Сравнительный анализ достоверности методов статистической обработки экономических показателей Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

32 (383) - 2014

ЭК9помиК9-математическде

моделирование

УДК 005.52 (075.8)

сравнительный анализ достоверности методов

статистической обработки

________о ,

экономических показателей*

Е.В. ГОРЮНОВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры финансов и бухгалтерского учета E-mail: evgen_ goryunov@mail.ru Нижегородский филиал Московского гуманитарно-экономического института

В практике экономического анализа и оценочной деятельности производится статистическая обработка результатов исследований. При этом, как правило, объем выборки парциальных показателей ограничен вследствие ограниченности количества объектов исследования. При обработке результатов экономист-аналитик может использовать различные статистические методы. Чаще всего используется метод расчета среднеарифметического значения парциальных показателей. Однако при малых объемах выборки и значительном разбросе значений парциальных показателей возникает существенная погрешность определения искомого показателя по результатам усреднения. Таким образом, является актуальной задача выбора метода статистической обработки, обеспечивающего наибольшую достоверность и точность определения искомого показателя. Представлен сравнительный анализ достоверности следующих значений статистической обработки экономических показателей: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, медианное и среднеквадратичное. Исследования выполнены на базе 16 модельных численных экспериментов (выборок). Каждая из вы-

* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского - Национальном исследовательском университете.

борок представляла суперпозицию набора случайных равномерно распределенных величин в совокупности с истинным значением. Показано, что в оценочной практике стоимости объектов использование среднеквадратичного значения оценочных показателей предпочтительней по сравнению с другими методами статистической обработки.

Ключевые слова: статистическая обработка, метод, достоверность, модельные эксперименты, анализ

В экономическом анализе и оценочной деятельности существует проблема статистической обработки данных по объектам-аналогам. Например, при корректировке цен продаж или мультипликаторов по объектам-аналогам в сравнительном подходе. Проблема усложняется тем, что зачастую число объектов-аналогов ограничено и достоверность оценки при этом снижается.

В экономической статистике используются различные методы обработки статистической информации [1-9].

В частности, при статистической обработке экономических показателей X = (хр x2, ..., xи) используется чаще всего среднеарифметическое значение парциальных показателей x.

— 1 " 1

х=-1 х =- (х +...+х),

п ^Т п

где п - число парциальных показателей в выборке.

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел х1, х2, ...., хп называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально

_ | п

G (Х1, Х2Хп ) = П Х1Х2 ...Хп = \ П

1/ п

Среднее гармоническое чисел х1, х2, ..., хп - число, обратная величина которого является средним арифметическим обратных величин данных чисел. Среднее гармоническое значение получается от деления числа данных величин на сумму величин обратных данным, т. е.

Хгарм( Х1,..., Хп ) ='

11

— +-

+... +

1

Медиана (50-й процентиль, квантиль 0,5) -возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50% нижних единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана.

В математической статистике известен также такой показатель, как среднее квадратическое (среднеквадратичное) положительных значений -число равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел выборки

а , деленное на число слагаемых:

S = .

2 2 2 а + а2 +... + ап

Существуют также математические выражения для взвешенных значений: среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное, среднеквадратичное взвешенное [1, 8-15]. Например, среднеквадратичное взвешенное значение может быть представлено следующим образом:

х„„„„„ =

х2 Л + Х22Л +...+Хп2/п

или

/ + /2 +...+/

_ I х2/

х2 = ^-.

I х2 /

I /

где/ / ... ,/ - весовые коэффициенты.

В экономическом анализе и в оценочной деятельности в частности такие показатели, как среднеквадратичное или среднеквадратичное взвешенное, достаточно редко используются.

В работе [12] представлены результаты комплексного использования среднего арифметического взвешенного, среднего геометрического взвешенного, среднего гармонического взвешенного, среднеквадратичного взвешенного. В данной работе с помощью указанных методов были исследованы показатели качества туров на основе анкетного опроса туристов. Однако в работе [12] не были представлены среднеквадратичные отклонения и коэффициенты вариации результатов ответов туристов в численной форме. Это обстоятельство не позволяет сделать вывод о взаимосвязи коэффициента вариации и достоверности результатов статистической обработки указанными методами.

Однако в существующих публикациях не были представлены результаты сравнительного анализа достоверности используемых параметров в экономической статистике.

В практике оценочной деятельности, при оценке стоимости объекта сравнительным подходом, количество объектов-аналогов ограничено. Таким образом, проблема достоверности и точности оценки при статистической обработке результатов является актуальной.

Целью настоящей работы является проведение сравнительного модельного анализа точности и достоверности результатов статистической обработки экономических показателей (параметров) указанными методами.

В настоящей работе в целях анализа возможностей и точности результатов статистической обработки проведены статистическое моделирование и анализ с использованием стандартных компьютерных программ. При этом выполнена генерация экспериментальной выборки с помощью сплайн аппроксимации.

В основу модельного эксперимента была положена модель (выборка) вида

С. = А + е,

1 /'

где С. - значение ■ -й экспериментальной модели; А - моделируемая истинная (детерминированная) величина;

е. - моделируемая случайная величина, распределенная по равномерному закону распределения плотности вероятности.

х

¡=1

х1 х2 хп

п

¡=1

Такая модель (выборка) основана на предположении, что, например, цена объекта недвижимости может быть на различных рынках разной. Цена продажи зависит еще и от некоторых других (обычно менее существенных) факторов. Например, от ожидаемого остаточного срока службы объекта или просто от того, насколько быстро продавец заинтересован продать объект. Эти моменты отражены в модели С. = А + е введением случайной величины е Таким образом, е - случайная величина в модели характеризует, например, отклонение цены продажи от теоретической (истинной) А.

Моделируем случайной величиной е с равномерным законом распределения плотности вероятности. Данное распределение является базовым при формировании с помощью метода Монте-Карло различных функций распределения случайных величин.

Известно, что с помощью равномерного распределения можно осуществить моделирование любой функции распределения. В этом и есть изящество и простота метода Монте-Карло [3].

Введение в модель С. = А + е в виде выборки значений равномерно распределенных случайных величин е. в совокупности с истинной величиной А позволяет сделать вывод (на основании метода Монте-Карло), что распределение значений такой выборки будет соответствовать равномерному закону распределения плотности вероятности [2].

Был проведен ряд модельных экспериментов выборок с различным числом показателей в выборке п = 5; 10; 15; 20. При этом в каждой из выборок в модели вида С = А + е были выбраны истинные значения А = 2; 5; 7; 10. Всего были использованы 16 моделей (выборок). В каждой из выборок использовался соответствующий вариант модели случайных чисел с равномерным законом распределения. Ряд экспериментов позволил выполнить исследование влияния количества усреднений (объема выборки), значений коэффициентов вариации в моделях на точность и достоверность определения

показателей при различных методах статистической обработки.

Вариант модели случайных чисел с равномерным законом распределения е выглядит следующим образом:

-2,9250 2,1048 -4,3648 -4,3726 1,4394

-2,5691 4,9476 -0,9544 -0,1846 1,1656

Окончание

3,3957 0,952 -2,4225 -2,0183 0,8096

1,9562 4,4747 3,3817 -4,2500 -0,7355

Вариант модельной экспериментальной выборки в соответствии с моделью С = А + е при истинном значении А = 10 выглядит так:

7,0750 12,1048 5,6352 5,6274 11,4394

7,4309 14,9476 9,0456 9,8154 11,1656

Окончание

13,3957 10,9520 7,5775 7,9817 10,8096

11,9562 14,4747 13,382 5,7500 9,2645

Это вариант суперпозиции истинного модельного значения А = 10 в совокупности со значениями варианта модели случайных чисел с равномерным законом распределения е Коэффициент вариации рассчитывается как отношение среднеквадратичес-кого отклонения к среднеарифметическому значению (в нашем случае - к истинному значению модели). К примеру, в модельной экспериментальной выборке в соответствии с моделью С. = А + е. при истинном значении А = 10 коэффициент вариации равен 21,5%.

Результаты сравнительного анализа точности и достоверности оценок, выполненных разными методами статистической обработки моделей в зависимости от значений коэффициента вариации Кв представлены в табл. 1 и на рисунке. Здесь использованы три группы моделей с объемами выборки п = 5; 10.

Относительные отклонения определялись по формуле

С = (С - А ) / А 100%,

отн 4 р и7 и '

где Ср - расчетные значения модели (в выборке);

Таблица 1

Относительные отклонения от истинных значений в зависимости от способов обработки и значений коэффициента вариации, %

Коэффициент вариации Среднее арифметическое Среднее геометрическое Среднее гармоническое Среднее квадратичное Медианное

20,50 3,70 4,60 6,50 2,80 3,00

29,70 5,28 7,28 9,30 3,43 4,29

42,50 7,17 7,71 10,40 2,57 9,80

85,00 7,40 11,40 15,40 3,80 6,00

125,70 10,60 19,60 28,70 2,86 8,57

184,70 14,80 37,80 61,00 -0,40 12,0

70

60

50

<в

х

<в

о 40

30

20

10

0

/

/

у

у

А

• Среднеарифметическое

■ Среднегеометрическое Среднегармоническое

■ Среднеквадратичное

• Медианное значение

20,5 29,7 42,5 85

Коэффициент вариации

125,7

184,7

Динамика относительных отклонений от истинных значений в зависимости от способов обработки и значений коэффициента вариации, %

Аи - истинные значения модели.

Дополнительный анализ групп моделей для объемов выборки п = 15; 20 показал те же тенденции и преимущества использования среднеквадратичного значения.

Выполнен сравнительный анализ значений различных способов статистической обработки Аи =10 (табл. 2).

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

Таблица 2

Значения результатов статистической обработки показателей в зависимости от объема выборки

Значения параметров п = 5 п = 10 п = 15 п = 20

Среднеквадратичное 8,840 9,630 10,040 10,400

Среднее арифметическое 8,376 9,260 9,670 9,990

Среднее геометрическое 7,910 8,860 9,280 9,560

Среднегармоническое 7,500 8,460 8,900 9,110

Медианное 7,075 9,395 9,910 10,160

Коэффициент вариации, % 119,500 85,000 79,800 86,200

Чем больше значение коэффициента вариации, тем среднеквадратичное значение имеет меньшее относительное отклонение от истинного значения по сравнению с остальными методами статистической обработки.

Были проведены модельные исследования по 16 выборкам (экспериментальным моделям) при различных объемах выборки для п =5, 10, 15 и 20 и при различных истинных значений Аи. Распределения значений величин в моделях соответствовали равномерному закону распределения плотности вероятности.

Использование среднеквадратичного значения экономических (оценочных) показателей числом в пределах п = 5,..., 15 предпочтительней по сравнению с другими способами, ибо дает существенно меньшую относительную погрешность и большую достоверность. Среднеквадратичное значение можно интерпретировать как длину вектора в пространстве параметров, нормированную на квадратный корень из числа параметров. Достоинства векторного метода рассмотрены в работе [2].

Можно утверждать, что в задачах экономического анализа и в оценочной практике среднеквадратичная оценка дает более точный результат по сравнению со среднеарифметической оценкой при ограниченной выборке показателей п = 5,., 15.

Как показывает проведенный сравнительный анализ, использование при расчетах таких значений, как среднегеометрическое, среднегармоническое и медианное, в оценочной деятельности дает низкую достоверность при значениях коэффициентов вариации парциальных показателей Кв > 30%.

Следует отметить, что использование среднеквадратичного значения ограничено областью положительно определенных парциальных показателей или числовых значений (х. > 0).

В оценочной практике при использовании сравнительного подхода число объектов-аналогов ограничено, но должно быть больше или хотя бы равно пяти. При этом, как правило, присутствует существенный разброс оценочных значений показателей и значения коэффициента вариации показателей, достаточно велики (Кв = 20,..., 100%). Есть основания полагать, что форма распределения величин показателей часто близка к форме равномерного закона распределения плотности вероятности. В данной ситуации использование среднеквадратичного значения показателей оценки наиболее приемлемо, так как обеспечивает наибольшую достоверность и точность результатов.

Список литературы

1. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005. 161 с.

2. ВентцельЕ.С., ОвчаровЛ.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие. М.: Академия, 2003. 448 с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1991. 384 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998. 479 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: учебник. М.: Едиториал УРСС, 2005. 448 с.

6. Горюнов Е.В. Векторный метод в теории экономического анализа // Экономический анализ: теория и практика. 2010. № 17. С. 39-44.

7. Горюнов Е.В. Векторный метод рейтинговой оценки // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 16. С. 13-17.

8. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. М.: Физматлит, 2006. 816 с.

9. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М.: Юнити-Дана, 2004. 573 с.

10. Неганова Л.М. Статистика. Общая теория статистики. URL: http: //www.be5.biz/ekonomika/ s005/toc.htm/.

11. Никитина Н.Ш. Математическая статистика для экономистов: учеб. пособие. М.: ИНФРА-М,

2001. 170 с.

12. Помелова Е.В. Качество услуг индустрии гостеприимства и его оценка // Молодой ученый. 2011. № 12. С. 175-179.

13. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. М.: Физматлит,

2002. 496 с.

14. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. Минск: Новое знание, 2007. 208 с.

15. Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовни-кова Н.А. Практикум по теории статистики. М.: Финансы и статистика, 2011. 417 с.

Economic analysis: theory and practice Economic and mathematical modeling

ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)

A COMPARATIVE ANALYSIS OF THE VALIDITY OF METHODS FOR THE STATISTICAL PROCESSING OF ECONOMIC INDICATORS

Evgenii V. GORYUNOV

Abstract

In practice, economic analysis and assessment activity aggregate the results of research. As a rule, the size of

a sample of partial indicators is limited due to the limited number of studied objects. When processing the results, an analyst may use a variety of statistical meth-

ods. Most commonly, the researchers use the method for calculating the arithmetic mean value of partial indicators. However, small amounts of sampling and a significant variance of values of partial indicators is essential to the sought-for indicator determination error based on averaging. Thus, the challenge is the choosing the aggregation method that provides the highest reliability and accuracy of the indicator. It is appropriate to mention here that when sample values are positive definite, more than one averaging method, not only the arithmetic one, may be applied. In his publication, the author submits a comparative analysis of the validity of the following values resulting from the statistical processing of economic indicators: arithmetic mean, geometric mean, harmonic mean, median and the root mean square values. The studies were executed on the basis of 16 model numerical experiments (samples). Each of the samples represented the superposition of a set of random uniformly distributed values, together with the true value. The paper shows that, in property evaluation practice, the use of RMS values of performance indicators is more preferable in comparison with other methods of statistical processing.

Keywords: statistical processing, methods, validity, modeling experiments, analysis

References

1. Bavrin I.I. Teoriya veroyatnostei i matemat-icheskaya statistika [The probability theory and mathematical statistics]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2005, 161 p.

2. Venttsel' E.S., Ovcharov L.A. Zadachi i uprazh-neniya po teorii veroyatnostei: ucheb. posobie [Problems and exercises in the probability theory: a manual]. Moscow, Akademiya Publ., 2003, 448 p.

3. Venttsel' E.S., Ovcharov L.A. Teoriya slucha-inykh protsessov i ee inzhenernye prilozheniya [The theory of stochastic processes and its engineering applications]. Moscow, Nauka Publ., 1991, 384 p.

4. Gmurman V.E. Teoriya veroyatnostei i matem-aticheskaya statistika [The probability theory and mathematical statistics]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1998, 479 p.

5. Gnedenko B.V. Kurs teorii veroyatnostei: ucheb-nik [A course in the probability theory: a textbook]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2005, 448 p.

6. Goryunov E.V. Vektornyi metod v teorii eko-nomicheskogo analiza [The vector method in the economic analysis theory]. Ekonomicheskii analiz: teoriya

i praktika - Economic analysis: theory and practice, 2010, no.17, pp. 39-44.

7. Goryunov E.V. Vektornyi metod reitingovoi otsenki [The vector method of rating assessment]. Ekonomicheskii analiz: teoriya ipraktika - Economic analysis: theory and practice, 2012, no. 16, pp. 13-17.

8. Kobzar' A.I. Prikladnaya matematicheskaya statistika [Applied mathematical statistics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006, 816 p.

9. Kremer N.Sh. Teoriya veroyatnostei i matematicheskaya statistika [The probability theory and mathematical statistics]. Moscow, Yuniti-Dana Publ., 2004, 573 p.

10. Neganova L.M. Statistika. Obshchaya teoriya statistiki [Statistics. The general theory of statistics]. Available at: http://www.be5.biz/ekonomika/s005/toc. htm. (In Russ.)

11. Nikitina N.Sh. Matematicheskaya statistika dlya ekonomistov: ucheb. posobie [Mathematical statistics for economists: a manual]. Moscow, INFRA-M Publ., 2001, 170 p.

12. Pomelova E.V. Kachestvo uslug industrii gos-tepriimstva i ego otsenka [The quality of hospitality industry services and its assessment].Molodoi uchenyi -Young scientist, 2011, no. 12, pp. 175-179.

13. Pugachev V.S. Teoriya veroyatnostei i matematicheskaya statistika: ucheb. posobie [The probability theory and mathematical statistics: a manual]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002, 496 p.

14. Figurin V.A., Obolonkin V.V. Teoriya veroyatnostei i matematicheskaya statistika: ucheb. posobie [The probability theory and mathematical statistics: a manual]. Minsk, Novoe znanie Publ., 2007, 208 p.

15. Shmoilova R.A., Minashkin V.G., Sadovnikova N.A. Praktikum po teorii statistiki [A practical course in the theory of statistics]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 2011, 417 p.

Evgenii V. GORYUNOV

Nizhny Novgorod Branch of Moscow Humanitarian-Economic Institute, Nizhny Novgorod, Russian Federation evgen_ goryunov@mail.ru

Acknowledgments

The article is supported by the Publishing house FINANCE and CREDIT's Information center in the Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod -National Research University (UNN).