CC BY
191
Раздел III. Моделирование сложных систем
УДК 621.03.01
М.В. Джиган, О.В. Джиган СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ АДАПТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ НА БАЗЕ LMS- И RLS-АЛГОРИТМОВ
Рассматривается методика сравнительного исследования основных характеристик адаптивных фильтров на базе двух разновидностей алгоритмов вычисления весовых коэффициентов этих фильтров (LMS и RLS). Приводятся результаты решения задачи идентификации неизвестной линейной системы с помощью таких адаптивных фильтров и анализ . -LMS- RLS- , -
лять значения параметров адаптивных фильтров, при которых наблюдаются расхождения полученных свойств с ожидаемыми теоретическими свойствами.
; LMS- ; RLS- ;
среднеквадратическая ошибка; ERLE; рассогласование.
M.V. Djigan, O.V. Djigan COMPARATIVE ANALYSIS OF EFFICIENCY OF ADAPTIVE FILTERS BASED ON LMS AND RLS ALGORITHMS
The paper considers the methodology of the investigation of adaptive filters based on LMS and RLS algorithms, used for the computation of the filters weights. Simulation results of linear system identification by means of the filters and the results interpretation are included. Considered simulation shows the known properties of adaptive filters based on LMS-and RLS-algorithms, as well as allow you to define the parameters of adaptive filters, in which there are differences the properties obtained with the expected theoretical properties.
Adaptive filter; LMS algorithm; RLS algorithm; misadjustment; ERLE; mismatch.
Адаптивная фильтрация сегодня является сложившимся научно-техническим направлением в современной цифровой обработке сигналов [1]. Однако, несмотря на многолетнюю историю своего развития и использования на практике, адаптивная обработка сигналов, как отдельная учебная дисциплина, существует лишь со сравнительно недавнего времени. Требования нового государственного образовательного стандарта [2], заключающиеся в ориентации студентов на получение и закрепление знаний путем выполнения исследовательских и самостоятельных ра, , помощью которых в ходе лабораторных работ, практических занятий или самостоятельно можно изучать свойства адаптивных фильтров в рамках различных , .
Одним из таких инструментов является программный инструмент [3]. С его помощью можно исследовать характеристики адаптивных фильтров на базе алгоритма по критерию наименьшего квадрата (Lest Mean Square, LMS) и рекурсивного алгоритма критерию наименьших квадратов (Recursive Least Squares, RLS) [4]. Практический интерес к изучению именно этих алгоритмов обусловлен следующим. LMS-адгоритм обладает малой (линейной) вычислительной сложностью
O(N) , как функцией числа арифметических операций, требуемых для выполнения одной итерации алгоритма, где N - число весовых коэффициентов (ВК) адаптивного фильтра. В то же время, этот алгоритм характеризуется медленной сходи,
чисел корреляционной матрицы входных сигналов адаптивного фильтра. ЯЬ8-
, , ( )
2
сложностью O(N ) . Кроме того, он обладает быстрой сходимостью, не зависящей от отношения собственных чисел корреляционной матрицы.
Целью настоящей статьи является разработка методики исследования с помощью инструмента [3] эффективности адаптивных фильтров на базе ЬМ8- и КЬ8-^горитмов.
Инструмент [3] состоит из генератора сигнала, свойства которого определяются требуемым отношением собственных чисел корреляционной матрицы сигналов адаптивного фильтра; адаптивного фильтра с действительными ВК и двух алгоритмов вычисления ВК этого фильтра (ЬМ8 и ЯЬ8). При проведении исследований с помощью инструмента решается задача прямой идентификации неизвестной линейной системы (рис. 1), т.е. определение ее импульсного отклика.
+ eo (к)
Рис. 1. Адаптивная идентификация неизвестной системы
На рис. 1 обозначены следующие сигналы: х(k) - входной сигнал, d(k) -требуемый сигнал, а(k) = d(k) — у(k) - сигнал ошибки, к - индекс дискретного времени или номер отсчета обрабатываемого сигнала. Эти отсчеты равномерно распределены на оси времени как I(к) = к/Е$ , где ^ - частота дискретизации
.
Т
как у(к) = hN (к — 1)хN (к), где кN (к) - вектор сигналов в этом фильтре, а
h N (к) - вектор его ВК.
При решении задачи идентификации сигнал х(к) является входным и для , . некоторой функции ошибок а(к) между выходным сигналом неизвестной системы d (к) и выходным сигналом адаптивного фильтра у (к) означает, что адаптивный фильтр моделирует неизвестную систему, Т.е. hN (к) ^ N , так как фильтр «воспроизводит» выходной сигнал системы у(к) . Здесь w N - вектор ВК .
( . . 1), . . , , удобно наблюдать и легко интерпретировать. Например, процессы h N (к) ^ w N ,
у(к) ^ d(к) и \а(к)| ^ 0 свидетельствуют о правильности работы адаптивного фильтра. Кроме того, по оценкам этих сигналов и значениям вектора h N (к)
можно вычислять ряд характеристик адаптивного фильтра, среди которых относительная избыточная среднеквадратическая ошибка, коэффициент ослабления эхо-сигнала (Echo Return Loss Enhancement, ERLE) и рассогласование - эвклидова мера расстояния между векторами ВК адаптивного фильтра и идентифицируемого импульсного отклика.
На качество решения задачи идентификации, независимо от вида используемого алгоритма адаптивной фильтрации, влияет наличие аддитивного шума eo (k), (см. рис. 1). Это качество характеризуется относительной избыточной среднеквадратической ошибкой, которая для фильтра на базе LMS-адгоритма определяется как
N
м'У Лп £ £(<*>) -£ • ,
M = ^exc _ ЬУ / bmrn _ п=1_____________ (1)
= £ ~ £ ~ N ’ ()
bmin bmin л V"' «
1 -^LAn
n—1
где £(txi) - среднеквадратическое значение ошибки a(k) в установившемся режиме, £min - минимальное (теоретически предсказуемое) среднеквадратическое значение ошибки a(k), £exc - превышение среднеквадратического значения ошибки над ее минимальным значением £mjn, Лп - собственные числа корреляционной матрицы сигналов адаптивного фильтра, п — 1,2,..., N.
RLS- M
M = £exc = £(^) - £min = n 1-Л (2)
£min £min 1+ Л’
где Л - параметр экспоненциального взвешивания обрабатываемых сигналов, допустимое значение которого обычно ограничивается как (1 -0.4/N)<Л< 1. Из
(2) , M RLS- -
ных чисел корреляционной матрицы. Кроме того, при Л— 1 значение M _ 0.
В адаптивном фильтре на базе LMS-адгоритма величина шага сходимости и в уравнении вычисления вектора ВК выбирается из условия устойчивости фильт-.
как [4]:
Umax = 3tr{RN}, (3)
где tr{R n }- след корреляционной матрицы R N .
На практике параметр и выбирается много меньше предельного значения, (3), -
тельностью переходного процесса и величиной £exc , так, чтобы £exc не превышала 10 % от £min. Первое ограничение диктуется требованиями к скорости реакции адаптивного фильтра на внешние изменения, а второе - качеством адаптивной фильтрации в установившемся режиме, т.е. после окончания переходного процесса.
При выполнении лабораторных работ данное утверждение можно исследовать и подтвердить с помощью моделирования. Численные результаты такого моделирования для адаптивного фильтра с числом ВК N = 8 на базе LMS-адгоритма (100 экспериментов по 10 000 итераций, совпадающих с отсчетами обрабатывае-), . 1.
Таблица 1
Результаты моделирования адаптивного фильтра на базе LMS-алгоритма
м Х = 1 о <N = N X = 80
M theory M exper M theory M exper M theory M exper
0,005 0,042 0,056 0,043 0,055 0,044 0,056
0,010 0,089 0,102 0,092 0,104 0,096 0,108
0,020 0,200 0,214 0,217 0,242 0,244 -
0,040 0,533 0,577 0,676 - 1,099 -
0,080 3,200 - -6,180 - -1,193 -
Из анализа табл. 1 следует, что при «мадых» значениях шага сходимости р (в данном случае 0,005 и 0,01) наблюдается хорошее соответствие теоретических значений относительной избыточной среднеквадратической ошибки, см. (1),
N
М theory = ^ (4)
1
n=1
и экспериментальных значений
£(ж) -£■ .
М = }—Ьшш (5)
lr± exper g > v >
5min
где уравнение (4), согласно [4], было получено при условии «малости» р, когда
достигаемое значение М не превышает 10 %. При этом, как следует из уравнения
N
М =------^------------^М^Ап N }-МN^^, (6)
1 -м^Ап п-1
п-1
являющегося упрощением уравнения (4), значение М не зависит от %.
При росте м (строки 3-5 табл. 1) уравнение (4) становится неверным. Поэтому наблюдается рост значений М при росте % и фиксированном м. В этом случае также наблюдается неустойчивость адаптивного фильтра на базе ЬМБ-адгоритма, что отмечено прочерками в ячейках табл. 1, соответствующих экспериментальным .
Неустойчивость обусловлена тем, что выражение для максимально допустимого значения шага сходимости ЬМБ-адгоритма Мтах, см. уравнение (3), также следует из упрощения уравнения (1) [4], когда М < 10%. Так как при получении результатов в строках 3-5 (табл. 1) значение М > 10 % , то это свидетельствует о том, что в данном случае уравнение (3) для оценки Мтах не может быть корректно использовано, т.е. М, равные 0,02, 0,04 и 0,08, близки или превышают предельно .
шага сходимости для «больших» М не существует. Поэтому в ряде случаев (см.
. 1) (4) , -
тельными величинами теоретических значений М.
Численные результаты аналогичного моделирования были получены и для адаптивного фильтра на базе НЬБ-адгоритма.
С помощью разработанного инструмента также можно исследовать значения а также рассогласования (рис. 2):
1к N - Ь N (к^|2
Pik)= 20lg-
(7)
w
V|| 2
коэффициента ослабления эхо-сигнала ERLE, который определяется как отношение энергии требуемого сигнала d(к) к энергии сигнала остаточных ошибок а(к), именуемого эхо-сигналом,
ERLE (k) = 10lg-
(8)
где
Ed*}
■ операция усреднения, а
■ эвклидова норма вектора.
к, номер итерации а
к, номер итерации б
Рис. 2. Рассогласование: а - в LMS-тгоритме при % = 1, ц = 0,01 и ц = 0,02; б - в RLS-тгоритме при % = 1 и Л^ 1
При ЬN (к) ^ ЬN,0 градиент функции среднеквадратической ошибки £(к),
т.е. целевой функции ЕМБ-адгоритма, стремится к нулю, хотя мгновенное значение этого градиента
VЬ £(к -1) --хN (к)а(к) (9)
Ь N
может быть И ненулевым. Здесь ЬN 0 - координаты минимума целевой функции. Как следствие, вектор ВК ЬN (к) адаптивного фильтра совершает зигзагообразные движения в районе точки ЬN 0, пропорциональные М, так как на каждой
итерации приращения вектора весовых коэффициентов определяется как
АЬм (к) - -/М7. %(к -1). Поэтому в установившемся режиме ¿¡(к) > <^т;п ,
Ь N
а именно
£(к) - 4пп + £ехе . (10)
2
При больших и отклонения вектора h N (k) от вектора hN o = wN также большие. Поэтому см. уравнение (9),
||w N - h N (k )||2 ||h N,o — h N (k)||2
p(k) = 20lg--------ü----Ü-----2 = 20lg--------Ü-----------2 (11)
llw N1 2 I|h N,o|| 2
, и,
. 2, .
При x = const величина шага сходимости и влияет и на параметр ERLE при использовании LMS-адгоритма. Разные же значения ERLE в установившемся режиме объясняются тем, что при разных и получаются разные €exc, согласно (1).
е{ 2(k)| е{ 2(k)|
ERLE (k) = 10lg—^----------!- = 10lg——-------------------------------, (12)
e{«2 (k)} € (k)
a €(k) = €min + €exc, т0 ПРИ разных и достигаемы значения ERLE тоже будут разными: при большем и будет большим €exc , а значит ERLE будет меньшим.
( . 2, )
ERLE в адаптивном фильтре на базе RLS-адгоритма.
Величина параметра экспоненциального взвешивания Л, удовлетворяющая условию (1 — 0.4/N) < Л < 1, практически не влияет на поведение RLS-адгоритма при k < N. В установившемся режиме (при k >> N) величина Л влияет на €exc , см. (2), а значит и на €(k) и Ah N (k), т^. подобно LMS-адгоритму, она влияет на качество адаптивной фильтрации в терминах параметров ERLE (7) и рассогласования (8).
, , -смотренное в настоящей работе моделирование демонстрируют известные свойства адаптивных фильтров на базе LMS- и RLS-адгоритмов, а также позволяют определять значения параметров адаптивных фильтров, при которых наблюдаются расхождения полученных свойств с ожидаемыми теоретическими свойствами, что обусловлено рядом допущений, принятых при получении математических зависимостей (1)-(3) [4]. Эти результаты позволяют глубже понимать свойства адаптивных фильтров на базе рассмотренных алгоритмов.
Дальнейшее развитие представленного в настоящей работе инструмента направлено его на реализацию на языке Lab VIEW. Этот инструмент будет построен на принципах [5] и использован в учебном процессе Национального исследовательского университета «МИЭТ».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Benesty J., Huang Y. (Eds). Adaptive signal processing: applications to real-world problems. - Springer-Verlag, 2003. - 356 p.
2. ,
высшего профессионального образования. - http://www.edu.ru/db/portal/spe/index.htm.
3. . ., . . -
рации в среде MATLAB // Материалы 18-й Всероссийской межвузовской научнотехнической конференции «Микроэлектроника и информатика» (МИЭТ, 19-21 апреля 2011 г.). - М., 2011. - C. 223.
4. Diniz P.S.R. Adaptive filtering algorithms and practical implementation. Third edition. -Springer Science + Business Media, 2008. - 627 p.
5. Волков Ю.И., Джиган M.B., Джиган O.B. Виртуальные инструменты для исследования переходных процессов в линейных электрических цепях // Вопросы радиоэлектроники. Серия «Общетехническая». - 2011. - №1. - C. 167-177.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., доцент А.В. Гуреев
Джиган Мария Виктгоровна - Национальный исследовательский университет «МИЭТ»; e-mail: mariadjigan@rambler.ru; 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5; тел.: +74997109541; сту-.
Джиган Ольга Виктгоровна - e-mail: olga.djigan@rambler.ru; студентка.
Djigan Maria Victorovna - National Research University of Electronic Technology; e-mail: mariadjigan@rambler.ru; Bld. 5, Pas. 4806, Zelenograd, Moscow, 124498, Russia; phone: +74997109541; student.
Djigan Olga Victorovna - e-mail: olga.djigan@rambler.ru; student.
УДК 519.63: 532.5
E.E. Дегтярева, A.E. Чистяков
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТА НАНОСОВ ПО ДАННЫМ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В АЗОВСКОМ МОРЕ
Представлены результаты экспериментальных исследований в Таганрогском заливе, проведенных в октябре 2011 года, которые легли в основу математической модели транспорта наносов в прибрежной зоне водоемов. Предложенная модель учитывает следующие факторы: транспорт наносов, находящихся в придонном слое; переход донного материала во взвешенное состояние и осаждение; транспорт взвешенных частиц. Описание гидродинамических процессов выполнено на основе системы уравнений Навье-Стокса. Для описания коэффициента турбулентного обмена использовалась подсеточная модель Смогорин-
.
зондов ADCP и SBE19 Plus.
Акустический Дотеровский профилограф; гидрофизика моря; модель транспорта .
E.E. Degtyareva, A.E. Chistyakov MODELING SEDIMENT TRANSPORT BASED ON EXPERIMENTAL STUDIES IN AZOV SEA
This paper presents the results of experimental studies in the Taganrog Bay in October 2011. By results of experimental studies formed the basis of a mathematical model of sediment transport in coastal waters. The proposed model considers the following factors: sediment transport in the near-bed layer; suspension, diffusion, settling; suspended sediment transport. Description of the hydrodynamic processes performed on the basis of the Navier-Stokes equations. A subgrid model Smogorinskogo was used to describe the turbulent exchange coefficient. Experiments were performed using two modern devices ADCP and SBE 19 Plus.
Acoustic Doppler Current Profiler; hydro physics sea; model of sediment transport.
Экологическая система Таганрогского залива и Азовского моря является уникальной. Состояние прибрежного рельефа дна во многом определяется движением наносов под действием волн и течений. Осуществленные без предварительного математического моделирования проекты по сооружению гидротехнических
