0.414213562373095 5.19-10-6
6 0.471238898038469 0.509497909311452 0.509525449494429 2.76-10-5
7 0.549778714378214 0.612686426078217 0.612800788139932 1.15-10-4
8 0.628318530717959 0.726145174468213 0.726542528005361 3.98-10-4
9 0.706858347057703 0.852872598804422 0.854080685463467 1.21-10-3
10 0.785398163397448 0.996684228434645 1 3.32-10-3
63/2009 ИЦ
Вестник Ставропольского государственного университета ТЩЕр _Таблица 6
г х1 й1 Уг
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0.078701706824617 0.078701706824618 1.16-10"15
2 0.15707963267949 0.158384440323937 0.158384440324536 6.0-10"13
3 0.235619449019234 0.240078759056413 0.240078759080116 2.38-10"11
4 0.314159265358979 0.324919695904584 0.324919696232906 3.29-10"10
5 0.392699081698724 0.414213559797683 0.414213562373095 2.58-10"9
6 0.471238898038469 0.509525435320532 0.509525449494429 1.42-10"8
7 0.549778714378214 0.612800726742826 0.612800788139932 6.14-10"8
8 0.628318530717959 0.726542303637465 0.726542528005361 2.25-10"7
9 0.706858347057703 0.854079961387082 0.854080685463467 7.25-10"7
10 0.785398163397448 0.999997868415695 1 2.2-10-6
Выводы:
- в случае приближения (3.1) х - р7(х)||сг р] < 3.4 * 10-
'4
- в случае приближения (3.2) х - й4(х)|с^ < 2.2 * 10 6.
4. Возьмём приближения
13 2 5 17 7 62,9
р9(х) = х + -х3 + — х5 +-х7 +-*х9, (4.1)
3 15 315 2835
2 2 2 2 х х х х х
й 5(х) =----------(4.2)
У ; 1 - 3 - 5 - 7 - 9
и найдем приближенные значения функции у = tg х при помощи представлений (4.1) и (4.2) на сетке узлов Сдк.
Результаты вычислений представлены в таблицах 7, 8.
Таблица 7
3
г хг Рг Уг тРг
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0.078701706824612 0.078701706824618 6,24-10-15
2 0.15707963267949 0.158384440311675 0.158384440324536 1.29-10"11
3 0.235619449019234 0.240078757953443 0.240078759080116 2,72-10-8
4 0.314159265358979 0.324919669070413 0.324919696232906 1,13-10-9
5 0.392699081698724 0.414213238570958 0.414213562373095 3,24-10-7
6 0.471238898038469 0.509522970912488 0.509525449494429 2,48-10-6
7 0.549778714378214 0.612786778976238 0.612800788139932 1,41-10-5
8 0.628318530717959 0.72647895226336 0.726542528005361 6,36-10-5
9 0.706858347057703 0.853836050939546 0.854080685463467 2.45-10-4
10 0.785398163397448 0.9991710066798849 1 8,29-10-4
Таблица 8
7 х1 уг гЛ^
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0
2 0.15707963267949 0.158384440324536 0.158384440324536 0
3 0.235619449019234 0.240078759080103 0.240078759080116 1.34-10-14
4 0.314159265358979 0.324919696232578 0.324919696232906 3.29-10-13
5 0.392699081698724 0.414213562369069 0.414213562373095 4.03-10-12
6 0.471238898038469 0.509525449462473 0.509525449494429 3.20-10-11
7 0.549778714378214 0.612800787951169 0.612800788139932 1.89-10-10
8 0.628318530717959 0.726542527102438 0.726542528005361 9.03-10-10
9 0.706858347057703 0.854080681766475 0.854080685463467 3.70-10-9
10 0.785398163397448 0.999999986526355 1 1.35-10-8
Выводы:
- в случае приближения (4.1) х - Р9(х)|с^ ж< 8.3 • 10-4;
в случае приближения (4.2) ^ х - Л5(х)||сГр] < 1.4 • 10 8.
'4
5. Теперь для приближения функции у = tgx на сетке (0Н кроме представлений
„м 1 3 2 5 17 7 62 9 1382 11
Р11(х) = х+ -х + — х +-х7 +-х9 +-х , (5.1)
3 15 315 2835 155925
2 2 2 2 2 х х х х х х
Л 6( х) =------------(5.2)
1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 11
привлечем и полином наилучшего равномерного приближения [3]
tgx » РМ1(х) = ]Г а2к+1х2к+\ (5.3)
а1 0.9999998 а7 0.0571648
а3 0.3333591 а9 0.0125595
а5 0.1328541 а11 0.0203732
Результаты вычислений по формулам (5.1) и (5.2) представлены в таблицах 9, 10.
Таблица 9
7 х7 Р7 у7 ГР
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0
2 0.15707963267949 0.158384440324408 0.158384440324536 1.29-10-13
3 0.235619449019234 0.2400787579054766 0.240078759080116 2.54-10-11
4 0.314159265358979 0.3249196695146408 0.324919696232906 1.09-10-9
5 0.392699081698724 0.414213542135493 0.414213562373095 2.03-10-8
6 0.471238898038469 0.509525226422398 0.509525449494429 2.24-10-7
7 0.549778714378214 0.612799072019939 0.612800788139932 1.72 10-5
8 0.628318530717959 0.726532355901226 0.726542528005361 1.02-10-5
9 0.706858347057703 0.854031147040133 0.854080685463467 4.96-10-5
10 0.785398163397448 0.999792766967732 1 2.08-10-4
Таблица 10
г хг й1 Уг тй^
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0
2 0.15707963267949 0.158384440324536 0.158384440324536 0
3 0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0
4 0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0
5 0.392699081698724 0.414213562373091 0.414213562373095 4.33-10"15
6 0.471238898038469 0.509525449494379 0.509525449494429 4.98-10"15
7 0.549778714378214 0.612800788139531 0.612800788139932 4.01-10"13
8 0.628318530717959 0.726542528002853 0.726542528005361 2.51-10"12
9 0.706858347057703 0.85408068545045 0.854080685463467 1.31-10"11
10 0.785398163397448 0.99999999941325 1 5.87-10"11
Выводы:
- в случае приближения (5.1) х - р11(х)||сжц < 2.08 • 10-в случае приближения (5.2) ^ х - й6(х)|сг р 1 < 5.87 • 10-1
- в случае приближения (5.3) х - Р.М1(х)|сж^ < 2.2 • 10 6. Для приближения функции у = tgх на сетке со^ кроме аппроксимант
1 3 2 5 17 7 62 9 1382 п 21844 в
р13(х) = х + - х + — х +-х' +-х +-х +-х , (6.1)
3 15 315 2835 155925 6081075
2 2 2 2 2 2 _____ , х х х х х х х
й 7( х) =--------------(6.2)
1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 11 -13
привлекаем полином наилучшего равномерного приближения [2]
tgх » РМ3(х) = £а2,+1 х2к+1, (6.3)
к=0
4
1.00000002 а9 0.02457096
а3 0.33333082 а11 0.00294045
а5 0.13339762 а13 0.00947324
а7 0.05935836
Результаты вычислений по формулам (6.
) и (6.2) представлены в таблицах 11, 12.
Таблица 11
г хг Рг Уг тРг
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0
2 0.15707963267949 0.158384440324535 0.158384440324536 1.25-10"15
3 0.235619449019234 0.240078759079546 0.240078759080116 5.71-10"13
4 0.314159265358979 0.324919696189446 0.324919696232906 4.35-10"11
5 0.392699081698724 0.414213561108245 0.414213562373095 1.27-10"9
6 0.471238898038469 0.509525429417949 0.509525449494429 2.01-10"8
7 0.549778714378214 0.612800577915268 0.612800788139932 2.11 10-7
8 0.628318530717959 0.726540900468958 0.726542528005361 1.63-10-6
9 0.706858347057703 0.854070653934264 0.854080685463467 1.01-10-5
10 0.785398163397448 0.999948191749367 1 5.19-10-5
Таблица 12
7 х уг гЛ^
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0
2 0.15707963267949 0.158384440324536 0.158384440324536 0
3 0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0
4 0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0
5 0.392699081698724 0.414213562373095 0.414213562373095 0
6 0.471238898038469 0.509525449494429 0.509525449494429 0
7 0.549778714378214 0.612800788139931 0.612800788139932 0
8 0.628318530717959 0.726542528005356 0.726542528005361 5.10-10-15
9 0.706858347057703 0.854080685463433 0.854080685463467 3.37-10-14
10 0.785398163397448 0.999999999999813 1 1.87-10-13
Выводы:
- в случае приближения (6.1) х - р13(х)||сг р] < 5.19 • 10-5;
'4
- в случае приближения (6.2) х - Л7(х)сг* 1 < 1.87 • 10-13,
- в случае приближения (6.3) ^ х - РШ3(х)|с|~0я 1 < 2 • 10-8.
Отметим, что в работе [1] доказывается оценка погрешности:
- Л 7(х) с Цт 1< 4 •Ю-11.
7. Для приближения функции у = tgx на сетке (Он рассмотрим аппроксиманты
1 ( ) 1 3 2 5 17 7 62 9 1382 11 21844 13 929569 ^
Р15(х) = х + -х + — х +-х7 +-х +-х +-х +-х , (7.1)
3 15 315 2835 155925 6081075 638512875
2 2 2 2 2 2 2 ЗС X X X X X X X
Л 8(х) =--------. (7.2)
1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 11 -13 -15
Результаты вычислений по формулам (7.1) и (7.2) представлены в таблицах 13, 14.
Таблица 13
7 х7 Р7 у7 ГР7
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0
2 0.15707963267949 0.158384440324536 0.158384440324536 0
3 0.235619449019234 0.240078759080103 0.240078759080116 1.28-10-14
4 0.314159265358979 0.324919696231168 0.324919696232906 1.74-10-12
5 0.392699081698724 0.414213562294042 0.414213562373095 1.91-10-11
6 0.471238898038469 0.509525447687546 0.509525449494429 1.81-10-9
7 0.549778714378214 0.612800762387411 0.612800788139932 2.58 10-8
8 0.628318530717959 0.726542267599541 0.726542528005361 2.61-10-7
9 0.706858347057703 0.854078654078837 0.854080685463467 2.04-10-6
10 0.785398163397448 0.999987047937548 1 1.30-10-5
Таблица 14
i xi di Уг rdi
0 0 0 0 0
1 0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0
2 0.15707963267949 0.158384440324536 0.158384440324536 0
3 0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0
4 0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0
5 0.392699081698724 0.414213562373095 0.414213562373095 0
6 0.471238898038469 0.509525449494429 0.509525449494429 0
7 0.549778714378214 0.612800788139932 0.612800788139932 0
8 0.628318530717959 0.726542528005361 0.726542528005361 0
9 0.706858347057703 0.854080685463467 0.854080685463467 0
10 0.785398163397448 0.999999999999999 1 0
Выводы:
- в случае приближения (7.1) ||tg x - />15(x)|Cг p 1 < 1.30 • 10-
в случае приближения (7.2) ||tg x - d 8(x IC г p I < 10-1/.
Проведенный вычислительный эксперимент дает основание сделать следующие окончательные выводы:
1. В случае тейлоровского приближения переход от многочлена P2k-1 (x) к многочлену P2 k+1 (x) не всегда улучшает качество аппроксимации хотя бы на порядок.
2. В случае наилучшего полиномиального приближения переход от многочлена Pn (x) к многочлену P13 (x) заставляет пересчитывать все коэффициенты многочлена P13 (x), а качество аппроксимации улучшается всего на порядок.
3. При аппроксимации подходящими дробями переход от подходящей дроби dk (x) к
dk+1 (x) улучшает качество аппроксимации практически на два порядка.
4. Тейлоровский многочлен P15 (x) влечет погрешность приближения порядка 10-5, а
восьмая подходящая дробь дает погрешность приближения порядка 10-17.
5. Из трех методов приближения по простоте реализации и качеству приближения лучшим является метод цепных дробей.
Примечание. Аналогичные результаты можно получить при аппроксимации функции y = th x подходящими дробями. Так как тригонометрические функции sin x и cos x выража-
xx ются через функцию tg , гиперболические функции shx и chx - через th , показательная
функция вх - через th —, то указанные функции можно с успехом аппроксимировать подхо-
2
дящими дробями.
5
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I. -М.: Физматлит, 2008. - 648 с.
2. Люстерник Л. А., Червоненкис О. А., Янпольский А. Р. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. СМБ. - М.: Физматгиз, 1963. - 248 с.
3. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. -М.: Гостехиздат, 1956.
Корнеев Петр Кириллович, Ставропольский государственный университет, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы, приближение функций с помощью цепных дробей. 1саеИсг@рт. stavsu.ru
Гончарова Елена Николаевна, Ставропольский государственный университет, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы. hele@rbcmail.ru
Журавлева Ирина Александровна Ставропольский государственный университет, кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы, методика преподавания информатики. tсachсr@pm. stavsu.ru
Непретимова Елена Владимировна, Ставропольский государственный университет, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы. tсachсr@pm. stavsu.ru
Об авторах
