Сравнительный анализ известных оценок искажений синусоидальности Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»



Теория сигналов

УДК 621.314

Г. Н. Цицикян, А. И. Сенченко "ЦНИИ СЭТ"

(филиал ФГУП "Крыловский государственный научный центр")

Сравнительный анализ

известных оценок искажений синусоидальности

Проведен сравнительный анализ известных оценок искажения синусоидальности по току и напряжению. Установлены соотношения между коэффициентами искажения синусоидальности, формы и мощности. Указано на целесообразность введения нормативных ограничений искажений по току.

Коэффициент искажения синусоидальности, коэффициент формы, коэффициент мощности

В настоящее время искажения синусоидальности напряжений и токов в электротехнических комплексах оцениваются (в процентах) по формулам [1]

Ku = 100^I Uk иь Kj = 100^£ (1)

где Uk, Jk, k Ф1 - действующие значения гармоник напряжения и тока соответственно, отличных от основных; Ui, Ii - действующие значения основных (первых) гармоник напряжения и тока. Приведенные коэффициенты в англоязычной литературе обозначаются как THDU и THDI, где первые три буквы аббревиатуры расшифровываются total harmonic distortion, а последняя буква указывает на оценку искажений напряжения или тока.

До недавнего времени в отечественной литературе существовал одноименный термин "коэффициент искажения по току" (см., напр., [2]), который, однако, определялся иначе:

n=JiL J2 +1 Ik.

k Ф1

(2)

Связь между Kj (THDI) (1) и v (2) задается соотношениями

v-1 =

+ (Kj /100)2

(3)

и Кг = 100у-1\/1—у2.

При малых искажениях синусоидальности значения КI близки к 0, в то время как V прини-

мает значения близкие к единице, что неудачно с точки зрения оценки величины искажений.

В качестве еще одной интегральной характеристики, отражающей отклонение от синусоидальности, используется коэффициент формы (например, тока): Кд = /скв/ 1ср , где /СКв, 1ср -

среднеквадратическое и среднее значения тока соответственно.

Коэффициент формы можно применять ко всем осциллирующим зависимостям со сменой знака. Он связан с коэффициентом пульсаций

(Кп) соотношением Кд =^ 1 + К^. Например, для положительной полуволны синусоиды К^ = 1.111, Кп = 0.482.

Получим выражение для комплекса к-й гармоники тока в общем случае. Для этого, следуя [3], запишем ряд Фурье для тока в виде

(t ) = J0 + I/2 • Ik sin (kwt + Y kj),

(4)

k=1

где 1о - постоянная составляющая (в дальнейшем анализе положено 1о = 0); к - номер гармоники (к = 1 - основная гармоника); ю - частота основной гармоники; ¥к1 - начальная фаза к-й

гармоники тока. Из разложения (4) получим:

2 Т

72 • 4 с°8 ¥к1 = т 11 (к ю) ж; (5)

8

© Цицикян Г. Н, Сенченко А. И., 2013

V2 • h sin Y ki = T fi cos (k wt) dt>

(6)

где T = 2 я/ w - период основной гармоники.

Умножив (6) на мнимую единицу j и сложив с (5), имеем:

Ik ejkYk = Ik =

= — í i [sin (kwt) + j cos (kwt)] d (wt) = 2я o

F¡ 2я ^ j fie-jkwtd(wt). 2я J

(7)

o

Зная закон изменения тока г во времени, можно по выражению (7) найти комплексы к-х гармоник тока 1к. Проведем на основании (7) анализ гармоник тока на входе трехфазного мостового выпрямителя, когда на стороне постоянного тока имеется активно-индуктивная нагрузка с достаточно большим углом сдвига ф при приложении к ней синусоидального напряжения.

На первом этапе анализа пренебрежем длительностью коммутационных процессов. Тогда фазный ток на входе выпрямителя в течение 2/3 полупериода основной частоты близок к постоянной величине, равной выпрямленному току, на последующей 1/3 полупериода равен нулю, а при смещении на половину периода меняет знак (рис. 1, а, б) [2], [3]. Поэтому

4 = у | гф (- е-укр е-укш) й Ы) »

2я'

V2

2я

2 я/ 3

jId f e-jkwt (l- e-jkp)d(wt): o

42 Г, ( ^k 1 (l - e-jk2я/3)

= [l -(-l)k

= I

d

ld^r~ [1 2я

S [l -(-I)k 2pk

^2[l - cos (k2я/3)] • ejjk, (8)

где iф, Id - фазный и выпрямленный токи соответственно;

sin (2pk/ 3)

jk = arctg"

k = l, 2,

(9)

' l - cos (2pk/3) Для основной гармоники (k = l) имеем:

Il = Id (n/6/я) ej p6. (lo)

Как следует из (8), в спектре гармоник тока на стороне трехфазного тока отсутствуют четные гармоники и гармоники, кратные 3. Определим

KfI =

'скв _ 'скв Il

ср

Il Iср

=, l+

loo

ср

Тогда

Ki =

loo^KfIjIqVIl)]2^!, (ll)

откуда вытекает, что для оценки К/ через Кл необходимо знать отношение /ср//1, содержащее действующее значение первой гармоники. Для фазного тока на входе выпрямителя имеем:

/ср = (2/3)/в; /скв = л/^3 • /в;

Кд =423 • 7В/[(2/3) /в ] = ^/^2. Для К/ с учетом (10) получим:

k' = loo.

3 • 21в 2 3 I

2 -1 = =

2 я2

= looj--— l = 3l.l%. V3 6

При соединении первичной обмотки трансформатора трехфазного мостового выпрямителя в треугольник линейный ток гл, равный разности фазных токов /фА (рис. 1, а) и /фС (рис. 1, б), с

пересчетом на коэффициент трансформации Кт имеет форму, показанную на рис. 1, в.

Оценим коэффициент формы для указанной кривой, исходя из того, что на интервалах (0...я/3) и (2я/3...я) ток равен а на интер-

гфА

-Id

гфС

2Id

o

-Id -2Id

J_

я/3 2я/3

I

я 4 я/ 3 5 я/ 3 wt

я/ 3

2я/ 3

4 я/ 3 5 я/ 3

wt

_L

J_

я/3 2я/3

J_

J_

я 4 я/ 3 5 я/ 3 wt

е

Рис. i

2

o

I

d

o

k

а

I

d

o

я

б

л

I

d

вале (р/ 3...2р/ 3) - 2/^:

К т 1ср =( 43) /а; Кт/Скв = = /^>/2; % =( ^72 V [(4/3) /а ] = ( 3/4)72.

Коэффициент искажения по току определим по (11). При соединении звездой для фазного тока имеем К/ =73/2 @ 1.225, при соединении треугольником для линейного тока Кд = (3/4)72 @

@ 1.061. Во втором случае коэффициент формы ближе к оптимальному значению, равному 1.11. Для нахождения отношения /ср / /1 для рис. 1, в

прибегнем к процедуре, которая использована при выводе соотношений (8)-(10):

Р> я

4л = 22у|КА (1 - е-Акр) е--^(юг) = 2я о

72 1 - e-jkp

2p k

p 3

J Ide-jkwtd (jk wt )-_wt=0

2p 3

+ J 2Id e-jkwtd (jk wt) +

wt=p 3 p

+ J Ide- jkwtd (jkwt)

wt=2p 3

72, [1 -(-i)k]

=— id--x

2p к

p 2p3 '

J e-jkwt d (jkwt) + J e-jkwt d (jkwt)

0 wt=p3

=V¡ Id jj-HÜ {i-(-i)k + 2p к

+cos (kp/3) - cos (2kp/3) --j [sin (kp/3) - sin (2kp/3)]},

где индекс "л" обозначает линейные токи.

В этом случае также отсутствуют четные гармоники и гармоники с номерами, кратными 3, а действующие значения гармоник по сравнению с

результатом для фазного тока увеличиваются в 73 раз. Поэтому соотношение между Кт 11л (Т^ -основная гармоника линейного тока) и 1в имеет

вид КтТ1л =(372/p) 1в (ср. с (10)). Оценивая коэффициент искажения синусоидальности тока для рис. 1, в по (11), получим:

К/ = 100^ {(3/4)72 (4/3) [р/(372)]}2 -1 =

= 100^ р2/9 -1 = 31.1 %,

т. е. тот же результат, что и для фазного тока.

Тем самым подтвержден вывод [2] о том, что независимо от соединения первичной обмотки трансформатора в звезду или в треугольник, коэффициент искажения синусоидальности по току остается одинаковым.

В то же время возникают вопросы оценки искажений по абсолютному отклонению коэффициентов формы от неискаженной синусоиды. Рассмотрим этот вопрос подробнее, полагая, что для кривой на рис. 1, а длительность ненулевого состояния является переменной величиной, обозначенной как (. В этом случае /скв = /¿7Р/я и

/ср = /а (/я, откуда Кд = 7я/Р. При 0 V И-0.5 ч

В рассматриваемых условиях к-я гармоника тока определяется выражением

1к = [72/(2р)]/а [1 - (-1)к ] [(1 - е-АкР )/к].

Тогда модуль основной гармоники (к = 1) составляет |/&11 = /1 = /а (2/ р)7Г-~со^р.

На основании этих соотношений с использованием (11) получим:

КТ = 100

л/pP

Id p/p

1в (2/p)71 - cos p

-1 =

= 100 p

p

-1.

41 - cos p

При малых значениях p величину Ki можно оценить по выражению

КТ @ 100

V

p_P1 = 100/ JL-1. 4 pV2 v 2P

В частности для Р = я, 2р/ 3, р/ 2, р/ 3 и р/ 6 имеем, соответственно, К^ = 1, 1.225, 1.414, 1.732, 2.449 и К/ = 48.3, 31.1, 48.3, 80.3 и 143.9 %. Следовательно, значения К/ оказываются одинаковыми для Кд = 1 и 1.414, т. е. взаимнооднозначное соответствие между К/ и Кд отсутствует. Однако это обстоятельство не умаляет представления К/ через К/ по формуле (11), позволяющее по известному действующему зна-

2

КтгфА

-1Г

±

±

я/ 3 2я/ 3 \я 4я/ 3 5я/ 3

2я

юг

Рис. 2

I = /1

-'скв

( у 2я/3 1

2|е2йе + у2 | йе

. 0 у .

/1 у

+2РУ2-у3 V 3 3

Л

= 1л

2 -у/я

Для /скв запишем:

/скв ^

Г >2 у

/в тах 1 | е2й е+/2

у

3

2я

0

в тах | 3 у I +

2 2я/3+у

¿л/ л- г

| (у

2я/3

+у-е I2 й е

0.5

I = /1

-'скв

( у 2я/3 >

2| е2 йе + у2 | йе

. 0 у ;

/1 у

+V-у3 I = /

3

3

2 - у/я

3

(15)

чению первой гармоники оценивать значения К/, причем в замкнутой форме.

Проанализируем влияние на рассмотренные оценки конечного угла коммутации у. Известно, что нарастание и спад тока на интервалах коммутации можно без особой погрешности аппроксимировать линейным законом [2]. В этой связи на рис. 2 представлен график изменения тока Кт/фд

(см. рис. 1, а), модифицированный с учетом конечного угла коммутации. Линейное изменение тока на интервале коммутации 0...у описывается выражением

ы = /а (е/у), 0 <е<у, (12)

а на интервале 2я/3 < е < 2я/3 + у - выражением

г'к2 = /а [(у+ 2я/ 3)/у ] - /а (е/у) =

= /а [(у+2я/ 3 -е)/у]. (13)

На интервале у к 2 я/ 3 ток имеет постоянное значение, равное /1 .

Определим коэффициент формы тока описанной формы (рис. 2).

Среднее значение тока составляет:

На основе (14) и (15) получим оценку коэффициента формы:

К/ [(2 -у/я)/3] (9/4) =7^/1 -у/( 2я). (16)

Для нахождения К/ по (11) с учетом угла коммутации найдем действующее значение первой (основной) гармоники для кривой на рис. 2. При к = 1 из (7) для комплекса первой гармоники тока имеем:

/Т я

/1 =— Г г (е-3е- е3я е-3е) й (7е), е = юг. 2я 0

Учитывая малые значения угла коммутации у упростим задачу, заменив экспоненциальный множитель на интервалах 0.у и 2я/3.2я/3 + у

-/(у/2) -3(у/2+2я/3) т

на е ' ' и е ' соответственно. Тогда

с учетом (12) и (13) имеем:

/1 =

72

з Г /а е е-3 у/2 йе + п у

2я/ 3

+ | ^е3 й (/е) + 1

2я/ 3+у

+з I

2я/ 3

у+2я/3 -е -з(^2+2р3)

е

й е

(17)

Выполнив интегрирование, получим:

/&1 = —

л/2

я

(14)

3'—е-3 у/2 ^^ (1 + е-3 2р 3) +

у 2

+4 (е-3у- е-32р3)] »

42

= — я

=Д

я

3 у(1 + е-з2р3) + 2

+ (1 -/у-е-3 2р 3)] = 1 - 31 + е-3 2я/ 3 ( 31-1

(1 - е-32Я3) - 311

Окончательно имеем

После ряда преобразований получим:

0

я

а

я

а

в тах

+

Л

Jdfi [1 + (у/ 2)2 ]. (18)

J = —

При у ® 0 выражение (18) сводится к (10). С учетом (11), (14), (16) и (18) получим:

KJ = 100

\

3 С1 ^ 4 p

2

1

2p J 9 2 3[1 + (у/2)2

_ 1 =

= 100

V

p2 1 _g/( 2p)

_ 1.

(19)

9 1 + (у/ 2 )2

При у ® 0 (19) сводится к ранее полученному

результату: К/ = 100^/ р2/9 -1 = 31.1 %.

Из полученных соотношений следует, что, например, для у = р/ 12 К/ = 18.2 %, что существенно меньше, чем при отсутствии затрат на коммутацию.

Вернемся к формуле (1) для Ки. Для судовых электроэнергетических систем превышение Ки сверх нормированных значений (обычно 10 %) недопустимо [4]. Известна оценка полного коэффициента искажения синусоидальности по напряжению [5] для шестипульсного выпрямления в мощных преобразователях электроэнергии в виде

_Ки=_

^п^2 + п7/7 + «М2! + и23/23 + . ^

= 100-

-пр

J1

= 100FH (£Пр/^к.з),

(20)

где пк, /к, к = 5, 7, 11, 13 - отношения круговых частот гармоник тока к основной частоте и амплитуды высших гармоник тока, характерных для шестипульсного выпрямления в мощных преобразователях электроэнергии соответственно; 5"пр - полная мощность потребителей с той

же пульсностью выпрямления; 5кз - мощность короткого замыкания генерирующей системы;

f =

V«52 J52 + п112 + nVn + «123I23

- фактор гармоник.

В заключение отметим важную связь такого показателя как коэффициент мощности выпрями-

теля 1 с коэффициентом формы для выпрямленных кривых тока. Для трехфазного мостового выпрямителя с активно-индуктивной нагрузкой эта связь определяется простым соотношением [2] 1 = (3/p)kfв (kfв - коэффициент формы выпрямленных токов). При kfв = 1 коэффициент мощности составляет 1 = 3/ p = 0.955.

Вместе с тем известно [2], что коэффициент мощности для трехфазного мостового выпрямителя составляет 1 = v cos j где j - угол сдвига между током и напряжением (при у Ф 0 j1 = у/2 ). Использовав (19) и (3), получим:

3

1

, @ -11+-У-1.

p\ 1 _g/( 2p) p V 4p

При g = 0 снова имеем 1 = 3/ p.

В настоящей статье не затрагивался вопрос об ограничениях на значение Kj , поскольку в отечественных нормативных документах они отсутствуют. Вместе с тем можно указать на значения для THDI, приведенные в работе [6] при рассмотрении ряда примеров, в которых даны ограничения для THDI и SHD (selective harmonic distortion) по искажениям тока, специфицированных стандартом IEC 6 10003-4 (1998) для сбалансированных трехфазных низковольтных установок. Несколько иные ограничения приведены в стандарте IEEE 519 [7]. В обоих стандартах пределы зависят от отношения максимального тока короткого замыкания в точке общего присоединения к максимальному потребляемому току в этой точке. Значение Kj в указанных источниках варьируется от 5 до 25 %.

Таким образом, в настоящей статье установлены соотношения между коэффициентами искажения синусоидальности, формы и мощности. При оценке коэффициента искажения синусоидальности в электроэнергетической системе рекомендуется использовать выражение (20), в состав которого входит отношение между полной мощностью потребителей и полной мощностью короткого замыкания. В отечественные нормативные документы целесообразно ввести нормирование на коэффициент искажения синусоидальности по току в зависимости от отношения потребляемого тока к току короткого замыкания.

p

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ГОСТ 13109-97. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. Минск: Изд-во стандартов, 1998. 33 с.

2. Статические агрегаты бесперебойного питания / Г. Г. Адамия, Е. И. Беркович, А. С. Картавых и др. М.: Энергоатомиздат, 1992. 288 с.

3. Цицикян Г. Н. Качество электроэнергии и смежные вопросы. СПб.: Элмор, 2011. 176 с.

4. Правила классификации и постройки морских судов. Т. 2. СПб.: РМРС, 2013. Ч. 11. С. 272-386.

5. Байко А. В., Цицикян Г. Н., Сенченко А. И. Фильтр-компенсирующие устройства для судовых электроэнергетических систем // Тр. Крыловского гос. науч. центра. 2013. Вып. 74(358). С. 167-182.

6. George S., Agarwal V. Optimum control of selective and total harmonic distortion in current and voltage under nonsinusoidal conditions // IEEE Trans. on power delivery. 2008. Vol. PD-23, № 2. P. 937-944.

7. Куско А., Томпсон М. Сети электроснабжения. Методы и средства обеспечения качества энергии. М.: Додэка-XXI, 2010. 336 с.

G. N. Tsitsikyan, A. I. Senshenko FSUE "CSRI MET" (branch of the FSUE "Krylov state scientific center")

Comparative analysis of known estimates of distortions of a sinusoidal

The article provides a comparative analysis of the known estimates harmonic distortion of current and voltage. Relations are established between coefficient of harmonic distortion, form factor and the power factor. It is established that normative restrictions should depend on the ratio of the power of non-linear consumers to the short-circuit power generating system.

Total harmonic distortion, form factor, power factor

Статья поступила в редакцию 31 мая 2013 г.

УДК 621.396.96

В. П. Ипатов, А. Б. Хачатурян Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова (Ленина)

Точность измерения запаздывания спектрально-эффективных сигналов с полным и частичным откликами1

С учетом жестких регламентных ограничений спектрального ресурса проведено сопоставление форматов бинарной фазовой модуляции (ФМ) и частотной модуляции с непрерывной фазой по критерию потенциальной точности измерения запаздывания сигнала. Показано, что выигрыш минимальной частотной модуляции у ФМ по указанному показателю в энергетическом эквиваленте может доходить до 10 дБ и более.

Спутниковая радионавигация, частотная модуляция с непрерывной фазой, минимальная частотная модуляция, частичный отклик, спектрально-эффективные сигналы, потенциальная точность, оценка запаздывания

По мере насыщения выделенных участков спектра новыми глобальными спутниковыми навигационными системами (ГНСС) все острее становится проблема их бесконфликтного сосуществования как между собой, так и с соседствующими в эфире системами иного назначения. Для ГНСС ГЛОНАСС этот вопрос обретает особое значение из-за риска просачивания ее сигна-

лов в диапазон радиоастрономических наблюдений 1610.6...1613.8 МГц. Критерий защищенности радиоастрономической полосы, установленный Рекомендацией 1Ти-КЕА.769, требует удержания суммарной плотности потока мощности сигналов всех космических аппаратов, попадающих в луч антенны радиотелескопа, ниже порога

1 Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг." (Соглашение № 14.В37.21.0432 от 01.09.2012 г.)

© Ипатов В. П., Хачатурян А. Б., 2013

13