СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПЕРЕСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТЬ, НЕ ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ИСХОДНОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-1-25-32 УДК 621.396.6

Сравнительный анализ численных методов пересчета электрического поля на плоскость, не параллельную исходной

А. К. Жизневский

Научно-образовательный центр акционерного общества «Северо-Западный региональный центр Концерна ВКО «Алмаз - Антей», Санкт-Петербург, Российская Федерация

Представлен обзор численных методов пересчета амплитудно-фазового распределения электрического поля с плоскости сканирования в ближней зоне на плоскость, не параллельную исходной в общем случае, в интересах их применения для поиска оптимального расположения облучателя фазированной антенной решетки.

Ключевые слова: амплифазометрические измерения, численные методы, фазированная антенная решетка, ближняя зона, поворот спектра плоских волн

Для цитирования: Жизневский А. К. Сравнительный анализ численных методов пересчета электрического поля на плоскость не параллельную исходной // Вестник Концерна ВКО «Алмаз - Антей». 2022. № 1. С. 25-32. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-1-25-32

For citation: Zhiznevsky A. K. Comparative analysis of numerical methods to calculate electric field distribution from the initial plane to a plane non-parallel to the initial one // Vestnik Koncerna VKO "Almaz - Antey". 2022. No. 1. P. 25-32. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-1-25-32

Поступила 10.01.2022 Отрецензирована 18.01.2022 Одобрена 14.02.2022 Опубликована 18.03.2022

Введение

Описанные в статье методы были опробованы в рамках создания экспериментально-расчетной методики настройки фазированных антенных решеток (ФАР) проходного типа с применением амплифазометрических измерений характеристик ФАР. В процессе настройки таких ФАР остро возникает вопрос нахождения оптимального положения облучателя в трехмерном пространстве в целях обеспечения заданных требований к характеристикам направленности и энергетическим параметрам антенн. Облучатель в антенной решетке проходного типа представляет собой, как правило, рупорную антенну, установленную на подвес с шестью степенями свободы.

Из-за погрешностей изготовления и установки фазирующих элементов ФАР, рупорного

© Жизневский А. К., 2022

облучателя и несущей рамы, фиксирующей все конструктивные элементы ФАР в пространстве, процесс нахождения оптимального положения облучателя приобретает итерационный характер и занимает длительное время.

Уменьшение временных затрат на поиск пространственного положения облучателя, близкого к оптимальному, при котором все радиотехнические характеристики ФАР удовлетворяют заданным требованиям, может быть достигнуто путем замены ряда промежуточных экспериментов расчетами, осуществляемыми по специально разработанным алгоритмам.

о

При разработке этих алгоритмов необходимо решить ряд электродинамических задач прикладной направленности.

Одна из таких задач - пересчет ам- § плитудно-фазового распределения, измерен- £ ного на плоской поверхности сканирования

0

см см о см

< I

со та

г |

о ^

со

о.

<и

о

о <и со

см ■ч-ю

с?

см ■ч-ю см

(П (П

I

ФАР (плоскость Р1)

Плоскость сканирования Р0

Плоскость сканирования Р

Облучатель

Рис. 1. Иллюстрация постановки задачи

/

>\

7 / 0

Р0 (рис. 1), параллельной раскрыву рупорного облучателя, на плоскость входов фазовращателей проходной ФАР Р1 при различных углах поворота 0 облучающего рупора.

В более общем виде эту задачу можно сформулировать следующим образом: «пересчет известного амплитудно-фазового распределения поля на исходной плоскости Р0 на плоскость Рь не параллельную исходной». Решение этой задачи позволяет избежать проведения дополнительных измерений поля на плоскости сканирования Р 0, используя одно измерение, полученное при сканировании на плоскости Р0, для всех возможных углов отклонения 0.

Плоскость Р,

Е (х,у,г)

Плоскость Р0 Е(х,у,г)

У

Решетка диполей

Рис. 2. Пространственная модель задачи (представлен общий случай - поворот вокруг трех осей)

В настоящей работе будет проведено сравнение трех методов решения сформулированной задачи. Так как выбранный численный метод расчета будет использован в итерационном эвристическом алгоритме поиска оптимума, то критериями выбора будут продолжительность вычислительной процедуры и точность расчета.

Для простоты будем рассматривать только линейную поляризацию вектора напряженности электрического поля и разместим его вдоль оси Оу, что не приведет к потере общности, так как результаты для случая линейной поляризации вектора Е вдоль оси Ох и круговой поляризации могут быть получены поворотом системы координат (СК). Размеры плоскости сканирования Р0 должны быть таковы, чтобы при рассматриваемом положении облучателя амплитуда поля на ее краях составляла не более -30 дБ от максимального значения [1].

Пространственная модель для проведения сравнительного анализа численных методов приведена на рисунке 2.

Решетка диполей расположена в плоскости Оху. Р0 - плоскость, параллельная решетке диполей, находящаяся на расстоянии г0 = 5Х (где X - длина волны) от начала координат. Р1 - плоскость, центр которой находится на расстоянии г! = 100Х от решетки диполей. Она повернута вокруг оси Оу на угол 0у, равный 10 градусам. Размеры плоскостей Р0 и Р1 одинаковы и равны 124,5Х на 127Х (250 на 255 точек с шагом 0,5Х).

Электрическое поле от модельной решетки диполей рассчитывается на плоскость Р0

(рис. 3). Затем с плоскости Р0 пересчитывает-ся на повернутую плоскость Р1 каждым из исследуемых методов. Для проведения оценки результатов в качестве эталона используется поле, рассчитанное на повернутой плоскости Р1 непосредственно от решетки диполей. Размер модельной дипольной решетки 20 элементов (вдоль оси Ох) на 8 элементов (вдоль оси Оу) излучателей. Длина каждого диполя равняется половине длины волны. Расстояние между диполями - половина длины волны. Диполи ориентированы вдоль оси Оу, что соответствует вектору Е вдоль оси Оу. Возбуждение решетки - равноамплитудное с перепадом фазы на 180 градусов при х = 0, что позволяет получить разностную диаграмму направленности (ДН) от поля на плоскости для оценивания точностных характеристик рассматриваемых численных методов.

1. Интерполяционный метод

Для расчета электрического поля на плоскости Р1, не параллельной исходной Р0 и повернутой к ней на угол ©у, можно воспользоваться интерполяционным методом (рис. 4).

Для реализации данного способа необходимо найти амплитудно-фазовое распределение (АФР) на каждой из промежуточных плоскостей РПр, РПр, ..., Р^7р, которое создается электрическим полем исходной плоскости Р0. Число плоскостей п зависит от расстояния между ними. Величина ¿дис выбирается из условия, что расстояние между соседними точками пересечения искомой плоскости Р1

60

40

20

-20

-40

-60

40 30 20

10 0

ч

-10 -20 -30 -40 -50 -60

-60 -40 -20

0

x, I

20

40

60

Рис. 3. Электрическое поле на плоскости Р0, полученное от модельной решетки диполей

и параллельных плоскостей РПр, РПр, ..., Р^ (узловыми точками) не должно быть больше чем А/2.

Следовательно, ¿дис < А sin©y / 2. В общем случае, когда поворот плоскости Р1 происходит вокруг оси Oz или вокруг двух и более осей, необходимо произвести интерполяцию из узловых точек на регулярную сетку [2]. В рассматриваемом случае точки пересечения совпадают с регулярной сеткой плоскости Р1 и интерполяция не требуется.

2. Метод эквивалентных поверхностных токов (метод Гюйгенса - Кирхгофа)

Реализация данного метода основана на применении в расчетах электрического поля эквивалентных электрических и магнитных

А Z

Pi

Рис. 4. Интерполяционный метод

/ у///' ш

у / ----*

...................................................у ...................................... I ^у/

^дис > , ......................................

..............................................I- ...........................- -___^^^ Л

0 P / P0 --W

P

Пр

P

Пр

P

Пр

P X

Пр

X

X ф

(О Q_

X

о

CL

н

ф

0

n

0

см см о см

< I

со та

г

о со

.

<и

о

о <и со

см ■ч-ю

с?

см ■ч-ю см

(П (П

диполей. Электрические и магнитные поля заменяются соответственно на магнитные и электрические моменты.

Известны формулы [3] для электрического поля, создаваемого электрическим и магнитным диполем:

Е„

471БЕ0г

I / •

0 гл

-л-{к

V

;0 +

/

+ в„

Е„=Ф0

\---ik2 | ли © г г

т„(£>1 I к | -д, . „ -л, 4л 1А- г,

ю

ю

г = Тг,

г = Т-1г.

Матрица поворота Т (7) вокруг трех осей в трехмерном пространстве представляет собой произведение трех матриц поворота вокруг каждой из осей, а в случае если поворот производится вокруг одной оси, то используется одна соответствующая повороту матрица: (8), (9) или (10).

(1)

(2)

т = wx(ex)wy(ey)wz(ez),

(7)

где эквивалентные электрический и магнитный моменты пропорциональны магнитному и электрическому полям соответственно [3]:

Ш1АБ (3) т- =—~-Уо> (4)

где Н5т(х, у, г0) вычисляется с использованием аппарата теории плоских волн [1], [4], [5].

В формулах (1), (2) диполи ориентированы вдоль оси Ог.

Так как рассматривается линейная поляризация вектора напряженности электрического поля Еу, то эквивалентный магнитный диполь также направлен вдоль оси Оу, а эквивалентный электрический диполь (соответствующий Нх) - вдоль оси Ох. Для учета этого условия в расчетах применяются повороты СК. Формулы (1)-(4) позволяют рассчитать поле на плоскости Рь зная поле на плоскости Р0.

3. Метод поворотной трансформации спектра плоских волн

В данном методе задаются две СК [6]. Первая СК выступает в роли исходной СК (х, у, г), в которой находится излучающая плоскость Р0 с координатами (х, у, г0). Во второй СК (х, у, г) находится искомая плоскость Р1 с координатами (х, у,

Единичные векторы г = (х, у, г) и г = (х, у, г) могут быть найдены с помощью матрицы поворота Т следующим образом:

(5)

где Wx(ex), Wy(ey), Wz(ez) - матрицы поворотов вокруг осей Ох, Оу и Ог соответственно, ex, ey, ez - углы поворота вокруг осей Ох, Оу и Ог против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего с конца оси.

Матрицы вращения вокруг каждой из осей могут быть описаны следующим образом:

^ (0 ) =

1 0 0

0 соявх ятвх 0 -«гиб, ссм0.

сояву 0 - ятву

ятду 0 соя®у

соя0г 0

— 5Ш0, ССЮ0, 0

г г

0 0 1

(8)

(9)

(10)

При этом матрицы вращения обладают следующими характеристиками:

W-1(x) = Wz(-x) = Wf(x), (11) где W-1(x) и WZп(x) - обратная и транспонированная матрицы вращения соответственно.

В общем виде эти матрицы могут быть представлены следующим образом:

Т1 =

т =

"1 "2 "3

а. а. а.

а4 а7 а2 а5 а8 а, а, а„

(12)

(13)

Если электрическое поле Е (х, у, г) с волновым числом к задано на плоскости Р0, то электрическое поле на произвольных

плоскостях, параллельных Оху, задается в следующем виде [1], [6]:

Щх,у,2)=\\р{кх,ку^^хаку =

= РРТ~1^(кх,ку)е2^},

где кх, ку, кг - проекции волнового вектора, К = л/1-^ -к2у, а F(kx, ку) - спектр плоских волн электрического поля Е(х, у, z), вычисляемый

как:

ПК,ку) = ^¡¡Е {кх,ку^х+^у, (15)

Зададим новую СК так, чтобы ее оси были параллельны одноименным осям системы Оху, расстояние от ее начала до плоскости Р1 равнялось нулю, а центр плоскости Р0 имел координаты (0, 0, - z0)). Это позволит обнулить z в формуле (14), при этом в формуле (15) будет произведена подстановка ё = - z0).

Электрическое поле Е (х, у, z) на повернутой плоскости Р1 находится путем подстановки (6) и(12)в(14):

E(jc, у, z) = ЕЦ* + а2у, а4х + а5у, а7х + я8у) -

iH

(16)

T,f f Ч дкх дк дк дк

где J(kx= --

8кх дку дку дкх

(21)

С использованием (20) может быть реализовано преобразование электрического поля к виду:

(22)

где Р{кх,ку) = Р{сфх +а2ку + а3кг,аАкх + а5ку +а6к,) Здесь Щх Х) = +

(23)

+ (о,а5-а2д4).

(24)

Векторы ку, кг) и 1Т(кХ, ку, к'г) в пространстве Фурье преобразуются один в другой также с помощью матриц Т и Т-1. Поэтому, используя соотношение 1Т = ТГ, аргумент экспоненты в выражении (16) можно упростить до 2жг(кх х + к у у).

При этом электрическое поле на повернутой плоскости Р1 будет определяться выражением:

Щх,у,2) = , (17)

где проекции волнового вектора кх, ку в уравнении (16) выражаются с использованием со-

1 Л

отношения 1 = Т 1Т следующим образом:

кх = кх (кх, ку) = «1 кх + а2 ку +аз к'г , (18)

ку = ку (кх, ку) = а4 кх + а5 ку +а6 к'г . (19) Замена в интеграле (16) переменных кх, ку на кх, ку осуществляется с помощью применения Якобиана:

dkxdk = \J(kx,k )\dkxdk ,

(20)

Графические иллюстрации по результатам моделирования процесса применения метода трансформации спектра приведены на рисунке 5.

4. Сравнение численных методов

Результаты анализа эффективности использования вышеописанных численных методов приведены на рисунке 6, где представлены азимутальные сечения ДН, рассчитанные с шагом 0,01 градуса.

Основное внимание уделено области одного из двух главных лепестков ДН и области равносигнального направления. Приведенные графики позволяют судить о степени приближения местоположения облучателя в пространстве к его оптимальному значению.

В таблице 1 приведены численные параметры полученных ДН.

Временные затраты на вычисления по каждому из методов были измерены при различном числе отсчетов на плоскостях Р0 и Р1. Соответствующий график представлен на рисунке 7. Из этого рисунка также видно, что метод интерполяции, как и ожидалось, предъявляет повышенные требования к объему оперативного запоминающего устройства (ОЗУ) ЭВМ. При достижении количеством элементов порога в 70 000 единиц происходит прекращение дальнейшего расчета из-за переполнения ОЗУ при вызове сильно расходующей память функции интерполяции. Объем доступной ОЗУ ЭВМ при выполнении численного моделирования составлял 11 ГБ.

та

X ф

ч

та 0-

та

О

О.

£

V

ц

(Ч

/

0,5

-0,5

-1

м М

1»

-0,5

0

к

Рис. 5. Спектр плоских волн до трансформации и после

0,5

-АО -50 -60 -70

ш

ч:

-90 § к

-100 ^ к

-110 ! I -120* -130

30

см см о см

ф н

X <

I

со га

С <

О ^

со га х а

ф ^

X

£ а

13 ф

СО

см ^

ю о

см ^

ю см

25

м

20

м;

-25

-20

/ '~ч / / \ \

/ ( ч "Д N \ \\

/// /7 Ч

16 -15 -14 -13

\ ! V \ Р 1 1

\ V \ у 1 /

\ \ / /

-10,125 -10

-10

-5

-9,875 -9,75

Г

Рис. 6. Сравнение ДН, полученных различными методами. Азимутальные сечения при в = 0 ■ - трансформация спектра;--интерполяция;--эквивалентные токи;--эталонное значение

Таблица 1

Сравнительный анализ методов

Эталон Интерполяционный метод Метод эквивалентных поверхностных токов Метод трансформации спектра

Равносигнальное направление, град -10,02 -9,97 -10,01 -10,01

Глубина минимума, дБ 17,71 17,79 17,71 17,34

Положение левого максимума, град -14,37 -14,36 -14,35 -14,35

Уровень левого максимума, дБ 27,92 27,88 27,92 27,83

05 С/5

1

1

-40 -50 -60 -70

0

1

X

о

0

Выводы

В результате сравнения рассмотренных численных методов видно, что метод эквивалентных поверхностных токов более предпочтителен по критерию точности, однако характеризуется высокими требованиями к вычислительным ресурсам. Поскольку поиск наиболее рационального положения облучателя проходной ФАР в пространстве представляет собой итерационную процедуру, выбор метода пересчета электрического поля на плоскость, не параллельную исходной, был сделан в пользу метода трансформации спектра, который показывает лучшие результаты по скорости вычислений, сохраняя при этом приемлемую точность расчетов.

Список литературы

1. Шубников В. В., Калашников В. С. и др. Синтез характеристик антенн по измерениям в ближней зоне. СПб.: ГУАП, 2016. 309 с.

2. У/оС^е^оигсеАм^е.ю/оС^еЯипсйоп/ interp2.html

3. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. Изд. 3-е, перераб. и дополн. М.: Наука, 1989. 544 с.

Рис. 7. Зависимость времени вычисления от количества отсчетов на плоскости

--трансформация спектра;--интерполяция;

--эквивалентные токи;--влияние ограничения памяти

4. Evans G. E. Antenna measurement techniques // Norwood. 1990.

5. Slater D. Near-field antenna measurements. Artech House. 1991.

6. Matsushima K. Formulation of the rotational transformation of the fields and their application to digital holography // Applied optics. 2008. T. 47. №. 19. C. D110-D116.

Об авторе

Жизневский Александр Константинович - аспирант Научно-образовательного центра акционерного общества «Северо-Западный региональный центр Концерна ВКО «Алмаз - Антей» - Обуховский завод», заместитель начальника цеха, АО «ЗРТО», Санкт-Петербург, Российская Федерация. Область научных интересов: измерения в ближней зоне, настройка антенных решеток.

| Эnектронмка. PaguoTexHUKa|

m

Comparative analysis of numerical methods to calculate electric field distribution from the initial plane to a plane non-parallel to the initial one

Zhiznevsky A. K.

Scientific and Educational Centre of Joint Stock Company "Almaz - Antey North-West Regional Centre -Obukhovsky Plant", St. Petersburg, Russian Federation

The paper presents a brief overview of the numerical methods for continuation of electric field amplitude/phase distribution from the near-field scanning plane to a plane non-parallel to the initial plane in a general case. The methods are considered based on their feasibility for finding an optimal arrangement of the phased-array antenna feed.

Keywords: amplitude and phase measurements, numerical methods, phased array, near field, plane wave spectrum turn

Information about the author

Zhiznevsky Aleksandr Konstantinovich - Post-Graduate Student, Scientific and Educational Centre of Joint Stock Company "Almaz - Antey North-West Regional Centre - Obukhovsky Plant", Deputy Workshop Manager, JSC "ZRTO", St. Petersburg, Russian Federation.

Science research interests: near-field measurements, antenna array adjustment.